Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (64)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010-2011
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
A.LÝ THUYẾT
I/ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH.
1. Dãy số
• Hiểu được các khái niệm: dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm;
• Nắm được các cách cho dãy số, các phương pháp đơn giản khảo sát tính tăng, giảm
của dãy số và biết chứng minh dãy số bị chặn.
2. Cấp số cộng, cấp số nhân
• Nắm vững các khái niệm, tính chất của CSC, CSN;
• Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng
đầu tiên của một cấp số cộng, một cấp số nhân;
• Nhận biết được CSC, CSN; biết cách tìm số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu
tiên của một cấp số cộng, một cấp số nhân và một số bài toán liên quan khác.
3. Giới hạn của dãy số
• Nắm vững các định nghĩa, định lí và một số giới hạn thường gặp;
• Biết tìm giới hạn của dãy số (có giới hạn 0, giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực) và
biết tính tổng của một CSN lùi vô hạn.
4. Giới hạn của hàm số
• Nắm vững các định nghĩa, định lí (giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực,
giới hạn vô cực, giới hạn một bên); các dạng vô định (giới thiệu trong sgk);
• Biết tìm giới hạn (hữu hạn, vô cực, giới hạn một bên) của hàm số.
5. Hàm số liên tục
• Nắm được định nghĩa của hàm số liên tục
• Biết chứng minh hàm số liên tục (tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn)


• Hiểu định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học
của định lí này, biết áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương
trình.

6. Đạo hàm
• Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của các hàm số thường
gặp, hàm hợp);
• Biết vận dụng tốt các quy tắc để tính được đạo hàm (tại một điểm, trên một
khoảng), viết phương trình tiếp tuyến (tại điểm, đi qua điểm) và một số bài toán
liên quan khác.
II/ HÌNH HỌC.
1. Định nghĩa: Nắm được các khái niệm: Đường thẳng song song, đường thẳng chéo
nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng; hai mặt phẳng song song; ba véctơ đồng
phẳng, góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc
mặt phẳng; hai mặt phẳng vuông góc; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa
hai mặt phẳng.
2. Nêu: Vị trí tương đối của 2 đường thẳng; Định lý Ta-lét; Định lý ba đường vuông góc,
tính chất về quan hệ song song, tính chất về quan hệ vuông góc; mối quan hệ giữa tính
song song và tính vuông góc; ứng dụng của tính vô hướng, phân tích một véc tơ theo
ba véc tơ không đồng phẳng trong không gian.
3.Dạng bài tập: (Biết cách)
a. Chứng minh:
+ Hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt
phẳng song song.
+ Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt
phẳng vuông góc.
b. Tìm: Giao điểm, giao tuyến, tìm (xác định) thiết diện.
c. Tính: Góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
d. Một số dạng toán khác liên quan.


B. BÀI TẬP
CHÚ Ý: Các bài tập sau được lấy làm đề thi vấn đáp và là dạng bài tập thi học kỳ.
- Các bài tập trong SGK (giải tích và hình học) xem lại.

- Làm các BT sau trong SBT GT 11: Bài: 3.1 -> 3.5 (Tr 112-113); 4.1 -> 4.9 (Tr120121); 1.5, 1.6, 1.11, 1.12, 1.13 (Tr148 - 149); 2.5->2.7 (Tr 158 - 159); 3.5 -> 3.11 (Tr
164-165); 1, 2 (Tr 165); 8, 9 (Tr166); 13, 14 (Tr167);
Bài: 2.1 -> 2.18 (Tr 197-198); 3.1 -> 3.40 (Tr 200-203).
- Làm các BT sau trong SBT HH 11: Bài: 2.17 -> 2.19 (Tr 68); 2.24 -> 2.26 (Tr 74); 3.8
-> 3.15 (Tr 127-128); 3.18 -> 3.20 (Tr 134); 3.26 -> 3.31 (Tr 140); 3.33 -> 3.40 (Tr 149).
- Một số bài tập làm thêm.
I. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH.

Bài 1: Cho cấp số nhân có

U 4 − U 2 = 72

U 5 − U 3 = 144

a). Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số nhân trên.
b). Số 96 có là một số hạng của CSN trên không? Nếu có thì nó là số thứ mấy?
Bài 2:
a. Một hội trường có 15 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn mỗi
dãy ghế trước 10 ghế và dãy sau cùng có 280 ghế.
Hỏi hội trường có bao nhiêu ghế ngồi?
b. Tìm 3 số liên tiếp của CSN biết rằng khi cộng thêm 24 vào số thứ hai cấp số đó
trở thành CSC và nếu cộng thêm 432 vào số thứ ba của CSC thì cấp số trở thành CSN
mới;
c. Các số a, b, c phải thoả mãn điều kiện gì để theo thứ tự đó chúng lập thành CSC
và cấp số nhân;
Bài 3. Tìm x biết

1
7
+ x + x 2 + ... + x n + ... = ;

x
2

và |x| < 1.

Bài 4. Tìm giới hạn của dãy số sau:
a.

2n − 3n
lim n
2 +1

;

b. lim(

n +1 + n) ;

c.

lim( n + 1 − n ) ;


d. lim

1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n
.
1 + 5 + 52 + ... + 5n

1

1

1

e. lim Un, biết rằng U n = 1.4 + 2.5 + ... + n(n + 3)

Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a.

−3x 5 + 7 x 3 − 11
;
x →−∞
x5 + x 4 − 3x

d.

lim

h.

b.

lim

x →−∞

lim
x →1

4 x2 − x + 1
;
x +1

2x −1
( x − 1) 2

−3x 5 + 7 x 3 − 11
;
x →−∞
x 4 − 3x
lim

e.

lim−

x →−3

x2 − 6
;
9 + 3x

c.

−3x 4 + 7 x 3 − 11
;
x →+∞
x5 + x 4 − 3x
lim

g.

lim+

x →−1

2x −1
;
3 + 3x

.

Bài 6: Tìm các giới hạn sau:
a.

x 2 − 3x + 2
lim
;
x → 2 ( x − 2) 2

b.

lim

2 x 2 − 3x + 1
;
x3 − x 2 − x + 1

c.

d.

( x − 1) 2 (7 x + 2) 2
;
x →−∞
(2 x + 1) 4

e.

(3 x 2 + 1)(5 x + 3)
;
x →−∞ (2 x 3 − 1)( x + 1)

f.

g.

lim

x →1

lim

lim ( x 2 − x + 3 + x) .

x →±∞

Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
lim

a.

x →−1 4

d.

lim

3
x →2

x +1
;
x + 17 − 2
10 − x − 2
;
x−2

b.
e.

lim
x →1

x3 − 3x − 2
x −1

lim
x →1

; c.

lim
x →1

x n − nx + n − 1
;
( x − 1) 2

x + x 2 + x 3 + ... + x m − m
.
x + x 2 + x 3 + ... + x n − n

Bài 8: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
a.

 x 2 + 3x + 2nếu x ≠ -2

f ( x) =  x + 2
m + 1
nếu x = -2. (với m là tham số)


b.

 x 2 − 2 x − 3nếu x ≠ 3

f ( x) =  x − 3
m + 2

nếu x = 3. (với m là tham số)


Bài 9: Chứng minh rằng phương trình:
a. 2 x3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt;
b. x 3 + 6 x 2 + 9 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt;

3x 2 − 5x + 1
;
x →+∞
x2 − 2
lim

lim ( x 2 − 4 x − x);

x →+∞


c. Chứng minh rằng phương trình

2 x + 63 1 − x = 3

có ít nhất một nghiệm thuộc (-7, 9).

Bài 10: Chứng minh phương trình:
a. (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m;
b. (1 - m2)(x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m;
c. m(x - 1)3(x2 - 4) + x4 - 3 = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham
số m;
Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a.

2
y = ( + 3 x)( x − 1) ;
x

d.

y=

1 − 2 x + 3x 2
x+2

b.

;

e.

y = ( x 4 + 3 x 2 − 3x )(2 x − x 3 );
y = cos

1
x2

c.

y = (2 − x 2 ) x 2 + 1 ;

;

g.

y=

sin x + cos x
.
x2 + 2

Bài 12: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a.

2
y = ( + 3 x)( x − 1) 2 ;
x

b.

y = x+ x+ x

Bài 13: Tính đạo hàm các hàm số sau: a. y =
c. y = (x2 - 1)6;

d. y =

Bài 14: Cho hàm số: f(x) =

1 1
+
2 2

x −1
cos 2 x .
2

; c.

y = (a +

x 2 + x +1
2x − 3

b c 4
+ )
x x2

;

1 1 1 1
+
+ cos x
2 2 2 2

với a, b, c, d hằng số.

b. y = cos4(2x - π /3) ;
;

x ∈ ( 0; π/2).

Tìm x thoả mãn f(x) - (x - 1) f '(x) = 0 .

Bài 15: Chứng minh rằng: f'(x) = 0 với mọi x ∈ R.
a. f(x) = 3(sin4x + cos4x) - 2(sin6x + cos6x);
b.

π
π
π
3π
f ( x) = cos ( x − )cos( x + ) + cos( x + )cos ( x + ) .
3
4
6
4

Bài 16: Cho hàm số y =

x2 + 4 x + 5
x+2

(C)

a. Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 18: Cho đồ thị (C) y = x2 - 2x + 2 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong
các trường hợp sau:


a. Tại điểm có hoành độ x = 3;

b. Biết tiếp tuyết song song với đường thẳng: 2x - y + 2009 = 0 ;
c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

1
x;
6

d. Biết tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 450;
e. Biết rằng tiếp tuyến đi qua A (4, 0).
Bài 19: Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 3mx + 4 (Cm)
a. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.
b. Tìm điểm cố định của C(m) khi m thay đổi.
c. Từ M(0, 4) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với C 0, viết các phương trình tiếp
tuyến đó.
II. HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua
trọng tâm G của tam giác ABC đồng thời song song với mặt phẳng (DBC).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. O là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. (P) là mặt
phẳng qua O và song song với AB và CD. Xác định thiết của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng
(P).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trong tâm của tam giác ABC, BCD,
CDA. Chứng minh rằng: a. MN//(ABD), NP//(ABC). b. (MNP)//(ACD).
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AD, AA', B'C'. Chứng minh: (MNP)//(A'C'D).
Bài 5: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ trong không gian. CM:

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB.DC + BC.DA + CA.DB = 0 .

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi K, I là tâm của hình vuông ADD'A' và

DBB'D'.
Chứng minh rằng:

uuur uur uuuuur
AK , KI , B ' C '

đồng phẳng.

Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 8: Cho hai tam giác đều ABC và ABC' trong không gian có chung cạnh AB và nằm
trong hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh: AB vuông với CC'.


Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA'.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có SA=SB=SC=AB=AC=a, BC =

a 2.

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 11: Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB⊥AC, AB⊥BD gọi P, Q lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Chứng minh: AP⊥PQ.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SA=SC, SB=SD.
Chứng minh rằng: SO⊥(ABCD), AC⊥(SBD).
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. I, K lần lượt là trung điểm của
AB, BC.
Chứng minh rằng: IK⊥(SBD), AC⊥SD.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA⊥(ABCD).
a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông, BC⊥(SAB).
b. I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. CMR: SC⊥(AIK).
Bài 15: Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ diện

vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và đường chéo
BD=a cạnh SC =

a 6
2

vuông góc với mặt phẳng (ABCD). CMR: (SAB) ⊥ (SAD).

Bài 17: Cho hình tứ diện ABCD có AB⊥(BCD), tam giác BCD vuông tại C. CMR:
(ABC) ⊥ (ACD).
Chú ý:
- Khi vào thi vấn đáp học sinh được chuẩn bị bài ra giấy thi khoảng 10 - 15
phút;
- Một đề vấn đáp thông thường gồm hai phần bài tập: Đại số, giải tích + Hình
học;
- Phần hỏi thêm ngoài BT trong đề là: Lý thuyết trong phần đề cương hoặc BT
khác.
---Hết---