Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (75)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2
TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG
MÔN: TOÁN LỚP 11 (NÂNG CAO)
A.Đại số và giải tích:
1. Tìm u1, d, tính S50 của cấp số cộng biết:
 u 2 + u 5 = 27
;
 u 3 + u 6 = 33

a) 

u6 = 8
 u1 + u 5 − u 3 = 10
 u1 + 2u 5 = 0
; c) 
; d)  2 2
S4 = 14
 u1 + u 6 = 7
 u 2 + u 4 = 16

b) 

2. Định x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng: 10 − 3x; 2x 2 + 3; 7 − 4x .
3.Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh: a 2 + 2bc = c 2 + 2ab
4. Tìm u1, q của cấp số nhân biết:
 u1 + u 3 + u 5 = −21
 u 2 + u 4 = 10

a) u4 = 64, và u6 = 1024; b) 

5. Cho ba số 2, 14, 50. Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành

cấp số nhân.
6. Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh:
(a + b + c)(a − b + c) = a 2 + b 2 + c 2

7. Tính các giới hạn sau:
a)

lim

;
f) lim

9n 2 − n + 1
4n − 2

; b); lim

2n 2 + 1
;
n2 +1

c) lim

n2 + 2
;
n 2 .2n

d) lim(-5n² + 2n+1); e)lim(

n 2 + 3n + 4 − n)

1
1
 1

1 + 2 + 3 + .... + n
3n − 4n
1 + 2 + 22 + . . . . + 2 n
lim 
+
+ ... +
; g) lim
;
h)
lim
;
k)
2
n(n − 2) ÷
n +2
5.2n+2 + 1
 1.3 2.4

3n + 4n


x +1 − 2
;
2
x →3 x − 4x + 3

8. Tính các giới hạn sau: a)
lim+

x→2

x2 + 5x + 6

( x − 2)

(x
; e) lim
x →1

5

2

lim

+ x +3

) ; f) lim

3

x →2

b) lim
x →1

x −1
x+3−2

; a)

lim−

x →3

x+9

2
( x − 3) ; d)

8x + 11 − x + 7
x 2 − 3x + 2

9. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =

c)

x+5
x −3

tại x = 4;

 x+5−2


h(x) =  x + 1
1
 4

x + 3
; neáu x ≠ -1

g(x) =  x − 1
 2
; neáu x=-1

b)

khi x ≠ -1

tại x = -1;

khi x=-1

d)

tại x = -1

 x 2 − 16
neáu x ≠ 4

f(x) =  x − 4
8
neáu x=4


10.Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x - 2.
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= -x + 2012.
2



c) Tiếp tuyến đi qua điểm A  ; −1÷
3

11. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm : a) 2x3 +3x – 4 = 0; b) x5 –10x3 + 100
= 0.
12. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =

1

( 1 + sin

2

2x )

2

; b) y = (1 + cotgx)2; c) y = cos2(2x + 1) - 4x;

e) y = 3sin(3x + 5);

d) y =

f) y = 4sinx - 3cosx; g) y = (1 – x)(x + 2)² ; h)

13. a) Cho f(x) = 2cos2x + 4sinx + 2x2 - 1, tính f’(0); b) Cho f(x) = 112f ’’(-8) – f ’(-8);

x 2 + 6x + 10 ;

y = 3x + 10 − x 2

x4 +

16
,
x

tính A =


c) Cho f(x) =
cos

πx
,
2

tính

x +3,
f '(1)

g '(0)
3

tính B = f(1) + 2f ’(1) + 3f ’’(1); d) Cho f(x) = x3 và g(x) = 2x +

2

14. a) Cho y= x - 3x + 2, tìm x để y’ > 0;
15. a) Cho

y = 4x − x 2

b) Cho

x2 − x +1
y=
;
x −1

tìm x để y’ < 0;

chứng minh y’y + x = 2;

b) Cho hàm số y = 2x − x 2 , chứng minh rằng: y3y’’+ 1 = 0.
16. a) Cho hàm số y = x3 - 2x + 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
điểm M có xM = 2.
b) Cho hàm số y = -x 2+ x + 7 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết hệ
số góc của tiếp tuyến bằng 3.
B. Hình học:
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc

với mp(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
Chứng minh B’D’ // BD và AB’ vuông góc với SB. Tính diện tích thiết diện khi mp(P)
cắt hình chóp.
2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và
khoảng cách từ D đến BC là a. Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH.
a) Chứng minh BC vuông góc với mp(ADH) và DH = a.
b) Chứng minh ID vuông góc với mp(ABC).
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
3. Cho hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và OB =

a 3
. Trên đường thẳng vuông góc
3

với mp(ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.


a) Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.
b) Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB); (SCB) ⊥ (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD =
a 2 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
5. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB).
b) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SCF) ⊥ (SID).

c) Tính khoảng cách từ I đến mp(SCF).