Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (84)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI
PHẦN I: ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
Kiến thức trọng tâm

Bài tập

1. Giới hạn của hàm số:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

- Các giới hạn đặc biệt:

+ limx=x 0 ; limc=c
x → xo

x → xo

c
=c
x
x →±∞

+lim c =c; lim
x →±∞

2 x2 + x − 6
x →−2 − x 2 − 3 x − 2

1)

lim

2x2 − 7 x + 3
4) x→3 2
x − 4x + 3
x 6 − x + 15
7) xlim
→−∞ 2 x 6 + 5 x 2

2x − 3
x →1 x + 4

2)
5)

lim

3)

lim

lim
x →4

lim
x→0

x − 3 −1

x − 3x − 4

6)

2

5x 2 + 1 − x 5 )

(
8) xlim
→ +∞

9)

x +1 −1
x
lim 4 x 2 − 1 − x

x →+∞

lim

x →−∞

( c là hằng số)
x k = +∞, k ∈ Z +
+ lim
x→+∞

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

x k = +∞, k là số chẵn
+ lim
x→−∞

1)

k
x
= −∞, k là số lẻ
+ lim
x→−∞

- Định lý về giới hạn hữu hạn

lim−

x →−3

lim

4)

x →−3

2x − 7
x+3

2)

lim−

x →−2

3x − 1
x+2

3)

lim
x →2

x −3

( x − 2)

( x + 3)

2

2

x+5

x →3

x 3 + 3x 2 − 9 x − 2
lim
x →2
x3 − x − 6

10)

2

x−2

- Các quy tắc tính giới hạn Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
3 
 1
x 2 + 3x − 10
vô cực
lim
−
1) lim
2)
3)
3 
2
x
→
1
x →2 3 x − 5 x − 2
1 − x 1 − x 
- Các phương pháp tính giới
x 2 + 2 x − 15
x + 2 x − 15
hạn các dạng vô định
lim
lim

5)
6) lim
x →1
x → −5
x −3
7)

x 2 + 3x − x
x+3

x − 3 −1
2
x →4 x − 3x − 4

lim

Trang

1

8)

x 2 + 3x − 4
lim
x → −4
x 2 + 4x

11)

lim

x →2

x2 + 5 − 3
.
x−2

lim

x −1

1− x
3
x −1
x( x + 5) − 6

9)

x →1

x 2 − 5x + 6
x → −4 x 2 − 12 x + 20
lim

12)

lim
x →5

5− x
5− x

4)


Kiến thức trọng tâm

2. Hàm số liên tục:

Bài tập
13)

lim

15)

lim

x→2

x → −1

3x − 5 − 1
x−2

14)

lim
x →0

x

1+ x −1

x +1
6 x 2 + 3 + 3x

Bài 4:


- Các bước xét tính liên tục

của hàm số tại một điểm, liên 1) Cho h/số f(x)= 

tục trên R


x +1 −1
x
1
2

, neáu x ≠ 0
, neáu x = 0

- Dựa vào tính liên tục của Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.Xét tính liên tục của
hàm số chứng minh sự có hàm số trên R.
nghiệm của phương trình
 x − 8 , neáu x ≠ 2
3

2) Cho hàm số


g(x)=  x − 2
5


, neáu x = 2

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.Xét tính liên tục của
hàm số trên R. Trong g(x) trên phải thay số 5 bởi số nào
để hàm số liên tục tại x = 2.
3) Cho hàm số f(x)=

 x2 − 4

 x+2
m


, neáu x > −2
, neáu x ≤ 2

Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 2.Xét tính liên tục
của hàm số trên R
4) Cho hàm số f(x)=

3
 1
- 3
, neáu x > 1


 x -1 x −1



mx +2 , neáu x ≤ 1

Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 1.Xét tính liên tục
của hàm số trên R
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

Trang

2


Kiến thức trọng tâm

Bài tập

1. Tính đạo hàm bằng định Bài 1: Tìm đạo hàm của các hs sau bằng định nghĩa.
nghĩa
1) y = f(x)= x3 − 2x +1 tại x0 = 1.
2) y = f(x)= x2 − 2x tại x0 = − 2.
3) y = f(x)=
4) y =f(x)

=

x+3

x+2
x−3

tại x0 = 6.
tại x0 = 4

2. Tính đạo hàm bằng công Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
thức:
x2 − 2 x − 3
1) y = x + 5
2) y = x4 − 3x 2 + 7
- Công thức tính đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm

x +1
6) y = tan
2
- Đạo hàm của hàm số lượng 8) y = sin x + x
x
sin x
giác
10) y =sin(sin(2x
- Đạo hàm cấp cao

1 + x3
1− x2

9) y = sin 1 + x 2
−

5

13)


5
y = 7 + 3 ÷
x 


x+2
15) y = (1 − x2 )(1 + x)3

17) y = cos(sinx)

1 − 2 x2

22) y = x x 2 +1
25) y =

11) y = 1 + 2 tan x

7))

x −1
16) y = 2 x + 1

19) y = cos

5) y = 3 x

7) y = x.cotx

- Chứng minh đẳng thức
12) y = cot 3 1 + x 2
chứa đạo hàm
14) y =

12

sin x + cos x

4) y = sin x − cos x

3) y = cos3x.sin3x

x
20) y = sin 3x
23) y = 1 + 2 tan x

2 x 2 −1
y
=
18)
x−2

21) y =

1 + cos 2

24) y = sin(sinx)

x2 − 2 x + 3
2x +1

Bài 3: Cho hàm số f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3. Tìm m để
1) f’(x) ≥ 0 với mọi x.
Trang

3

2) f’(x) > 0 với mọi x > 0

x
2


Kiến thức trọng tâm

Bài tập
Bài 4: Cho y = x3

−

3x2 + 2.

Tìm x để: a/ y’ > 0

b/ y’< 3

Bài 5: CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã cho
tương ứng
1) y =

1 − x2

2) y =

2x − x2

ta có (1 − x2)y” − xy’ + y=0

,
,

ta có

y3.y” + 1 =0

Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng
1) f ( x) = 3x +
f ( x) =

60 64
+ +5
x x3

2)

sin 3x

cos3 x 

+ cos x − 3  sin x +
3
3 ÷


Bài 7: Tính đạo hàm cấp 4 của các hàm số sau
1) y =

1
x

2) y =

1
x +1

3) y = sinx

4) y = cosx

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 2, viết phương trình
tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
1) Biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0.

3.Phương trình tiếp tuyến.
-Tiếp tuyến của đồ thị
điểm M thuộc (C).

- Biết tiếp tuyến có hệ số góc 2) Biết tung độ tiếp điểm là y0 = 0
k.
3) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 9
Bài 2: Cho hàm số y = – x3 + 3x2 – 4x + 2 viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1) Tại điểm x0 = 2
2) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

1
x+3
4

3) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + 3 = 0.

Trang

4


PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG III. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC .
Kiến thức trọng tâm

Bài tập

1. Véctơ trong không Bài 1: Cho hình chóp S.ABCB có đáy ABCD là hình thoi tâm
gian: (nắm phương pháp O.
chứng minh 3 điểm thẳng
Biết SA = SC và SB = SD.
hàng,

3 véctơ đồng
a) Chứng minh SO ⊥ ( ABCD )
phẳng, đường thẳng song
song đường thẳng, đường
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng
thẳng song song mp).
minh IJ ⊥ ( SBD )
2. Quan hệ vuông góc
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác
Dạng 1: Tính góc giữa đều, gọi I là trung điểm BC.
hai đường thẳng chéo
a) Chứng minh BC ⊥ ( ADI )
nhau a và b, tính góc giữa
b) Vẽ đường cao AH của tam giác ADI. Chứng minh
đt và mp, góc giữa hai
AH ⊥ ( BCD )
mp.
Dạng 2: Chứng minh hai Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình
đường thẳng a và b vuông vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
góc nhau
AD.
Dạng 3: Chứng minh a)Cm AD vuông góc với mp (SOI) , DB vuông góc với
đường thẳng vuông góc mp(SAC)
với mặt phẳng:
b) Tính tan của góc giữa SA và mặt đáy (ABCD)
Dạng 4: Chứng minh hai c)Tính tang của góc giữa (SAD) và mặt đáy (ABCD)
mặt phẳng vuông góc
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AD=CA=DB = a 2
nhau:
và CD = 2a.

Dạng 5: Khoảng cách
a) Chứng minh: AB vuông góc với CD.
-Khoảng cách từ một
b) Tính d(AB,CD)
điểm đến một đt, khoảng
cách từ một điểm đến một Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là
mp.
tam giác đều cạnh a, các cạnh bên bằng a.
-Khoảng cách từ một đt
a) Gọi I trung điểm BC chứng minh AI vuông góc với
đến một mp song song,
BC’.
Trang

5


khoảng cách giữa hai mp
song song.

b) Gọi M là trung điểm BB’. Chứng minh BC’ vuông góc
AM

-Khoảng cách giữa 2
c) Tính góc giữa MI và mp(ABC)
đường thẳng chéo nhau.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D biết AB = 2a, AD =DC=a, SA vuông góc
(ABCD) và SA = a.
a)CMR : mp (SAD) vuông góc với mp(SDC), mp(SAC)

vuông góc với mp(SCD)
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
c)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SD vuông góc với
mp(SAC). Xác định mp(P). Tính diện tích thiết diện của hình
chóp cắt bởi mp(P)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm
O và SB=SD.
a) Chứng minh mp(SAC) là mặt trung trực đoạn BD.
b)Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
cạnh SB và SD. Chứng minh SH=SK,OH=OK và HK // BD
b) c) CM mp(SAC) là mặt trung trực đoạn HK.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a, SA ⊥ (ABCD). Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với
SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại E, K, H.
a) Chứng minh AE

⊥

SB và AH

⊥

SD.

b) Chứng minh rằng EH // BD. Từ đó nêu cách xác định
thiết diện.
c) Tính diện tích thiết diện khi SA = a

2.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
tâm O. Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a.

Chứng minh BC

b.

Chứng minh (AEF)

Trang

6

⊥

(SAB), CD
⊥

(SAC);

⊥

(SAD);


c.

Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).

d.

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 10: Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O, cạnh
a, góc A=60o và đường cao SO = a
a) Chứng minh: (SBC) ⊥ (SOI).
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
HỌC SINH ÔN LẠI CÁC BÀI TẬP GV ĐÃ CHỮA Ở
SGK 11 CHUẨN

Trang

7