Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (73)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 1 MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2012 – 2013
TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THAM KHẢO
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:
3 sin 2 x
2 cos 3x

1/

y=

5/

 2π

y = tan
+ 5x 
 3


8/

y=

sin x + 2
cos x + 1

y=

6/

sin x
cos x
+
cos x − 1 1 + sin x

Bài 2.

y=

1
sin x − cos x

9/ y =

2 + sin x −

3/

π

y = cot  2 x − 
4


7/

y=

3 + tan x
cos 2 x − sin 2 x

1
tan x − 1
2

Xác định tính chẵn – lẻ của các hàm số

cos 3x
x
2
y = 4 sin x − cos 2 x

1/ y =
8/

4/

2/

y = 2 x − 2 sin x

6/ y = 3

3/

y = sin x + x 2

4/ y = 2 − 4 sin x cos x
y = 7 − 3 sin 3 x

7/

cos 2 x + 1

5/

y = 5 − 2 sin 2 x cos 2 x

Bài 3.

Tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

π

1/ y = 2 sin  x − 3  + 3



1
2/ y = 3 − cos 2 x
2

5/ y = 4 sin 2 x − cos 2 x

6/ y = 3

3/ y =

1 + 3 cos 2 x
2

4/ y = 2 − 4 sin x cos x

cos 2 x + 1

PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1.

Giải các phương trình sau:
1

1/ sin 3x = − 2

2/ cos 2 x = −

2
2




π


3/ tan x − 4  =

3

4/

sin 2 x − sin 2 x cos x = 0


x

9/ cos x − 2 sin 2 2 = 0 10/ cos 4 x − sin 4 x =
12/ sin 3 x cos x − cos 3 x sin x =
14/ sin
16/

2

2
2

2
8

2 cos x − 1

x

π




π

8/ tan 2 x +
x

π
 + tan 3x = 0
3

1

13/ cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x = 1
15/ cos 4 x + sin 6 x = cos 2 x

1 − cos 4 x
sin 4 x
−
=0
2 sin 2 x 1 + cos 4 x
2

π


11/ sin 2 cos 3 + sin 3 cos 2 = 2

 17π


2 x − cos 2 8 x = sin 
+ 10 x 
 2


(2 − 3 ) cos x − 2 sin
18/




7/ 2 cos x − 6  + 1 = 0

5/ sin 3x − cos 2 x = 0 6/ tan 4 x. cot 2 x = 1

17/ sin x cos x + cos 2 x =

2 +1
2

x π
 − 
 2 4  =1

Dạng 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Bài 1.

1/ 4 cos 2 x − 2(

Giải các phương trình sau:

)

3
= 3 + 2 tan 2 x
2
cos x

4/ 2 cos x. cos 2 x = 1 + cos 2 x + cos 3x

5/

7/ 6 sin 2 3x + cos12 x = 4

8/ cos 2 x − 3 cos x = 4 cos 2

(

)

cos x 2 sin x + 3 2 + 2 sin 2 x − 3
=1
10/
1 + sin 2 x

12/ cos x − sin x =
Bài 2.

3/ 2 cos 2 x − 8 cos x + 5 = 0

2/ 2 cos 2 x + 5 sin x − 4 = 0

3 + 1 cos x + 3 = 0

11/

6/ 5 tan x − 2 cot x − 3 = 0
x
2

9/ cot x = tan x +

2 cos 4 x
sin 2 x

3 tan 4 x + 2 tan 2 x − 1 = 0

1
1
−
sin x cos x

Cho phương trình:

cos 2 x + ( a + 2 ) sin x − a − 1 = 0

1/

Giải phương trình đã cho khi

2/

Với giá trị nào của

a

a =1

thì phương trình đã cho có nghiệm?

Dạng 3. Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu
Bài 1.
1/

Giải các phương trình sau:

3 cos x − sin x = 2

2/ cos x −

3 sin x = −1

3/

sin 3 x + 3 cos 3x = 2


4/ 2 cos 2 x −

5/ 2 sin 2 x cos 2 x +

3 sin 2 x = 2
3 ( cos 5 x − sin 7 x )

6/ cos 7 x − sin 5 x =

7/ sin

1

9/ sin 2 x + sin 2 x = 2
11/

4

π 1

x + cos 4  x +  =
4 4


10/ 3 sin 3x −

3 (1 − cos 2 x )
= cos x
2 sin x

3 cos 4 x + 2 = 0

8/ tan x − 3 cot x = 4(sin x +

3 cos x

3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x

12/ cot x − tan x =

cos x − sin x
sin x cos x

Dạng 4. Phương trình thuần nhất bậc hai theo sinu và cosu
Bài 1.

Giải các phương trình sau:

(

)

1/

sin 2 x + 3 sin x cos x − 4 cos 2 x = 0

2/

3 sin 2 x + 8 sin x cos x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0

3/

4 sin 2 x + 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4

4/

2 sin 2 x − 5 sin x cos x − cos 2 x = −2

5/

4 sin 2

6/

2 sin 2 x + 6 sin x cos x + 2 1 + 3 cos 2 x = 5 + 3

7/

sin 3 x + 2 sin 2 x cos x − 3 cos 3 x = 0

8/

4 sin 3 x + 3 sin 2 x cos x − sin x − cos 3 x = 0

Bài 2.

x
x
+ 3 3 sin x − 2 cos 2 = 4
2
2

(

)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1/

m sin 2 x + 2 sin 2 x + 3m cos 2 x = 2

sin 2 x − m sin 2 x − ( m + 1) cos 2 x = 0

2/

Một số đề thi đại học
1/

(1 + 2 sin x ) 2 cos x = 1 + sin x + cos x

3/

sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin 3 x

5/

sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x

7/

sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x

9/

x
x

 sin + cos  + 3 cos x = 2
2
2


2/

(

3

3

2

2

)

3 cos 5 x − 2 sin 3x cos 2 x − sin x = 0

6/

(1 − 2 sin x ) cos x = 3

(1 + 2 sin x )(1 − sin x )
2 sin x(1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x

8/

1
+
sin x

10/

2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x

12/

cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0

15/

π 3
 π 
cos 4 x + sin 4 x + cos x −  sin 3x −  − = 0
4 
4 2


4/

 7π


= 4 sin 
− x
3π 

 4

sin  x −

2 

1

2

11/
14/

(1 + sin x ) cos x + (1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x
2( cos x + sin x ) − sin x cos x
=0
2

6

2

6

2 − 2 sin x

CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

)


PHẦN 1. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Bài 1.
Có 25 đội bong tham gia thi đấu, cứ hai đội thì đá với nhau 2 trận (đi và về).
Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Bài 2.
1/
chữ số?

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5

2/

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3
chữ số và là số chẵn?

3/

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?

Bài 3.
Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra một chủ tịch, 1 phó chủ tịch,
1 thư kí. Hỏi có mấy cách nếu không ai được kiêm nhiệm?
Bài 4.
Trong một tuần An định mỗi tối đi thăm một người bạn trong số 10 người
bạn của mình. Hỏi An có thể lập được bao nhiêu kế hoạch thăm bạn nếu:

1/

Có thể thăm một bạn nhiều lần?

2/

Không đến thăm một bạn quá một lần?

Bài 5.

Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc?

Bài 6.

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài 5 chỗ nếu:

1/

Bạn C ngồi chính giữa

2/

Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế

Bài 7.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số
khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Bài 8.
Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4 sách Hóa khác nhau.
Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao cho các sách cùng môn kề nhau. Hỏi có

bao nhiêu cách?
Bài 9.

Giải các phương trình sau:

1/

P2 .x 2 − P3 .x = 8

2/

Px − Px −1 1
=
Px +1
6

Bài 10.

Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách?

Bài 11. Từ tập hợp

X = { 0;1;2;3;4;5}

có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau


Bài 12. Có 10 quyển sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau. Cần chọn ra 3 quyển sách
và 3 cây bút để tặng cho 3 học sinh, mỗi em được tặng một quyển sách và một cây
bút. Có mấy cách?

Bài 13. Giải các phương trình sau:
1/

2 Ax2 + 50 = A22x , x ∈ N

2/

An3 + 5 An2 = 2( n + 15)

3/

3 An2 − A22n + 42 = 0

4/

2 Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12

5/

9
8
A10
x + Ax = 9 Ax

Bài 14. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 15. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất một nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 16. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta
chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả ba loại dễ, trung bình và
khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?

Bài 17. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng
quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng
quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có
nữ?
Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi
làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên
Bài 19. Một hộp đựng 15 bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách
chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu.
Bài 20. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra
để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau
1/

Nếu phải có ít nhất là 2 nữ

2/

Nếu phải chọn tùy ý

Bài 21. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn ra 3 tem thư
và 3 bì thư rồi dán 3 tem thư vào 3 bì thư đó. Có bao nhiêu cách?


Bài 22. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam, 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội đó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tình nguyện đều có 4
nam, 1 nữ?
Bài 23. Giải phương trình:
7
x
2

1/

C 1x + C x2 + C x3 =

2/

C x3−1 − C x2−1 =

3/

1
1
7
− 2 =
1
C x C x +1 6C 1x + 4

2 2
Ax − 2
3

Bài 24. Tìm số hạng không chứa
1/

1 

x+ 4 
x 


10

2/

x

x
 +
3

trong khai triển của nhị thức:

3

x

12

 3 1 
x − 2 
x 


3/

Bài 25. Tìm số hạng thứ 31 trong khai triển:

1 


x+ 2 
x 


Bài 26. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển:
Bài 27. Tìm hệ số của số hạng chứa
rằng

x

8

5

4/

3
1 
 x + 4 
x


40

 1 3 
 5 + x 
 x


10

trong khai triển nhị thức Niu-tơn

C nn++41 − C nn+3 = 7( n + 3)

Bài 28. Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
Tìm số hạng chứa

x4

Bài 29. Tính tổng:
1/

S1 = C n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn

2/

S 2 = C n0 + C n2 + C n4 + ...

3/

S 3 = C n1 + C n3 + C n5 + ...

4/

S 4 = C n0 + 2C n1 + 2 2 C n2 + ... + 2 k C nk + ... + 2 n C nn

5/

S 5 = C n0 + 2 2 C n2 + 2 4 C n4 + ...

Bài 30. Chứng minh:

7

 1
5 
 3+ x 
x

 2 2
x − 
3


n

, biết

n

là 97.


1/

C n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn = 2 n

2/

C 20n + C 22n + C 24n + ... + C 22nn = C 21n + C 23n + C 25n + ... + C 22nn −1

3/

C n0 + 6C n1 + 6 2 C n2 + ... + 6 n C nn = 7 n

4/

317 C170 + 4.316 C171 + ... + 417 C1717 = 717

PHẦN 2. XÁC SUẤT
Bài 1.
Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “tổng số chấm trên
hai mặt của hai con súc sắc bằng 4”
1/

Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A

2/

Tính xác suất của biến cố A

Bài 2.

Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú – lơ – khơ:

1/

Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài đó thuộc 1 bộ
(ví dụ có 3 con 4)

2/

Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bài thuộc một bộ

Bài 3.

Gieo một con súc sắc hai lần. Tính xác suất để:

1/

Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên

2/

Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần

Bài 4.
Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy
ra 2 quả cầu. Tính xác suất để:
1/

Hai quả cầu lấy ra màu đen

2/

Hai quả cầu lấy ra cùng màu

Bài 5.

Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để:

1/

Có đồng xu lật ngửa

2/

Không có đồng xu nào sấp

Bài 6.
Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu
xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau:
1/

Lấy được 3 viên bi màu đỏ

2/

Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ

Bài 7.

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để:


1/

Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9

2/

Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 5

3/

Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 3

Bài 8.

Gieo đồng thời 3 con súc sắc. Tính xác suất để:

1/

Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 10

2/

Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 7

Bài 9. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và
4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để:
1/

Có 6 khách là nam

2/

Có 4 khách nam, 2 khách nữ

3/

Có ít nhất 2 khách là nữ

Bài 10. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ. Tính xác suất để
tích của hai số trên tấm thẻ là một số chẵn
Bài 11. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên
một sản phẩm từ lô hàng
1/

Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt

2/

Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản
phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt

Bài 12. Kết quả (b, c) của việc gieo hai con súc sắc cân đối hai lần, được thay vào
phương trình x 2 + bx + c = 0 . Tính xác suất để:
1/

Phương trình vô nghiệm

2/

Phương trình có nghiệm kép

3/

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 13. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng,
6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một bi. Tính xác suất để 2 bi lấy ra
cùng màu
Bài 14. Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm. Lấy ngẫu nhiễn 3 đoạn
thẳng trong 5 đoạn thẳng trện Tìm XS để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành 1 tam giác


Bài 15. Có một bài kiểm tra trắc nghiệm 8 câu với lựa chọn A,B,C,D (mỗi câu chọn một
đáp án).Một bạn học sinh trả lời đại các đáp án.Tính xác suất của bạn đó có thể chọn ra
được chỉ 4 câu đúng
Bài 16. Rút 4 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ gồm 52 con. Xác suất để rút được 3 quân át
Bài 17. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Xác suất để ít nhất 1 lần xuất
hiện mặt 3 chấm
Bài 18. Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 8 bóng tốt . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng . Tính
xác suất để lấy được :
a/ Một bóng hỏng
b/ Ít nhất một bóng hỏng
Bài 19. Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số nốt
xuất hiện trên hai con xúc sắc là 7
Bài 20. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam
và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để :
a) Cả 6 người đều là nam.
b) Có 4 nam và 2 nữ. c) Có ít nhất hai nữ.
CHƯƠNG III: DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ
Dạng1: Chứng minh quy nạp.
1. CMR: ∀n ∈ ¥ ∗ :1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
3. CMR:

1 1 1

1 2n −1
∀n ∈ ¥ : + + + ... + n = n
2 4 8
2
2
∗

2. CMR:
4. CM

∀n ∈ ¥ ∗ :1 + 2 + 3 + ... + n =

n( n + 1)
2

∀n ∈ ¥ ∗ : 2n > n

Dạng2: Cấp số cộng.
Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:
tìm u15.

a /÷ 2,5,8,...
b / ÷ 2 + 3 ,4,2 − 3 ,...

tìmu20.

Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
u 2 + u 5 − u 3 = 10
 4 + u 6 = 26

Bài 3: Cho cấp số cộng: u

Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng
là 165.


Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là
1140.
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số
cộng với công sai là 25.
Bài 7: Cho cấp số cộng

÷

u1, u2, u3, ...

Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147.
Tính u1 + u6 + u11 + u16.
Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80.
Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và
số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3. Tính a10.
Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:
S 4 = 9

3 /
45

S 6 = 2
u 3 + u10 = −31
4 /
2u 4 − u 9 = 7

u 3 + u 5 = 14
1/
S13 = 129
u 5 = 19
2 /
u 9 = 35

Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3.

Tính u20 và S20.

Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4.
Tính u1 và S10.
Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1.
Tính d và S11
Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên
Bài 17: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
u + 2u = 0

a. s 1 = 145
 4

u = 10

b. u 4 = 19
 7

c.

u1 + u5 − u3 = 10

u1 + u6 = 17


u2 + u5 − u3 = 10
u4 + u6 = 26


d. 


Bài 18: Cho một CSC có 5 số hạng . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thư 4
bằng 7 . Hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó .
Bài 19: Một CSC có 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 ,
tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .hãy tìm CSC đó .
Bài 20: Viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một CSC có 8 số hạng .Tính tổng các số
hạng của csc
Dạng3: Cấp số nhân.
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1
2/ Cho q =

1

,
4

n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.

Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:

u 4 − u 2 = 72

u 5 − u 3 = 144

Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48.
Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:

u1 + u 2 + u 3 = 13

u 4 + u 5 + u 6 = 351

Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng
cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số
thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Bài 8: Cho CSN bit u1=-3; q=-2. S -768 là số hạng thứ mấy?
Bài 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa:

u1 + u5 = 51

.

u2 + u6 = 102

a. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó.
b. Tính S10.
Bài 10: Ba số dương lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đó
ta được cấp số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng.


Bài 11: Cho 2 số 2 và 54. Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân.
Bài 12: Cho 2 số 3 và 48. Xen giữa 3 số để được cấp số nhân.
Bài 13: Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85.


HÌNH HỌC:
CHƯƠNG I – PHÉP BIẾN HÌNH:
r

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = ( 2, −3) , A ( −2,1) , B ( 4,3) và đường thẳng d có
phương trình : 2 x + y + 1 = 0 và đường tròn (C): ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = 4
a) Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của điểm A, B qua phép tịnh tiến

r
theo v .

b) Tìm
phương trình của đường thẳng d ' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh
r
tiến theo v .
c) Tìm phương trình đường tròn ( C ' ) là ảnh của đường tròn ( C ) đường kính AB
uuur

qua phép tịnh tiến theo vec tơ OB
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = ( -2; 1) và đường thẳng d có phương trình :
2x – 3y + 3 = 0 và đường thẳng d1 có phương trình: 2x – 3y – 5 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d’là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
b) Tìm tọa độ của
phép tịnh tiến w

w

r
v

có giá vuông góc với đường thẳng d để d 1 là ảnh của d qua

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 4 .
Tìm phương trình đường tròn (C’) ảnh của ( C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2
Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay Q có tâm quay O và góc quay α . Với
giá trị nào của α , phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó ?
Bài 5: Nếu

uur uuur
IA = 2 AB

thì phép vị tự tâm

I

biến

A

thành

B

theo tỉ số

k

bằng bao nhiêu?

Bài 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1). Phép dời hình có được
bằng cách thực
r
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 và phép tịnh tiến theo vectơ v(2;3) biến M thành
điểm N. Tìm tọa độ điểm N
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2). Phép đồng dạng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 và phép đối xứng tâm O sẽ biến M thành
các điểm N. Tìm tọa độ của N
Bài 8 : Trong mặt phẳng Oxy cho (d): −2x + y + 5 = 0 . Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến
đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình của d’
Bài 9 : Cho tam giác đều ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Với giá trị
nào sau đây của góc ϕ thì phép quay Q(O; ϕ ) biến tam giác ABC thành chính nó ?


Bài 10 : Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4 = 0.
Tìm ảnh của đường trong (C):
1

a) Qua phép vị tự V(O; 2 )

1

b) Qua phép vị tự V(0; − 2 )
Bài 11: Cho M'(4;-3). Gọi M' = Q(o;900)(M). Tọa độ của M là bao nhiêu ?
Bài 12 : Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2), C(2;5), D(-1;-3) .Gọi A 1
uuur
là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ BC . Gọi A2 là ảnh của A1 qua phép Q( D ;−90 )
Tìm tọa độ A2.
0

Bài 13: Trong hệ trục tọa độ Oxy.Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số -2 và T là phép tịnh tiến
→
theo vecto u = (−1;−2) , F là phép hợp thành của V và T. Tìm ảnh của đường thẳng (d) -3x
– 8y = 3
qua phép dời hình F
Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy .Tìm ảnh của đường tròn (C):(x – 2) 2 + (y – 4)2 = 16 qua
việc
thực hiện liên tiếp phép Q(O ;−90 ) và phép
0

T→
v

với

→

v = (2;3) .

Bài 15: Cho tam giác ABC. trọng tâm G.

a. Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay

900 .

b. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay
c. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay

900 .

900 .

Bài 16 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình
:
2x + y – 1 = 0 .
a/ Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay

900 .

b/ Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay - 900 .
Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :
x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn đã cho qua

phép quay tâm O góc quay

900 , - 900


Bài 18: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 3 = 0 và điểm A (-1;2)
Tìm phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép dời hình córđược bằng cách
thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm A tỉ số -2 và phép tịnh tiến theo vec tơ v = ( 2, −3) .

Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác. Tìm ảnh của tam giác
ABC qua phép vị tự :
a/Tâm G, tỉ số

1
2

b/ Tâm G, tỉ số 2

c/Tâm A, tỉ số - 2

Bài 20:Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) và đường tròn tâm I, bán kính 2. Viết
phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng
cách thực hiện liên tiếp :
a/ Phép quay tâm O, góc

−900 và

phép vị tự tâm O, tỉ số 2.

b/ Phép vị tự tâm O, tỉ số -2 và phép tịnh tiến theo vectơ AB với A(1;2), B(2;-3)
Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;-4), đường thẳng (d): x − 2 y + 5 = 0 , đường
tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 3 = 0 . Tìm ảnh của M, đt (d) ; đ tròn (C) qua phép tịnh tiến
→
vectơ v =(-3 ; 1).
→

Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm vectơ v =(-1;2), M(2;-3 ) và đường tròn
r
(C): (x-2)2 + (y + 1 )2 = 10 . Tìm ảnh của M, (C) qua phép tịnh tiến v .

Câu 23: Cho đường tròn C có phương trình (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4
Viết phương trình đường tròn C’ ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I (1;1), tỉ số k = Câu 24: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (-3;4) đường thẳng d có phương trình: 2x +
y – 4 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d 1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ
số k = 3
Câu 25: Cho đường thẳng:

3x + 2 y − 1 = 0 .

Tìm ảnh của d qua:

1. Phép quay tâm O góc quay -900.
2. Phép vị tự tâm I (2; -5) tỉ số vị tự k = 2
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(2;-3) và đường thẳng (d): 5x3y+15=0 . Tìm ảnh quả A, (d) qua phép quay tâm O góc quay 90o.
LỚP NÂNG CAO LÀM THÊM CÁC CÂU SAU:


Câu 1: Cho điểm M(1;-3) và đường thẳng (d): x-2y+3=0. Tìm ảnh của M, (d) qua phép
đối tâm I(-2;1)
Câu 2: Cho điểm M(1;-3) và đường thẳng (d): x-2y+3=0. Tìm ảnh của M, (d) qua phép
đối tâm I(-2;1)
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;-4), đường thẳng (d): x − 2 y + 5 = 0 ; đường
tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 3 = 0 . Tìm ảnh của M, (C) qua việc thực hiện liên tiếp phép đối
xứng trục Ox và phép đối xứng tâm O.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính 3.
a) Viết
phương trình ảnh của đường tròn ( I; 3 ) qua phép tịnh tiến theo véctơ
r
v = (−2;1)

b/ Viết phương trình ảnh của đường tròn ( I; 3 ) qua phép đối xứng trục Ox.

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 4 . Hãy viết phương
trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 và phép đối xứng trục Ox.
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (3; -1) và đường thẳng d có phương trình:
x + 2y – 1 = 0. Tìm ảnh của A và d qua:
a/ Phép đối xứng qua trục Oy.
b/ Phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (I,3) Trong đó I(-2;3)
a/ Viết phương trình đường tròn (I,3).
b/ Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (I,3) qua việc thực hiện liên
tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo véc tơ v (-3,2)
Câu 8: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d:x−2y+1=0 và điểm I(2;−1).
a/ Chứng minh rằng I∉d. Viết phương trình của đường thẳng (∆) đi qua I và (∆)
song song với d.
b/ Cho A(−3;2) và B(5;0). Chứng minh A và B không nằm ở phần mặt phẳng ở
giữa hai đường thẳng d và (∆).
c/ Tìm tọa độ của M∈d và của N∈(∆) sao cho AM+BN ngắn nhất.
Câu 9: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;−1) qua phép
đối xứng trục d: x−2y+1=0.


Câu 10: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):(x−1)2+(y+2)2=9. Tìm ảnh
của (C) trong phép đối xứng qua đường phân giác d: y = x.
Câu 11: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;−1) qua phép
đối xứng tâm I(3; 1).
Câu 12: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d:x+y−1=0 qua phép
đối xứng tâm I(3; 1).
Câu 13: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C):(x−1)2+(y−1)2=4
qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Câu 14: Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho ba điểm A(1;−1), B(3;2) và C(7;−5). Ta

thực hiện liên tiếp 2 phép biến hình: Phép vị tự tâm O tỉ số k=−2 và phép đối xứng tâm
I(−1;3) biến A, B, C lần lượt thành A’, B’ và C’.
a/ Tìm tọa độ của A’, B’ và C’.
b/ Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng.
Câu 15: Cho phép biến hình f thỏa biến mỗi điểm M(x;y) thành M’(x−2;y+1)
a. Chứng minh f là một phép dời hình.
x2 y2
+
= 1 qua phép biến hình f.
b. Tìm ảnh của elip (E):
16 4

Câu 16: Cho phép biến hình f thỏa biến mỗi điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) sao cho:
 x' = 2 x
.

 y' = 2 y

f có phải là một phép dời hình không? tại sao?

Câu 17: Với α cho trước, xét phép biến hình f biến mỗi điểm M(x;y) thành M’(x’;y’),
trong đó:
x' = x cos α − y sin α

y' = x sin α + y cos α

f có phải là một phép dời hình hay không?

Câu 18: Cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x;y) thành M’(x’;y’), trong đó:
 x' = x − 2


 y' = y + 1

a)Chứng minh f là một phép dời hình.


x2 y 2
b)Tìm ảnh của elíp (E):
+
= 1 qua phép dời hình f.
16
4

Câu 19: Cho đường thẳng ∆:3x−y−7=0. Tìm ảnh của A(−1;0) qua phép đối xứng trục ∆.
→

Câu 20: Tìm ảnh của parabol (P): y=ax2 qua phép tịnh tiến theo vectơ v =(m;n) .
→

→

Câu 21: Phép tịnh tiến theo vectơ v ≠ 0 biến đường thẳng (∆):3x−y−2=0 thành đường
→

→

thẳng (∆’):3x−y+18=0. Tìm tọa độ của v biết v vuông góc với (∆) và (∆’).
→

Câu 22: Phép tịnh tiến theo vectơ v =(2;−3) biến đường tròn (C):x2+y2−6x+2y−5=0

thành đường tròn (C’) có tâm I’. Tìm tọa độ của I’.
Câu 23: Cho hình bình hành OABC với A(−2;1) và B ở trên đường thẳng d:2x−y−5=0.
Tập hợp của C là đường nào?
CHƯƠNGII – QUAN HỆ SONG SONG
Dạng 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của
đường thẳng SD với mặt phẳng (P)
c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng
(SDC)
d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh
rằng E ,B ,F thẳng hàng
Bài 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB.Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của SB và SC
a)Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)


c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có AB và CD không song song . Gọi M là 1 điểm thuộc
miền
trong của tam giác SCD.
a. Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM)
b. tìm giao tuyến của 2 mp(SBM) và mp(SAC)
c. Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM) , từ đó ruy ra giao tuyến của hai mp(SCD)
và
Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,điểm M thay đổi trên cạnh

SD
a)Dựng giao tuyến (SAD)

 (SBC)

b)Dựng giao điểm N của SC và mặt phẳng(ABM); ABMN là hình gì ? Có thể là
hbh không ?
c)Gọi I là giao điểm của AN và BM.Chứng minh rằng khi M chạy trên cạnh SD
thì I chạy trên 1 đường thẳng cố định
Bài 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M là trung điểm của cạnh
SC.
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM
b)Tìm giao điểm F của SD với (ABM).Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và
ABMF là một hình thang
c)Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với
mp(SBD) .
Bài 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O .M là trung điểm
của SC và
N là trung điểm của OB
a)Tìm giao điểm I của SD với mặt phẳng (AMN)
b)Tính tỉ số

Dạng 2: Hai đường thẳng song song


Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang , cạnh đáy lớn AD. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SC và SD
a)

Chứng minh rằng MN//AB.

b)

Tìm giao điểm K của (BCN) với SA. BK cắt CN tại I, chứng minh rằng
SI//AB//CD. Tứ giác SIDC là hình gì ?

Bài 2.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi Cx là đường thẳng qua C
và song song với SB.
a)
b)

Tìm giao điểm I của Cx và (SAD). Chứng minh rằng DI // SA.
Tìm thiết diện của hình chóp với (BDI).
Dạng 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 1.
Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ∆ABC, ∆ABD. Chứng
minh rằng IJ // (ACD).
Bài 2.
Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm ∆ACD, M là điểm trên cạnh BD sao cho
DM = 2MB.
Chứng minh rằng GM // (ABC).
Bài 3.
Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng.
M, N lần lượt là 2 điểm trên AC, BF sao cho AM = 13 AC, BN = 13 BF. Chứng minh
rằng MN // (CDEF).
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng

tâm của ∆ADB, ∆SAB. Chứng minh rằng G1G2 // (SBD).
Bài 5. Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K lần lượt là trung điểm AB, BC, DA;
là trọng tâm ACD, BCD.
1) Xác định giao tuyến (AKD) và (BJC) ; (JAD) và (ICD)
2) Tìm giao điểm của
3) Chứng minh:

AC //

AG 2

với (IJK)

(IJK);

G1G 2 //

4) Gọi E là trung điểm CD. Tính

(ABC )

HA
.
HG

G1 ,G 2

lần lượt

H=

AG 2 ∩ BG1

. Chứng minh : H là trung điểm IE.
Dạng 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 1.
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trên 1 mặt phẳng.
Trên các đường chéo BD, AE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = AN. Mặt
phẳng (α) chừa MN và song song với AB cắt BC, BE tại P, Q
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Chứng minh rằng PQ // DF và MN // (CDEF).
Bài 2.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SB.
a) Chứng minh rằng (OMN) // (SCD).
b) Gọi G là trọng tâm của ∆BCD, I là 1 điểm trên cạnh SB sao cho SB = 3SI. Chứng
minh rằng GI // (SCD).
Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SD, BC.
a) Chứng minh rằng (OMN) // (SAB)
b) I, J lần lượt là trung điểm SN, AB. Chứng minh rằng IJ // (SAD)
c) Giả sử ∆SCD, ∆ABD cân tại D. Gọi DE, DF lần lượt là phân giác trong của góc D
của ∆BCD và ∆SAD. Chứng minh rằng EF // (SCD).
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. E là trung điểm của
SB, M, N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AD, SC sao cho AM : MD = CN : NS.
a) Chứng minh rằng MN // (ACE)

b) (α) là mặt phẳng qua MN và song song với (ACE). Xác định thiết diện của hình
chóp với (α).
Bài 5.Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành Gọi I là trung điểm của SD
a)Xác định giao điểm K = BI

 (SAC)

b)Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH//(SAD)
c)Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN)//(SBC)


Bài 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.
Gọi M và N là trung điểm của AB và SC
a)Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (SAB) ∩ (SCD)
b)Chứng minh rằng MN //(SAD)
c)Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD
d)Gọi P là trung điểm của SA.Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Bài 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.
Gọi M và N là trung điểm của SA và SC
a)Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (BMN) ∩ (ABCD) ; (BMN) ∩ (SBD)
b)Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = SD
c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d)Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . CMR: MI //(SBC) và (IJN)//
(SAD)
Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung
điểm của SB, G là
trọng tâm

∆SAD .

a) Tìm

I = GM ( ABCD )

b) Tìm

J = AD ( OMG )

. Tính

JA
JD

c) Tìm

K = SA ( OMG )

. Tính

KA
KS

. Chứng minh IC = 2ID.

.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang (AB // CD). Một mặt phẳng lưu
động ( α ) chứa
AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại C’, D’.

a) Hãy xác định giao tuyến (SAD) và (SBC).
b) Gọi I là giao điểm của AD’ và BC’. Tìm tập hợp điểm I .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K, I, J lần lượt
là trung điểm của


các cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh : HKIJ là hình bình hành.
b) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABCD) và
(HKM).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh : MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND).
c) Gọi I là giao điểm AN và DP. Chứng minh : SI // AB // CD.
d) Hình tính của tứ giác SABI.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành . Lấy M trên cạnh AD. Gọi
( α ) là mặt phẳng
qua M và song song với SA và CD. ( α ) cắt BC, SC, SD tại N, P, Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi I là giao điểm của MQ và NP . Chứng minh I luôn nằm trên một đường thẳng
cố định khi M di động trên cạnh AD.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O.
a) Gọi ( α ) là mặt phẳng qua DC cắt SA và SB tại M, N. Chứng minh DCMN là hình
thang.
b) Gọi I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh S, I, O thẳng hàng .
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC. M là
một điểm di động trên cạnh SA. Gọi ( α ) là mặt phẳng di động luôn qua C’M và song
song với BC.
a) Chứng minh ( α ) luôn chứa một đường thẳng cố định.

b) Xác định thiết diện mà ( α ) cắt hình chóp S.ABCD . Định m để thiết diện là hình
bình hành.
c) Tìm tập hợp các giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện khi M chuyển động trên
cạnh SA.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là một điểm di
động trên SC ,


( α ) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

a) Chứng minh ( α ) luôn chứa một đường thẳng cố định.
SB SD SC
b) Tìm các giao điểm H và K của ( α ) với SB, SD. Chứng minh rằng : SH + SK − SM có

giá trị không đổi.
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. M và N lần lượt là trung điểm AD và BC. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng (MBC) và (NAD).
Bài 10. Cho tứ diện SABC. Gọi M,N là các điểm trên các đoạn SB và SC sao cho MN
không song song với BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMN) và (ABC), mặt phẳng
(ABN) và (ACM).
Bài 11. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K là ba điểm tuỳ ý trên SB, AB, BC sao cho JK
không song song với AC và SA không song song với IJ. Định giao tuyến của (IJK) và
(SAC).
Bài 12. Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không đồng phẳng.
a). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACE) và (BFD).
b). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BCE) và (ADF).
Bài 13. Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a). (SMN) và (ABC)
b). (SAN) và (SCM)

Bài 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là
một điểm trên cạnh BD không phải là trung điểm. Tìm giao điểm của:
a). CD và mặt phẳng (MNK)
b). AD và mặt phẳng (MNK)
Bài 15. Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, AB,
BC. Giả sử đường thẳng JK cắt các đường thẳng AD, CD tại M, N. Tìm giao điểm của
các đường thẳng SD và SC với mặt phẳng (IJK)
Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. P là
điểm nằm trên cạnh AD nhưng không là trung điểm. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi
mặt phẳng(MNP).


Bài 17. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn AC, BC, BD lấy các điểm M, N, P sao cho
MN không song song với AB, NP không song song với CD. Xác định thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (MNP) và tứ diện ABCD.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD
(AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD
b) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ADN)
Bài 19. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh AB, CD .
a) Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB // (MNP) và SC // (MNP).