Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (70)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I NĂM 2014– 2015
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ
MÔN: TOÁN LỚP 11
A. Kiến thức cơ bản
1. Lượng giác
- Phương trình lượng giác cơ bản; bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
- Phương trình lượng giác dạng asinx +bcosx = c;

asin 2 x + b sin x cos x + ccos 2 x = d

- Phương trình lượng giác dùng công thức lượng giác để đưa về tích các phương trình
lượng giác đã học.
2. Tổ hợp – Xác suất
- Quy tắc đếm; hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp.
- Nhị thức Niutow
- Tính xác suất
- Các quy tắc tính xác suất
3. Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân
- Cấp số cộng
4. Phép biến hình
- Phép đối xứng trục
- Phép tịnh tiến
- Phép vị tự
5. Hình học không gian
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
- Hai đường thẳng song song
- Đường thẳng song song với mặt phẳng
- Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp
B. Bài tập
* Đại số và giải tích
I . LƯỢNG GIÁC

Loại 1: Tìm tập xác định:
1 + cosx
.
sinx
π
cot(3x + ) .
12

1. y =

2. y =

1 + cos x
.
1- cos x

3. y = tan( 2x -

π
)
6

4. y =

Loại 2: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất:
1. y = 3 + 2 cosx

x

2

π
5

3. y = 2sin( + )

2. y = 2 cos x + 1.

4. y = 3 + cos2 x .

5. y =

1 − s inx .

Loại 3: Phương trình lượng giác
Phương trình cơ bản:
3
.
2

1. sin3x =
5. sinx =
π
)=–
3

+

1

.
2

2. cos2x =

2+ 3
2

3. tanx = 3 .

6. cos 3x =

2 2
5

4. cot2x =

7. sin 3x = cos 75o

1
.
3

8. 2sin(x

2

π

9. 2cos  2 x − ÷− 1 = 0 .



10 cos3x − sin4x = 0

5

Phương trình bậc nhất và bậc 2 đối với một hàm số lượng giác:
1. 3tan2x + 3 = 0.
2sin2x = 0.
x
- 2 = 0.
2

2. 5cotx – 6 = 0.
4. 4sinx.cosx..cos2x =

1
.
2

5. 2sin2

x
+
2

2 sin

6. 3tan2x + tanx – 4 = 0.

7. cos2x − 3cosx + 2 = 0
2

3. 3 cosx –

8. cos 2x + 2cos 2 150 = 1

9.

2

cos 2x + sin x = 1.

10. 3cot2x - 2 3 cotx + 3 = 0.
2 = 0.

11.

3tanx - 6cotx + 2 3 = 0

12. 6cos2 x – 5sinx –

Phương trình dạng: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d
1. 2sin2x – 5sinxcosx – cos2x = -2

2. 3sin2x – 6sinxcosx – 2cosx = 3

3. cos2x + 2sinxcosx + sin2x = 2

4. sin2x – 6sinxcosx + cos2x = -2

Phương trình dạng:a.sinx + b.cosx = c


1. 3 sinx + cosx = 1.
= 2.

2. 4sinx + 3cosx = 2.

4. sinx + cosx = 3 .
= -1

5. sinx + 3 cosx = 2

7. sinx = 2 cos2x + cosx

3. 2 sinx + 2cosx
6. sin2x - 3 cos2x

8. 3 sin5x + 2sin11x + cos5x = 0 9.

3 cos x + sin x = −2

Bài tập tổng hợp:
Bài 1
1. 2cos2x – cosx – 1 = 0
3sinx + 1 = 0

2. cos 2x – 2cosx + 2 = 0

4. 2sinx - 2sin2x - 2cosx - 1 = 0

3. 2sin 2x –

5. cos2x + 3sinx = 2

6.

2sin 2 x − 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x − cos x

7. cos2x

+ sin2x + sinx =

s in2x + 2 cos x − sin x − 1
=0
tan x + 3

10.

1
;
4

8.

sin 2 x − sin x − 1 + cos x + 2 cos 2 x = 0 ;

9.

sin 5x + sin 3x = 2 sin 2 x − 1

Bài 2
a. 2sinx.cos2x - 1 + 2cos2x - sinx = 0
c. tanx =
e.

b. 2sinx - 2sin2x - 2cosx - 1 = 0

cos x
1 + sin x

d. 1 + cot x =

sin 2 x − sin x − 1 + cos x + 2 cos 2 x = 0

1 − cos x
sin 2 x

f.

2sin 2 x − 3 sin 2 x + 1 = 3 sin x − cos x

g.

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x .
1 + cot 2 x

Bài 3 K-A2011:

i.

1 + sin 2x + cos2x
= 2 s inxsin2x
1+cot 2 x

K-B2011: sin 2x cos x + s inxcosx=cos2x+sinx+cosx
K-D2011:
K-A2010:

sin 2x + 2 cos x − s inx-1
=0
tanx+ 3

( 1 + s inx+cos2x ) sin  x +
1 + t anx



π
÷
4

=

1
cosx
2

sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x


K-B2010: ( sin 2x + cos2x ) cosx+2cos2x-sinx=0
K-D2010: sin 2x − cos2x+3sinx-cosx-1=0
II . TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Pn , Ank , C nk .

Dạng 1: Giải phương trình có liên quan đến

Bài toán: Giải các phương trình sau với ẩn số x :
a. C x3 = 5C1x

b. 3Cx2+1 + xP2 = 4 Ax2

Px A + 72 = 6 ( A + 2 Px )
2
x

c.

2
x

d. C14x + C14x+ 2 = C14x+1

f. Ax2−1 − C1x = 79

e. Ax3 + Cxx−2 = 14 x

Dạng 2: Nhị thức Niu tơn - Xác định hệ số, số hạng.
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x

- 3

(

x
2
- 2
trong khai triển
2 x

(

7 5

Bài 2: Tìm số hạng chứa x y trong khai triển
dương thoả điều kiện:

1
x

)

n

biết rằng n là số nguyên

72A 1n - A 3n+1 = 72

3

Bài 3: Tìm hệ số của x trong khai triển
điều kiện:

x2y +

)

12

C nn + C nn −1 + C nn −2 = 79

Bài 4: Tìm hệ số của x3 trong khai triển

2

x − 2 
x 


( 2 − x − 2x2 )

n

biết rằng n là số nguyên dương thoả
5

(

)

5

15

.

1

Bài 5: Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển x2 + x + ( 2x - 3) 7
Bài 6: Tìm hệ số của

x 6 y12

trong khai triển

( 2x

2

+ 3y )

Dạng 3: Các bài toán sử dụng quy tắc đếm – hoán vị , chỉnh , hợp tổ hợp.
Bài 1: Cho tâp hợp A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
trong các trường hợp sau:
a. Có 3 chữ số khác nhau ,
b. là số chẵn có ba chữ số khác nhau ,
c. Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 .
d. Có 3 chữ số khác nhau và có tổng các chữ số không vượt quá 15

e. Có 4 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.


Bài 2: Từ tập thể gồm 14 người,có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta
muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a. Trong tổ có đúng 2 nữ.
b. Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
c. Trong tổ phải có ít nhất 2 nữ
d. Trong tổ phải có ít nhất 2 nam và 2 nữ
Bài 3 : Trong số 16 HS có 3HS giỏi, 5HS khá, 8HS trung bình. Có bao nhiêu cách chia
16 HS thành 2 tổ sao cho mỗi tổ có 8 người và ở mỗi tổ đều có HS giỏi và mỗi tổ có ít
nhất 2 HS khá.
Dạng 4: Tính xác suất của biến cố.
1/ Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn một nhóm gồm 3 học sinh.
Tính xác suất để:
a). Trong 3 học sinh được chọn đó gồm 1 nam và 2 nữ.
b). Trong 3 học sinh được chọn đó có ít nhất một nam
2/ Một hộp đựng 3 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 3 viên
bi.
a). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi đỏ.
b). Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có số viên bi đỏ bằng số viên bi trắng.
3/ Có 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 thẻ và sắp thành một
hàng ngang tạo thành 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số. Tính xác xuất để số nhận được:
a). Là số lẻ

b). Có tổng 3 chữ số bằng 9

4/ Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a. A: “ Mặt 3 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”
b. B: “ Mặt 3 chấm xuất hiện lần ở lần gieo thứ 2”

c. C: “ Tổng số chấm hai lần gieo bằng 9”
d. D: “Tổng số chấm hai lần gieo được số chia hết cho 3”
e. E: “Tổng số chấm hai lần gieo không vượt quá 9”
5/ Một lọ đựng 5 bông hoa vàng , 6 bông hoa tím , 7 bông hoa đỏ , lấy ngẫu nhiên 6
bông hoa . Tính xác suất để lấy được :
a. Đúng hai bông hoa đỏ
nhất 2 bông hoa đỏ

b. Ít nhất 4 bông hoa vàng và nhiều


c. Tổng số hoa đỏ và tím khơng vượt q số hoa vàng .

d. Số hoa tím là số

lẻ
e. Ln có đủ 3 màu và số hoa đỏ khơng ít hơn 3
III . DÃY SỐ , CẤP SỐ CỘNG , CẤP SỐ NHÂN:
Dạng 1: Chứng minh quy nạp.
Bài 1: CMR: ∀n ∈ ¥ ∗ :1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ... − 2n + (2n + 1) = n + 1
Bài 2: CMR:
Bài 3: CM

∀n ∈ ¥ ∗ :13 + 23 + 33 + ... + n3 =

n 2 (n + 1) 2
4

∀n ∈ ¥ ∗ , n ≥ 3 : 2n > 2n + 1

Dạng 2: Cấp số cộng.
Bài 1: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
u + 2u = 0

a. s 1 = 145
 4

u = 10

b. u 4 = 19
 7

u2 − u3 + u5 = 10
 1 + u6 = 17

c. u

u2 + u5 − u3 = 10
u4 + u6 = 26


d. 

Bài 2: Cho một cấp số cộng có 5 số hạng ,biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng
thư 4 bằng 7 . Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó .
Bài 3: Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng
28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .Hãy tìm cấp số cộng đó .
* HÌNH HỌC
I . HÌNH HỌC PHẲNG
Dạng 1: Các bài tốn sử dụng phép tịnh tiến

1.Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép tịnh tiến v = (1;-3 )
a) -2x +5 y – 4 = 0

b) 2x -3 y – 1 = 0

c) 3x – 2 = 0

d) x + y – 1 =

0
2 Tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến v = (3;-1 )
a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9

b) x2 + (y – 2)2 = 4

3. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
tiến Tvr biến d thành chính nó.

r
v

= (2; m). Tìm m để phép tònh

Dạng 2: Các bài tốn sử dụng phép đối xứng trục và đối xứng tâm
1. Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
2. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) x – 2 = 0

b) 2x + y – 4 = 0 c) x + y – 1 = 0

3. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0

b) 2x + y – 4 = 0 c) x + y – 1 = 0

4. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

5. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

6. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d
một điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trò nhỏ nhất.
HD: Gọi A′ = Đd(A). M là giao điểm của A′B và d.
7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0
8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

9. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục 2x + y – 4 = 0
a) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

Dạng 3:Các bài tốn sử dụng phép quay
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay Q(O;90o);Q(O;-90 o):
1; 4),

A(2; -3), B(–

2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép quay Q(O;90 o);Q(O;-90 o)
a) -2x +3 y – 7 = 0

b) 2x -5y – 4 = 0

Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép Q(O;90 o);Q(O;-90 o)

3

a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9

b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0

Dạng 4 :Các bài tốn sử dụng phép vị tự
1. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(-3;4);k=-3
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
2. Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(1;-2);k=-5
a) -2x +3 y – 7 = 0
3.

b) 2x -5 y – 4 = 0

Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(3;-2);k=-3

a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9
Dạng 5: Dời hình và đồng dạng

b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0


1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình:
2x + y – 1 = 0 và (C): (x - 2)2 + (y +1)2 = 9
a) Tìm ảnh của A và d và (C) bằng
cách thực hện liên tiếp qua phép quay tâm O góc
r
0
quay 90 và phép tịnh tiến theo v = (2;3) .
b) Tìm ảnh của A và d và (C) bằng cách thực hện liên tiếp qua phép quay tâm O góc
quay - 900 và phép vị tự tâm O, tỉ số k=3 .
2. Tìm ảnh của điểm

A ( −3; 2 )

, đường thẳng d: 2x-3y+4=0 và đường tròn
qua các phép biến hình sau:

(C ) : x + y − 4 x + 2 y − 4 = 0
r
a. Tịnh tiến theo v(−2;3)
2

2

b. Vị tự tâm I (2;-1), tỉ số k=2
c. Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d
II . HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho tứ diện SABC. Gọi M,N là các điểm trên các đoạn SB và SC sao cho MN
không song song với BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMN) và (ABC) , mặt
phẳng (ABN) và (ACM).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là
một điểm trên cạnh BD không phải là trung điểm. Tìm giao điểm của:
a. CD và mặt phẳng (MNK)
b. AD và mặt phẳng (MNK)
Bài 3: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, AB,
BC. Giả sử đường thẳng JK cắt các đường thẳng AD, CD tại M, N. Tìm giao điểm của
các đường thẳng SD và SC với mặt phẳng (IJK)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. P là
điểm nằm trên cạnh AD nhưng không là trung điểm. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi
mặt phẳng(MNP).
Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N trung điểm
SB, SD. I là trung điểm OC.
a.Chứng minh rằng MO song song với mặt phẳng (SAD)
b. Xác định thiết diện của (MNI) và hình chóp
c. Thiết diện chia cạnh SA theo tỉ số nào?
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD
(AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a. Chứng minh: MN // CD


b. Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ADN)
Bài 7: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N theo thứ
tự là trung điểm của các cạnh AB, CD .
a. Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)

b. Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB // (MNP) và SC // (MNP).
c. Chứng minh ( MDP ) // ( SBN )
Một số bài tập Nâng cao
40

1) Tìm hệ số của

1 

x+ 2 ÷
x 


trong khai triển:

10

2) Trong khai triển nhị

2 

thức:  2x 3 + 2 ÷
x 


.Tìm số hạng khơng phụ thuộc x

3)Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo
dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).

b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b)

a2
6

4)Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC,
BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác đònh thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh
thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
HD:

b)

5a2 51
288