Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (66)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
MÔN: TOÁN LỚP 11
A. GIẢI TÍCH
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a)
e)
i)

lim−

x2 − 4x
x −3

lim+

2x +1
x −3

f)

lim−

x2 − 4x
x −3

j)

x →3

x →3

x →3

b)

x2 − 5x + 2
4− x

lim−

x →4

lim+

2x +1
4− x

g)

lim−

x2 − 5x + 2
4− x

k)

x →4

x →4

c)

lim+

x →1

7x − 3
x −1

lim−

−3
x −1

h)

lim+

7x − 3
x −1

m)

x →1

x →1

d)

x2 − 4 x

x → 2 ( x − 2) 2

lim

x+2
x →1 ( x − 1) 2

lim

x2 − 4 x
x → 2 ( x − 2) 2

lim

Bài 2: Tính các giới hạn sau
a)

lim

x2 − x
x →∞ 3 x − 2

e)

lim

x2 − x
x →∞ 3 x 2 − 2 x + 1

b)

lim

x+2
x →∞ 4 − 3 x

f)

lim

x2 − x + 3
x →∞ x 3 − 2 x + 1

c)

lim

−3
x →∞ x − 1

d)

lim

2x2 − x + 1
x →∞ ( x − 2) 2

g)

lim

4x − 3
x →∞ 2 x − 1

h)

lim

x+2
x →∞ −1 + 2 x

Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1)
4)

lim+

x →2

lim+

x →2

x − 15
x −2
x2 − 4
x−2

2)
5)

lim+

x →2

x − 15
x −2

lim−

x →2

2− x
2 x 2 − 5x + 2

3)
6)

lim−

x →2

1 + 3x − 2 x 2
lim
x −3
x →3+

2− x
2 x 2 − 5x + 2

Bài 4:Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

4)

lim

x →1

x →3

7)

x3 − x2 − x + 1
x 2 − 3x + 2
x3 − 5x 2 + 3x + 9
x 4 − 8x 2 − 9

x 2 + 2 x − 15
lim
x →−5
x+5

2)

lim

x2 − 4

x →−2

− x 3 + x 2 − 12

x − 5x 5 + 4 x 6

5)

lim

8)

x3 −1
lim
x →1 x ( x + 5) − 6

x →1

(1 − x )2

-1-

3)

lim

x →−1

x3 + 1

x 2 + 3x + 2

6)

x 2 + 3x − 4
x → −4
x 2 + 4x

9)

x 3 + 3x 2 + 2 x
x → −2
x2 − x − 6

lim

lim


x2 − 4 x + 3
x−3

10)

lim

13)

− x 2 − 3x + 4
lim

x →−4
x+4

16)

lim

19)

x3 − x 2 + x − 1
lim
x →1
x −1

22)

− x 2 − 3x + 4
x →−4
x+4

x →3

x3 − 8
x2 − 3x + 2

x →2

lim

11)

x2 − x − 2
x →−1 x 3 + x 2

x3 − x 2 + x − 1
x −1

12)

lim

14)

x3 − 8
lim 2
x →2 x − 3 x + 2

15)

− x 2 − 3x + 4
lim
x →−4
x+4

17)

lim

x2 − 4 x + 3
x−3

18)

x2 − x − 2
x →−1 x 3 + x 2

lim

x →3

20)
23)

lim
x →2

x →1

lim

x + x3 + x 2 − 3
lim
x →1
x −1

lim

21)

x →1

x4 −1
x3 − 2x2 + 1

x3 − 8
x2 − 3x + 2

Bài 5: Tìm các giới hạn sau
x2 + 5 − 3
.
x−2

1)

lim

4)

lim
x →3

2 x + 10 − 4

7)

lim

x−2 −2
x−6

x →2

x−3

x →6

10)

lim

5+ x − 5− x
x

13)

lim

1 − 3x + x 2 − 1 + x
x

x →0

x →0

2) lim
x →7

4

x+9 −2

x−7

3)

x 3 − 3x − 2
x −1

6)

3x − 2 − 4 x 2 − x − 2
x →1
x 2 − 3x + 2

9)

5)

lim

8)

lim

x →1

11)

lim
x →0

1+ x − 1− x
x

14)

lim
x →0

12)

5− x

x +7 −3

x →2

x →1

x →5

5− x

x +2 −2

lim

lim

lim

2 x − 3x + 1
x2 −1

lim
x →1

2x − 1 − x
x −1

1+ x − x2 + x + 1
x

15)

3x − 2 − 4 x 2 − x − 2
lim
x →1
x 2 − 3x + 2

16)

lim

4 − x2
x+7 −3

17)

lim

4x +1 − 3
x−2

18)

lim

19)

lim

2 x + 2 − 3x + 1
x −1

20)

lim

x+2 −2
x +7 −3

21)

x + 3 − 2x
x →−3
x 2 + 3x

3)

lim

x →2

x →1

x →2

x →2

x→6

x +3 −3
x−6

lim

Bài 6:Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

x →+∞

x2 + 1
2x2 − x + 1

2)

2x2 − x + 1
lim

x →±∞
x −2

-2-

x →+∞

2x2 + 1
x3 − 3x 2 + 2


4)
7)

lim

x2 + 2x + 3 + 4 x + 1

x →±∞

lim

x →−∞

5)

4x2 + 1 + 2 − x

(2 x − 1) x 2 − 3

8)

x − 5x 2

4x2 − 2x + 1 + 2 − x

lim

6)

9 x 2 − 3x + 2 x

x →±∞

x 2 + 2 x + 3x

lim

4x2 + 1 − x + 2

x →+∞

9)

x x +1

lim

x2 + x + 1

x →+∞

x 2 − 5x + 2
lim
x →−∞ 2 x + 1

Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
1)

 x3 + 2 x − 3

f (x) =  x − 1
 −1

khi x ≠ 1 taïi x = −1
khi x = 1

2)

 x+3−2
khi x ≠ 1

f (x) =  x − 1
taïi x = 1
1

khi x = 1
 4

 2 − 7 x + 5x 2 − x3


khi x ≠ 2 taïi x = 2
3) f ( x) =  x 2 − 3x + 2
1
khi x = 2

 x−5
khi x > 5

f (x) =  2 x − 1 − 3
taïi x = 5
2
( x − 5) + 3 khi x ≤ 5


5)

 x −1

f (x) =  2 − x − 1
 −2 x

khi x < 1

4)

taïi x = 1

6)

khi x ≥ 1

 2x +1 − 5

f ( x) = 
x−2
3x − 4


khi x < 2
khi x ≥ 2

tại x =

2
Bài 8: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a)

 2
f (x) =  x
2mx − 3

khi x < 1
khi x ≥ 1
khi x = 0

c)

m
 x 2 − x − 6

f (x) = 
 x ( x − 3)
 n

taïi x = 1

b)

 x3 − x2 + 2 x − 2

f (x) = 
x −1
 3 x + m

khi x ≠ 0, x ≠ 3 taïi x = 0 vaø x = 3

d)

khi x = 3

khi x ≠ 1 taïi x = 1
khi x = 1

 x2 − x − 2

f ( x ) =  x − 2 khi x ≠ 2 taïi x = 2
 m
khi x = 2

Bài 10: Tìm đạo hàm của các hàm số sau

a) y = 2 x3 − 3x 2 + 5 x − 1

b)

y=

x3 x 2 x 1
− + −
3 2 5 4

-3-

c)

y=

3 2
1
− 2 + x−
3
x x
4


d) y = (3x 2 − x + 1)(4 − 5 x)

e)

4x − 5
1 − 2x

y=

 1 − 3x 
y = (2 x + 1) 
÷
 4− x 

g)

y=

j)

y=

m)

(

( 4x

2

− 3 x + 10 )

5

)

−3

y=

h)

f)

i)

5x2 + 4 x − 7
3
x2

3x 2 − 5 ( −2 x 2 + 15 )

k)

y = ( 3 x 2 − 5 x + 1) −

y = ( x 2 − 3 x + 3)( x 2 + 2 x − 1)

n)

y = ( x 2 − 3x + 2)( x 4 + x 2 − 1)

x2 +1
p) y = 2
x +2

10

q) y = (1 − 2 x

Bài 11: Tìm đạo hàm tại điểm
a) y = 4 x3 − x 2 + 4 x − 3
3 x2
1
− + 4x −
3
x
2
3

c)

y=

e)

 4x − 5 
y =
÷
 1− 2x 

tại

y=
y=

l)

x2 − 4x + 1
2x +1

( 3x

o) y = (

5

2

+ x − 4)

x + 1)(

1
x

 2x + 1
r) y = 

 x −1 

2 5

)

3

− 1)

3

x0
x0 = 1 ,

b)

y=

tại

x0 = 2 ,

d) y =

tại

x0 = 0

f)

2

2 x3 2 x
− 2 + −1
3
x 5

(3 x 2 − x + 1) 2

tại

x0 = −2

tại

1+ x 
y =
÷(1 + 2 x)
1− x 

x0 = −1

tại

x0 = −3

Bài 12: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)

π

y = cot  2 x − ÷
5


d)

y = sin 3 ( x 2 − 7 x + 2 )

g)

2x
2
y = sin
+ cot
3
x

j)

y = tan ( 3 x − 1) .cos 2 x + 1

m)
y=

b)

 x 2π 
y = tan  +
÷
2 3 

e)

y = tan x 2 + 1

h)

y=

k)

3
sin(− x) + cot x

y = cot

5

cot ( 2 x − 1)
y=
cos x 3

( sin x + cos x )

c)

y = 2sin x 2 + cos2 x − 1

f)

y = cos 2 3 x + 1

i)

sin 2 x3
y=

cos4 x

l)

3 − 5x

y=

−5
3
x
sin
+ cos
2x
5

5

n)

3

-4-

x

y =  sin 2 x − cot ÷
2


o)


Bài 13: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
a)

y=

5x + 3
4 − 2x

và có hệ số góc là

y=

5 + 2x
1 − 4x

tại điểm có hoành độ bằng -3

bằng 2
c)

13
8

b)

Bài 14: Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a) Tung độ tiếp điểm bằng

y=–x+3

5
2

d)
y =

3x − 2
x −1

y=

y=

3x − 3
x2 −1

1− 4x
7x − 2

tại điểm

 −3 
A 1; ÷
 5 

biết :

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 4
Bài 15: Lập pttt với (C): y=

tại điểm có tung độ

x4
9
-2x 2 4
4

d) Tại điểm M(0; 2)

tại giao điểm của (C) với Ox.

Bài 16: Lập pttt với (C): y=2x 3 + x 2 − 3 tại giao điểm của (C) với Oy
Bài 17: Cho hàm số y= x3 -3x+1,Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm
x= -2
Bài 18: Cho hàm số (C):y = x 2 − 2 x + 3
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ -1
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 0
c) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
2.
Bài 19: Cho hàm số

y = f ( x) =

−2 x + 3
x +1

có đồ thị là (C). Viết pttt của (C)

a)

Tại điểm có hoành độ bằng 0.

b)

Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = -5x + 2013.

c)

Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = 5 x + 10 .

4

Bài 20: Cho hàm số
a)
22.

y = − x3 + 3x 2 − 1

Tại điểm có hoành độ

có đồ thị (C). Viết pttt của (C) .
x0 = −1 .

d) TT song song với đường thẳng d:y = 3x +

-5-

y0 = −1 .

b)

Tại điểm có tung độ

c)

TT vuông góc với đường thẳng d:- x + 9y – 18 = 0.
y = f ( x) =

Bài 21: Cho hàm số

2 − 3x
2x +1

có đồ thị là (C). Viết pttt của (C)

a)

Tại điểm có hoành độ bằng 1.

b)

Biết TT vuông góc với đường thẳng d:

1
y = x + 13 .

8

y = x3 − 3x 2 + 3x − 5

Bài 22: Cho hàm số

a) Giải bất phương trình : y’ < 3 .

b) Viết PTTT của đồ thị tại A( 1; -4)

y = 2 x3 + 3x 2 − 1

Bài 23: Cho hàm số

a) Giải bất phương trình : y’ < 0 .
b) Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung .
1
y = x3 − 2 x 2 + 4 x − 1
3

Bài 24: Cho hàm số

≥

a) Giải bất phương trình : y ’

0.

b) Viết PTTT của đồ thị biết hoành độ tiếp điểm x = 1 .
c) Viết PTTT của đồ thị biết hệ số góc bằng 4 .

1
y = − x4 + 2 x2 + 2 x − 1
4

Bài 25: Cho hàm số

a) Giải bất phương trình : y’
b) Tính y(2),

≥

-2

y ( 2)

Bài 26: Cho hàm số

y = x3 − 3x 2 + 3x − 5

a) Giải phương trình : y’ = 0 .
b) Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung .
Bài 27: Cho hàm số

y = 2 x4 + 4 x2 −1

a) Giải bất phương trình : y’ > 0 .
b) Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục hoành .
Bài 28;. Cho hàm số

1

y = x3 − 2 x 2 + 4 x − 1 .
3

Giải bất phương trình : y’- x -10 ≥ 0 .

-6-


B. HÌNH HỌC
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB,
SC, SD.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt ( SAB); CD vuông góc với mặt phẳng
(SAD); BD vuông góc với mặt phẳng (SAC)
b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng
AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc
với AI
Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA = SC và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi BE, DF là hai
đường cao của tam giác BCD; DK là đường cao của tam giác ACD.
a)Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC);
b) Gọi O và H lần lượt là trực trâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh OH
vuông góc với mặt phẳng (ADC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân
tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng:
a)BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB).

phẳng (ABCD)

b)SI vuông góc với mặt

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AC = a 2; SA = a .
a/ CMR:

( SBC ) ⊥ ( ABC ) .

SA ⊥ ( ABC ) ,

b) Tính góc giữa 2mp (ABC) và (SBC).

Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC,
AB = a; SH =

a
.
6

a/ CMR:
(ABC).

Lấy E là trung điểm BC.

BC ⊥ ( SAE ) .

c) Tính góc giữa 2mp(SAB) và

b/Tính góc giữa đường thẳng SE và mp(ABC).
-7-


Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có

AB = a , SA =

a 3
2

, O là giao điểm của AC và

BD
a/ CMR:

SO ⊥ ( ABCD )

c) Tính góc giữa 2mp (SBC) và (ABCD)

b/ CMR: ( SAC ) ⊥ ( SBD )
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
a) CMR:

SA ⊥ ( ABCD ) ; SA =

a 6
3

BC ⊥ ( SAB )

b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. CMR:

BC ⊥ ( AMN )

c) CMR: ( SAD ) ⊥ ( SCD ) ; ( SAB ) ⊥ ( SBC ) .
d) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (ABCD)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA = SC , SB =
SD. CMR :
a) SO ⊥ ( ABCD)

b)

AC ⊥ SD

Bài 10: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và
a) CM:

BC ⊥ ( SAB ) suy

ra

SA ⊥ ( ABC ) .

BC ⊥ SB

b) Gọi M, N là hình chếu vuông góc của A trên SB, SC , MN cắt BC tại I .
CM :
c) CM :

AM ⊥ ( SBC )

;

SC ⊥ ( AMN )

AI ⊥ SC

Bài 11:Cho tứ diện ABCD có CA = CB , DA = DB .
a) CM :

AB ⊥ CD

b) Vẽ

-8-

AH ⊥ CD , H ∈ CD . CM : CD ⊥ ( ABH )