Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (79)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2103-2014
TRƯỜNG THPT VÕ GIỮ
I/ TỰ LUẬN
A/ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1. Tính các giới hạn:
a)

2n − n 3
lim 3
4n − 3n 2 + 1

2n 2 + n
b) lim
1 − 5n 2

c) lim

− 3n 5 + 7 n 3 − 11
4n − 6 n
lim
f)
3n + 2.6n
4n 3 + 6n 2 + 9


1
1
lim 
−
÷

2
2
 n − n +1 n + n +1 

e) lim

 1

1

1



i) lim  1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) ÷


j) lim



g) lim

( n + 1) ( 3 − 2n )

2

d) lim

n3 + 1

n

(

n −1 − n

2 2
2
1 + +   + ... +  
3 3
3

2

n

2

n

1 1
1
1 + +   + ... +  
5 5
5

− 2n 2 + n + 2
3n 4 + 5

)

h)

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →-2

f) x→−∞
lim

k) lim
x →0

6 − 3x
2x +1
2

x2 −1
x2 + 1 −1
x 2 + 16 − 4

2 x 2 + 3x − 5
x →1
x2 −1

b) lim

x − 3x − 2
c) lim

x →2
x2 − 4

2x2 + 1
g) xlim
→+∞ 3 − x 2

h) xlim
→−∞

( −2 x
l) xlim
→−∞

3

x 2 − 3x + 7
2x +1

x 2 − 3x + 1
x−2

d) lim+
x →2

i) xlim
→+∞

(

x2 + 1 − x

1− x

e) xlim
→1

x −1

+

)

j) lim
x →8

3

x − x−4
x −8

)

+ x 2 − 3x + 1

Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

 x2 + 5x − 6
khi x ≠ 1


f ( x) =  x − 1
7
khi x = 1


tại x = 1

x

1 + x
b) g ( x) = 
2


khi x ≠ 0
khi x = 0

tại x = 0


1 − 2 x − 3
khi x ≠ 2

c) h( x) =  2 − x
1
khi x = 2


 x 3 + 2 x + 1 khi x ≥ 1

r
(
x
)
=

d)
khi x < 1
5 x − 1

trên TXĐ

trên

TXĐ
3 x 2
khi x < 2
f ( x) = 
 2mx + 1 khi x ≥ 2

Bài 4. a)Tìm số thực m sao cho hàm số

liên tục trên tập xác định

của nó.
b)Tìm số thực a sao cho hàm số

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x − 2

 ax + 5


khi x ≠ 2

liên tục tại x = 2.

khi x = 2

Bài 5. a) Phương trình sau có nghiệm hay không trên khoảng (-2; 0): x3 + 3x2 - 4x - 7 = 0
b) Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng ( −4;0 ) :
c) Chứng minh rằng với mọi m > 2 phương trình
nghiệm phân biệt.
d) CMR phương trình

(m

2

)

+ 2 x7 + x5 − 1 = 0

x3 + 3x 2 − 4 x − 7 = 0

3

x − 2mx 2 + 2 = 0

luôn có bốn

luôn có nghiệm với mọi tham số m.

e) Chứng minh rằng với mọi m PT sau luôn có nghiệm:

1
cos x

−

1
sin x

=m

Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số
a) y = −

(

 3

b) y =  − x + 3x ÷



1 5
x + 2 x − sin x + tan x
10

e) y = ( x3 + 2 x )
y = sin 2 3x +

f) y = ( 3x

5

2

)

− 4 cot 2 x

x −3

)

−2 x 2 + 3 x + 7
c) y =
x −1

g) y = sin 3x + cos

x
− tan x
2

1
cos 2 x

i) y = sin 2 x.cos 2 x.cos 4 x.cos8 x

Bài 7. a) Cho

sin 2 x
f ( x) =
.
1 + cos 2 x

b) Giải phương trình

j) y = sin ( cos

Tính

2

)

π 
P = f  ÷− 6. f
4

f '( x) = 0

biết

(

x .cos sin 2 x

)

π 
' ÷
4

f ( x ) = 3 cos x + sin x − 2 x − 5

d) y = ( x − 2 )
h)

x2 + 1


c) Cho hàm số
mọi

f ( x) =

mx 3 mx 2
−
+ ( 3 − m) x − 2
3
2

(m là tham số). Tìm m để

f '( x) > 0

với

x∈R

Bài 8. Cho hàm số

y=

2x + 2
x −1

có đồ thị (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng

−

4
.
9

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng y = −4 x + 8
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng y = 4 x − 8
Bài 9. Cho hàm số

y = x3 − 5 x 2 + 2

a) Giải bất phương trình

có đồ thị (C).

f ' ( x ) ≥ −7

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng 3x + y − 1 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng x − 7 y − 28 = 0
Bài 10. Cho hàm số

y = f ( x) =

x−2
x +1

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) biết tiếp tuyến cắt hai đường thẳng d1 : x = −1 và d 2 : y = 1 lần lượt tại A và B sao cho
bán kính đường tròn nội tiếp ∆IAB là lớn nhất, với I là giao điểm của d1 và d 2 .
Bài 11. a) Tìm vi phân của các hàm số sau: y =

x+2
tan x
3
; y = ( sin 3x + 3) ; y =
x −1
x

b) Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số:

y=

1
; y = x 1 + x 2 ; y = sin 5 x
x2

Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)

y=

1
2x − 3

b)

y=

x +1
x−2

c)

y=

1
x − 3x + 2

2


Bài 13. Chứng minh rằng ( sin ax )
Áp dụng tính

y (n)

với

(n)

π

= a n sin  ax + n ÷
2


và ( cos ax )

y = sin 5 x cos 2 x .

(n)

π

= a n cos  ax + n ÷
2


với

n∈ N* .

B/ HÌNH HỌC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; SA ⊥ (ABCD). Một mặt
phẳng ( α ) đi qua A và song song với đường chéo BD của hình thoi cắt các cạnh SB, SD
theo thứ tự tại các điểm E, F. Chứng minh EF ⊥ SC
Bài 2. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác cân ABC đỉnh A. Trên đường thẳng vuông góc
với (P) tại A lấy điểm D. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A trên DM.
a) Chứng minh

AH ⊥ CD .

b) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).
Bài 3. Cho tứ diện SABC có SA ⊥ ( ABC ) . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK và BC đồng quy.
b)

SC ⊥ ( BHK )

c)

HK ⊥ ( SBC )

và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
và ( SBC ) ⊥ ( BHK )

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, SA

( α ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, ( α ) cắt SC tại I.

⊥

(ABCD). Gọi

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh ( SAB ) ⊥ ( SBC )
c) Tìm giao điểm K của SO và ( α ) .
d) Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC ) và

BD // ( α )

e) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi ( α ) .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA =
(ABCD).

a

6
2

và SA

⊥


a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh (SBD)

⊥

(SAC) và (SBC)

⊥

(SAB).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và CD.
d) Tính diện tích tam giác SBD.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA
bên SC tạo với đáy (ABCD) góc 600 .

⊥

(ABCD), cạnh

e) Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD.
f) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
g) Chứng minh BD ⊥ SC và (SBC)

⊥

(SAB).

h) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SB.
i) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Tính khoảng cách từ điểm D đến
mp(ABK).
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

a 2.

a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mp(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAD)
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
e) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện.
f) Tính góc giữa AB và mp(P).
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Chứng minh BC’

⊥

( A ' B ' CD )

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD’ và CB’.
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc nhọn
µ = 600 . Các cạnh bên SA = SC ; SB = SD = a 3 .
A
a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mp(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC).


c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC.
Bài 10. Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2 , SC ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông
tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

b) Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và
SA.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng ∆ vuông góc với mp(ABC) tại
điểm A. Điểm M di động trên ∆ ; gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường
thẳng BM.
a) CMR tích BM.BN là đại lượng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MBC khi M thay đổi trên

∆.

∆.

Bài 12. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng
( AMN ) ⊥ ( SBC ) .
II/ TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

n2 + n + 5
lim 2n 2 + 1

A. 1 ;

có giới hạn bằng:
B.

2;

Câu 2: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

A. 3 ;
6 .
Câu 3:

B.4;
lim

1
7 + 5n

A. 0
Câu 4: Giới hạn

C.
1+

1
2

;

2 4 8
2n
+ +
+... + n +...
3 9 27
3

D. 5
bằng:

C. 5;

D.

là
B. +∞
5x 2 + 2 x + 3
lim
x → +∞
x 2 +1

C. -∞
bằng:

D. 1


A.5

B.3

C.4

D.2

B. limc =c

C.

B. -∞

C. 1

D. -1

B. + ∞

C. -∞

D. 1

Câu 5: chọn câu sai:
A.

lim

c
=0
nk

lim x k = +∞

x →−∞

D.

lim c = c

x → x0

Câu 6: lim(n3- 2n+1) là
A. + ∞
Câu 7:

lim−

x →4

2x
x−4

là

A. 2

Câu 8: Cho hàm số f(x) =

 3− x
khi x ≠ 3
 2
x −9
a
khi x = 3

. Hăy chọn giá trị của a trong các giá trị sau

để f(x) liên tục tại x = 3 .
A.

−1
6

;

B. –1;

Câu 9:: Cho hàm số f(x) =

C. 1 ;

 x + 1 khi x ≥ 0

2 − x khi < 0

lim f ( x) = 1 ;
x →0

B. không tồn tại

C.

lim f ( x) = 2 ;

D.

Câu 10:

lim

2 n − 3.4 n
4 n + 3n

1
6

.

Chọn câu trả lời đúng trong các đáp án sau:

A.

x →0

D.

lim f ( x) ;
x→0

lim f ( x) = 2 .

x →0 +

là

A. -3

B. 0

C. + ∞

D. 4

Câu 11: Đạo hàm của hàm số y = sin2x là:
A.

y' = 2cos2x

B. y' = cos2x

C. y' = -cos2x

D.

y' = -2cos2x

D.

f '(0) = 0

Câu 12: Cho f(x) = sinx + cos2x . Hãy chọn kết quả đúng:
A.

f '(0) = 1

B.

f '(0) = 2

Câu 13: Đạo hàm hàm số y = 1/3tg3x +tgx là:

C. f '(0) = -1


A.

y/ =

1
sin 4 x

B.

y/ =

1
cos 4 x

C.

y / = tg 4 x + 1

D.

y / = 2tg 2 x + 1

Câu 14: Đạo hàm của hàm số y = cos 23x là:
A.

y'= -2sin 23x

B. y'= -sin 23x

C. y' = -3sin6x

D.

y'= 3sin6x

D.

24(2x - 3)3

C. f '(0) = -1

D.

f '(0) = 0

C.

y / = cos x

D.

C. y' = sin2x

D.

Câu 15: Cho hàm số f(x) = (2x - 3)4. Khi đó f ’’(x) bằng:

A.

12(2x - 3)2

B. 48(2x - 3)2

C. 48(2x -3)3

Câu 16: Cho f(x) = sinx + cos2x . Hãy chọn kết quả đúng:
A.

f '(0) = 1

Câu 17: Cho hàm số
A.

y / = cos

1
2 x

Câu 18: Cho hàm số
A.

y''' = -4sin2x

B.
y = sin x

B.

y = sin 2 x

f '(0) = 2
. Khi đó:
y/ =

B. y'' = 2cos2x

hoành độ bằng 1 là ?
y = 4x - 7

2 x

y/ =

cos x
x

.Ta có

Câu 19: Cho đường cong (C):
A.

cos x

y=

x+2
.
x−2

B. y = 4x + 1

Cả ba câu
đều đúng

phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có
C. y = - 4x + 3

D.

y = - 4x + 1

Câu 20: Cho đường cong (C): y = x3. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) có hệ
số góc của tiếp tuyến bằng 3 là:
A.

y = x -2 và y = x + 2

B.

y = 3x - 2 và y = 3x + 2

C.

y = 2x -1 và y = 2x + 1

D.

y = 2x -3 và y = 2x + 3

Câu 21: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng ?
A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc
với đường thẳng c thì a vuông góc với c .


B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song
với đường thẳng c thì a vuông góc với c .
C. Cho cả ba đường thẳng a,b,c vuông góc với nhau từng đôi một . Nếu có một
đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c .
D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc
với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp ( a, b )
Câu 22: Trong các mệnh đề sau đây , mệnh đề nào là đúng ?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song
song với nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia .
C. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d .
Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có đường thẳng AB
vuông góc với d.
D. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (R ) thì giao tuyến d
của (P) và (Q) nếu có sẽ vuông góc với mặt phẳng (R )
Câu 23: Trong các mệnh đề sau đây , mệnh đề nào là đúng ?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với
nhau
D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau .
Câu 24:

Chọn khẳng định sai

A.

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào
vuông góc với a thì cũng vuông góc với (P).

B.

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào
vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.

C.

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào
song song với a thì cũng có thể song song với (P).


D.

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào
song song với (P) thì cũng có thể song song với a.

Câu 25:

Chọn khẳng định sai

A.

Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một

mặt phẳng cho trước.

B.

Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt
phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.

C.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai
mặt phẳng cắt nhau cho trước.

D.

Hình chóp có đáy là tam giác đều và ba cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.

Câu 26:

Chọn mệnh đề đúng

A.

Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B.

Ba vectơ

C.

Ba vectơ không đồng phẳng khi có

D.

Cả ba mệnh đề trên đều sai.

rrr
a, b, c

đồng phẳng thì có

r
r r
c = ma + nb

với m, n là các số duy nhất.

ur
r r r
d = ma + nb + pc

với

ur
d

là vectơ bất kì.

-------------------------------- //---------------------------------