Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (72)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11 (CB)
NĂM HỌC 2013-2014
TRƯƠNG THPT NGUYỄN HUỆ
PHẦN I- LÝ THUYẾT
A-Đại số:
1.Giới hạn của hàm số:
A :Tóm tắt lý thuyết:
1). Giới hạn hữu hạn:
Xem SGK

2). Giới hạn vô cực:
3). Các giới hạn đặc biệt:
):Định lí 1:
a).
d).
f).

lim x = x 0

x → x0

lim

x → ±∞

c
=0
x

b).

lim c = c

x → x0

e).

c).

lim x k = +∞

x → +∞

lim c = c

x → ±∞

với k nguyên dương

+ ∞; neu..k ...chan
lim x k = 
x → −∞
− ∞; neu..k ...le

4). Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu

lim f ( x) = L

x → x0

và

lim g ( x) = M

x → x0

lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M ;



x → x0



x → x0



x → x0

lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M ;
lim [ f ( x).g ( x )] = L.M ;

, thì:




lim

x → x0

f ( x) L
=
; ( M ≠ 0) ;
g ( x) M

b). Nếu
lim

x → x0

f ( x) ≥ 0

và

lim f ( x) = L , L ≥ 0

x → x0

thì:

f ( x) = L .
x → +∞

( Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi

hoặc

):Định lí 2:

lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L

x →x0

x →x0

x →x0

5). Quy tắc về giới hạn vô cực:
lim f ( x) = L

x → x0

;

lim g ( x) = ±∞

x → x0

a). Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):

lim f ( x)

x→ x0

lim g ( x)

lim f ( x).g ( x)

x→ x0

x→ x0

+∞

+∞

L>0

−∞

−∞

L<0

+∞

−∞

−∞

+∞

b). Quy tắc tìm giới hạn của thương
lim f ( x)

x→ x0

L

lim g ( x)

x→ x0

±∞

Dấu
của
f(x)
Tùy ý

lim

x→ x0

0

f ( x)
g ( x)

f ( x)
:
g ( x)

x → −∞ )


L>0

L<0

0

+

+∞

–

−∞

+

−∞

–

+∞

B: Các dạng bài tập thường gặp
•
Dạng 1.Tính giới hạn hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lý hay quy tắc về giới
hạn vô cực.
•

Dạng 2. Tính các giới hạn dạng vô định:

+) Dạng

f ( x)

0
lim
(
x
→
x
 g ( x)
0

khi

lim f ( x) = lim g ( x) = 0 )

x → x

x → x

:

*Phương pháp: Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.
lim

x → x

( x − x ) P ( x )
f ( x)
P ( x)
= lim
= lim
g ( x) x → x  ( x − x )Q( x ) x → x Q( x )

- Nếu f (x) hay g (x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng rồi giản ước.
+) Dạng

f ( x)
∞
( xlim
→
x
 g ( x)
∞

khi

lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ ):

x → x

x → x

* Phương pháp : Chia cả tử số và mẫu số cho
số x.

xn

với n là số mũ bậc cao nhất của biến

Nếu f (x) hay g (x) có chứa biến số dưới dấu căn thì đưa x k ra ngoài dấu căn
(với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn) trước khi chia tử số và mẫu số cho lũy thừa

của x.
+) Dạng
):

[ f ( x ) − g ( x)]
∞ − ∞ ( xlim
→x


khi

lim f ( x) = lim g ( x) = +∞

x → x

x → x

hoặc

lim f ( x) = lim g ( x) = −∞

x → x

x → x


*Phương pháp : Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa
biến số dưới dấu căn) hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức (nếu chứa
nhiều phân thức).
•

Bài tập:
Bài 1. Tính các giới hạn sau :
x +1
x →4 3 x − 2

a)

lim

d)

x → −∞

g)

lim

; b)

lim (−2 x 3 + 3 x 2 − 5)

x →0

x2 + x +1 −1
3x

lim x 2 − 9

;c)

x →4

; e)
; h)

lim+

x →2

lim
x →1

lim ( x 4 − x 2 + x − 1)

x → +∞

2x − 1
x+3

;f)

lim
x →2

;

x − 3x − 2
x2 − 4

5x −1 −1 − x
x −1

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a)

x + 4x 2 − 1
x → −∞
2 − 3x
lim

;

b)

lim x( x 2 + 1 + x)

x → +∞

2.Hàm số liên tục:
A. Tóm tắt lý thuyết:
1). Hàm số liên tục:
 Cho hàm số
y = f (x)



liên tục tại

y = f (x)

y=

y = f (x)

f (x)

xác định trên khoảng K và

x0 ∈ K .

x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x 0 )
x → x0

liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

lim f ( x ) = f (a ) ;

x →a +

lim f ( x ) = f (b)

x →b −

). Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn được biểu diễn thị bởi một “
đường liền nét” trên khoảng đó.
y
a

x
O

b


2). Các định lí:
). Định lí 1:
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực.
b. Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
của chúng
). Định lí 2:
Giả sử

y = f (x)

và

a). Các hàm số
b). Hàm số

f ( x)
g ( x)

y = g (x)

là hai hàm số liên tục tại điểm x0. khi đó:

f ( x) + g ( x) ; f ( x) − g ( x)

và f ( x).g ( x) cũng liên tục tại x0.

liên tục tại điểm x0. nếu

). Định lí 3: Nếu hàm số y =
một c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0 .

f (x)

g ( x0 ) ≠ 0

liên tục trên đoạn [a;b] và

Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b)

f ( a). f (b) < 0

f (a). f (b) < 0

thì tồn tại ít nhất

thì phương trình

f ( x) = 0

B: Các dạng bài tập thường gặp
•

y = f (x) tại

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số

điểm

x :

* Phương pháp : Dựa vào định nghĩa tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
+ Tính

lim f ( x) và f ( x )

x → x

+ So sánh
nhau,

lim f ( x)

x → x

với

f ( x ) để

kết luận.

Trường hợp bên trái, bên phải
f ( x) ta cần tìm
để tìm xlim

→x


x hàm số được xác định bởi
lim+ f ( x ) và
lim− f ( x )
và
x → x

x → x

hai biểu thức khác
lưu ý rằng :

lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L

x → x

•

x → x

x → x

Dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số
* Phương pháp :

y = f (x)

trên một tập con của tập R

+ Áp dụng định lí về tính liên tục của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ,lượng
giác.
+ Nếu hàm số được cho bởi nhiều biểu thức khác nhau, cần nghiên cứu tính
liên tục tại một điểm.
•

Dạng 3 : Chứng minh PT

f ( x) = 0

có nghiệm trên tập

D⊂ R

* Phương pháp : Để chứng minh PT f ( x) = 0 có nghiệm trên tập D ⊂ R , ta cần tìm
hai số a và b thuộc D sao cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a ; b] và f (a). f (b) < 0 .
•

Bài tập:
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số

y = g (x)

tại điểm

x = 2

với :

 x3 − 8
khi x ≠ 2

g ( x) =  x − 2
5
khi x = 2


Bài 4. Tìm m để hàm số

y = f (x)

liên tục trên R, biết rằng :

 x 2 + 4x + 3
khi x > − 3

f ( x) =  x + 3
mx − 1
khi x ≤ − 3


Bài 5. Chứng minh rằng phương trình :
a)

2x3 − 6x + 1 = 0

b)

sin x = x − 1

3.Đạo hàm:

có ít nhất hai nghiệm

có ít nhất một nghiệm

( u + v - w ) ′ = u′ + v′ - w ′ ( uv ) ′ = u′v + uv′
( ku ) ′ = ku′

Lý thuyết

v′
 1 ′
 ÷=- 2
v
v 

Các dạng bài tập thường gặp:

 u ′ u′v - uv ′
 ÷=
v2
v 


•

Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số

y = f (x)

tại điểm

x

- Nếu bài toán không nói gì thêm ,sử dụng các công thức và các quy tắc tính đạo hàm của
'
'
một tổng, hiệu, tích, thương để tính f ( x ) sau đó tính giá trị của hàm số y = f ( x ) tại
x = x .
•

Dạng 2 : Tính đạo hàm của hàm hợp

y = f [ g (x )]

trên tập xác định của nó

* Phương pháp :
+ Đặt

u = g (x)

+ Áp dụng các công thức tính đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm của một

y x' = y u' . u x'
tổng, hiệu, tích, thương. Lưu ý :

•

Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) của hàm số

+) Loại 1. Tiếp tuyến tại điểm

M  ( x  ; y  ) ∈ (C )

có dạng :

y = f ' ( x )( x − x ) + f ( x )

+) Loại 2. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng d’ cho trước:
* Phương pháp :
+ Tiếp tuyến d // d’ ⇒ k d = k d '
+ Gọi

x

là hoành độ tiếp điểm, ta có :

f ' ( x ) = k d ⇒ x  ⇒ y 

+ Phương trình tiếp tuyến cần lập là :

y = f ' ( x )( x − x ) + y 

y = f (x)

+) Loại 3. Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’ cho trước :
* Phương pháp :
+ Tiếp tuyến
+ Gọi

x

d ⊥ d ' ⇒ kd = −

1
kd'

là hoành độ tiếp điểm, ta có :

+ Phương trình tiếp tuyến cần lập là :
y = f ' ( x )( x − x ) + y 

Bài tập:
Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a)

y = x3 − 2x + 1

b)

y = sin 2 x

c)

y = 3 − 4x

d)

y=

x +1
x −1

tại

tại

π
6

x =

x = 0

tại
tại

x = 2

x = 0

Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y=

x 4 2x3 4x 2
−
+
−1
2
3
5

b)

y = ( x 7 − 5 x 2 ) 2012

c)

y=

d)

2

y =  + 3x  x − 1
x


e)

y = cos

3x 2 − 6 x + 7

x 2 − 3x

(

x
1+ x

)

f ' ( x ) = k d ⇒ x  ⇒ y 


f)

y = tan 2 x − cot x 2

Bài 8. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x :
a)
b)

y = sin 6 x + cos 6 x + 3 sin 2 x. cos 2 x
π

π

 2π

 2π

y = cos 2  − x  + cos 2  + x  + cos 2 

− x  + cos 2 
+ x  − 2 sin 2 x
3

3

 3

 3


Bài 9. Cho hàm số

y = x 3 − 3x 2 + 2

có đồ thị (C) .

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ

x  = −1

y = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng : 3x + y − 2012 = 0
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
:

2 x + 90 y + 2012 = 0

Bài 10. Cho hàm số
k =8

y=

2x − 5
2x − 4

có đồ thị (H).

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến có hệ số góc

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp điểm là M(-2; 2).
B-Hình học: Quan hệ vuông góc trong không gian:
•

Dạng 1 .Xác định góc
* giữa hai đường thẳng :
Phương pháp :

d1 ∩ d 2 = O 


 ⇒ (a , b) = (d1 , d 2 ) = ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 )
d1 // a , d 2 // b

* giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :

(·d , (α )) = (·d , d ' )

với d’ là hình chiếu của d trên mp( α )


* giữa mặt phẳng và mặt phẳng
Phương pháp : Góc giữa hai mặt phẳng:
•

Dạng 2 .Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng :
*Phương pháp : +)

•

(α ) ∩ ( β ) = c 
 ·
a ⊂ (α ), a ⊥ c  ⇒ ((
α ), ( β )) = (·a, b)
b ⊂ ( β ), b ⊥ c 

d ⊥ a,d ⊥ b


a∩b = I
 ⇒ d ⊥ (α )
a ⊂ (α ), b ⊂ (α ) 

Dạng 3 . Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc :

*Phương pháp : +) Góc giữa hai mặt phẳng:

+) Từ (1): Nếu
+)
•

(·a, b) = 90

a ⊥ (α )  ·
·
 ⇒ ((α ), ( β )) = ( a, b)
b ⊥ (β ) 

(1)

thì (α ) ⊥ ( β )

d ⊂ (α ) 
 ⇒ (α ) ⊥ ( β )
d ⊥ (β ) 

Dạng 4 . Tính khoảng cách :
*Phương pháp : +) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
d ( M  , ∆) = M  H

(H là hc vuông góc của điểm

M  trên

đt ∆ )

+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

d ( M  , (α )) = M  H

(H là hc vuông góc của điểm

M  trên

mp( α ))


+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Tìm đoạn vuông góc chung của hai đt chéo nhau
- Tính độ dài của đường vuông góc chung


PHẦN II - BÀI TẬP
I. Đại số và giải tích
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)

x − x3
x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3)

b)

lim

5x2 + 2x
x →+∞
x2 + 1

c)

lim

5x2 + 2x
x →−∞
x2 + 1

d)

lim

x4 − x2 + 1
x →+∞ 2 x 4 + x 2 + 3
lim

Bài 2 Tính các giới hạn sau
a)

x2 − 4x + 3
x−3

lim
x →3

b)

2 x 2 + 3x + 1
x →−1
x2 −1

c)

lim

lim
x →1

x3 − x 2 + x − 1
x −1

d)

lim
x →1

x2 + 2 x − 3
2 x2 − x −1

Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)

− x3 + 5 x − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

b) xlim
→−∞

lim

−3x 3 + 2
2x + 1

c)

5 x3 − x 2 + 1
x →−∞
3x 2 + x
lim

Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)

lim (−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)

b)

x →−∞

lim (− x 4 + x3 + 5 x − 3)

4 x2 + x + 2

c) xlim
→+∞

x →+∞

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
x +1

x −3

a) xlim
→3

−

b)

lim
x →4

1− x

( x − 4)

c)

2

lim+

x →3

2x −1
x −3

d)

lim+

x →−2

−2 x + 1
x+2

e)

lim−

x →0

2 x +x
x2 − x

f)

lim−

x →−1

3x − 1
x +1

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a/ lim
x →3

x2 − 9
x −3

b/

lim
x →1

x 2 − 3x + 2
x −1

c)

x+3
2
x →−3 x + 2 x − 3
lim

d)

lim
x →1

x3 − 1
x2 −1

e)

lim
x →1

x2 + 2 x − 3

2x2 − x −1

Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau:


− 1÷
a) xlim

→0 x  x + 1

1

1

b)

−

lim+ ( x − 1)

x →1

2x + 3
x2 −1

c)

lim+ x 2 − 9.

2x +1

x −3

4 x2 − x + 2 x

)

x →3

d/

(

lim− x3 − 8

x→2

)

x
2 − x2

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)

lim

x →+∞

(

x2 +1 − x

)

b)

lim

x →+∞

(

x2 + 2x − x2 + 1

)

c) xlim
→−∞

(

d) xlim
→−∞

(

x2 − x − x2 −1

)

Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
 −4


khi x ≠ -2
khi x = -2

tại x0 = -2

b)

 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x > 2

tại x0 = 2

khi x ≤ 2

Bài 10: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a)

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x − 2

1


khi x ≠ 2

b)

khi x = 2

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
 5− x


khi x > 2
khi x ≤ 2

Bài 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y =

x3 x2
− + x −5
3 2

4) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)

2)

y = 2x5 −

x
+3
2

3)

y=

2 4
5
6
− 2+ 3− 4
x x
x 7x

2



6) y =  x + 3x ÷( x − 1)

5) y = ( x 2 + 5) 3





Bài 12: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx
y = (1 + cot x )

2) y = cos (x3)

3) y = x.cotx

4)

2

Bài 13: Cho hàm số y= x3 -3x+1,Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm
x=2;
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y = x3 − 5 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 7 x – 4.
II. Hình học:
Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA= a
SA ⊥ (ABCD). Gọi AH là đường cao của tam giác SAB.

2

và


a). CMR: AH ⊥ (SBC)
b). Tính góc giữa SC và (ABCD).
c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S. ABC, đ áy ABC là tam giác đều cạnh
với đáy . Gọi M là trung điểm của BC

a 3,

SA = a vuông góc

a) Chứng minh rằng (SBC) vuông góc với (SAM)
b) Xác định góc giữa SB và (ABC)
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)
Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA= a
SA ⊥ (ABCD). Gọi AH là đường cao của tam giác SAD.

2

và

a). CMR: AH ⊥ (SCD)
b). Tính góc giữa SC và (SAB).
c). Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BD
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
SA = a, AC = 2a.
a. Chứng minh

SA ⊥ ( ABC ) .

Biết

( SAB) ⊥ ( SBC ) .

b. Tính góc giữa SC và (ABC).
c. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Biết AD = a,
SA = a.
a)

Chứng minh (SAC)

b)

Tính góc giữa SD và mp (SAB) (0.75 điểm)

c)

Tính khoảng cách từ B đến mp (SAD).

⊥

(SBD). (1 điểm)


Bài 6: Cho hình chóp tứ giác SABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

,

SA ⊥ (ABCD), và SA = 2a
a. Chứng minh BD ⊥ SC
b. Tính góc tạo bởi SC và (ABCD)
c. Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và
SA=a.
a) Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB)
b) Xác định góc giữa SB và mp (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,SA=a,
SA ⊥ (ABCD)
a/.CMR :SB ⊥ AD, (SBD)

⊥ (SAC)

b/.Xác định góc giữa SD và (SAB)
c/.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

NĂM HỌC 2013-2014

Môn : Toán 11
Thời gian: 90 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (6 ĐIỂM)
Câu 1 (2,5điểm). Tính các giới hạn sau:

a/ lim

x →+∞

3 x3 + 2 x + 1

b/ lim

2 − 3 x3

x→2

x− x+2
x2 − 4

 x2 − x − 6

khi x ≠ −2
Câu 2 (1,0điểm).Cho hàm số y= f ( x ) =  x + 2
(a: là tham số )
 2ax + 3
khi x = −2


Xét tính liên tục của hàm số đã cho trên R
Câu 3.(2,5điểm)
a/ Cho hàm số

y = f ( x) =

x2
1
+ 2x − + x + 1 .
2
x

Tính f’(1)

b/Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tuyến là -1

x −1
biết hệ số góc của tiếp
1− 2x

II.PHẦN RIÊNG ( 4 điểm ) (Học sinh học chương trình được chọn một trong hai
chương trình (Phần đề 1 hoặc phần đề 2 )
1.Theo chương trình chuẩn.
Câu 4a(1đ): Cho hàm số f(x) = x 2sinx+2cosx-2sin2x+1 .
Chứng minh rằng phương trình f (x) =0 luôn có ít nhất một nghiệm dương.
Câu 5a(3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B (đáy lớn
AD). SA ⊥ (ABCD), SA = a 6 , AB = BC = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên
SB, SC, I là hình chiếu của B lên SC.


a) (1đ) Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAB ); AH ⊥ ( SBC )
b) (1đ) Tính góc giữa SC và mp(ABCD)
c) (1đ) Chứng minh BI //(AHK)
2.Theo chương trình nâng cao
Câu 4b(1đ): Cho hàm số f(x) =

x +1
x4 − x2 + 3

+1.

Chứng minh rằng phương trình f ’(x) =0 luôn có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 5b(3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D (đáy lớn
DC). SD ⊥ (ABCD), SD = a 2 , AB = AD = a, DC = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
vuông góc của D lên SA, SB.
a) (1đ) Chứng minh rằng: DC ⊥ ( SAD); DM ⊥ ( SAB)
b) (1đ) Tính góc giữa DB và mp(DMN)
c) (1đ) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa SC và AD


ĐÁP ÁN

I.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (6 ĐIỂM)

CÂU
1a

ĐỀ
2
1
3+ 2 + 3
3x + 2 x + 1
x

x
lim
= lim
2
x →+∞ 2 − 3 x3
x →+∞
−3
x3

ĐIỂM

3

1.0

=-1

0.5
1b

lim

x− x+2

= lim

x 2 − ( x + 2)

x → 2 ( x 2 − 4)( x + x + 2)
x2 − 4

( x + 1)( x − 2)
= lim
x → 2 ( x + 2)( x − 2)( x + x + 2)
( x + 1)
= lim
x → 2 ( x + 2)( x + x + 2)
3
=
16
x →2

0.25

0.25

0.25

0.25
2

-TXĐ: D=R


+ Nếu

x2 − x − 6
thì
là hàm phân
x+2
mỗi khoảng ( −∞ : −2 ) và ( -2;+∞ )

x ≠ −2 ,

liên tục trên

f ( x) =

thức hữu tỉ nên

0.25

0..25

+ Nếu x=-2, ta có:* f(-2)=-4a+3
*
x2 − x − 6
( x + 2)( x − 3)
= lim
x+2
x →−2
x →−2 x + 2
x →−2
= lim ( x − 3) = −5
lim f ( x ) = lim
x →−2

0.25

Vậy nếu: −4a + 3 = −5 ⇔ a = 2 thì hàm số liên tục trên R
−4a + 3 ≠ −5 ⇔ a ≠ 2 thì hàm số liên

( −∞ : −2 ) và ( -2;+∞ ) nhưng gián đoạn tại x=-2

3a

tục trên các khoảng
0.25

x2
1
+ 2x − + x + 1
2
x
1
1
Tacó: f'(x)=x+2+ 2 +
x
2 x
y = f ( x) =

9

Tính được f’(1)= 2

1.0

0.5
3b

Tính được

f '( x) =

−1

( 1− 2x)

0.25

2

0.25
f '( x) =

Vì hệ số góc tiếp tuyến bằng -1 nên:

−1

( 1− 2x)
( 1 − 2 x ) 2 = 1


⇔
1
x ≠

2

2

= −1

x = 0
⇔
x = 1

0.25


*x = 0 ⇒ y = −1.
*x = 1 ⇒ y = 0 .

PTTT cần tìm: y+1=-x ⇔ y = − x − 1

PTTT cần tìm:

0.25

y = −1( x − 1) ⇔ y = − x + 1

Vậy có 2 PTTT là: y=-x-1và y=-x+1

Đáp án phần riêng:

Đề

Điểm

Câu 4a:

0.25đ

f (x) =

x 2 s inx+2cosx-2sin2x+1

liên tục trên R nên liên tục trên [0; π ]

f(0) = 3; f( π ) = -1
f(0).f( π ) <0 nên pt f(x) = x 2 s inx+2cosx-2sin2x+1 =0 có ít nhất một nghiệm (0; π ) 0.5
hay có ít nhất một nghiệm dương.
0.25đ
Câu 5a.

0.5


S

K

I
H
A

D

B

a.

C

 BC ⊥ AB
 BC ⊥ SA


nên BC ⊥ ( SAB)
 AB, SA ⊂ ( SAB )
 AB ∩ SA = A

 AH ⊥ SB
 AH ⊥ BC


 SB, BC ⊂ ( SBC )
 SB ∩ BC = B

b.

0.25

nên AH ⊥ ( SBC )

0.5

·
( SC , ( ABCD) = ( SC , AC ) = SCA

0.5
0.25

+Tính đúng kết quả

0.25
0.25
c. có
mà

 AH ⊥ SC

nên SC ⊥ HK (Hệ
 AK ⊥ SC

BI ⊥ SC

nên BI//HK

quả trong tam giác)


suy ra BI//(AHK)

0.5

Câu IVb.
x 4 − x 2 + 3 − ( x + 1)
y'=
y'=

x − x +3
4

2

0.25

( x 4 − x 2 + 3) '
x4 − x2 + 3

− x 4 − 2 x3 + x + 3
( x 4 − x 2 + 3) x 4 − x 2 + 3

y’ =0

0.25

⇔ g ( x) = − x 4 − 2 x 3 + x + 3 = 0

g(x) liên tục trên R nên liên tục trên[0;2]
g(0) = 3, g(2) = - 27 nên g(0).g(2)<0
nghiệm.

0.25
g ( x) = − x 4 − 2 x 3 + x + 3 = 0

có ít nhất một
0.25

Vậy f ’(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
Câu Vb.

0.5

S

N

P

M
D

C

A

B


a.

 DC ⊥ AD
 DC ⊥ SD


nên DC ⊥ ( SAD)
 AD, SD ⊂ ( SAD)
 AD ∩ SD = D

 DM ⊥ SA
 DM ⊥ AB



 SA, AB ⊂ ( SAB )
 SA ∩ AB = A

b.

nên DM

0.25

⊥ ( SAB)

·
( DB, ( DMN )) = ( DB, DN ) = BDN

0.5
(phải có giải thích rõ ràng

·
·
·
DS = DB = a 2 nên SBD
= DSB
= 450 ⇒ BDN
= 450

SB ⊥ ( DMN ) )

0.5

0.25
0.25

c.
Gọi P là hình chiếu của D lên SC.

0.25

d(AD,SC) = DP.
1
1
1
=
+
2
2
DP
DS
DC 2

0.5