Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (94)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2011-2012
TRƯỜNG THPT BẮC TRÀ MY
A. PHẦN GIẢI TÍCH
I. Giới hạn
1. Tìm các giới hạn sau:
a)

6n 3 - 2n 2 + 3
lim 3
n + 3n + 2

c)

lim

e)

lim

2

( 2n + 1) ( 3n + 2)
b) lim
n 4 ( 5n + 1)

n 4 + 2n 3 - 1

( n + 1)

(

3

3

n 3 + 6n 2 + 4n - n

)

d)

lim

f)

lim

b)

lim

(

(

3

n 2 + 3n + 1 - n

)

n 2 + 4n + 3 -

n 2 - 2n + 4

)

2. Các Tính giới hạn sau:
a)

lim

d)

lim

2n2 − n + 3
3n2 + 2n + 1
n4
(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)

e)

lim

b)

lim

e)

lim

2n + 1
n3 + 4 n 2 + 3
n2 + 1

c)
f)

2n 4 + n + 1

lim
lim

3n3 + 2n2 + n
n3 + 4
2n 4 + n2 − 3
3n3 − 2n2 + 1

3. Tính các giới hạn sau:
a)

lim

d)

lim

1 + 3n

4 + 3n
2n + 5n+1
1 + 5n

4.3n + 7n+1

c)

2.5n + 7n
1 + 2.3n − 7n
5n + 2.7n

f)

lim
lim

4 n+1 + 6n +2

5n + 8n
1 − 2.3n + 6 n
2n (3n+1 − 5)

4. Tính các giới hạn sau:
a)

lim

4n2 + 1 + 2n − 1
n 2 + 4n + 1 + n

b)

lim

n2 + 3 − n − 4
n2 + 2 + n

5.Tính các giới hạn sau:
a)

lim  n2 + 2n − n − 1 ÷



d)

lim  1 + n2 − n 4 + 3n + 1 ÷



b)
e) lim (

lim  n2 + n − n 2 + 2 ÷



n2 − n − n

)

f)

 3 2 n − n3 + n − 1 
÷

1

c) lim 
lim

n2 + 2 − n 2 + 4


6 .Tính các giới hạn sau:
x 2 + 5x + 4
x+4
2− x
5) lim
x →2
x+7 −3

x2 + 2x − 3
2 x2 − x −1
4x + 1 − 3
6) lim
x →2
x2 − 4

1) xlim
→ −4

x2 −1
x 2 − 3x + 2
x + 5 − 2x + 1
7) lim
x→4
x−4

3) lim
x − >1

2) lim
x →1

x 4 − 16
x3 + 2 x 2
x +1 + x + 4 − 3
8) lim
x →0
x

4) xlim
→−2

7. Tính các giới hạn sau:
1)

lim−

x →3

2x −1
x−3

2)

lim+

x →2

x 2 − 3x + 3
x−2

3)

lim
x →1

x 2 − 5x + 3
( x − 1) 2

4)

lim x + x
x− x

x −>0+

8. Tính các giới hạn sau:
1)

− x+3
x → −∞ 2 x − 1
lim

(
5) xlim
→ +∞

2)

2 x3 + 3x − 4
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1
lim

6)

x 2 + 2 x + 3 − x)

lim (2 x − 4 x 2 − x + 3 )

3)
7)

lim

x → −∞

x2 − x + 5
2x − 1

4) xlim
→−∞

x 2 − 3x + 2 x
3x − 1

lim ( x 2 + x − 1 − x 2 − x − 1)

x→ − ∞

x→ + ∞

9. Tính các giới hạn sau:
(− x 3 + x 2 − x + 1)
( x 4 − 2 x 2 − 3)
1) xlim
2) xlim
→−∞
→ −∞

( −2 x
3) xlim
→ +∞

3

− 2 x 2 + x − 3)

4)

lim 3x 2 − 5 x

x →−∞

10.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
x − 3x + 4

2x − 3
2

a) f(x) =

khi x < 1
khi x ≥ 1

 x 2 − 3x + 2
khi x ≥ 1
 x 2 − 1
d) f(x) =  x
−
khi x < 1
 2
3

 x + 2 khi x ≤ 0
f) f(x) =  x + 1 − 1


khi x ≥ 0
 3 1 + x − 1

tại xo = 1

tại xo = 1

tại xo = 0

b) f(x) =

e) f(x) =

x3 − x − 6
 2
x −x−2

11
 3

khi x ≠ 2
khi x = 2

 4 − x2
khi x < 2

 x−2
1 − 2x khix > 2


h) f(x) =

1 − 2x − 3
khi x ≠ 2

 2−x
1 khi x = 2


b) f(x) =

 x 3 + 2x − 3
khi x ≠ 1

 x2 −1
a
khi x = 1


tại xo = 2

tại xo = 2

tại xo = 2

11.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) =

3x 2 + 2x − 1


2x + a

khi x < 1
khi x ≥ 1

tại x0 = 1

tại x0 = 1


c) f(x) =

 1− x − 1+ x
khi x < 0

x

a + 4 − x
khi x ≥ 0
 x + 2

tại xo = 0

12.Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) =

 x 2 − 3x − 7

1 − x

khi x < −2

b) f(x) =

khi x ≥ −2

x 2 + 3x −10

2
 x −4
2x + 3

 x +2
3x − 4



khi x < 2
khi 2 ≤ x ≤ 5
khi x > 5

13.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R:
 3 3x + 2 − 2
khi x > 2

x−2
a) f(x) = 
 ax + 1
khi x ≤ 2


4

b)

d)

 9 − x2

f ( x ) =  x − 3 khi x < 3
1 − x khi x ≥ 3

 1+ x −1
khi x > 0
 3
1
+
x
−
1
taïi x = 0
a) f ( x ) = 
3
khi x ≤ 0
 2

taïi x = 3

 x 2 − 3x + 2
khi x > 1


2
f (x) =  x − 1
taïi x = 1
− x
khi x ≤ 1
 2
 1

b) f ( x ) =  x − 1 −

3

khi x > 1

taïi x = 1
x3 − 1
 m x − 3mx + 3 khi x ≤ 1


c)

a)

c)

2 2

 x + 3m

 x2 − 2x

3

f (x) =  8 − x
4
 x − 16
 x − 2

khi x > 2

taïi x = 2

khi x < 2

 x3 − 1

f ( x ) =  x − 1 khi x < 1
mx + 2 khi x ≥ 1

taïi x = 1

x + m
khi x < 0

f ( x ) =  x 2 + 100 x + 3
taïi x = 0
khi
x
≥

0

x +3

khi x < − 1

d) f ( x ) =  x 2 + x + m + 3 khi x ≥ − 1 taïi x = − 1

14. Xét tính liên tục của hàm số
a)

x +3

f (x) =  x − 1
 −1

c)

 2 − 7 x + 5x 2 − x 3

khi x ≠ 2 taïi x = 2
f ( x) =  x 2 − 3x + 2
1
khi x = 2


khi x ≠ 1 taïi x = −1
khi x = 1

d)

 x+3−2
khi x ≠ 1

x
−
1
f
(
x
)
=
taïi x = 1

b)
1
khi x = 1
 4
 x−5
khi x > 5

f (x) =  2 x − 1 − 3
taïi x = 5
( x − 5)2 + 3 khi x ≤ 5



f)

 x −1


f (x) =  2 − x − 1
 −2 x

khi x < 1

taïi x = 1

khi x ≥ 1

15.Tìm m để hàm số liên tục tại x = x0
a)

c)

 2
khi x < 1
f (x) =  x
2
mx
−
3
khi x ≥ 1


taïi x = 1

m
khi x = 0
 x 2 − x − 6

f ( x) = 
khi x ≠ 0, x ≠ 3
 x ( x − 3)
khi x = 3
 n

d)

 x2 − x − 2

f (x) =  x − 2
 m

f)

 x 2 − 3x + 4

f ( x ) = 5
2 x + 1

khi x ≠ 2

b)

 x3 − x2 + 2 x − 2

f (x) = 
x −1
 3 x + m

khi x ≠ 1 taïi x = 1
khi x = 1

taïi x = 0 vaø x = 3

taïi x = 2

khi x = 2
khi x < 2
khi x = 2
khi x > 2

e)

d)

 x3 + x + 2
 3
f (x) =  x + 1
4
 3
 x2 − 4

f (x) =  x + 2
 −4

khi x ≠ −1
khi x = −1
khi x ≠ −2
khi x = −2

16.Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:
a)

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
−4


17. Cho hàm số f(x) =

khi
khi

 x2 + x − 2

 x +2
2 x + m


x ≠ −2

b)

x = −2

khi x ≠ −2
khi x = −2

. Với

x 2 −1

f ( x ) =  x −1
2

 x

,x <1
,x ≥1

giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại x

=-2
18. Chứng minh răng phương trình luôn có nghiệm
a) x 5 − 3 x + 3 = 0
b) x 5 + x − 1 = 0
c) x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0
19. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 5 x 3 + 4 x − 1 = 0 có 5 ngiệm trên (–2; 2).
20.Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có ngiệm với mọi giá trị của tham số m:
a) m( x − 1)3 ( x − 2) + 2 x − 3 = 0
b) x 4 + mx 2 − 2mx − 2 = 0
c) a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = 0
d) (1 − m2 )( x + 1)3 + x 2 − x − 3 = 0
e) cos x + m cos 2 x = 0
21. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0
b) x5 + x3 – 1 = 0

c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0
f) cosx – x + 1 = 0
22. Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
23. CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x3 − 10 x − 7 = 0
II. Đạo hàm.
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
3)
1) y = x 3 − 2 x + 1
2) y = 2 x 4 − 2 x 2 + 3x
4) y = (t 3 + 2)(t + 1)
5) y = x (2 x − 1)(3x + 2)
9) y = (x3 +3x-2)20
13)

y=

2x − 3
x−2

21)

y=

25) y =
29)

y=

3
−6 x
x

1+ x
1− x
x2
x +a
2

6) y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3
10) y = (x 7 + x)2
14)

3x 2 − 2 x + 1
17. y =
2x − 3

2

y = ( x 2 + x)(5 − 3 x 2 )
7) y = ( x 2 + 5) 3

y=

18) y =

11)

2x 2 − 6x + 5
2x + 4

15)

3x - 2
x - x+ 2

3 4
5
6
− 2 + 3 − 4
x x
x
x

22)

y=

26)

y=x x

y = x2 − 3x + 2

y=

23)

y=

27) y =

2x
x −1
1+ x2

20)

x 2 − 3x + 4
2x 2 + x + 3

24)

1 + sin x
2 − sin x
y = 1 + 2 tan x

π
y = cot 3 (2x + )
4

y = tan

y = 2 + tan 2 x

y=

1


y =  x3 + − 6 x 
x



x +1
2

sin x + cos x
sin x − cos x

3

28)

x x

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

3x 2 − ax + 2a

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = sin2x –

2) y = sin5x – 2cos(4x + 3) y = 2 sin 2 x. cos 3x
cos2x
1)
6) y = sin 2 x + cos 3 x
7) y = (1 + cot x ) 2
5) y = sin 2 x
y = sin 2 (cos3x)
y= sin(sinx)
y = cos( x3 + x -2 )
y -=

y = x −1 + x + 2

1

30) y =

, ( a là hằng số)

y = x 4 + 6x 2 + 7
3
16) y = ( x 2 + x + 1) 3

2

19) y= x

2

8) y = (1- 2t)10

12)

4)

, ( a là hằng số)

y = sin 2 x + 1

y = cos x. sin 2 x

y = x.cotx
y=

sin x
x
+
x
sin x

y = sin 4

x
2


Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của của hàm số sau:
1) y = x 3 − 2 x + 1
2) y = 2 x 4 − 2 x 2 + 3
3)
5) y = sin2x –

cos2x

6) y = x.cos2x

7)

y=

2x − 3
x−2

y= x

2x 2 − 6x + 5
2x + 4

4)

y=

8)

y = x 1+ x2

Bài 4: Tìm vi phân của của hàm số:
1) y = x 4 − 2 x + 1
Bài 5: a) Cho

2)

y = ( x 3 + 2)( x + 1)

f ( x) = 3 x + 1 ,

2x 2 − 6x + 5
4) y = 3 sin 2 x. sin 3x
2x + 4
6
b) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) . Tính f '' ( 2 )

3)

y=

tính f ’(1)
π

π



 
c) f ( x ) = sin 3x . Tính f ''  − ÷; f '' ( 0 ) ; f ''  ÷
 2
 18 
3
Bài 6: Cho hàm số: y = x + 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong của
trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;

c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;

d) Vuông góc với đường thẳng ∆: y = -

1
x −5 .
16

Bài 7: Chứng minh rằng của hàm số sau thoả mãn của hệ thức:
a)

f ( x) = x 5 + x 3 − 2 x − 3

thoả mãn:

f ' (1) + f ' (−1) = −4 f (0) ;

b)

y=

x−3
;
x+4

c) y = a.cosx +b.sinx
thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 .
d) y = cot2x
thoả mãn hệ thức: y’ + 2y 2 + 2 = 0
Bài 8: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:

1) y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 5 2) y = x 4 − 2 x 2 + 5 3) y = x 4 − 4 x 3 + 3
5)

x 2 − 5 x + 15
x−2
y = cos x + sin x + x
y=

6)

y=x+

4
x

7)

9)
10) y = 3 sin x − cos x + x
Bài 9: Giải của bất phương trình sau:
1) y’ > 0 với
3) y’ ≥ 0 với
y = 2x − x 2

y = x3 − 3x 2 + 2
y=

x2 + x + 2
x −1

y=

x
x +4
2

4) y = x

1− x2

1
sin 2 x + sin x − 3
2
11) y = 20 cos 3x + 12 cos 5 x − 15 cos 4 x

2) y’ < 4 với
4) y’>0 với

2y '2 = (y − 1)y"

y = x 4 − 2x 2

8)

y=

y=

1 3 1 2
x + x − 2x + 3

3
2

5) y’≤ 0 với


Bài 10: Cho hàm số:

y=

2 3
x − (m + 1) x 2 + 3(m + 1) x + 2 .
3

1) Tìm m để phương trình y’ = 0:
a) Có 2 nghiệm.
c) Có 2 nghiệm dương.
2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.

b) Có 2 nghiệm trái dấu.
d) Có 2 nghiệm âm phân biệt.

B. PHẦN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD);
SA = a 6 . AM, AN là các đường cao của tam giác SAB và SAD;
1) CMR: Các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam
giác đó.
2) Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP ⊥ (ABCD).
3) CMR: BD ⊥ (SAC) , MN ⊥ (SAC).
4) Chứng minh: AN ⊥ (SCD); AM ⊥ SC

5) SC ⊥ (AMN)
6) Dùng định lí 3 đường vuông góc chứng minh BN ⊥ SD
7) Tính góc giữa SC và (ABCD)
8) Hạ AD là đường cao của tam giác SAC, chứng minh AM,AN,AP đồng phẳng.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA ⊥ (ABC) . Kẻ
AH , AK lần lượt vuông góc với SB , SC tại H và K , có SA = AB = a .
1) Chứng minh tam giác SBC vuông .
2) Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK .
3) Tính goực giữa AK và (SBC) .
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có (ABD) ⊥ (BCD), tam giác ABD cân tại A; M , N là trung
điểm của BD và BC
a) Chứng minh AM ⊥ (BCD)
b) (ABC) ⊥ (BCD)
c) kẻ MH ⊥ AN, cm MH ⊥ (ABC)
Bài 4: Chi tứ diện ABCD , tam giác ABC và ACD cân tại A và B; M là trung điểm của
CD
a)Cm (ACD) ⊥ (BCD)
b)kẻ MH ⊥ BM chứng minh AH ⊥ (BCD)
c)kẻ HK ⊥ (AM), cm HK ⊥ (ACD)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé và
góc ·ACD = 900


a) tam giác SCD, SBC vuông
b)Kẻ AH ⊥ SB, chứng minh AH ⊥ (SBC)
c)Kẻ AK ⊥ SC, chứng minh AK ⊥ (SCD)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA=SB=SC=SD=a
2 ; O là tâm của hình vuông ABCD.
a) cm (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD).
b) cm (SAC) ⊥ (SBD)

c) Tính khoảg cách từ S đến (ABCD)
d) Tính góc giữa đường SB và (ABCD).
e) Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH ⊥ SM, chứng minh H là trực tâm tam giác
SCD
f) tính góc giưa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
g) Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA=a; đáy ABCD là hình thang
vuông có đáy bé là BC, biết AB=BC=a, AD=2a.
1)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2)Tính khoảng cách giữa AB và SD
3)M, H là trung điểm của AD, SM cm AH ⊥ (SCM)
4)Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD)
5)Tính góc giữa SC và (SAD)
6)Tính tổng diện tích các mặt của chóp.
Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB. OC đôi một vuông góc nhau và OA=OB=OC=a
a)Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc
b)M là trung điểm của BC, chứng minh (ABC) vuông góc với (OAM)
c)Tính khoảng cách giữa OA và BC
d)Tính góc giữa (OBC) và (ABC)
e)Tính d(O, (ABC) )
·
·
Bài 9: Cho chóp OABC có OA=OB=OC=a; ·AOC = 1200 ; BOA
= 600 ; BOC
= 900 cm
a)ABC là tam giác vuông
b)M là trung điểm của AC; chứng minh tam giác BOM vuông
c)cm (OAC) ⊥ (ABC)
d)Tính góc giữa (OAB) và (OBC)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA=CB=2a,

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA=a. Gọi D là trung điểm
của AB.
a)Cm: (SCD) ⊥ (SAB)
b)Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Bài 11: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.


a)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
b)Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy
c)Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy
d)Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M, N là trung điểm của BB’ và A’B’
a)Tính d(BD, B’C’)
b)Tính d(BD, CC’), d(MN,CC’)
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=BC=a; AC=a 2
a) cmr: BC vuông góc với AB’
b)Gọi M là trung điểm của AC, cm (BC’M) ⊥ (ACC’A’)
c)Tính khoảng cách giữa BB’ và AC.
Bài 14:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA=a; CB=b, mặt bên
AA’B’B là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CH ⊥ AB, kẻ HK ⊥ AA’
a) CMR: BC ⊥ CK , AB’ ⊥ (CHK)
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)
c) Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B)
=============HẾT============