Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (82)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A/ TÓM TẮT GIÁO KHOA
1.

Định nghĩa giới hạn hữu hạn.

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu
một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:limun= 0 hay un → 0 khi

có thể nhỏ hơn

n → +∞
n → +∞

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi
Kí hiệu:limun=a hay un → a khi
2.

un

nếu lim(un-a)=0

n → +∞

Định nghĩa giới hạn vô cực.

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn + ∞ khi

bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi.

n → +∞ ,nếu

un có thể lớn hơn một số dương

Kí hiệu:lim un =+ ∞ hay un → +∞ khi n → +∞ .
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn - ∞ khi

n → +∞ ,nếu

lim(-un)=+

Kí hiệu:limun=- ∞ hay un → −∞ khi n → +∞ .
3.Các giới hạn đặc biệt.
1
a/lim n =0

;lim

b/limqn=0 nếu

1

n
q

k

=0;limnk=+ ∞ với k là số nguyên dương.

<1;limqn=+ ∞ nếu

c.limc = c (clà hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn.
Định lí 1.

q >1.

∞


a/nếu limun = a và limvn = b,thì:
*lim(un+vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b
un

*lim unvn = ab

lim v

=

n

a
b

b/Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun=a thì a ≥ 0 và lim

un = a

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
Định lí 2.
a/Nếu limun = a và limvn =
b/Nếu limun = +

∞

±∞

thì lim

un
=0
vn

và limvn = a > 0 thì limunvn = +

∞
un

c/Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim v

= +∞

n

6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn

q

<1

*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u2 + u3 + ... =

u1
1− q

B/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ NHỜ VÀO CÁC ĐỊNH LÍ 1, 2 VỀ
GIỚI HẠN
PHƯƠNG PHÁP
Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số về dạng có thể áp dụng được định lí 1,2.
*Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử số và mẫu số cho n k,trong đó k là số
mũ cao nhất của n(hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)
*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau:
+ Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.
+ Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểu thức
chứa biến n dưới dấu căn.
Ví dụ1.Tính

3n 3 − 2n + 5
lim
.
1 + 2n 3


Ta có:lim

3n − 2n + 5
=lim
1 + 2n 3
3

5 n + 2.3 n
4n + 1

Ví dụ 2.Tính lim
Ta

2
5
2
5
+ 3)
3− 2 + 3
2
n
n
n
n =3
=lim
1
1
2
n 3 ( 3 + 2)
+2
3

n
n

n 3 (3 −

3
3
5 n (1 + 2.( ) n )
1 + 2.( ) n
5 + 2.3
5
5 = +∞
có:lim n
=lim
=lim
4
1
4
1
4 +1
5 n (( ) n + n )
( )n + n
5
5
5
5
n

n

3

4

(vì lim(1+2.( 5 ) n ) = 1 >0,lim(( 5 ) n +
Ví dụ 3. Tính

lim

Ta có: lim

Ví dụ 4. Tính

1
)=0
5n

và

4
1
( )n + n > 0 )
5
5

4n 2 + 1 − n
1 + 2n
1
4 + 2 −1
1

n 4+ 2 −n
1
4n + 1 − n
=
=lim
=lim 1 n
n
2
1 + 2n
+2
1 + 2n
n
2

n 2 + 3n − 7
)
n +1

lim( n-

Ta có:
7
(n + n) − (n + 3n − 7)
− 2n + 7
n + 3n − 7
n = −2
= lim
= lim
lim(n)=lim
1

n +1
n +1
n +1
1+
n
2

2

−2+

2

Ví dụ 5. Tính lim(2n3+3n-1)
Ta có lim(2n3+3n-1)=limn3(2+
Ví dụ 6. Tính lim(-2n2+n
Ta có: lim(-2n2+n
Ví dụ 7. Tính lim(

3
1
− 3
2
n
n

)=+ ∞

n -n+4)
n -n+4)=limn2(-2+

n2 +1 + n2 − n)

1
n

−

1 4
+ ) = −∞ .
n n2


Ta có: lim(

n2 +1 + n2 − n) =

Ví dụ 8. Tính lim(

1+

1
1
+ 1 − ) = +∞
2
n
n

n2 +1 − n2 − n)

Ta có: lim(

n + 1 − n − n ) =lim
2

2

(n + 1) − (n − n)
2

=lim

limn(

2

n2 +1 + n2 − n

=lim

( n 2 + 1 − n 2 − n )( n 2 + 1 + n 2 − n )
n2 +1 + n2 − n
1+

n +1

=lim

n2 +1 + n2 − n

1+

1
n

1
1
+ 1−
2
n
n

=

1
2

Chú ý: khi gặp các dạng sau(ta gọi là các dạng vô định)thì ta phải biến đổi để đưa về
dạng thích hợp để vận dụng các định lí để giải.
0. ± ∞

∞

0

; ∞ ; + ∞ − (+∞) ; − ∞ + (+∞) ; 0

II. Vấn đề 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Phương pháp: Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn(nếu bài
toán chưa cho giả thiết này).Sau đó tính tổng bằng công thức:

u

S= 1 −1q
Ví dụ 1. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

1 1
3 9

1,- , ,−

1
1
,..., ( − ) n −1 ,...
27
3
1

Giải. Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u1=1,công bội q= − 3
1 1 1
1
+ −
+ ... + (− ) n −1 + ... =
Do đó, S=1- 3 9 27
3

1
1+

1
3

=

3
4

3
3
3
3.(−1) n +1
− +
− + ... +
+ ...
Ví dụ 2. Tính tổng S=
2 2 2 2 4
( 2)n
3


Dãy số:

1

q= −

2

3 3 3
3.(−1) n+1
, ,

, ,...,
,... là một cấp số nhân lùi vô hạng với công bội
2 2 2 2 4
( 2)n

3

3

và u1=

2

.Vì q = −

1
2

=

1
2

< 1 nên(un) là một cấp số nhân lùi vô hạng.Do

đó ta có:

3
3
3

3
3.(−1) n +1
− +
− + ... +
+ ... =
S=
n
2
4
2
2 2
( 2)
3

2 = 3
1
1+ 2
1+
2

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài1.Tính các giới hạn sau:
1. lim

2n 2 − 3n + 1
1− n + n2

4.

(1 − 2n) 2 (3n + 4) 3

lim
1 + n5

7.

n 2 + 4n − 5
lim 3 2
3n + n + 7

2. lim

n4 − n3 + 7
2n 3 − 1

3.lim

5.

4 n +1 − 3 n + 2
lim
1 + 4n

8.

n 5 + n 4 − 3n − 2
lim 3
4n + 6n 2 + 9

6.

2n n − n
n2 + 5

3 n +1
lim ( n − n )
4
3

9. lim

2n

2n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1. lim(-n3+2n-1)

2. lim(3n2-5n n -9)

3.lim(3n+2n+5)

4. lim(3n3-7n+11)

5. lim 2n 4 − n 2 + n + 2

6.lim 3 1 + 2n − n 3

7.lim

4n 2 − n + n
3n + 1

9.lim( 3n 2 + 2n − 1 − n 2 + 1)
Bài 3.Tìm các giới hạn sau.

8.lim( 3n 2 + 2n − 1 + n 2 + 1)


1. lim( n 2 + n + 1 − n)

2.lim

3.lim n 2 + n + 2 − n + 1)

4.lim

5.limn(

1
n + 2 − n +1

1
3n + 2 − 2n + 1

2
n
+1 − n +1
6.lim
3n + 2

n + 1 − n)

Bài 4.Tính các giới hạn sau.
1.lim(

1
2
n
+
+
...
+
)
n2 +1 n2 +1
n2 +1

1
1
1
3.lim( 1 − 2 )(1 − 2 )...(1 − 2 )
2
3
n

2.lim(

1
1
1

1
+
+
+ ... +
)
1.2 2.3 3.4
n( n + 1)

1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2 n
4.lim
3 + 9 + 27 + ... + 3 n

Bài 5.Tính các tổng sau:

1 1 1
(−1) n −1
1.A= 1 − + − + ... + n −1 +…
2 4 8
2
2.B = cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx + ...

1
(−1) n
+ − ... +
+ ...
3.C = − 2 + 1 −
n −2
2
2
2

1

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I.Vấn đề 1.Tính giới hạn của hàm số nhờ áp dụng trực tiếp các định lí 1,2 hay quy
tắc về giới hạn vô cực.
Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau.

2x 2 + x
a/ lim
x →2
x −1


2 x 2 + x 2.2 2 + 2
Ta có: lim
=
= 10
x→2
2 −1
x −1
(− x + 3x − 1)
b/ xlim
→ 3−
3

lim− (− x 3 + 3 x − 1) = ( −33 + 3.3 − 1) = −19

Ta có:

x →3

3x + 2
x → −1 ( x + 1) 2

c/ lim

(3 x + 2) = −1 < 0, lim ( x + 1) 2 = 0 và (x+1)2>0 với mọi x ≠ −1 .
Ta có: xlim
→ −1
x → −1
Do đó xlim
→ −1
d/

lim+

x →5

3x + 2
=- ∞
( x + 1) 2

2 x − 11
5− x

(2 x − 11) = −1 < 0, lim (5 − x) = 0 và (5 - x) < 0 với mọi x > 5
Vì xlim
→5
x →5

+

+

Do đó lim+
x →5

2 x − 11
=+
5− x

∞

(4 x − 2 x + x)
e/ xlim
→ +∞
4

Ta có:

2

lim (4 x 4 − 2 x 2 + x) = lim x 4 (4 − 22 + 13 ) = + ∞
x → +∞
x → +∞
x
x

(−2 x − 5 x + 1)
f/ xlim

→ −∞
3

(−2 x 3 − 5 x + 1) = lim x 3 (−2 − 52 + 13 ) = + ∞
Ta có: xlim
→ −∞
x → −∞
x
x
II. Vấn đề 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
PHƯƠNG PHÁP:


Tuỳ từng dạng vô định mà sử dụng phép khử thích hợp.

u ( x)
0
u ( x) = lim v( x) = 0 ).
(tính lim
khi xlim
→x
x→ x
x→ x v ( x )
0

*Dạng

0

0

0

-Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước.Cụ thể ta biến đổi:

( x − x0 ) A( x)
u ( x)
A( x)
= lim
= lim
x → x0 ( x − x ) B ( x )
x → x0 B ( x )
x→ x0 v ( x )
0

lim

-Tính

lim

x→ x0

A( x)
B ( x)

(Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với
biểu thức liên hợp,trước khi phân tích chúng thành tích rồi giản ước).
*Dạng

∞
(
∞

tính

lim

x→ x0

u ( x)
v( x)

u ( x) = lim v( x) = ±∞ ).
khi xlim
→x
x→ x
0

0

-Chia tử số và mẫu số cho x n với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x(hay phân
tích tử và mẫu chứa nhân tử xn rồi giản ước).
-Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dưới dấu căn thức thì đưa x k ra ngoài dấu căn(với k
là số mũ cao nhất của x trong dấu căn),trước khi chia tử số và mẫu số cho luỹ thừa của x.
*Dạng

∞ - ∞ (Tính

lim [u ( x) − v( x)] khi

x → x0

lim u ( x ) = lim v ( x ) = +∞ hoặc
x → x0

x → x0

lim u ( x) = lim v( x) = −∞

x → x0

x → x0

Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu căn
thức)hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức(nếu chứa nhiều phân thức).
Ví dụ 1.Tính các giới hạn sau:

5x + 5
x → −1 x 2 + 3 x + 2

a/ lim

Ta có: xlim
→ −1
b/ lim
x→2

5x + 5
5( x + 1)

5
= lim
= lim
=5
x + 3x + 2 x →−1 ( x + 1)( x + 2) x →−1 x + 2
2

4x + 1 − 3
x−2


Ta có: lim
x→ 2

4x + 1 − 3
(4 x + 1) − 9
4( x − 2)
= lim
= lim
x→ 2
x−2
( x − 2)( 4 x + 1 + 3) x →2 ( x − 2)( 4 x + 1 + 3)

= lim
x→2

2x3 + x − 2
c/ lim
x → −∞ x 2 − 3 x 3
2x + x − 2

= lim
x → −∞
x 2 − 3x 3
3

Ta có: xlim
→ −∞

2+

4
4x + 1 + 3

=

2
3

.

1
2
−
x2 x3 = − 2
1
3
−3
x

− x5 + x4 + 1

d/ lim
x → +∞
x4 + 2
− x5 + x 4 + 1
= lim
Ta có: lim
x → +∞
x → +∞
x4 + 2

e/ lim

x → −∞

1 1
+
x x 5 = −∞
1 2
+
x x5

−1+

x 2 − x − 1 + 3x
2x + 7

Ta có:

x − x − 1 + 3x
= lim

x → −∞
2x + 7
2

lim

x → −∞

1 1
−
+ 3x
x x2
2x + 7

x 1−

1 1
−
+ 3x
x x2
2x + 7

− x 1−
= lim

x →−∞

1 1
−
+3

x x2
=1
7
2+
x

− 1−
= lim

x → −∞


f/ lim

x → −∞

x2 + x + x

x + x + x = lim
Ta có: xlim
→ −∞
x → −∞
2

( x 2 + x + x)( x 2 + x − x)

x

= lim
x → −∞

x2 + x − x
x

lim

= x →−∞

x2 + x − x

− x 1+

1
−x
x

1

= lim

x → −∞

− 1+

1
−1
x

=−

1
2

2x 2 1
g/ lim (
− )
x → −∞ x + 1
x
2

Ta có: lim (
x → −∞

2x − x − 1
2x
1
= lim
− ) = xlim
2
→ −∞
x → −∞
x
+
x
x +1 x
3

1
1
−

x 2 x 3 = +∞
1 1
+
x x2

2−

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính các giới hạn sau:
1.

lim x 2 − 4

4.

lim+

7.

x →3

x →3

2.

7x −1
x −3

lim ( x 3 − 2 x + 1)

x → −∞

3x + 5
x →1 x + 1

lim

5.

lim−

x →3

3. xlim
→ −2

7x −1
x −3

8. lim

x → +∞

6.

x 2 + 3x − 7

5x + 4
( x + 2) 2

lim−

x → −3

9. lim

x → −∞

7x −1
x −3
4x 2 + x − 1

Bài 2.Tính các giới hạn sau.
1.

x2 − x − 2
lim
x →2
x−2

2 x 2 − 5x + 3
2. lim
x →1
x −1


x 2 − 4x + 3
3. lim
x →3
x−3

4.

x3 − 2x 2 − x + 2
lim
x→2
x2 − 4

6. lim
x →3

x +1 − 2
1− x − 2

2
x
+ x +1 −1
8. lim
x →0
3x

Bài 3.Tính giới hạn các hàm số sau khi
1.f(x)=

x4 + x − x4 − x

3.h(x)= x( x 2 + 1 + x )

3x 2 − 4 x + 1
3. lim1
3x − 1

x→
3

x2 +1 − 1− x
x

5. lim

x → −∞

3

7. lim
x →1

x − 2x − 1
x −1

x3 + 3 3
9. lim
x →0 3 − x 2
x → +∞, x → −∞

2.g(x)= x 2 + 1 + x
4. k ( x) =

1
4x 2 − 2x + 2x

HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
I. Định nghĩa hàm số liên tục:
*Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0∈ K .
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu

lim f ( x) = f ( x0 ) .

x → x0

*Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của
khoảng đó.
* Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục trên khoảng
(a;b) và lim+ f ( x) = f (a) , lim− f ( x ) = f (b) .
x→a

x →b

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
II.Các định lí.
1.

Định lí 1.
a/Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của
nó.
2.

Định lí 2.

Giả sử y = f(x) và y = g(x)là hai hàm số liên tục tại x0.Khi đó:
a/Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x).g(x)cũng liên tục tại x0
f ( x)

b/Hàm số y= g ( x) liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0 .
3.
Định lí 3. Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại
ít nhất một điểm c ∈ ( a; b ) sao cho f(c)=0.
Mệnh đề tương đương:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) .f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có
ít nhất một nghiệm x0∈ ( a; b )
4.

Định lí 4.( định lí giá trị trung gian).


Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a)
giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ ( a; b )

≠ f(b)thì với số thực M nằm

sao cho f(c) = M.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Vấn đề1.XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM X 0 DỰA VÀO ĐỊNH
NGHĨA.
PHƯƠNG PHÁP:
lim f ( x ) với f(x0)

*Tính và so sánh x→
x0
*Trong trường hợp bên trái,bên phải x 0 hàm số được xác định bằng hai biểu thức khác

lim f ( x) cần tìm lim+ f ( x) ,
nhau, để tìm x→
x0
x→ x
0

lim f ( x) và lưu ý rằng:

x → x0 −

lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− = L

x → x0

x → x0

Ví dụ 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau:

 x2 −1
khix ≠ −1

1. f ( x) =  x + 1
tại x = - 1.
− 2khix = −1


 x − 2 − 3khix ≥ 2
g
(
x
)
=
2.
tại x = 2.
 2
 x − x + 1khix < 2
 x−4
khi3 ≤ x < 4

3. h( x) =  x − 3 − 1
tại x = 4
 x − 2khix ≥ 4


Giải
1.Tập xác định của hàm số là D = R,chứa x = - 1
Ta có:f(-1)=-2

x2 −1
lim f ( x) = lim
= lim ( x − 1) = −2 = f (−1)
x → −1
x → −1 x + 1
x → −1
Do đó,hàm số liên tục tại x = - 1.

x → x0


2.Tập xác định của hàm số là D = R chứa x = 2.
Ta có:g(2)=-3.
lim g ( x) = lim− ( x 2 − x + 1) = 3 ≠ g (2) nên không tồn tại

x→2−

x→2

lim g ( x)
x→ 2

Do đó,hàm số không liên tục tại x=2.
3.Tập xác định của hàm số là D=[3; + ∞ )nên nó xác định trên khoảng (3; + ∞ ) có chứa
x=4.

lim h( x) = lim+ ( x − 2) = 2

x →4+

x →4

x−4

lim− h( x) = lim−

x →4

x − 3 −1

x→4

= lim−
x→4

( x − 4)( x − 3 + 1)
= lim− ( x − 3 + 1) =2
x→4
x−4

h( x) = lim h( x) = h( 4) = 2 nên lim h( x ) = h( 4)
Vì xlim
→4
x →4
x →4
+

−

Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=4.
II. Vấn đề 2.
XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.
Phương pháp:
Dùng định lí về sự liên tục của các hàm số đa thức,phân thức hữu tỉ,lượng giác.
Nếu hàm số được cho bằng nhiều biểu thức khác nhau,cần nghiên cứu tính lien tục tại
một điểm.
Ví dụ 2.Xét tính lien tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

 x 2 − 5x + 6
khix > 3

f ( x) =  x − 3
2 x + 1khix ≤ 3

Giải. Tập xác định của hàm số là D=R

x 2 − 5x + 6
*Với x>3:f(x)=
là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (3;+ ∞ ) thuộc tập xác
x−3
định của nó.


*Với x<3:f(x )= 2x+1 là hàm số đa thức nên liên tục trên(- ∞ ;3) thuộc tập xác định của
nó.
*Với x = 3:

x 2 − 5x + 6
( x − 3)( x − 2)
lim+ f ( x) = lim+
= lim+
= lim+ ( x − 2) = 1
x →3
x →3
x →3
x →3
x−3
x−3

lim f ( x) = lim− (2 x + 1) = 7

x →3 −

x →3

f ( x) ≠ lim− f ( x) nên hàm số đã cho không cố giới hạn hữu hạn
Vì xlim
→3 +
x →3
khi x → 3.Do đó nó không liên tục tại x = 3.
III.Vấn đề 3.
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
Ví dụ 3:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x=-1:
 3x + 4 − 1
khix ≠ −1

f ( x) =  x + 1
mkhix = −1


Giải.
f ( x) = lim
Ta có: xlim
→ −1
x → −1

3x + 4 − 1

3x + 4 − 1
3
3
= lim
= lim
=
x → −1
x +1
( x + 1)( 3 x + 4 + 1) x →−1 3x + 4 + 1 2

Hàm số trên liên tục tại x=-1 ⇔ lim f ( x) = f (−1) ⇔ m =
x → −1

3
2


IV. Vấn đề 4.
CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH f(x)=0 CÓ NGHIỆM
Phương pháp:
*Để chứng minh phương trình có nghiệm,cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x)
liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0.
Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
- Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.
*Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm,cần tìm được k cặp số a i và bi sao cho
các khoảng (ai;bi) rời nhau,f(ai).f(bi)<0 và hàm số y=f(x) lien tục trên tất cả các đoạn
[ai;bi].
Ví dụ 4.
Chứng minh phương trình 2x5-5x3-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1):

Giải:
Xét hàm số f(x)= 2x5-5x3-1.
Chọn hai số thực -1,0 cùng thuộc khoảng (-2;1),ta có f(-1)=2,f(0)=-1.
Do đó f(-1).f(0)=-2<0 (1)
Hàm số nêu trên liên tục trên R,do đó liên tục trên đoạn [-1;0] (2)
Từ (1) và(2) suy ra phương trình f(x)=0 hay 2x 5-5x3-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (-1;0),nghĩa là thuộc khoảng (-2;1).
Ví dụ 5:CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Giải.
Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn
[0;1] và [1;3].(1)
Ta có:f(0)=1;f(1)=-1;f(3)=13.Do đó f(0).f(1)<0 và f(1).f(3)<0(2)
Từ (1) và(2) suy ra pt f(x)=0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1=0
Giải.


Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1.Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên
[1;2].(1)
Ta có f(1)=-1;f(2)=m2+3.
Do đó f(1).f(2)<0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra pt f(x)=0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2),nghĩa là có nghiệm.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1.Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=0 và x=3.

 1+ x −1
khi − 1 ≤ x ≠ 0

f ( x) = 

x
mkhix = 0

Bài 2.Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R.
 x 2 + 4x + 3
khix > −3

f ( x) =  x + 3
 A.x − 1khix ≤ −3


Bài 3.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.

 x 2 + 3x + 2
khix > −1

f ( x) =  x + 1
1khix ≤ −1

Bài 4.Chứng minh rằng phương trình:
a/2x5+3x4+3x2-1=0 có ít nhất 3 nghiệm.
b/2x3+3x2+10x+200=0 luôn có nghiệm.
c/4x4+2x2-x-28=0 luôn có nghiệm


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM.
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Đạo hàm của tổng hiệu các hàm số.
(u+v)’=u’+v’;(u-v)’=u’-v’.

2. Đạo hàm của tích các hàm số:
(u.v)’=u’.v+v’.u
Đặc biệt:(au)’=a.u’(a là hằng số)
3.Đạo hàm của thương hai hàm số:
'

 u  u '.v − v '.u
 ÷=
v2
v

1
x

Hệ quả:a/ ( )' = −

1
( x ≠ 0)
2
x

1
v

b/ ( )' = −

v'
(v ≠ 0)
v2

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1.TÌM ĐẠO HÀM CỦA TỔNG HIỆU TÍCH THƯƠNG CÁC HÀM SỐ
Phương pháp:
Ta cần nhớ các kết quả sau để tính:
1.Bảng đạo hàm các hàm số đơn giản:
*(C)’=0 (C là hằng số)
*(x)’=1
*( x α )' = αx α −1 ( x > 0, α ∈ R )
1
x

* ( )' = −
* ( x )' =

1
( x ≠ 0)
x2

1
2 x

( x > 0)


2.Các quy tắc:
*(u + v)’=u’ + v’;
*(u-v)’=u’- v’.
*(u.v)’=u’. v + v’.u
*(au)’ = a.u’
'

 u  u '.v − v '.u
* ÷ =
v2
v
Ví dụ 1:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x +1.

1.y=x6 - 4x4 + 3x2 - 4
3

2.y=3x4- x +5x-20
Giải.
1.Ta có y’=( x6-4x4+3x2-4

x +1)’=

(x6)’-(4x4)’+(3x2)’-(4

=6x 5-16x3+6x3
x

x )’+1’

2
x

3
x

2.y’=(3x4- +5x-20)’=(3x4)’-( )’+(5x)’-20’ =12x3+

3
x2

+5

Ví dụ 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.y=(2x-1)(3-x)

2.y=(x2+x+1)(x-2)

3.y=(2

Giải.
1.y’= [(2x-1)(3-x)]’=(2x-1)’(3-x)+ (2x-1)(3-x )’
=2(3-x) +(2x-1)(-1)
=6-2x-2x+1=-4x+7.
2.y’=[(x2+x+1)(x-2)]’=(x2+x+1)’(x-2)+ (x2+x+1)(x-2)’
=(2x+1)(x-2)+( x2+x+1)1
=2x2-4x+x-2+ x2+x+1
=3x2-2x-1.

x +1)(4 x -3)


3.y’= [(2

x +1)(4 x -3)]’=(2 x +1)’(4 x -3)+(2 x +1)(4 x -3)’

=
=4-

1
x
3
x

(4 x − 3) + (2 x + 1)
2

+4+

x

2
x

1

=8−

x

Ví dụ 3.Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x − 4

1.y= 4 x + 5

2.y=

2 x 2 − 3x + 7
x −1

Giải.
1.y’=(

(3 x − 4)'.(4 x + 5) − (4 x + 5)' (3 x − 4)
3x − 4
)’=
(4 x + 5) 2
4x + 5

=

3(4 x + 5) − 4(3 x − 4)
31
=
(4 x + 5) 2
(4 x + 5) 2

2 x 2 − 3x + 7
(2 x 2 − 3 x + 7)' ( x − 1) − ( x − 1)' (2 x 2 − 3 x + 7)
)' =
2.y’= (
x −1
( x − 1) 2
(4 x − 3)( x − 1) − ( 2 x 2 − 3 x + 7) 2 x 2 − 4 x − 4
=

=
( x − 1) 2
( x − 1) 2
II.Vấn đề 2.TÌM ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
Phương pháp:
Ta áp dụng các quy tắc sau để tính:
* y x = y u .u x
'

'

'

*(un)’=nun-1.u’

1
v'
* ( )' = − 2 (v ≠ 0)
v
v

* ( u )' =

1
2 u

Ví dụ 4.Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.y=(2x2+3x-5)2007
Giải.

2.y= 4 x 3 − 3 x 2 + 1

4

3.y= ( x 2 + 1)

.u '


1.y’= [(2x2+3x-5)2007]’=2007(2x2+3x-5)2006.( 2x2+3x-5)’
=2007(2x 2+3x-5)2006.(4x+3)
2.y’=( 4 x − 3x + 1 )’=
3

2

(4 x 3 − 3x 2 + 1)'
2 4 x − 3x + 1
3

2

=

12 x 2 − 6 x
2 4 x − 3x + 1
3

2

=

6x 2
4 x 3 − 3x 2 + 1

4
4( x 2 + 1)'
8x
=
3.y’=( 2
)= − 2
( x + 1) 2 ( x 2 + 1) 2
( x + 1)
C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 được cho kèm theo:
1.y=7+x-x2,x0=1

2.y=x3-2x+1,x0=2

3.y=2x5-2x+3,x0=-1

Bài 2.Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau(a,b là hằng số):
1.y=x5-4x3+2x-3 x

1 1
2
4
2.y= − x + x − 0,5 x
4 3

x4 x3 x2
3.y= −
+
− x + a3
4
3
2

4.y=

ax + b
cx + d

Bài 3.Tìn đạo hàm của mỗi hàm số sau:
1.y=(x7+x)2
3.y=

2x
x2 −1

x 2 + 2x + 2
5.y=
x +1

2.y=(x2+1)(5-3x2)
4.y=

5x − 3
x2 + x +1

6.y=x(2x-1)(3x+2)

ax + b
ad − bc
)'
=
Bài 4.Chứng minh rằng:(
cx + d
(cx + d ) 2
Bài 5.Tìm đạo hàm mỗi hàm số sau:
1.y=(x-x2)32
3.y=

1+ x
1− x

2.y=

1
x x

4.y=

x
a − x2
2

(a là hằng số)

Bài 6.Cho hàm số y=f(x)=
f’(x)

x 2 − 2 x .Hãy

giải bất phương trình:

≤ f (x)

Bài 7.Cho hàm số y=x3-3x2+2.Tìm x sao cho:
1.f’(x)>0

2.f’(x)<3.
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Đạo hàm của hàm số sin.
*(sinx)’=cosx
*(sinu)’=u’.cosu
*(sinnu)’=n.sinn-1u.cosu.u’
2. Đạo hàm của hàm số cosin
*(cosx)’=-sinx
*(cosu)’=-u’.sinu
*(cosnu)’=-n.cosn-1u.sinu.u’
3. Đạo hàm hàm số tang
*(tanx)’=

1
= 1 + tan 2 x
2

cos x

*(tanu)’=

u'
= (1 + tan 2 u )u '
cos 2 u

* (tannu)’= n. tan n−1 u.

u'
= n. tan n −1 u (1 + tan 2 u )u '
2
cos u

4. Đạo hàm của hàm số cotang
*(cotx)’=-

1
= −(1 + cot 2 x )
2
sin x

*(cotu)’=-

u'
= −(1 + cot 2 u ).u '
2
sin u

*(cotnu)’=- n. cot n−1 u.

u'
= −n. cot n −1 u.(1 + cot 2 u ).u '
2
sin u


B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Khi tính đạo hàm của hàm số lượng giác,ngoài các công thức tính đạo hàm đã
học,cần chú ý đến các công thức thu gọn sau:
*sin2x = 2sinx.cosx
*cos2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x
Ví dụ .Tính đạo hàm các hàm số sau:
1.y = sin2x

2.y = 2sinx+sin2x-sin2x

3.y = sin2(2x2 - 3x + 1)

4.y =

sin(4 x + 3)

Giải.
1.y’= (sin2x)=2sinx.cosx=sin2x
2.y’=(2sinx+sin2x-sin2x)=2cosx+2cos2x-2sinx.cosx
=2cosx+2cos2x-sin2x
3.y’= [sin2(2x2-3x+1)]’=2sin(2x2-3x+1).cos(2x2-3x+1).(2x2-3x+1)’
=(4x-3)sin(4x2-6x+2).

4.y’= (

sin(4 x + 3) )’=

[ sin(4 x + 3)]'
2 sin(4 x + 3)

=

4 cos(4 x + 3)
2 sin(4 x + 3)

=

2 cos(4 x + 3)
sin( 4 x + 3)

C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.y=3sinx-4cosx
3.y=
5.y=

x
1 − cos x

cos x
sin x + cos x

7.y=xsinx+cosx

9.y= 1 + 2 tan x

2.y=4sin 2x-3cos4x
4.y=
6.y=

1 − sin x
1 + sin x

sin x + cos x
sin x − cos x

8.y=xcotx
10.y=3tanx+tan3x+tan 3x

Bài 2.Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.y=sin3x.cos2x

x
2

2.y=cos +sin2x-cosx2


π

3.y=sin2x.cos3x

4.y=cot3(2x+ 4 )

5.y=sin2(cosx)

6.y=tan2

x2 +1

Bài 3.Chứng minh rằng hàm số y=sin 6x+cos6x+3sin2x.cos2x có đạo hàm không phụ thuộc
vào x.
Bài 4.Cho hàm số y=sin2x-2cosx.Hãy giải phương trình:y’=0.
Bài 5.Cho hàm số y=3sin2x+4cos2x+12x.Giải phương trình y’=2.
ĐẠO HÀM CẤP CAO.
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
*Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x).Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm
số f(x).Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm
số f(x).Kí hiệu là:f’’(x) hay y’’.
*Đạo hàm của đạo hàm cấp hai gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x).Kí hiệu là:f’’’(x)
hay y’’’.
* Đạo hàm của đạo hàm cấp ba gọi là đạo hàm cấp 4 của hàm số f(x).
Kí hiệu là: f’’’’(x) hay y’’’’hay y(4).
*Tương tự,ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n của hàm số f(x),kí
hiệu là y(n) hay y(n).Tức là ta có:
y(n)=(y(n-1))’(n∈ N ,n>1)
2. ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
Đạo hàm cấp hai của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời
điểm t.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
I.Vấn đề 1.Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số.
Ví dụ 1.Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số:y=xcosx-sinx
Giải.

Ta có:*y’=x’.cosx+x.(cosx)’-(sinx)’
=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.
*y’’=(-xsinx)’=(-x)’.sinx+(-x).(sinx)’
=-sinx-xcosx
*y’’’=(-sinx)’-(x’.cosx+x.(cosx)’)
=-cosx-(cosx-xsinx)=xsinx-2cosx.
Ví dụ 2.Cho hàm số y=

3x − 4
.Tìm
x+2

x sao cho y’’=20

Giải.
Ta có:
*y’=

3.2 − (−4).1
10
=
2
( x + 2)
( x + 2) 2

*y’’= − ( x + 2) 4 [( x + 2)
10

2

]' = − ( x +202)

3

Do đó:y’’=20 ⇔ (x+2)3 = - 1 ⇔ x + 2 = - 1 ⇔ x = - 3
II.Vấn đề 2.Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm.
Phương pháp:
*Tìm các đạo hàm đến cấp cao nhất có mặt trong đẳng thức cần chứng minh.
*Thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi vế này cho bằng vế kia.Từ đó suy ra đẳng
thức cần chứng minh.
Ví dụ 3.CMR:nếu y=xsinx thì xy-2y’+xy’’=-2sinx(1).
Giải.
Ta có:*y’=sinx+xcosx
*y’’=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx.
Do đó:
Vế trái(1)=x(xsinx)-2(sinx+xcosx)+x(2cosx-xsinx)
=x2sinx-2sinx-2xcosx+2xcosx-x2sinx
=-2sinx=Vế phải(1)( đpcm)
Ví dụ 4.Cho hàm số y=

2
x + x 2 + 1 .CMR:2 x + 1. y ' = y