Hình học không gian thể tích

Nguyễn Bảo Vương – Giáo Viên Luyện Thi Gia Lai – SDT: 0946798489
BÀI 1. THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng  (450 <  < 900). Tính thể tích hình chóp.

1
A. V  a 3 tan 2
6

B. V 

1 3
a tan 
6

1
C. V  a 3 cos 
6

1
D. V  a 3 sin 
6

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 . Một mặt
phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C và D. Tính thể tích của khối đa
diện ADD.BCC.

5a3 3
4a 3 3
7a 3 3
5a 3 3

B. V 
C. V 
D. V 
6
6
6
3
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp
theo x và y.
A. V 

xy

4  x2  y2 B. V 

xy

4  x2  y2

xy

C. V 

2
(a 2  b 2  c 2 )(b 2  c 2  a 2 )(c 2  a 2  b 2 ) C. V 
2
5 2
(a 2  b 2  c 2 )(b 2  c 2  a 2 )(c 2  a 2  b 2 ) D. V 
B. V 
12

A. V 

4  x2  y2

xy

4  x2  y2
12
12
12
12
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c.Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.
A. V 

D. V 

2
(a 2  b 2  c 2 )(b 2  c 2  a 2 )(c 2  a 2  b 2 )
3
2
(a2  b2  c2 )(b2  c2  a2 )(c2  a2  b2 )
12

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC).Gọi M và N lần lượt là
hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

3a 3 3
3a 3 5
3a3 3

C. V 
D. V 
50
25
50
50
Bài 6. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
A. V 

A. V 

a3 3

a3
2

; cos  

B. V 

1

B. V 

2

a3
2

; cos  

1
4

C. V 

a3
3

; cos  

1
a3
3
D. V  ; cos  
4
2
4

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt
đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM và DN.
A. V 

a3
3

; cos  

5
5

B. V 

a3
2

; cos  

1
a3
3
C. V  ; cos  
4
4
4

D. V 

a3
2

; cos  

3
4

Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi

M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Biên soạn và sưu tầm

Page 1


Nguyễn Bảo Vương – Giáo Viên Luyện Thi Gia Lai – SDT: 0946798489
AM, BC.

2a 3
a 7
a3
3
a3
1
a3
1
;d 
B. V  ; cos   C. V  ; cos  
D. V  ; cos  
3
7
2
4
4
4
2
4
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM  BP và tính

thể tích khối CMNP.
A. V 

3a3
3a 3
3a 3
3a 3
B. V 
C. V 
D. V 
96
3
216
64
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN  BD và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
A. V 

3a 2
4
5
4
4
Bài 11. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường
tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ
diện OOAB.
A. d 

A. V 

a 3

B. d 

3a 3
2

B. V 

a 2

C. d 

3a 3
4

C. V 

a 2

D. d 

3a3
12

D. V 

5 3a 3
12

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD  a 2 , SA = a và SA  (ABCD).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC)  (SMB).
Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
A. V 

a3 2

B. V 

a3 2

C. V 

a3 2

D. V 

a3 2

6
36
48
16
Bài 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC). Gọi M, N
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.
3a 3
B. V 
50

3 3a3
A. V 
50

3a 3
D. V 
36

3 2a 3
C. V 
36

Bài 14. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vng tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vng góc với mặt phẳng
(ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích
của khối chóp A.BCNM .
A. VA.BCNM 

a3 . 3
15

B. VA.BCNM 

a3 . 3
5

C. VA.BCNM 

a3 . 3
4

D. VA.BCNM 

a3 . 3
4

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD); AB = SA = 1; AD  2 . Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
A. VANIB 

5 2
36

B. VANIB 

2
2
C. VANIB 
6
36

D. VANIB 

7 2
36

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vng tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vng góc
Biên soạn và sưu tầm

Page 2

Nguyễn Bảo Vương – Giáo Viên Luyện Thi Gia Lai – SDT: 0946798489
với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối
chóp O.AHK.
A. V 

a 3 32

B. V 

27

a3 2

C. V 

2

a3 3

D. V 

27

a3 2
27

Baøi 17. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5 và BAC  120o . Gọi M là trung điểm
của cạnh CC1. tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

a 5
a 5
a 5
a 5
.
.
.
.
B. d 
C. d 
D. d 
3
4
7
6
Baøi 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc  . Tìm  để thể tích của
khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
A.  = 45 o
B.  = 60 o .
C.  = 30 o .
D.  = 120 o .
Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và
a
bằng a 2 . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho AK  .
3
Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
A. d 

A.

a 21
3

B.

a 21
49

C.

a 2
7

D.

a 21
7

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là các tam giác
đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).
A. d(B; SAC) =

3a
13

B. d(B; SAC) =

3a
7

C. d(B; SAC) =

3a

D. d(B; SAC) =

5

3a
23

Baøi 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với A  120 , BD = a >0. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính
tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.
0

A.

V2
4
V1

B.

V2
3
V1

C.

V2
2
V1

D.

V2
5
V1

Baøi 22. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ =

a 3
và góc BAD = 600 . Gọi M và N
2

lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
A. V 

3a3
14

B. V 

3a3
16

C. V 

3a3

20

D. V 

3a3
25

Baøi 23. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.
A. d 

a 5
4

B. d 

a 3
14

C. d 

a 3
4

D. d 

a 3
40

Baøi 24. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = b, AA’ = c (
c2  a 2  b2 ). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA.
A. Std 

3ab a 2  b2  c 2
2c

Biên soạn và sưu tầm

B. Std 

ab a 2  b2  c 2
ab a 2  b2  c 2
ab a 2  b2  c 2
C. Std 
D.
S

td
3c
2c
2c 2

Page 3


Nguyễn Bảo Vương – Giáo Viên Luyện Thi Gia Lai – SDT: 0946798489
Baøi 25. Cho khối chóp S.ABC có SA  (ABC), ABC vuông cân đỉnh C và SC = a . Tính góc  giữa 2 mặt phẳng
(SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.


A.    0; 


B.    0;

 


C.    0; 


 12 

3




D.    0; 

4



2

Baøi 26. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a). Mặt
phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' bằng

1

thể tích khối lập phương
3

ABCD.A'B'C'D'.
A. x 

3 5
a
2

B. x 

3 5
a
20

C. x 

3 2 5
a
2

D. x 

3 5
a
12

Baøi 27. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0  m  a). Trên nửa đường
thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối

chóp S.ABCM theo a, y và x.
A. V 

1
ya( x  a)
12

1
3

1
6

B. V  ya( x  a)

1
6

C. V  ya( x  a)

D. V  ya( x  a)

Baøi 28. Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi M là điểm thuộc đường tròn
đáy và ASB=2 , ASM=2 . Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R,  và  .
A. VS . AOM 
B. VS . AOM 

2 R3 cos  sin 
3sin3 
R3 cos  sin 

3sin 3 

sin 2   sin 2 

C. VS . AOM 

sin 2   sin 2 

D. VS . AOM 

R3 cos  sin 2
3sin3 
R3 cos 2 sin 
3sin3 

sin 2   sin 2 
sin 2   sin 2 

Baøi 29. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc
α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC.
A. V 



4 tan 3

2

3 (2  tan  )
2

3

B. V 



4 tan 3

2

3(4  tan  )
2

3

C. V 

8 tan 3


2

3 (4  tan  )
2

3

D. V 



4 tan 3

2

3 (4  tan  )3
2

Baøi 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA  (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AD, SC. Tính khoảng cách từ D đến mp(BMN).
A. d ( D,( BMN )) 

a 6
6

B. d ( D,( BMN )) 

a 6
5a 6
7a 6
C. d ( D,( BMN )) 
D. d ( D,( BMN )) 
16
6
6

Baøi 31.Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
A. VS . ABC 

a3
3

B. VS . ABC 

a3 3
16

a
. SA  a 3 , SAB  SAC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2

C. VS . ABC 

a3
16

D. VS . ABC 

a3 5
16

Baøi 32. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một
thiết diện có diện tích bằng
A. VABC . A ' B 'C ' 

a3 5
12

Biên soạn và sưu tầm

a2 3
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
8
a3 3
a3 3
a3 3
B. VABC . A ' B 'C ' 
C. VABC . A ' B 'C ' 
D. VABC . A ' B 'C ' 
2
18
12

Page 4


Nguyễn Bảo Vương – Giáo Viên Luyện Thi Gia Lai – SDT: 0946798489
Baøi 33. Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với
đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
A. VS . ABC 

a3
tan 
18

B. VS . ABC 

a3 3

12

B. VS . ABC 

a3
tan 
16

C. VS . ABC 

a3 3
4

C. VS . ABC 

a3 3
a3 5
tan  D. VS . ABC 
tan 
16
16

Baøi 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc
với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A. VS . ABC 

a3 3
4

a3 3

10

D. VS . ABC 

Baøi 35. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a,
cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện ASBC theo a.
A. VS . ABC 

1 3
a
12

1
3

B. VS . ABC  a3

3 3
a
6

C. VS . ABC 

1
6

D. VS . ABC  a3

Baøi 36. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.
A. d  2b

3(a 2  b2 )
4a 2  b 2

B. d  b

3(a 2  b2 )
4a 2  b 2

C. d  b

3(a 2  b2 )
4a 2  2b2

D. d  2b

3(a 2  b2 )
4a 2  2b2

Baøi 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 , SA vuông góc mặt phẳng (ABCD),
SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp
lần lượt tại B, D. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
a3 5
18
0
Baøi 38. Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, ASB  60 , BSC  900 , CSA  1200 .

A. VS . AB ' C ' D ' 

A. VS . ABC 

a3 3
8

2
abc
12

B. VS . AB ' C ' D ' 

B. VS . ABC 

a3 3 3
16

3 2
abc
2

C. VS . AB ' C ' D ' 

a3 3
18

2
abc
32

C. VS . ABC 

D. VS . AB ' C ' D ' 

D. VS . ABC 

1
abc
12

Baøi 39. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5 và BAC  1200 . Gọi M là trung điểm của
cạnh CC1. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
A. d 

a 5
13

B. d 

a 5
4

C. d 

a 15
3

D. d 

a 5
3

Baøi 40. Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA = 2a. Hình chiếu vuông góc của A
lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và
AC
A.

1

B.

5

1

C.

3 15

4

D.

3 5

4
3 15

Baøi 41. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
A. VS . ABC 

a3 2
6

B. VS . ABC 

a3 2
36

C. VS . ABC 

a3 2
3

D. VS . ABC 

a3 2
16

Baøi 42.Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với
đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.
A. VS . ABC 

a3
tan 
16

Biên soạn và sưu tầm

B. VS . ABC 

a3
tan 
6

C. VS . ABC 

a3
tan 
14

D. VS . ABC 

a3
tan 
26

Page 5


Nguyễn Bảo Vương – Giáo Viên Luyện Thi Gia Lai – SDT: 0946798489

Baøi 43. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA = b. Gọi 
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Tính thể tích của khối chóp A.BBCC.
A. VA '.BB ' C ' C 

a 2 b2  a 2
a 2 3b2  a 2
B. VA '.BB ' C ' C 
6
3

C. VA '.BB ' C ' C 

a 2 3b2  2a 2
6

D. VA '.BB ' C ' C 

a 2 3b2  a 2
6

Baøi 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt
phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN theo a.
A. VS . ABMN 

3a3
16

Biên soạn và sưu tầm

B. VS . ABMN 

3a3
6

C. VS . ABMN 

2 3a3
15

D. VS . ABMN 

7 3a3
16

Page 6