Ham So Lien Tuc_Tom tat bai hoc

HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b)
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f  x  = f  x 0 
x x0

Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Nhận xét: lim f  x  = f  x 0   lim+ f  x  = lim- f  x  = f  x 0 
x x 0

x x0

x x0

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 tại x=1.

-x 2  2

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f  x  =  2
 2
-x  2

nếu x  -1
nếu - 1  x  1

tại x=1

nếu x  1

 2x + 5 - x + 7

;x2
x-2

3a +1;
x=2


Ví dụ 3: f(x) = 

Tìm a để hàm số liên tục tại x=2.
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi
điểm của khoảng đó.


Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục tại mọi điểm trên
khoảng (a; b) và lim+ f  x  = f  a , lim- f  x  = f b 
x a

x b

Nhận xét:
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền nét trên khoảng đó
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
Định lí 1

Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R
Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác liên tục
trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí 2
Giả sử y = f(x) và y= g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0
Hàm số y =

f x

gx

liên tục tại x0 nếu g(x0)  0

Ví dụ 4: Hãy xác định các khoảng mà trên đó hàm số liên tục:
a) f  x  =

x +1
x +x-6
2

b) g  x  = tanx + sinx

 2x 2  2x
; x 1

Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  =  x  1
 5
; x 1


Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
Định lí 3
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một
điểm c  (a; b) sao cho f(c) = 0.


Định lí 3 được phát biểu dưới dạng khác
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình
f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm
Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình 2x3-6x+1=0 có ít nhất hai nghiệm
Ví dụ 8: Chứng minh phương trình (m2+m+1)x3+2x-2=0 luôn có nghiệm
(m là tham số)