SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------------------

MỤC LỤC
Trang phụ

Trang

Lời nói đầu
Các ký hiệu viết tắt
LÊ THỊ NGỌC ANH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC
TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ
HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán
Mã số: 60.14.10

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề

1

2. Mục đích nghiên cứu

3

3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

3

4. Giả thuyết khoa học

3

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

3

6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài

4

7. Phƣơng pháp nghiên cứu

4

7.1. Nghiên cứu lý luận

4

7.2.

4

Thực nghiệm sƣ phạm

8. Cấu trúc luận văn

4

CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới PPDH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

6

1.1.1. Nhu cầu đổi mới PPDH

6

1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH

7

1.2. Đặc điểm môn toán trong trƣờng phổ thông và quan điểm

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI

Thái Nguyên - 2008

đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán

8

1.2.1. Đặc điểm môn Toán

8

1.2.2. Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy
học môn toán ở trƣờng THPT

9

1.3. Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học

11

1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11




2

3

1.3.2. Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy
học: tiếp cận cấu trúc hệ thống

2.3.1. Một số nguyên tắc khi sử dụng graph trong dạy
học toán ở trƣờng THPT

22

1.3.3. Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc áp dụng
phƣơng pháp graph trong dạy học

22

1.4. Ứng dụng của phƣơng pháp graph trong dạy học
1.4.1. Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học

71

2.3.3. Một số tình huống sử dụng graph nôi dung

1.3.4. Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy
học

70

2.3.2. Sử dụng graph trong quá trình dạy học
trong quá trình dạy học

72

25

CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

28

3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm

28

1.4.2. Chuyển hoá graph thành phƣơng pháp graph dạy

79

3.1.1. Mục đích thực nghiệm

79

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm

79

29

3.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm

79

1.4.3. Những ứng dụng của graph trong dạy học

29

3.1.4. Nội dung thực nghiệm

79

1.4.4. Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học

34

học

3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm

CHƢƠNG II: VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO
DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT
2.1. Graph dạy học toán học

36

2.1.1. Graph nội dung

36

2.1.2. Graph hoạt động

42

động

54

2.2. Một số ví dụ về thiết kế graph trong dạy học toán

55

2.2.1. Thiết kế một số graph của một số nội dung
trong chƣơng trình toán THPT

55

2.2.2. Thiết kế graph một số chuyên đề toán học

79

3.2.2. Kế hoạch tiến hành thực nghiệm

80

3.2.3. Giáo án thực nghiệm

80

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

2.1.3. Mối quan hệ giữa graph nội dung và graph hoạt

79

3.2.1. Hình thức tiến hành thực nghiệm

88

3.3.1. Về nội dung tài liệu thực nghiệm

88

3.3.2. Về phƣơng pháp giảng dạy

89

3.3.3. Về kết quả thực nghiệm

90

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm

97

KẾT LUẬN

98

PHỤ LỤC

99

62

2.2.3. Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập
toán học

66

2.3. Sử dụng graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

70



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

1

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

GD & ĐT

:

Giáo dục và đào tạo

1. Lý do chọn đề tài

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

định: “Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

PT

:

Phƣơng trình

tƣ duy sáng tạo của ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học

PPDH

:

Phƣơng pháp dạy học

tập và ý chí vƣơn lên” (Luật Giáo dục 2005).

SGK

:

Sách giáo khoa

TB

:

Trung bình

sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) khẳng định: “Phải đổi mới phƣơng pháp giáo

THPT

:

Trung học phổ thông

dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy

- Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy

- Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng

sáng tạo của ngƣời học. Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và
phƣơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
- Đổi mới phƣơng pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành
giáo dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
- Nhiệm vụ đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng tích cực hoá hoạt

động học tập của học sinh không chỉ là định hƣớng mà còn đòi hỏi cần nghiên
cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phƣơng pháp dạy học
tích cực. Việc kết hợp các phƣơng pháp truyền thống với các phƣơng pháp
dạy học đặc thù nhƣ phƣơng pháp mô hình hoá, phƣơng pháp graph là một
giải pháp tốt.
- Công nghệ dạy học hiện đại đã trở thành một xu thế chung của thế giới
trong việc đổi mới giáo dục.
- Graph là một chuyên ngành toán học hiện đại đã đƣợc ứng dụng vào
nhiều ngành khoa học khác nhau nhƣ: khoa học, kỹ thuật, kinh tế học, hoá
học…. Bởi vì graph toán học là phƣơng pháp khoa học có tính khái quát cao,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

3

có tính ổn định vững chắc để mã hoá các mối quan hệ của các đối tƣợng đƣợc

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hƣớng vận dụng phƣơng pháp graph để xây dựng một số graph nội

nghiên cứu.

- Việc vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học toán học nhằm nâng
cao chất lƣợng dạy học môn học này ở trƣờng THPT, đƣợc xem nhƣ là một

dung và graph hoạt động vào dạy học toán ở trƣờng THPT theo chƣơng trình
mới.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

trong những tiếp cận mới vừa bổ sung vào hệ thống các phƣơng pháp dạy học
truyền thống, vừa làm phong phú thêm kho tàng các phƣơng pháp dạy học
toán học. Theo hƣớng này, có nhiều tác giả đã thành công trong việc nghiên
cứu và vận dụng lý thuyết graph vào dạy học một số môn học ở trƣờng phổ

- Khách thể nghiên cứu: Chƣơng trình toán THPT, học sinh THPT, GV
giảng dạy Toán ở các trƣờng THPT.

thông và đã có những kết quả bƣớc đầu. Năm 1980, tác giả Trần Trọng
Dƣơng đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phƣơng pháp graph và algorit hoá để

- Đối tƣợng nghiên cứu: Dạy học Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng
pháp graph.

nghiên cứu cấu trúc và phƣơng pháp giải, xây dựng hệ thống về lập công thức
hoá học ở trƣờng phổ thông”. Năm 1984, Phạm Tƣ với sự hƣớng dẫn của giáo
sƣ Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu đề tài: “Dùng graph nội dung của bài

- Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong một số nội dung của chƣơng trình
toán THPT nhƣ: Thống kê, xác suất….
4. Giả thuyết khoa học

lên lớp để dạy và học chƣơng Nitơ- Phôtpho ở lớp 11 trƣờng trung học phổ

thông”. Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu: “Dùng phƣơng pháp
graph lập chƣơng trình tối ƣu để dạy môn sử”. Trong dạy học sinh học ở
trƣờng phổ thông, Nguyễn Phúc Chỉnh là ngƣời đầu tiên đi sâu nghiên cứu về
lý thuyết graph và ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu - Sinh lý

Nếu vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học một số nội dung của
chƣơng trình Toán thì sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động học tập của học
sinh, phát triển tƣ duy hệ thống và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn
Toán ở THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu

ngƣời (năm 2005).

- Tìm hiểu quan điểm dạy học Toán theo tinh thần đổi mới.

- Đối với phƣơng pháp graph trong dạy học toán, các chuyên gia Hoàng

- Tìm hiểu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy

Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hƣớng nhƣng chƣa có học viên cao
học.

học nào nghiên cứu một cách chi tiết.
- Xuất phát từ lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng phƣơng pháp
graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT nhằm tích cực hoá hoạt động
học tập của học sinh”, với mục tiêu vận dụng một phƣơng pháp dạy học có
nhiều tiềm năng phát huy năng lực nhận thức của học sinh, góp phần thiết
thực vào việc đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán học ở trƣờng phổ thông.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

- Chỉ ra nội dung môn toán trong chƣơng trình toán THPT có thể vận
dụng lý thuyết graph
- Thiết kế các graph (nội dung và hoạt động).
- Kiểm tra hiệu quả các graph đã thiết kế để dạy học Toán bằng thực
nghiệm sƣ phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

5

6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài

Chƣơng II: Vận dụng lý thuyết graph vào dạy học toán ở trƣờng THPT.

- Về lý luận:

Chƣơng III: Thực nghiệm sƣ phạm.

Hệ thống và làm rõ thêm việc vận dụng lý thuyết graph vào dạy học

Kết luận.

Toán ở THPT.

Tài liệu tham khảo.

- Về thực tiễn:
Đƣa ra một số graph nội dung và graph hoạt động môn Toán và những
hƣớng dẫn sƣ phạm trong việc áp dụng những graph này vào thực tiễn dạy
học Toán.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan
đến: đổi mới phƣơng pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị
dạy học toán 10, 11, 12.
- SGK, phân phối chƣơng trình, sách GV…
- Các tài liệu về lý thuyết graph và những ứng dụng của nó trong thực
tiễn cuộc sống và trong dạy học.
- Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phƣơng
pháp graph và việc đổi mới phƣơng pháp dạy học.
7.2. Thực nghiệm sƣ phạm
- Biên soạn giáo án có sử dụng graph hoạt động và graph nội dung về
môn Toán THPT phù hợp với chƣơng trình lên lớp.
- Tiến hành thực nghiệm.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
8. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm:
Phần mở đầu.
Chƣơng I: Cơ sở lý luận của đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

7

Chƣơng I

1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Định hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc xác định trong nghị quyết Trung
ƣơng 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung ƣơng 2 khoá VIII (12- 1996),

1.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới PPDH

đƣợc thể chế hoá trong luật giáo dục (2005), đƣợc cụ thể hoá trong các chỉ thị

1.1.1. Nhu cầu đổi mới PPDH

của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4- 1999).

Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nƣớc đang đòi hỏi phải cấp bách

Luật giáo dục 2005, chƣơng I, điều 24 đã ghi “Phƣơng pháp giáo dục

nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nƣớc ta đang chuyển đổi

phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học

từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trƣờng có sự quản lý của nhà

sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng

nƣớc. Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống

pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến

giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần

thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập

có những thay đổi mới căn bản về phƣơng pháp dạy học. Phải thừa nhận rằng

cho mỗi học sinh”.

trong tình hình hiện nay, phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta còn có những nhƣợc
điểm phổ biến:

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng

Thầy thuyết trình tràn lan;

lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngƣời Việt

Tri thức đƣợc truyền thụ dƣới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;

Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị

Thầy áp đặt, trò thụ động;

cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây

Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, sáng tạo của ngƣời

dựng bảo vệ tổ quốc”; Chƣơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo
quyết định số 16/2006/QĐ - BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trƣởng bộ Giáo

học;

dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

Không kiểm soát đƣợc việc học.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời xây dựng xã hội công nghiệp

sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trƣng môn học, đặc điểm đối tƣợng

hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc

học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dƣỡng cho học sinh phƣơng pháp tự

đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục

học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;

và Đào tạo từ một số năm nay với những tƣ tƣởng chủ đạo đƣợc phát biểu

tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho

dƣới nhiều hình thức khác nhau, nhƣ “Phát huy tính tích cực”, “Phƣơng pháp

từng học sinh” [10].

dạy học tích cực”, “Tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá ngƣời

Đổi mới PPDH đƣợc coi là một trong những nhiệm vụ chiến lƣợc. Chính
vì vậy PPDH cần hƣớng vào việc tổ chức cho ngƣời học học tập trong hoạt

học”v.v… [6].

động, kết hợp tốt học với hành. Đổi mới phƣơng pháp dạy và học theo hƣớng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

9

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của ngƣời học; tăng cƣờng thực

Sự trừu tƣợng hoá trong toán học diễn ra trên những bình diện khác

hành, thực tập; ứng dụng mạnh mẽ công nghệ thông tin và các thành tựu khác

nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tƣợng từ những đối

của khoa học, công nghệ vào việc dạy và học.

tƣợng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, khái niệm hình bình

Đổi mới và hiện đại hoá phƣơng pháp giáo dục, chuyển từ truyền đạt tri
thức thụ động, giáo viên giảng, học sinh ghi sang hƣớng dẫn ngƣời học tƣ duy
trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho ngƣời học phƣơng pháp tự học, tự

hành…
Toán học là môn học có tính phổ dụng cao, điều này là do đặc tính trừu
tƣợng của môn học này quyết định

thu nhận thông tin một cách hệ thống và có tƣ duy phân tích, tổng hợp và phát

Ví dụ: xét tƣơng quan y = ax (a 0), trong toán học nó thể hiện tƣơng

triển đƣợc năng lực của mỗi cá nhân; tăng cƣờng tính chủ động, tính tự chủ

quan của hàm bậc nhất. Tuy nhiên nó còn thể hiện ở nhiều lĩnh vực khác,

của học sinh…

chẳng hạn:

Hiện nay, trên thế giới đã có rất nhiều chuyên gia và GV áp dụng và
chuyển hoá các phƣơng pháp khoa học, các thành tựu của kỹ thuật tiên tiến và
công nghệ mới thành phƣơng pháp dạy học đặc thù. Trong đó, tiếp
cận - chuyển hoá lý thuyết graph toán học thành phƣơng pháp dạy học là một
trong những hƣớng có nhiều triển vọng.

+ Trong vật lí ta có tƣơng quan sau:
- Tƣơng quan giữa quãng đƣờng trong một chuyển động đều với
vận tốc v cho trƣớc tỷ lệ thuận với thời gian t là: s = vt
- Tƣơng quan giữa hiệu điện thế U với cƣờng độ dòng điện trong
trƣờng hợp điện trở R không đổi: U = IR.
+ Trong hoá học ta có: phân tử gam M của một chất khí tỷ lệ thuận với

1.2. Đặc điểm môn toán trong trƣờng phổ thông và quan điểm đổi
mới phƣơng pháp dạy học toán

tỷ khối d của chất khí đó đối với không khí: M = 29d.
Ngày nay toán học đã thâm nhập vào hầu hết mọi ngành khoa học. Nó là

1.2.1. Đặc điểm môn toán

nền tảng cho các môn khoa học khác, do đó đổi mới phƣơng pháp dạy học

Toán học nói chung và môn toán ở trƣờng THPT nói riêng là môn học

toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của nền giáo

mang tính trừu tƣợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Tính trừu tƣợng của
toán học và của môn toán trong nhà trƣờng do chính đối tƣợng của toán học
quy định.

dục phổ thông.
1.2.2 Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán ở
trƣờng THPT

Toán học là khoa học nghiên cứu các quan hệ số lƣợng, hình dạng và
lôgic trong thế giới khách quan

Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng
sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ:

Tính trừu tƣợng có trong mọi ngành khoa học, tuy nhiên trong toán học

Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao

tính trừu tƣợng tách ra khỏi mọi chất liệu đối tƣợng, chỉ giữ lại những quan hệ

động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó

số lƣợng dƣới dạng cấu trúc mà thôi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10

11

mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước

hoặc giữa học sinh với học sinh. Nhƣ vậy, giữa giáo viên và học sin h; giữa

mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh.

phƣơng tiện dạy học với học sinh; giữa học sinh với học sinh đều có các

Về phƣơng pháp giáo dục, phải khuyến khích tự học, phải áp dụng

đƣờng (kênh) để chuyển tải thông tin đó là: kênh thị giác (kênh hình); kênh

những phƣơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dƣỡng cho học sinh năng lực tƣ

thính giác (kênh tiếng)….Trong đó kênh thị giác có năng lực truyền tải thông

duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.

tin nhanh nhất, hiệu quả nhất.

Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng

Đối với học sinh đổi mới PPDH là: học tập một cách tích cực, chủ động,

sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương

biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo, hình

pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành

thành và ổn định phƣơng pháp tự học.

nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên

Đối với giáo viên đổi mới PPDH là:

tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời

-Thay đổi quan niệm: dạy học là truyền thụ một chiều, hƣớng tới dạy

gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
Các quan điểm trên đây đã đƣợc pháp chế hoá trong luật giáo dục. Nhƣ
vậy quan điểm chung về hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc khẳng định. Cốt lõi
của việc đổi mới PPDH môn toán ở trƣờng THPT là làm cho học sinh học tập

ngƣời học phát triển và giải quyết vấn đề.
- Phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học
- Nâng cao hơn việc sử dụng phƣơng tiện dạy học, thành tựu của công
nghệ thông tin, tăng cƣờng tri thức toán gắn với thực tiễn.

tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Vậy quan điểm
chung về đổi mới PPDH môn toán hiện nay ở trƣờng THPT là tổ chức cho

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học

học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tự giác, tích cực, chủ

1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph

động và sáng tạo.

Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hƣớng hoặc

Trong những năm gần đây, đã có những công trình khoa học xét quá

có hƣớng) nối các đỉnh đó.

trình dạy học dƣới mức độ định lƣợng bằng những công cụ của toán học hiện

Ngƣời ta phân loại graph tuỳ theo đặc tính và số cạnh nối các đỉnh của

đại. Việc này có tác dụng nâng cao hiệu quả của hệ dạy học cổ truyền, đồng

graph. Số đỉnh của graph G đƣợc kí hiệu bằng V(G) hay V. Số cạnh của graph

thời mở ra những hệ dạy học mới tăng cƣờng tính khách quan hoá (vạch kế

G đƣợc kí hiệu bằng E(G) hay E.

hoạch chi tiết có tính algorit), cá thể hoá (nâng cao tính tích cực, tự lực và
sáng tạo)…

Trong mỗi graph các cạnh của graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các
đỉnh ở vị trí nào, đều không phải là điều quan trọng, mà điều quan trọng là

Trong dạy học việc truyền thông tin không chỉ theo hƣớng từ giáo viên
đến học sinh mà còn theo hƣớng từ học sinh đến giáo viên (liên hệ ngƣợc)

graph có bao nhiêu cạnh và đỉnh nào đƣợc nối với đỉnh nào. Xét một đỉnh của
graph, số cạnh tới đỉnh đó đƣợc gọi là bậc (degree) của đỉnh.

hoặc giữa học sinh với các phƣơng tiện dạy học (sách, đồ dùng dạy học…)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

13

Một graph đƣợc gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ đƣợc trên một mặt phẳng

Ví dụ:

A

B

C

mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các
cạnh). Hình vẽ nhƣ thế đƣợc gọi là một biểu diễn phẳng của graph.
Mỗi graph có thể có nhiều biểu diễn phẳng khác nhau, nhƣng phải chỉ rõ

D

E

G

V= {A, B, C, D, E, G}

đƣợc mối quan hệ giữa các đỉnh. Graph có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng sơ

E={(A, B),(B, C),(A, D),(A, E),(E, C),(B, D)}

đồ, dạng biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận).

Hai đỉnh u và v trong graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liền kề nếu (u,v) E.
Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng là

Ví dụ:

cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó,
riêng khuyên tại một đỉnh đƣợc tính hai lần cho bậc của nó

Đỉnh v đƣợc gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu
Hai cách thể hiện khác nhau của một graph

deg(v)= 0.
Ví dụ:

Trong một graph có thể có đỉnh lại là một graph thì những đỉnh đó gọi là

A

Deg(A)=3; deg(B)=2

C

B

graph con.

Deg(C)=4; deg(D)=4
C

A
e

B

Deg(F)=1( Flà đỉnh treo)

g

D

h

G

F

Deg(G)=0 (G là đỉnh cô lập)

* Graph có hƣớng:
Một graph có hƣớng G= (V,E) gồm một tập V≠Ø mà các phần tử của nó

Grap con (Đỉnh C là graph con)

gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các

1.3.1.1 Phân loại graph

cặp sắp thứ tự của các phần tử thuộc V.

* Graph vô hƣớng:

Ví dụ:

Một graph vô hƣớng G=(V,E) gồm một tập V≠ Ø mà các phần tử của nó

A

B

gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các
cặp không có thứ tự của các đỉnh có thể chứa cạnh bội nhƣng không có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

D
C

khuyên.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

15

Đỉnh u đƣợc gọi là nối tới v hay v đƣợc gọi là nối tới u trong graph có

Ví dụ:

hƣớng nếu (u,v) là một cung của graph. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi

V3
V1

là đỉnh cuối của cung này.

V1

V2

V4

V3

V2

V4

+

Bán bậc vào của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg (v) là số
V2

các cung có đỉnh cuối là v.
Bán bậc ra của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg-(v) là số các

V3

K3

V1

K4

V5

K5

cung có đỉnh đầu là v.
Ví dụ:

+ Graph vòng
Graph vòng Cn, n
Deg+(A)= 1; deg-(A)= 4

B

A

Deg+(B)= 2; deg-(B)= 2

B

C

D

E

+

3, gồm n đỉnh v1, v2,..., vn và các cạnh (v1,v2),

(v2,v3),…,(vn-1, vn), (vn, v1). Nhƣ vậy mỗi đỉnh của Cn có bậc là 2.
Ví dụ:

-

Deg (C)= 2;deg (C)= 0

V1

V1

V2

V3

V4

Deg+(D)= 1; deg-(D)= 0
Deg+(E)= 0; deg-(E)= 0

V2

V3

D là đỉnh treo, E là đỉnh cô lập
C3

Nếu deg+(v)= deg-(v)= 0 thì v là đỉnh cô lập.

C4

Nếu deg+(v)= 1 và deg-(v)= 0 thì v là đỉnh treo.

+ Graph bánh xe

Trong dạy học, ngƣời ta thƣờng chỉ quan tâm đến graph có hƣớng vì

Graph Wn thu đƣợc từ Cn bằng cách bổ xung vào một đỉnh mới vn+1, nối

graph có hƣớng cho biết cấu trúc của đối tƣợng nghiên cứu.

với tất cả các cạnh của C n.

* Một số dạng graph đặc biệt

Nhƣ vậy graph Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, 1 đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3.

Ta xét một số dạng graph đơn vô hƣớng đặc biệt, có thể ứng dụng đƣợc

Ví dụ:

trong thực tế.

V1

V1

+ Graph đầy đủ
Graph đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi Kn, là graph vô hƣớng mà giữa hai đỉnh
bất kỳ của nó luôn có cạnh nối (cạnh liền kề)

Nhƣ vậy, Kn có

V2

n(n 1)
cạnh và mỗi đỉnh của Kn có bậc là n-1.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

V4



V3

C3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

V2

V3

W3




16

17

+ Graph lập phương

sao cho e1=(x0, x1); e2=(x1, x2);…;en=(xn-1, xn) với x0= u và xn= v. Khi graph
n

Graph lập phƣơng n đỉnh Q n là graph với các đỉnh biểu diễn 2 xâu nhị
phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi hai xâu nhị phân tƣơng ứng
với hai đỉnh này chỉ khác nhau một bit.

không có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đƣờng đi này bằng dãy các đỉnh x1,
x2,…, xn.
Đƣờng đi gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh.
Đƣờng đi gọi là chu trình đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung)

00
V1

quá một lần.

01

Một graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liên thông nếu có đƣờng đi giữa mọi

V2

cặp đỉnh phân biệt của graph.

Q1
10

Ví dụ:

11

Q2

X

Y

Z

A

C

G

B

D

H

+ Graph hai phía
Graph đơn G = (V, E) sao cho V = V1

V2 , V1 V2 = Ø, V1 ≠ Ø, V2 ≠ Ø

và mỗi cạnh của G đƣợc nối với một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 đƣợc

U
T

V

I

Z

gọi là graph phân đôi.

G’ không liên thông gồm 2 thành phần liên thông

G liên thông

Nếu graph phân đôi G = (V, E) sao cho mọi v1 V1, v2 V2; (v1, v2)

E

thì G đƣợc gọi là graph phân đôi đầy đủ. Nếu V1= m, V2= n thì graph phân
đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n. Vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh V1 có bậc n và
V2 có bậc m.

Đường đi Euler và graph Euler [11]:
Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) đơn chứa tất cả các cạnh (hoặc cung)
của graph (có hƣớng hoặc vô hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi)

Euler.

Ví dụ: K2,3

Một graph liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hƣớng)có chứa
V1

V2

một chu trình (đƣờng đi) Euler đƣợc gọi là graph Euler (nửa Euler).
Ví dụ:

V3

V4

V5
B

A

A

B

A

B

1.3.1.2 Graph Euler và graph Hamilton:

E

Đƣờng đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dƣơng,
trong graph G = (V, E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2,…,en của graph

C
D

C

G1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



E

D

D

E

C

G2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

G3




18

19

Graph G1 trong hình trên là graph Euler vì nó có chu trình Euler A, E, C,
D, E, B, A. Graph G3 không có chu trình Euler nhƣng nó có đƣờng đi Euler
A, C, D, E, B, D, A, B, vì thế G3 là nửa Euler. Graph G2 không có chu trình
cũng nhƣ đƣờng đi Euler.
Đường đi Hamilton và graph Hamilton [11]:
Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) sơ cấp chứa tất cả các đỉnh của graph
(vô hƣớng hoặc có hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi) Hamilton. Một
graph có chứa một chu trình (đƣờng đi) Hamilton đƣợc gọi là graph Hamilton
(nửa Hamilton).

T2

T1

T3

Khảo sát về cây là một nội dung quan trọng của lý thuyết graph và có
nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

Ví dụ:

Cây khung:
Định nghĩa: Giả sử G (V, E) là đồ thị vô hƣớng liên thông.
Cây T = (V, F) với F

E đƣợc gọi là cây khung của đồ thị G.

Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất
G1

G2

G3

Trong hình trên G3 là Hamilton, G2 là nửa Haminlton, còn G1 không là

Đây là bài toán tối ƣu trên graph tìm đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của đời sống.
Cho G = (V, E) là graph vô hƣớng liên thông có trọng số, mỗi cạnh e E
có trọng số m(e) 0. Giả sử T = (VT , ET ) là cây khung của đồ thị G (VT = V).

nửa Haminlton.
Bài toán về đƣờng đi có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Trong dạy học, ứng

Ta gọi độ dài m(T) của cây khung T là tổng trọng số các cạnh của nó. Bài

dụng bài toán về chu trình có thể lập đƣợc các graph ở nhiều nội dung khác

toán đặt ra là trong tất cả các cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung có độ

nhau.

dài nhỏ nhất. Cây khung nhƣ vậy đƣợc gọi là cây khung nhỏ nhất.

1.3.1.3 Khái niệm “cây” trong lý thuyết graph

Ví dụ 1: Tìm cây khung cực tiểu cho graph sau theo thuật toán Kruskal.

Định nghĩa: Cây (tree) là một graph vô hƣớng liên thông, không chứa
9

chu trình.

V1

Một graph vô hƣớng không chứa chu trình gọi là một rừng. Trong một
Ví dụ: Trong hình dƣới đây là một rừng có 3 cây T 1, T2, T3.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5

8

rừng, mỗi thành phần liên thông là một cây.



V2

2

V3

7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

V4




20

21

Bắt đầu từ graph rỗng T có 4 đỉnh V1, V2, V3, V4.

Một cây có gốc thƣờng đƣợc vẽ với gốc R ở trên cùng và cây phát triển

Sắp xếp các cạnh của graph theo thứ tự tăng dần của trọng số

từ trên xuống, gốc r gọi là đỉnh mức 0. Các đỉnh kề với r đƣợc xếp ở phía
dƣới và gọi là đỉnh mức 1. Đỉnh ngay dƣới mức 1 gọi là đỉnh mức 2,…

{ (V2,V4), (V2, V3), (V3, V4), (V3, V1), (V1, V2)}
Thêm vào graph cạnh (V2, V4).

Tổng quát trong một cây có gốc thì v là đỉnh mức k khi và chỉ khi đƣờng

Vì số cạnh của T là 1< 4-1=3 nên ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V2, V3).

Số cạnh của T tăng thành 2 vẫn nhỏ hơn 4-1, ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V3,
V1) ( không thêm cạnh (V3, V4), vì nhƣ vậy sẽ tạo thành chu trình).

đi từ r đến v có độ dài bằng k.
Mức lớn nhất của một đỉnh bất kỳ trong cây gọi là chiều cao của cây.
Cây có gốc trên thƣờng đƣợc vẽ nhƣ sau để làm rõ mức của đỉnh:

Vậy ta đƣợc cây khung cực tiểu:
V1

R

V2

D

V1

8

5

2

V3

A

B

J

C
H

V4

Tmin= 2+ 5+ 8 =15

E

Cây có gốc

F

I

N
M

G
L

K

Q

Định nghĩa: Cây có hƣớng là graph có hƣớng mà graph vô hƣớng nền
của nó là một cây.

O

P

Cây có gốc là một cây có hƣớng, trong đó có một đỉnh đặc biệt gọi là
Cây đa phân: Một cây có gốc T đƣợc gọi là cây đa phân nếu bậc ở tất cả

gốc, từ gốc có đƣờng đi đến mọi đỉnh khác của cây.
Ví dụ:

các đỉnh đều không xác định.

K
E

A

H

O
L

B

R

D

I

F

P
M

C
G

J

N

Q

Trong cây có gốc thì gốc R có bậc vào bằng 0, còn tất cả các đỉnh khác
đều có bậc vào bằng 1.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Cây đa phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

23

Trong toán học, cây đa phân có thể dùng để hệ thống hoá khái niệm, mô

và các cơ chế đảm bảo tính chỉnh thể đó. Tiếp cận cấu trúc - hệ thống nhằm

hình hoá tài liệu giáo khoa (có thể là nội dung một phần kiến thức, một bài

hƣớng nghiên cứu vào tính tổng thể của đối tƣợng, làm sáng tỏ các mối liên

hoặc một chƣơng).

hệ đa dạng, phức tạp. Giúp ngƣời học có thể nắm đƣợc lý thuyết một cách

Cây nhị phân: Một cây có gốc T đƣợc gọi là cây nhị phân nếu bậc ở tất
cả các đỉnh đều không lớn hơn 2, hay mỗi đỉnh của T chỉ có tối đa hai con.
Ví dụ:

tổng thể.
1.3.3 Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc sử dụng phƣơng pháp
graph trong dạy học
PPDH môn toán phải dựa vào những thành tựu của tâm lý học, đặc biệt
là tâm lí học phát triển, tâm lí học sƣ phạm và tâm lí học tƣ duy để xác định
mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học.
Trong quá trình dạy học, hoạt động học tập của học sinh là quá trình tiếp

Cây nhị phân (binary tree)

nhận thông tin. Những thông tin đƣợc giới thiệu tạo cho học sinh tri giác sẽ
Trong dạy học toán học, có thể dùng cây nhị phân để lập các sơ đồ rẽ

khái quát hóa, trừu tƣợng hoá và cuối cùng là mô hình hoá thông tin để ghi
nhớ theo mô hình.

nhánh.
1.3.2 Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy học: tiếp
cận theo hƣớng cấu trúc hệ thống

Sử dụng graph trong dạy học thực chất là hành động mô hình hoá, tạo ra
những đối tƣợng nhân tạo tƣơng tự về một mặt nào đó với đối tƣợng hiện thực

Cơ sở triết học của việc chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học
là phƣơng pháp tiếp cận theo hƣớng cấu trúc - hệ thống.

để tiện cho việc nghiên cứu.
Rõ ràng graph giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát hơn. Học sinh sẽ

Lý thuyết hệ thống là một luận thuyết nhằm nghiên cứu và giải quyết các
vấn đề theo quan điểm toàn vẹn tức là nghiên cứu giải quyết các vấn đề một
cách có căn cứ khoa học, có hiệu quả và thực hiện dựa trên tất cả các yếu tố
cấu thành nên đối tƣợng.

dễ dàng hiểu sâu đƣợc cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất của
nội dung học tập.
Mô hình là vật thể đƣợc dựng lên một cách nhân tạo dƣới dạng sơ đồ,
cấu trúc vật lý, dạng ký hiệu hay công thức tƣơng ứng với đối tƣợng nghiên

Việc ứng dụng graph trong dạy học là tiếp cận cấu trúc - hệ thống graph

cứu (hay hiện tƣợng) nhằm phản ánh và tái tạo dƣới dạng đơn giản và sơ lƣợc

để phân tích đối tƣợng nghiên cứu thành các yếu tố cấu trúc, xác định các

nhất cấu trúc, tính chất, mối liên hệ và quan hệ giữa các bộ phận của đối

đỉnh của graph trong một hệ thống mang tính lôgic khoa học, qua đó thiết lập

tƣợng nghiên cứu. Mô hình là vật đại diện thay thế cho vật gốc, có những tính

các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc trong một tổng thể.

chất tƣơng tự với vật gốc, nhờ đó khi nghiên cứu mô hình ngƣời ta sẽ nhận

Tính đặc thù phƣơng pháp luận của tiếp cận cấu trúc hệ thống đƣợc biểu

đƣợc những thông tin về những tính chất hay quy luật của vật gốc.

thị ở chỗ hƣớng nghiên cứu vào việc khám phá tính chỉnh thể của đối tƣợng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




24

25

Mô hình hoá thực ra là đơn giản hoá thực tại bằng cách, từ một tập hợp
tự nhiên các hiện tƣợng, trạng thái về hệ gắn bó qua lại với nhau, ta tách ra

quả lâu dài, ảnh hƣởng đến khả năng tƣ duy và hoạt động trong suốt cuộc đời
của mỗi học sinh.

những yếu tố nào cần nghiên cứu, rồi dùng ký hiệu quy ƣớc diễn tả chúng

1.3.4 Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy học

thành những sơ đồ, đồ thị, biểu đồ và công thức để mô phỏng một mặt nào đó

1.3.4.1 Trên thế giới

của thực tại. Mô hình hoá là một hành động học tập, giúp con ngƣời diễn đạt

Lý thuyết graph là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu và có nhiều ứng

lôgíc khái niệm một cách trực quan. Qua mô hình các mối quan hệ của khái

dụng hiện đại. Những tƣ tƣởng cơ bản của lý thuyết graph đƣợc đề xuất vào

niệm đƣợc quá độ chuyển vào trong (tinh thần). Nhƣ mô hình là “cầu nối”

những năm đầu của thế kỷ XVIII bởi nhà toán học lỗi lạc ngƣời Thụy Sỹ

giữa vật chất và tinh thần.

Leonhard Euler. Chính ông là ngƣời đã sử dụng graph để giải bài toán nổi

Graph giúp HS có một điểm tựa tâm lý rất quan trọng trong sự lĩnh hội,

tiếng “Bảy cây cầu ở Konigsburg” (công bố vào năm 1736). Trong những

học tập. Từ những hình ảnh trực quan hay lời nói của GV mô tả về đối tƣợng

năm cuối thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của toán học và nhất là toán học

nghiên cứu, bằng các thao tác tƣ duy học sinh sẽ chuyển những thông tin đó

ứng dụng, những nghiên cứu về vận dụng lý thuyết graph đã có những bƣớc

sang “ngôn ngữ graph”, tức là học sinh tự thiết lập các graph trong não. Học

tiến nhảy vọt. Sau khi lý thuyết graph hiện đại đƣợc công bố, nhiều nhà toán

sinh sẽ dễ dàng hiểu sâu đƣợc cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất

học trên thế giới đã nghiên cứu làm cho môn học này ngày càng phong phú.

của nội dung học tập. Theo tâm lý học nhận thức, mọi hình ảnh (kể cả âm

Năm 1958, tại Pháp Claude Berge đã viết cuốn “Lý thuyết graph và

thanh) học sinh tri giác đƣợc đều đƣợc mô hình hoá bằng các thao tác tƣ duy,

những ứng dụng của nó”. Trong cuốn sách tác giả đã trình bày những khái

do đó graph đã giúp cho học sinh thuận lợi hơn trong khâu khái quát hoá.

niệm và định lý toán học cơ bản của lý thuyết graph, đặc biệt là những ứng

Hình ảnh trực quan là điểm tựa quan trọng cho sự ghi nhớ và tái hiện tri

dụng của lý thuyết graph trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

thức của học sinh về nội dung bài học. Ngôn ngữ graph ngắn gọn, súc tích

Hiện nay, nhiều trƣờng đại học trên thế giới có những nhóm tác giả đang

chứa đựng nhiều thông tin sẽ giúp cho học sinh xử lý thông tin nhanh chóng

nghiên cứu về lý thuyết graph, về sự chuyển hoá của lý thuyết graph vào

và chính xác hơn. Đối với việc ghi nhớ, học sinh không phải thuộc lòng mà

những lĩnh vực khoa học khác nhau, đơn cử:

chỉ cần ghi nhớ những dấu hiệu cơ bản của đối tƣợng nghiên cứu và các quy

- Trƣờng đại học Antrep - Bỉ có nhóm nghiên cứu của giáo sƣ Dirk

luật về mối quan hệ của các yếu tố trong một hệ thống nhất định. Còn đối với

Janssens; trƣờng Đại học kỹ thuật Beclin - Đức có nhóm nghiên cứu của giáo

việc vận dụng tri thức, học sinh phải thực hiện một thao tác tƣ duy là chuyển

sƣ Hartmut Ehrig; trƣờng Đại học tổng hợp Layden - Hà Lan có giáo sƣ

từ “ngôn ngữ graph” sang ngôn ngữ “ngữ nghĩa”, việc làm này giúp cho học

Grzegorz Rozenberg …

sinh vận dụng kiến thức chính xác và hiệu quả hơn.

- Ở Hoa Kỳ có nhiều tác giả đã nghiên cứu sâu về lý thuyết graph làm cơ

Sử dụng graph trong dạy học còn có tác dụng rèn luyện cho học sinh

sở cho lý thuyết mạng máy tính và chuyển hoá vào các ngành khoa học khác.

năng lực tƣ duy khái quát (tƣ duy hệ thống). Đây là một hoạt động có hiệu

Trong đó nổi bật nhất là những công trình nghiên cứu của Jonathan L Gross

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






26

27

(trƣờng Đại học Columbia, NiuYooc) và Jay Yellen (trƣờng Rolin, Florida).
Hai tác giả này đã công bố nhiều công trình về graph…

1.3.4.2 Ở Việt Nam
Từ năm 1971, giáo sƣ Nguyễn Ngọc Quang là ngƣời đầu tiên nghiên cứu

Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó đã và đang đƣợc nghiên cứu
một cách hết sức cẩn thận ở nhiều nƣớc trên thế giới.

chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học và đã công bố nhiều công
trình trong lĩnh vực này. Trong các công trình đó, giáo sƣ đã nghiên cứu

Năm 1965, tại Liên Xô (cũ), A.M.Xokhor là ngƣời đầu tiên vận dụng

những ứng dụng cơ bản của lý thuyết graph trong khoa học giáo dục, đặc biệt

một số quan điểm của lý thuyết graph để mô hình hoá nội dung tài liệu giáo

trong giảng dạy hoá học. Sau đó cũng đã có nhiều tác giả đi sâu nghiên cứu

khoa (một khái niệm, một định luật…). Ông đã nghiên cứu sâu về lĩnh vực

trong lĩnh vực này.

phƣơng pháp dạy học hoá học, ông đã sử dụng graph để mô hình hoá tài liệu

Năm 1980, tác giả Trần Trọng Dƣơng đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng

giáo khoa môn hoá học. A.M.Xokhor đã diễn tả những khái niệm bằng những

phƣơng pháp graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phƣơng pháp

graph, trong đó các nội dung cơ bản của khái niệm đƣợc bố trí trong các ô và

giải, xây dựng hệ thống bài toán về lập công thức hoá học ở trƣờng phổ

các mũi tên chỉ sự liên hệ giữa các nội dung. Theo ông đặc điểm khách quan

thông”.

đặc trƣng nhất cho tính vừa sức của một tài liệu giáo khoa (đƣợc xây dựng
theo một logic nào đó) là số lƣợng các cạnh (diện) của graph.

Năm 1983, Nguyễn Đình Bào nghiên cứu sử dụng graph để hƣớng dẫn
ôn tập môn toán, Nguyễn Anh Châu đã nghiên cứu sử dụng graph hƣớng dẫn

Năm 1965, V.X.Poloxin dựa theo cách làm của A.M.Xokhor đã dùng

ôn tập môn văn. Các tác giả này đã sử dụng sơ đồ graph để hệ thống hoá kiến

phƣơng pháp graph để diễn tả trực quan những diễn biến của một tình huống

thức mà học sinh đã học trong một chƣơng hoặc trong một chƣơng trình nhằm

dạy học, tức đã diễn tả bằng một sơ đồ trực quan trình tự những hoạt động của

thiết lập mối liên hệ các phần kiến thức đã học, giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn.

giáo viên và học sinh trong việc thực hiện một thí nghiệm hoá học. Ông cũng

mô tả trình tự các thao tác dạy học trong một tình huống dạy học bằng graph.
Năm 1972, V.P.Grakumop đã sử dụng phƣơng pháp graph để mô hình
hoá các tình huống của dạy học nêu vấn đề. Theo ông, trong việc tạo ra các
mẫu của tình huống nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, thì việc vận dụng lý
thuyết graph có thể giúp ích rất nhiều cho các nhà lý luận dạy học.

Năm 1984, Phạm Tƣ đã nghiên cứu đề tài “Dùng graph nội dung của bài
lên lớp để dạy và học chƣơng Nitơ - Photpho ở lớp 11 trƣờng phổ thông trung
học”. Với thành công của ông, lý thuyết graph đã đƣợc vận dụng nhƣ một
phƣơng pháp dạy học hoá học thực sự có hiệu quả.
Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu “Dùng phƣơng pháp
graph lập chƣơng trình tối ƣu để dạy môn sử”.

Năm 1973 cũng tại Liên Xô (cũ) tác giả Nguyễn Nhƣ Ất đã vận dụng

Năm 1993, Hoàng Việt Anh đã nghiên cứu “Vận dụng phƣơng pháp sơ

phƣơng pháp graph kết hợp với phƣơng pháp ma trận nhƣ một phƣơng pháp

đồ - graph vào giảng dạy địa lý các lớp 6 và 8 ở trƣờng trung học cơ sở”. Tác

hỗ trợ để xây dựng logic cấu trúc các khái niệm “tế bào học” trong giáo trình

giả đã sử dụng phƣơng pháp graph để phát triển tƣ duy của học sinh trong học

môn sinh học đại cƣơng trƣờng phổ thông của nƣớc Việt Nam.

tập địa lý và rèn luyện kỹ năng khai thác sách giáo khoa cũng nhƣ các tài liệu
tham khảo khác.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




28

29

Trong lĩnh vực dạy học sinh học ở trƣờng phổ thông Nguyễn Phúc Chỉnh
là ngƣời đầu tiên đi sâu nghiên cứu một cách hệ thống về lý thuyết graph và
ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu – Sinh lý ngƣời (2005).

1.4.2. Chuyển hoá graph thành phƣơng pháp graph dạy học
Trong nhận thức khoa học, có thể phân loại các phƣơng pháp khoa học
thành ba nhóm: phƣơng pháp khái quát, phƣơng pháp riêng rộng và phƣơng
pháp đặc thù. Hệ thống các phƣơng pháp khoa học gắn bó với nhau, thâm

1.4. Ứng dụng của phƣơng pháp graph trong dạy học

nhập vào nhau và sinh thành ra nhau, chúng có thể chuyển hoá cho nhau để

1.4.1 Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học

hình thành ra những phƣơng pháp mới phù hợp với mục tiêu và nội dung đặc

Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học đang là một hƣớng đi trong

thù của từng hoạt động.

việc đổi mới phƣơng pháp dạy học.

Phƣơng pháp graph toán học là phƣơng pháp khoa học thuộc loại riêng

Graph có tác dụng mô hình hoá các đối tƣợng nghiên cứu và mã hoá các

rộng, có tính khái quát cao, tính ổn định vững chắc và có thể dùng mã hoá các

đối tƣợng đó bằng một loại “ngôn ngữ” vừa trực quan, vừa cụ thể và cô đọng.

mối quan hệ của các đối tƣợng đƣợc nghiên cứu. Vì vậy trong những năm

Vì vậy dạy học bằng graph có tác dụng nâng cao hiệu quả truyền thông tin

cuối thế kỷ XX, trên thế giới đã xuất hiện xu hƣớng chuyển hoá phƣơng pháp

nhanh chóng và chính xác hơn. Giúp học sinh thu nhận kiến thức một cách

graph của toán học thành phƣơng pháp dạy học nhiều bộ môn không phải là

khoa học hơn, hiểu vấn đề một cách khái quát hơn.

toán học, nhằm cung cấp cho học sinh một phƣơng pháp tƣ duy và tự học có

Xử lý thông tin là sử dụng các thao tác tƣ duy nhằm phân tích thông tin,

hiệu quả.

phân loại thông tin và sắp xếp thông tin vào những hệ thống nhất định (thiết

Từ năm 1971, giáo sƣ Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu chuyển hóa

lập mối quan hệ giữa các thông tin). Hiệu quả những thao tác đó phụ thuộc

các phƣơng pháp khoa học thành phƣơng pháp dạy học, thông qua xử lý sƣ

vào chất lƣợng thông tin và năng lực nhận thức của từng học sinh. Tuy nhiên

phạm là một trong những hƣớng của chiến lƣợc đổi mới và hiện đại hoá

nhờ các graph mã hoá các thông tin theo những hệ thống logic hợp lý đã làm

phƣơng pháp dạy học. Quá trình chuyển hoá phƣơng pháp graph toán học

cho việc xử lý thông tin hiệu quả hơn rất nhiều.

thành phƣơng pháp graph dạy học thông qua xử lý sƣ phạm đƣợc thực hiện

Lƣu trữ thông tin là việc ghi nhớ kiến thức của học sinh. Những cách dạy
học cổ truyền thƣờng yêu cầu học sinh ghi nhớ một cách máy móc (học thuộc
lòng) vì vậy học sinh dễ quên. Graph sẽ giúp học sinh ghi nhớ một cách khoa

theo công thức sau:
Phƣơng pháp graph
toán học

Ψ

Phƣơng pháp
graph dạy học

học, tiết kiệm “bộ nhớ” trong não học sinh. Hơn nữa việc ghi nhớ các kiến
thức bằng graph mang tính hệ thống sẽ giúp cho việc tái hiện và vận dụng

1.4.3. Những ứng dụng của graph trong dạy học

kiến thức một cách linh hoạt hơn.

* Dùng graph để hệ thống hoá khái niệm:
“Trong việc dạy học toán, cũng nhƣ ở việc dạy học bất cứ một khoa học
nào ở trƣờng phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




30

31

vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến

thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả

Tứ giác

năng vận dụng các kiến thức đã học” (Hoàng Chúng 197, tr. 116).

Tứ giác lồi

Hình bình hành

Hình chữ nhật

Hình thoi

Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống các
khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau
Hình vuông

trong một hệ thống khái niệm. Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải
quyết các vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có

* Dùng graph cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa:

tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái

Nếu nội dung bài học chỉ đƣợc truyền tới ngƣời học dƣới dạng văn bản
thì ngƣời học sẽ có thể kém hứng thú, có khi dẫn đến việc hiểu sai nội dung

niệm.
Có thể dùng graph để hệ thống hoá các khái niệm trong một tổng thể, qua

đó mở rộng hiểu biết về đối tƣợng cần nghiên cứu một cách khái quát. Điều đó
giúp học sinh hiểu khái niệm một cách không hình thức, không máy móc.

việc ghi nhớ rất khó khăn.
Xây dựng mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức trong một hệ thống nhất
định (trong một chƣơng trình, một chƣơng hay một bài). Cấu trúc hoá tài liệu

Ví dụ:

giáo khoa cho phép tạo nên hệ thống kiến thức cho học sinh. Điều này giúp

Để hình thành khái niệm trung điểm đoạn thẳng phải định nghĩa “đoạn

cho hoạt động dạy học có hiệu quả hơn, vì nó cho biết mối quan hệ hữu cơ

thẳng”. Để đi đến định nghĩa đoạn thẳng phải dựa vào khái niệm “nằm giữa”

giữa những bộ phận kiến thức trong mối liên hệ logic với nhau. Học sinh có

và “điểm”, hơn nữa khái niệm cách đều phải dựa vào khái niệm cơ bản là độ

thể định hƣớng đƣợc các hoạt động trí tuệ và kích thích sự tìm tòi để chiếm

dài đoạn thẳng.

lĩnh hệ thống tri thức mới. Những tri thức mà học sinh tự tìm tòi chiếm lĩnh

Điểm

Nằm

giữa

Đoạn
thẳng

đƣợc sẽ nhớ lâu hơn, tái hiện chính xác hơn.
Trung điểm đoạn thẳng

Cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa đƣợc xem nhƣ một cách làm có
hiệu quả. Cách làm này vừa phù hợp điều kiện hoàn cảnh nƣớc ta hiện nay,
vừa đón trƣớc đƣợc xu thế phát triển của khoa học thế giới.

Cách đều

Ví dụ: Với nội dung bài “Phƣơng trình đƣờng thẳng” ta có thể cấu trúc
hoá nội dung dƣới dạng sơ đồ. Việc làm này sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng

Độ dài đoạn thẳng

Để hình thành khái niệm hình vuông thì phải dựa vào khái niệm hình chữ

thể đối với bài toán, thấy đƣợc những nội dung cơ bản và các yếu tố cấu trúc
trong nội dung đó.

nhật và hình thoi, để có khái niệm hình chữ nhật phải có khái niệm hình bình
hành, khái niệm tứ giác và tứ giác lồi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




32

33
ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng

con ngƣời, kết quả học tập sẽ nhân lên gấp bội.

Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng

Với lƣợng kiến thức cập nhật ngày càng nhiều, song chúng ta không thể
nhồi nhét tất cả tri thức đó cho học sinh mà phải dạy học sinh phƣơng pháp
học và lĩnh hội kiến thức. Tự học không chỉ có ý nghĩa trong thời gian học tập
ở nhà trƣờng, mà còn có ý nghĩa lớn trong cuộc đời của mỗi ngƣời.

Hệ số góc của đƣờng thẳng

Thông qua hoạt động học tập bằng graph, học sinh sẽ hình thành tƣ duy
hệ thống. Từ đó có thể phát huy tính độc lập, sáng tạo của học sinh. Giáo viên

PT tham số

PT chính tắc

PT tổng quát

có thể hƣớng dẫn học sinh nghiên cứu nội dung của bài khoá trong sách giáo
khoa hoặc quan sát mô hình, vật mẫu cụ thể… để đi đến các yếu tố cấu trúc
của đối tƣợng nghiên cứu rồi lập graph để thể hiện các mối quan hệ của các

ỨNG DỤNG

yếu tố cấu trúc đó. Hình thức này giúp cho học sinh có một phƣơng thức tự
học theo sách giáo khoa một cách chủ động.
Ngoài ra học sinh còn có thể tự học ở nhà, bằng graph học sinh có thể

Vị trí tƣơng đối của hai
đƣờng thẳng

Góc giữa hai đƣờng
thẳng

Công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến
một đƣờng thẳng

lập đƣợc dàn ý cơ bản của các nội dung học tập. Từ đó tạo điểm tựa để học
sinh ghi nhớ và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, có hệ thống.
Ví dụ: Giáo viên có thể cho học sinh nghiên cứu nội dung của bài: “Khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, yêu cầu học sinh xác định kiến thức

Hình 1.1
* Dùng graph hướng dẫn học sinh tự học:

trọng tâm của nội dung (các bƣớc khảo sát hàm số…), tìm những yếu tố cấu

Chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu là ghi nhớ

trúc của các kiến thức đó rồi lập graph thể hiện các mối quan hệ của các yếu

kiến thức, đối phó với thi cử sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chú

tố cấu trúc đó.

trọng hình thành năng lực tự học dƣới sự giúp đỡ, hƣớng dẫn tổ chức của giáo
viên. Những gì mà học sinh nghĩ đƣợc, làm đƣợc, giáo viên không làm thay,
nói thay.
Phƣơng pháp tích cực xem việc rèn luyện phƣơng pháp học tập cho học
sinh không chỉ là biện pháp nâng cao hiệu quả mà còn là mục tiêu của dạy
học. Nếu rèn luyện cho ngƣời học có đƣợc phƣơng pháp, kỹ năng, thói quen,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




34

1. Tìm tập xác
định của hàm số

35

a. Xét chiều biến
thiên

Tính đạo hàm

tập quan trọng trong việc giúp hiểu kiến thức cơ bản của bất kỳ bài học nào.
Tìm các điểm tại
đó đạo hàm bằng
0 hoặc không
xác định

b. Tìm cực trị

Khảo sát
sự biến
thiên và vẽ
đồ thị
hàm số

c. Tìm giới hạn
tại vô cực và
tiệm cận (nếu
có)

2. Sự biến thiên

dung và tổ chức thông tin. Học cách tổ chức các ý tƣởng là một kỹ năng học
Từ hình ảnh trực quan và các kết quả thí nghiệm có thể dùng graph để
mô hình hoá mối quan hệ về mặt cấu trúc và về mặt chức năng của các đối
tƣợng nghiên cứu, giúp học sinh hiểu bài và hệ thống hoá kiến thức tốt hơn.

Xét dấu của đạo
hàm
Suy ra chiều
biến thiên của
hàm số

d. Lập bảng biến
thiên.
3. Vẽ đồ thị

Hình 1.2
1.4.4. Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học
Trong lý luận dạy học, vận dụng lý thuyết graph đã trở thành một tiếp
cận mới thuộc lĩnh vực phƣơng pháp dạy học, cho phép GV quy hoạch đƣợc
quá trình dạy học tổng quát cũng nhƣ từng mặt của nó. Dùng graph có thể
thiết kế tối ƣu hoạt động dạy - học và điều khiển hợp lý quá trình này tiến tới
công nghệ hoá một cách có hiệu quả quá trình dạy học trong nhà trƣờng theo
hƣớng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh.
Thay vì hỗ trợ cho môi trƣờng dạy - học thụ động, việc lập graph khuyến
khích học sinh tham gia tích cực vào tƣ duy, mổ xẻ và phát triển ý tƣởng. Học
sinh không chỉ dừng ở việc nắm tri thức một cách đơn lẻ mà xâu chuỗi, kết
nối một cách có hệ thống các tri thức đó lại để hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa
chúng. Quan trọng hơn là học sinh sẽ học đƣợc một qui trình điều tra, hình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




36

37

Chƣơng II

chọn đó là cần thiết vì không phải bài học nào cũng có thể lập đƣợc graph nội

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở
TRƢỜNG THPT

dung và nội dung các kiến thức khác nhau mang tính đặc thù.
Dựa vào nội dung dạy học (khái niệm, định lý, bài học…), ta chọn

2.1 Graph dạy học toán học

những kiến thức chốt (đây là những kiến thức cơ bản và đầy đủ về mặt ngữ

Phƣơng pháp graph toán học đã đƣợc một số nhà nghiên cứu và một số

nghĩa) đặt chúng vào các đỉnh của graph. Nối các đỉnh với nhau bằng các

tác giả nghiên cứu chuyển hoá thành graph dạy học. Ở Việt Nam, giáo sƣ
Nguyễn Ngọc Quang là ngƣời đầu tiên đƣa phƣơng pháp graph vào dạy học
môn hoá học, theo ông trong mỗi hoạt động bao giờ cũng có hai mặt, đó là:
mặt “tĩnh” và mặt “động”. Trong dạy học mặt tĩnh là nội dung kiến thức, còn
mặt động là các hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình hình

cung theo lôgic dẫn xuất, tức là theo sự phát triển bên trong của nội dung đó.
Trong dạy học, có thể sử dụng graph nội dung các thành phần kiến thức
hoặc nội dung bài học.
Ví dụ: Graph nội dung: Giải và biện luận bất phƣơng trình dạng
ax b 0 .

thành tri thức. Có thể mô tả mặt “tĩnh” của hoạt động dạy học bằng “graph
nội dung” và mô tả mặt “động” của hoạt động bằng “graph hoạt động dạy

ax b 0 (1)

học”. Nhƣ vậy, graph dạy học bao gồm: graph nội dung và graph hoạt động.
(H 2.1)
a =0

a

0

GRAPH DẠY HỌC

GRAPH NỘI DUNG

(1) có dạng:
0x
GRAPH HOẠT ĐỘNG

Hình 2.1

b

0

a< 0

b< 0

a> 0

2.1.1. Graph nội dung
Graph nội dung là graph phản ánh một cách khái quát, trực quan cấu trúc
lôgic phát triển bên trong của một bài học.

S=Ø

S

R

S

( b / a,

)

S

(

, b / a)

Giáo viên cần nghiên cứu nội dung chƣơng trình giảng dạy để lựa chọn
những bài, những tổ hợp kiến thức có khả năng lập graph nội dung. Sự lựa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Hình 2.2. Graph giải và biện luận bất phương trình dạng ax+b<0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




38

39
Kiểm tra tính hợp lý của graph

2.1.1.1.Quy trình lập graph nội dung
*Bước 1: Xác định các đỉnh của graph.

- Lựa chọn những kiến thức cơ bản của nội dung bài học.
- Mã hoá chúng sao cho thật súc tích, khoa học (có thể dùng các kí hiệu
để quy ƣớc).
- Đặt chúng vào các đỉnh của graph.
* Bước 2: Thiết lập các cung.
Ta thiết lập các mối quan hệ giữa các đỉnh của graph, nối chúng bằng

Tổ chức các đỉnh của graph

Thiết lập các cung
hợp lý

Không hợp lý

Hoàn thiện grap
(Bố trí các đỉnh và cung lên một mặt phẳng)

các mũi tên để diễn tả mối liên hệ giữa nội dung các đỉnh với nhau.
Hình 2.3. Quy trình lập graph nội dung

Các mối quan hệ đó phải bảo đảm tính lôgic khoa học, tuân theo những
quy luật khách quan và tính hệ thống của nội dung kiến thức.

2.1.1.2.Ví dụ về lập graph nội dung bài học

*Bước 3: Hoàn thiện graph (bố trí các đỉnh và các cung lên mặt
phẳng).

Việc xây dựng graph nội dung bài học đòi hỏi nhà sƣ phạm phải kết hợp
hài hoà các mặt khoa học, sƣ phạm và hình thức bố cục trình bày.

Khi đã xác định đƣợc các đỉnh (đơn vị kiến thức) và mối quan hệ giữa

Ví dụ 1: Lập graph nội dung bài: “Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản”.

chúng, có thể xếp các đỉnh lên mặt phẳng theo một lôgic khoa học, sao cho:

- Bƣớc 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph.

- Trung thành với nội dung đƣợc mô hình hoá về cấu trúc lôgic.

+ Tìm kiến thức cơ bản của nội dung (kiến thức chốt)

- Phải chú ý đến tính khoa học (phản ánh đƣợc lôgic phát triển bên trong
của tài liệu)

Các phƣơng trình lƣợng giác: sin x m , cos x m , tan x m , cot x m
và công thức nghiệm của các phƣơng trình này.

- Phải đảm bảo tính sƣ phạm (đảm bảo tính trực quan, không nên lập
những graph phức tạp, rắc rối làm cho học sinh khó hiểu).

+ Các công thức lƣợng giác và các công thức nghiệm sẽ là các đỉnh của
grap.
+ Xếp đỉnh: Từ nội dung bài: “Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản” có thể
xác định 13 đỉnh, trong đó 4 đỉnh chính tƣơng ứng với 4 phƣơng trình lƣợng
giác cơ bản và 9 đỉnh nhỏ tƣơng ứng với các công thức nghiệm của các
phƣơng trình lƣợng giác.
- Bƣớc 2: Thiết lập các cung.
Nối các đỉnh với nhau bằng các mũi tên theo mối quan hệ lôgic giữa

chúng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




40

41
Các công thức lƣợng giác cơ bản vừa xác định này sẽ là các đỉnh của

- Bƣớc 3: Bố trí các đỉnh và các cung lên mặt phẳng.
Sau khi xác định đƣợc các đỉnh và các cung, ta đặt các đỉnh lên mặt

graph.
+ Xếp đỉnh: Từ nội dung bài “Một số công thức lƣợng giác” có thể xác

phẳng để tạo ra một graph nội dung hoàn chỉnh (H 2.4).

định 6 đỉnh (tƣơng ứng với các công thức lƣợng giác).
x

m 1

k2

+ k2

x π – + k2

sin x m

m

1

- Bƣớc 2: Thiết lập các cung.
Nối các đỉnh với nhau bằng các mũi tên theo mối quan hệ lôgic giữa
chúng. Chẳng hạn:
Công thức nhân đôi đƣợc suy ra từ công thức cộng do phép đặt α=β

PTVN

(tƣơng tự cũng có thể suy ra góc nhân ba).
x

m 1

+ k2

Cũng từ công thức cộng có thể suy ra các công thức biến đổi tích thành
tổng. Rồi với phép đặt α + β = x , α − β = y thì từ công thức biến đổi tích

PTLG cơ bản

+ k2

x
cos x m

m

1

thành tổng ta suy ra đƣợc công thức biến đổi tổng thành tích.
Công thức góc nhân đôi cũng có thể suy ra công thức hạ bậc.

PTVN

- Bƣớc 3: Bố trí các đỉnh và cung lên mặt phẳng.
Sau khi xác định đƣợc các đỉnh và các cung, chúng ta đặt các đỉnh lên

tan x m

cot x m

x

mặt phẳng để tạo ra một graph nội dung hoàn chỉnh (H2.5).

k

x

Công thức biến

tích thành tổng

k

Hình 2.4

Công thức cộng

Ví dụ 2: Lập graph nội dung của bài: “Một số công thức lƣợng giác”.

Công thức nhân
đôi

Công thức biến
tổng thành tích

Công thức hạ bậc

- Bƣớc 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph.
+ Tìm kiến thức cơ bản của nội dung (kiến thức chốt).
Các công thức lƣợng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi (công

Công thức nhân ba

thức góc nhân ba, công thức hạ bậc), công thức biến đổi tích thành tổng và
công thức biến đổi tổng thành tích.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hình 2.5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




42

43
trong các bối cảnh học tập khác nhau. Graph cũng có thể đƣợc khai thác trong

Công thức hạ bậc
1 cos 2a
cos 2 a
2

các cuộc thảo luận nhóm và là công cụ cho cách học tập hợp tác.
2.1.2 Graph hoạt động

Công thức nhân đôi
cos 2a cos2 a sin 2 a

Công thức nhân ba
cos 3a

3

4 cos a

3 cos a

Graph hoạt động là graph mô tả trình tự các hoạt động sƣ phạm theo
lôgic hoạt động nhận thức nhằm tối ƣu hoá bài học.
Graph hoạt động là graph mô tả phƣơng pháp dạy học, nó đƣợc xây

cos(a

Công thức cộng
b) cos a cos b sin a sin b

dựng trên cơ sở của graph nội dung kết hợp các biện pháp sƣ phạm của giáo
viên và hoạt động của học sinh ở trên lớp, bao gồm cả việc sử dụng những
phƣơng pháp, biện pháp và phƣơng tiện dạy học.

Công thức biến tích thành tổng
1
cos a cos b
cos a b cos a b
2

Graph hoạt động là một dạng algorit hoá hoạt động dạy - học theo
phƣơng pháp đƣờng găng (con đƣờng tối ƣu). Để xây dựng đƣợc graph hoạt
động của một bài học, giáo viên phải phân tích những hoạt động sƣ phạm

Công thức biến tổng thành tích
x y
x y
cos x cos y 2 cos

cos
2
2

thành các yếu tố cấu trúc của bài học, đó là các “hoạt động” và tổng hợp các
hoạt động đó trong một hệ thống hoàn chỉnh, thống nhất. Mối liên hệ giữa các
hoạt động của bài học có thể biểu diễn bằng các hoạt động dạy học.
Trong mỗi bài học, các hoạt động đều mang tính hệ thống, tức là thứ tự

Hình 2.5’

của mỗi hoạt động đòi hỏi phải có tính lôgic khoa học. Ví dụ, xây dựng grap h

2.1.1.3. Ý nghĩa của graph nội dung:

hoạt động ngƣời ta đánh số thứ tự từ 1 đến n (bài học có n hoạt động), bắt

Graph nội dung là một công cụ đắc lực trợ giúp học sinh tiếp cận, tìm

buộc phải thực hiện xong thao tác 1 mới thực hiện thao tác 2, xong thao tác 2

hiểu hệ thống hoá và phát triển trí tuệ. Sử dụng graph nội dung không chỉ

rồi mới thực hiện thao tác 3…

giúp học sinh nhớ đƣợc tốt hơn, có nhiều cơ hội hơn để xử lý thông tin ở “cấp

Thực chất xây dựng graph hoạt động là xác định các phƣơng án khác

độ cao hơn” mà còn tạo cơ hội cho lối tƣ duy chia sẻ, hợp tác, vừa kích thích

nhau để triển khai bài học, việc này phụ thuộc vào grap nội dung và quy luật

tƣ duy, vừa hứng thú học tập. Ngoài ra, sử dụng graph nội dung còn có thể

nhận thức.

hƣớng cho học sinh cách sắp xếp, tổ chức và thể hiện tƣ duy của chúng.
Graph nội dung giúp học sinh tái hiện kiến thức dƣới dạng trực quan, để
thể hiện mối quan hệ giữa các nội dung, đồng thời tạo ra các kết nối thông tin

Trong dạy học, graph hoạt động giống nhƣ một chƣơng trình kiểm tra tin
học, theo graph đó giáo viên có thể chủ động lựa chọn các cách tổ chức bài
học sao cho hiệu quả nhất. Mô hình graph dạy học có thể cấu trúc nhƣ sau:

mới với những kiến thức cũ. Graph nội dung có nhiều dạng và đƣợc sử dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




44

45
* Bước 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động:

BẮT ĐẦU

Trong mỗi hoạt động, chúng ta cần xác định các thao tác chính để đạt
đƣợc mục tiêu.
Hoạt động 1

*Bước 4: Lập grap hoạt động dạy học:
Sau khi đã xác định đƣợc các hoạt động và các thao tác của một bài học,

Hoạt động 2

Hoạt động 3

giáo viên lập graph mô tả diễn biến chính của bài học. Sau đó vận dụng tƣ
tƣởng thuật toán “Con đƣờng ngắn nhất” để lập graph hoạt động dạy học theo
hƣớng tối ƣu hoá bài học.

KẾT THÚC

Bƣớc 1
Xác định mục tiêu bài học

Hình 2.6. Mô hình graph hoạt động dạy - học
2.1.2.1. Quy trình lập graph hoạt động.
Quy trình lập graph hoạt động đƣợc dựa trên tƣ tƣởng “bài toán con
đƣờng ngắn nhất” của lý thuyết graph trong dạy học, nhằm thực hiện bài toán

Bƣớc 2
Xác định các bƣớc hoạt động

Bƣớc 3: Xác định các thao tác
trong mỗi hoạt động

theo hƣớng tối ƣu hoá, tức là xác định các phƣơng án khác nhau để triển khai
bài học.

Bƣớc 4: Vận dụng tƣ tƣởng thuật
toán: “Con đƣờng ngắn nhất” để
lập graph hoạt động dạy học theo
hƣớng tối ƣu hoá bài học

Graph hoạt động đƣợc lập để dạy một tổ hợp kiến thức hoặc một bài học,
theo một quy trình nhƣ sau (H 2.7):
*Bước 1. Xác định mục tiêu bài học:
Mục tiêu bài học là những yêu cầu đặt ra đối với học sinh khi thực hiện
bài học. Có nhiều yếu tố tác động đến việc xác định mục tiêu bài học, trong
đó đáng chú ý nhất là các yếu tố: nội dung bài học, yếu tố nhận thức của học
sinh, năng lực của giáo viên.

Hình 2.7. Quy trình lập graph hoạt động
2.1.2.2. Ví dụ về lập graph hoạt động.
Ví dụ1:Lập graph hoạt động bài: “Công thức nhị thức NIU - TƠN” (Đại
số và giải tích lớp 11)

* Bước 2: Xác định các hoạt động:

- Bƣớc 1: Xác định mục tiêu bài học.

Xác định các hoạt động trong một bài học có thể dựa trên graph nội dung

1. Về kiến thức:

bài học hoặc dựa vào việc phân tích cấu trúc nội dung bài học. Mỗi hoạt động
tƣơng ứng với một đơn vị kiến thức .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hiểu đƣợc: Công thức nhị thức Niu-tơn, tam giác Pa-xcan. Bƣớc đầu
vận dụng vào bài tập.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên