Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (61)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM 2013– 2014
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ
MÔN: TOÁN LỚP 11
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n và lim vn = 0 thì limun = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:

lim

1
n

= 0 , lim

1
1
= 0 , lim 3 = 0 , lim q n = 0 với
n
n

|q| < 1
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới
hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = +∞ thì

lim

1
un

=0

limv
limun=L
n

+∞

L>0

-

−∞

+

−∞

-

+∞

- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
x → x0

x → x0

1

f ( x)

=0

1

un
vn

+

L<0

lim f ( x ) = +∞ thì lim

vn

lim

L >0

L<0

+) Nếu

Dấu
của

0


lim f ( x )

x→ x 0

lim g ( x)

x→ x 0

L>0
0
L<0

- Chú ý khi gặp các dạng vô định:

∞ 0
; ; ∞ − ∞;0.∞
∞ 0

Dấu
của
g(x)

lim

x→ x 0

f ( x)
g ( x)

+

+∞

-

-∞

+

-∞

-

+∞

ta phải khử các dạng vô định đó

bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu
thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (un) lùi vô hạn (với

q < 1 ),

ta có :

S = u1 + u1q + L + u1q n + L =

u1
1− q

4/ Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0:
+) Tính f(x0)
f ( x ) (nếu có)
+) Tìm xlim
→x
0

lim f ( x )

không tồn tại⇒ f(x) gián đoạn tại x0.

- Nếu

x → x0

- Nếu

x → x0

lim f ( x ) = L ≠ f ( x0 ) ⇒

f(x) gián đoạn tại x0

- Nếu

x → x0

lim f ( x ) = L = f ( x0 ) ⇒

f(x) liên tục tại x0.

5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.

2


Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1
nghiệm nằm trong (a ; b).
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
(u ± v) ' = u '± v '
(u.v) ' = u '.v + v '.u
(k .u ) ' = k .u '
'

 u  u '.v − v '.u
 ÷=
v2
v
'

v'
1
 ÷=− 2
v
v

c ' = 0 ; ( x) ' = 1

( x ) ' = n.x
n

( u ) ' = n.u
n

n −1

n −1

.u '

'

u'
1
 ÷=− 2
u
u
u'
u '=
2 u

'

1
1
 ÷=− 2
x
x
1
x '=
2 x

( )

( )

+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu y = f [u ( x)] thì yx' = fu' .u x'
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
( sin x ) ' = cos x
( cos x ) ' = − sin x
1
cos 2 x
1
(cot x) ' = − 2
sin x

( tan x ) ' =

( sin u ) ' = u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u

u'
cos 2 u
u'
(cot u ) ' = − 2
sin u

( tan u ) ' =

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 có hoành độ x0
có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân

3


- Vi phân của hàm số tại nột điểm:

df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )∆x

- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
- Vi phân của hàm số:

df ( x) = f '( x )dx

dy = y ' dx

hay

4/ Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’.
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
a ) un =
e ) un

( −1)

n

b) un =

2n 2 + 1

( −1)
=

n

sin 2n
n +1

2n
f ) un = n
3 +1

n +1

3

c ) un =
g ) un

n + cos 3n
n2 + n

( −1)
=

n +1

3

n

+

d ) un =
1

cos n
n n +1

h) un = n + 1 − n

5n +1

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
2n − 3n3 + 1
a ) lim
n3 + n 2

n3 + 3n − 2
b) lim
2n 2 + 1

4n 2 + n + 1
1 − 2n

e) lim

i ) lim un

với

f ) lim

un =

3n − 2.5n
3.5n − 4n

−3n + 2
c) lim 3
n + 2n − 1
g ) lim

1 + 2n − 3n5
d ) lim
(n − 2)3 (5n − 1) 2

3n − 4n + 1
2.4n + 2n

h) lim

4n 2 + 1 − 9n 2 + 2
2−n

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)

ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25

e) -1 f) -2/3 g) -1/2

h) 1 i) 1

Bài 3 : Tính các giới hạn sau:

a ) lim(3n 2 + n − 1)

(

e) lim 2.3n − 5.4n
h) lim

(

)

n2 − n + n

)

(

b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3)

c) lim 3n 2 + n sin 2n

f ) lim 3n 2 + 1 − 2n

g ) lim n 2 + 1 − n

4

)

d ) lim 3n 2 + n − 1

i ) lim

(

m) lim

3n 2 − 6n + 1 − 7 n

(

3

n3 + n 2 − n

)

)

k ) lim n

ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞
-1/2 l) -3/2 m) 1/3

(

n −1 − n

)

l ) lim

(

n 2 − 3n − n

)

e) - ∞ f) - ∞ g) 0

d) +∞

h) +∞ i) -∞

k)

Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n−1

a)

n−1

1 1 1
 1
1, − , , − ,...,  − ÷ ,...
2 4 8
 2

b)

1 1 1
1
1, , , ,...,  ÷ ,...
3 9 27
3

ĐS: a) 2/3 b) 3/2
∞
):
∞

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
a)
d)

− x3 + 5 x − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

b) xlim
→−∞

lim

x5 + 2 x 3 − 4 x
x →+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3

c)

5 x3 − x 2 + 1
x →−∞
3x 2 + x
lim

5x2 − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

lim

ĐS: a) -1/2

−3 x 3 + 2
2x +1

c) - ∞ d) -∞

b) -∞

x2 + 2 x − 4 x2 + 1
2 − 5x

f) xlim
→−∞

e) lim

e) 0 f) -1/5

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):

a)

lim (−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)

b)

x →−∞

d) xlim
→−∞

x 2 − 3x + 2

lim (− x 4 + x 3 + 5 x − 3)

x →+∞

e) xlim
→+∞

ĐS: a) +∞ b) - ∞

(

3x 2 + x − 2 x

)

c) xlim
→+∞

f) xlim
→−∞

c) + ∞ d) +∞ e) - ∞

(

4 x2 + x + 2
2x2 + x + x

)

f) + ∞

Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a) xlim
→3

−

x +1
x−3

b)

lim
x →4

1− x

( x − 4)

ĐS: a) - ∞ b) - ∞

2

c)

lim+

x →3

c) + ∞

2x −1
x −3

d)

lim+

x →−2

d) + ∞

−2 x + 1
x+2

e) 1

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng

5

0
):
0

e)

lim−

x →0

f) + ∞

2 x +x
x −x
2

f)

lim−

x →−1

3x − 1
x +1

x2 − 9
x −3
2
x + 2x − 3
lim 2
x →1 2 x − x − 1

a/ lim
x →3

f)

2− x
x+7 −3

lim
x →2

x 2 − 3x + 2
2− x

lim−

x →2

b/

ĐS: a) 6

x 2 − 3x + 2

x −1

lim
x →1

x2 − 9
x →3
x +1 − 2
x 2 − 3x − 4
n) xlim
→−1
x+5 −2

g)

b) -1

lim

c) -4

c)

x+3
x →−3 x 2 + 2 x − 3

d)

lim

h)

lim

2x +1 − 3
x −2

i)

lim

lim

x →4

x →1

x3 − 1
x2 − 1

e)

x + 2 −1
x+5 −2

x →−1

k)

d) 3/2 e) 4/3 f) -6

*Tìm giới hạn sau:
x + 1 − 3 2x + 1
x

a/ lim
x→0

e/ lim

4

x→0

3

b/ lim
x→1

1 + x 2 . 3x + 1 − 1
x

f/ lim
x→0

x −1
x−1

c/

1 − cos x. cos 2x
x2

12 
 1
− 3
÷
x→ 2  x − 2
x −8

d/ lim

lim 

g/ lim
x→0

7 + x2 − 3 + x2
x−1

3

x →1

2 1+ x − 3 8 − x
x

h/ lim
x →1

5 − x3 − 3 x2 + 7
x2 −1

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
a)

1 1

− 1÷

x  x +1 

lim

x → 0−

)

x
2 − x2

ĐS: a) -1

b) 0

(

lim− x 3 − 8

x →2

2x + 3
x2 − 1

lim+ ( x − 1)

b)

x →1

c) +∞

c)

lim+ x 2 − 9.

x →3

lim

x →+∞

lim

x →−∞

(

(

x2 + 1 − x

)

b)

x2 − x − x2 −1

ĐS: a) 0

b) 1

)

lim

x →+∞

(

c) 1/4

x2 + 2x − x2 + 1

)

c) xlim
→−∞

(

4x2 − x + 2x

sin 3 x
x →0
x

sin x sin 2 x
x →0
3x 2

lim

b)

ĐS: a) 3

b) 2/3

lim

c) 1

)

d)

d) 1/2

Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng

a)

d/

d) 0

Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)

2x +1
x −3

c)

1 − cos 2 x
x →0
x sin x

d)

lim

d) n!

* Tìm giới hạn của hàm số sau:

6

lim
x →0

sin x
=1)
x

sin x.sin 2 x....sin nx
x →0
xn

lim


a/ lim
x→ 0

1 − cos x
x2

b/ lim
x→ 0

2x − s inx

1







1

c/ lim
 x. sin x ÷d/ xlim
 x. sin x ÷
x→ 0
→+∞

1 − cos x





sin 3x

e/ lim
π
x → 1 − 2 cos x

g/

3

2 sin 2 x + sin x + 1
lim
2
π
x → 2 sin x − 3 sin x + 1

6

(x
lim

πx

1 − cos 2x
x

h) lim
x→ 0

2

+ 1998

)

7

x →0

( 5 − x ) tan
i/ lim
x →5
10

k/ lim
x →0

1 − cosxcos2 xcos3x
3x 2

1−
m/ lim
x→0

2x 2 + 1
1 − cos x

l/

1 − 2 x − 1998

x

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
 −4


khi x ≠ -2
khi x = -2

tại x0 = -2

b)

 x2 − 4 x + 3

f ( x) =  x − 3

5


khi x<3
khi x ≥ 3

tại x0 =

3
c)

 2 x 2 + 3x − 5

f ( x) = 
x −1

7


khi x > 1
khi x ≤ 1

tại x0 = 1

d)

 2 x 2 + 3x − 5

f ( x) = 
x −1
 10 − 3x


f)

 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x > 1
khi x ≤ 1

tại x0 = 1
e/

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2


khi x ≠ 2

tại x0 =

2

khi x = 2

khi x > 2
khi x ≤ 2

tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên
tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)

c)

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x − 2

1

 2 x 2 + 3x − 5

f ( x) = 
x −1
 10 − 3x



khi x ≠ 2

b)

khi x = 2
khi x > 1
khi x ≤ 1

ĐS: a) hsliên tục trên R ;
đọan tại x = 2.

d)

 1− x
2

f ( x) =  ( x − 2 )
 3


khi x ≠ 2
khi x = 2

x
khi x < 0


2

f ( x) = 
x
khi 0 ≤ x < 1
− x 2 − 2 x + 1 khi x ≥ 1


b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián

7


c) hsliên tục trên R ;
đọan tại x = 1.

d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián

 x 2 -1
f(x) = 
 3x + m

* Cho hàm số

,x ≥ 2
a/
,x<2

Tìm m để hàm số liên tục trên

¡

; b/ Vẽ đồ thị

hàm số với m vừa tìm được.
4 x 2 + 1 khi x ≤ −2

* Cho hàm số f ( x) = 2m + nx khi − 2 < x < 1
x − 5
khi x ≥ 1


a/ Tìm m ,n để hàm số liên tục trên

¡

; b/ Vẽ đồ thị hàm số với m,n vừa tìm được.

Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a)

c)

 x2 − x − 2

f ( x) =  x +1

a


 x+7 −3


f ( x) =  x − 2
 a −1


ĐS: a) a = -3

khi

x ≠ −1

khi

x = −1

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 2 d)

 3x 2 − 1
f ( x) = 
 2a + 1

khi x < 1

với x0 = -1

khi x ≠ 2
khi x = 2

b) a = 2

b)

 x2
f ( x) = 
 2ax − 3

c) a = 7/6

khi x ≥ 1

với x0 = 1

với x0 = 1

d) a = 1/2

Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a)

x4 − 5x + 2 = 0

có ít nhất một nghiệm.

b)

x5 − 3x − 7 = 0

có ít nhất một nghiệm.

c)

2 x3 − 3x 2 + 5 = 0

có ít nhất một nghiệm

d) 2 x3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x - 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g)

x3 + 3x 2 − 1 = 0

có 3 nghiệm phân biệt.

h)

( 1 − m ) ( x + 1)

+ x2 − x − 3 = 0

i)

m ( x − 1)

2

3

(x

2

3

)

− 4 + x4 − 3 = 0

ln có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.

ln có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.

* Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trò
của tham số:

8


a) m( x − 1)3 ( x − 2) + 2 x − 3 = 0

b) x 4 + mx 2 − 2mx − 2 = 0

c) a( x − b)( x − c) + b( x − c )( x − a ) + c( x − a )( x − b ) = 0
e) cos x + m cos 2 x = 0

d) (1 − m2 )( x + 1)3 + x 2 − x − 3 = 0
f) m(2 cos x − 2) = 2 sin 5 x + 1

g) x3 – 3mx2 +4(m-2)x + 1 – m = 0

* Chứng minh rằng phương trình: ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm x ∈

 1
 0; 3 

với a ≠ 0 và 2a + 6b + 19c = 0.
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)

y = x3

b) y = 3x 2 + 1

c)

d)

y = x +1

y=

1
x −1

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y =

x3 x 2
− + x −5
3 2

2)

2

y =  + 3x ÷
x


(

13) y =
16)

y=

19) y =

x
+3
2

3)

)

x −1

11) y =
14)

y = ( 2 x 2 + 1) ( x − 2 ) ( 3 x + 7 )

1
2
2 x + 3x − 5

17)

y=

x3 − 2 x
x2 + x + 1

20) y =

x 2 + 6x + 7

24) y = ( 2 x 2 + 3

2 4
5
6
− 2+ 3− 4
x x
x 7x

12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

2 x3

3x 4 + x 2

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

y=

5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)
6) y = ( x 2 + 5) 3
8) y = x (2 x − 1)(3x + 2)
9) y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3

4) y = 5x 2 (3x − 1)
7) y = ( x 2 + 1)(5 − 3x 2 )
10)

y = 2x 5 −

22) y =

)

x −1

15)

y=

2x2 − 5
x+2

18)

y=

− x2 + 7x + 5
x 2 − 3x

21)

x −1 + x + 2

x 2 − 2x + 3
2x + 1

23) y =

3

9

1+ x
1− x


25)

(

y = x2 + x

)

3

26) y =

+ x3 − 2 x

x (x2- x +1)

27)

3


x 
y =  2 x 2 + 3 x −
÷
x−2÷



Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2) y = cos (x3)

1) y = 5sinx – 3cosx

4) y = (1 + cot x ) 2
sin x + cos x

8) y = sin x − cos x
12)

y = 3 sin 2 x. sin 3x

13)

y = 2 + tan 2 x

5) y = cos x. sin 2 x

6)

π

9) y = cot 3 (2x + 4 )
14)

1

10)

Bài 4: Cho hai hàm số :

f ( x) = sin 4 x + cos 4 x

Bài 5: Cho

ĐS: a)

f '( x ) = g '( x)

y = x 3 − 3x 2 + 2

x < 0
x > 2


y=

g ( x) =

y=

x
2

y = cot 3 1 + x 2

16) y = sin 4 p - 3 x

sin x
x
+
x
sin x

20)

y = 1 + 2 tan x

1
cos 4 x
4

(∀x ∈ ℜ) .

. Tìm x để:

b) 1 −

19)

và

11)

15) y = sin(2sin x)

x sin x
1 + tan x

18)

7) y = sin 4

y = sin 2 (cos 3 x)

cos x 4
+ cot x
3sin3 x 3

y=−

17) y = (1 + sin 2 2 x ) 2

Chứng minh rằng:

3) y = x.cotx
1
y = cos x − cos3 x
3

a) y’ > 0

b) y’ < 3

2 < x < 1+ 2

Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.

b) f(x) =

3 sin 4x − cos 4x − 4x + 10

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
Bài 7
1. Cho

f ( x ) = sin 2 x − 2 cos x .

2. Cho

f ( x ) = cos 2 x + sin x .

3. Cho

f ( x ) = cos 2 x − 2 3 cos x .

4. Cho hàm số

y=

Giải phương trình

Giải phương trình

1
cos2x
2

f '( x) = 0 .

f '( x) = 0 .

Giải phương trình

+3sinx +

3 .Giải

10

f '( x) = 0 .

phương trình y’ = 0.


f ( x) =

5. Cho
6. Cho

2 cos17 x
3
cos 5 x
−
sin 5 x +
+2.
17
5
5

 x −1 
2

f ( x) = 
÷.cos x .
 2 

Giải phương trình

Tìm f’(x) và giải phương trình:

f '( x) = 0

f ( x ) − ( x − 1) f ' ( x ) = 0

7. Cho y = tan x + cotx . Giải phương trình y’ = 0
f ( x ) = 2 cos 2 ( 4 x − 1) . Chứng

8. Cho
9. Cho

f ( x) =

10.

Cho

11. Cho

s in3x
cos 3x 

+ cos x − 3  sin x +

÷+ 2
3
3 


f ( x ) = 20 cos 3 x + 12 cos 5 x − 15cos 4 x .
f(x) = 1 + x. Tính :

Bài 9: a) Cho hàm số:
b) Cho hàm số y =
c) Cho hàm số

x−3
x+4

y=

x2 + 2x + 2
.
2

y = 2x − x 2

Bài 11: Cho hàm số

phương trình:

Giải phương trình

f '( x) = g ( x)

f '( x) = 0

f(3) + (x − 3)f '(3)

Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

. Chứng minh rằng: y3 y"+ 1 = 0
f '( x ) > 0

∀x ∈ ℜ ,

2 9
x − x 6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1
3
y=

f '( x) = 0

. Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’

Bài 10: Chứng minh rằng
f ( x) =

. Giải phương trình

f ( x ) = sin 3 2 x; g ( x ) = 4 cos 2 x − 5sin 4 x. Giải

Bài 8: Cho hàm số

a/

f '( x) ≤ 8

minh:

x2 + x
x−2

biết:

b/

f ( x ) = 2 x + sin x

(C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng d: y = - x + 2.
Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số :

y = x3 − 5 x 2 + 2 .

Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2).b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.

11


1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 7 x – 4.
Bài 14: Cho đường cong (C): y =
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

3x − 2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2
1
c) Biết tiếp tuyến
3

b) Tại điểm có tung độ bằng

đó có hệ số góc là −4
Bài 15: Tính vi phân các hàm số sau:
a)

y = x 3 − 2x + 1

b)

x
2

y = sin 4

c)

d)

y = x 2 + 6x + 7

y = cos x. sin 2 x

e)

y = (1 + cot x ) 2

Bài 16: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x +1
x−2

1)

y=

5)

y = x 2 sin x
y '' =

ĐS: 1)
y '' =

5)

(x

2)
6)
6

( x − 2)

3

y=

2x +1
x + x−2

x

3) y = x 2 − 1

2

y = (1 − x 2 ) cos x

2)

y '' =

7) y = x.cos2x

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

4)

+ x−2

)

3)

3

y = x x2 + 1

8) y = sin5x.cos2x
y '' =

(

2 x x2 + 3

(x

2

)

−1

3

)

4)

2 x3 + 3x

)

+1

2

(

x2 + 1

)

y '' = 2 − x 2 sin x + 4 x cos x

6)

y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 17: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:a)

y=

d) y = cosax ( a ≠ 0 )

1
x +1

b) y = sinx ; c) y = sinax

B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 .

12


rr

r r

• Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a
• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc (

hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).

a ⊥ b ⇔ a ⊥ b'

với b’ là

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).

13

- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm
thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).

14

- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ⊥ (ABCD). Chứng
minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB).
b) SD ⊥ DC.,SC ⊥ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ AD.
b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD =
a 2.
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên
mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm ∆BCD.
b) AC ⊥ BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện
vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC =
a 3 , SA ⊥ (ABCD).

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

15


b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA
K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.

⊥ (ABCD)

. Gọi H,

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh SC ⊥ (AHK).
c) Chứng minh HK ⊥ (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC =
a, SA ⊥ (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAI).b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và
SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
SA và BC.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. SA ⊥ (ABC) và
SA = a, AB = a; AC = a 3 .Gọi H là trực tâm tam giác ABC
a) Chứng minh rằng SC ⊥ AH ; Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).Tính khoảng cách

từ điểm A đến mp(SBC).
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường
thẳng AB và AC.
1. CMR: BC ⊥ (OAI).
2. CMR: (OAI) ⊥ (OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a /

3

16


5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).
ĐS: cos α =

6/3

6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC).
ĐS:

tan ϕ = 2

7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng
cách giữa hai
đường ấy.

a/ 2

ĐS:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = a 2 .

SA ⊥ (ABCD)

và

1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) .
3. Tính góc
ĐS: α = 450 , β = 300

α

giữa SC và mp (ABCD), góc

4. Tính tang của góc
ĐS: tan ϕ = 2

ϕ

β

giữa SC và mp (SAB).

giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A
đến mp (SCD).
ĐS:

a 6/3

6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng
cách giữa hai
đường thẳng ấy.

ĐS:

a/ 2

7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS: SI = a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
0
·
SA = SB = BAD
SD = =a 60
3/2

và

. Gọi H là hình chiếu của S trên AC.

1. CMR: BD ⊥ (SAC) và

SH ⊥ (ABCD) .

2. CMR: AD ⊥ SB .
3. CMR: (SAC) ⊥ (SBD).

17


4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.
SC = a 7 / 2
5. Tính sin của góc
ĐS:

sin α = 3 / 3

α

và

ĐS:

SH = a 15 / 6

và

giữa SD và (SAC), côsin của góc β giữa SC và (SBD).
cos β = 3 / 14 .

6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).

ĐS: a 10 / 12
7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD).
ĐS: tan ϕ = 5
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng
cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS:

a 3/3

9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI.
ĐS:

3 15a / 20

·
ADC
= 450

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và
.
Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a

2

.

1. CMR: BC ⊥ mp(SAB).
2. CMR: CD ⊥ SC .
3. Tính góc

(SAC).
ĐS:

α

giữa SC và (ABCD), góc

β

giữa SC và (SAB), góc

γ

giữa SD và

α = 450 , β = 300 , tan γ = 2 / 2

4. Tính tang của góc

ϕ

giữa mp(SBC) và mp(ABCD).

ĐS:

tan ϕ = 2

5. Tính khoảng cách giữa SA và BD.

ĐS:

2a / 5

6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

ĐS:

2a / 7

7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.
Từ đó tính MS và NS.

ĐS:

MS = a , NS = a 6 / 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác
ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD ⊥ (ACC'A ') và A’C ⊥ (BDC') .

18

2. CMR:

A 'C ⊥ AB' .


3. CMR: (BDC’) ⊥ (ACC’A’) và (MNC’) ⊥ (ACC’A’).
cách từ C đến mp(BDC’).
ĐS: a / 3

4. Tính khoảng

5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).

ĐS:

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’).

ĐS:

3a / 17

tan α = 2 2 / 3

7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD).

ĐS:

tan β = 2

8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’).

ĐS:

cos ϕ = 7 / 51

9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.
a 3/3

19

ĐS: