Tuyển Chọn Bài Toán Hệ Phương Trình Hàm Số, Liên Hợp, Đặt Ẩn Phụ

Tất cả vì học sinh thân yêu

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

1


Tất cả vì học sinh thân yêu

GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
 x10  2 x 6  y 5  2 x 4 y
( x, y   )
Bài 1: Giải hệ phương trình 
2
 x  5  2 y  1  6
Bài giải:
Điều kiện: 2 y  1  0  y  -

1
2

- Xét x=0, từ pt đầu suy ra y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai không thỏa mãn (loại)
5

æ yö
æ yö
- Xét x  0 , chia 2 vế của pt đầu cho x  0 , ta được x  2 x  ç ÷  2 ç ÷ (1)
è xø
è xø
5
'

4
Xét hàm số f  t   t  2t , t   . Ta có f  t   5t  2  0, t   .
5

5

Vậy hàm số f  t   t 5  2t đồng biến trên  . Do đó (1)  x 
2 của hệ ta được:
Xét hàm số g ( y ) 
Ta có g ' ( y ) 

y
 y  x 2 . Thay vào pt thứ
x

y  5  2 y  1  6 (2)
1
y  5  2 y  1, y  - .
2

1
1
1

 0, y  - . Vậy g(y) đồng biến trên khoảng
2
2 y5
2 y 1

æ 1

ö
ç - ;  ÷ .
2
è
ø

Mà g(4)=6 nên (2)  y  4

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

2


Tất cả vì học sinh thân yêu

x  2
 x  -2
hoặc 
Suy ra y  x 2  4  
y  4
y  4

 xy ( x  1)  x 3  y 2  x - y 1
Bài 2: Giải hệ phương trình 

2
3 y 2  9 x  3   4 y  2 









1  x  x2  1  0  2

Bài giải:



y  x



2

Biến đổi PT (1)   x - y  x - y  1  0  

2
y  x 1

x = y thế vào PT (2) ta được:





3x 2  9 x 2  3   4 x  2 

  2 x  1





1  x  x2  1  0

  2x  1  3  2  (-3x)  2 
2

(-3 x) 2  3



 f  2 x  1  f  -3 x 
Xét f (t )  t





t 2  3  2 có f '(t )  0, t.

f là hàm số đồng biến nên: 2 x  1  - 3 x  x  -



1

1
y5
5

y  x 2  1 thế vào







(2) 3( x 2  1) 2  9 x 2  3  4 x 2  1  2





1  x  x2  1  0

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

3


Tất cả vì học sinh thân yêu

Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm.

æ 1

è 5

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ç - ; -

1ö
÷.
5ø

 x3  y 3  3( x  y )  6 y ( y - 2)  14 1
Bài 3: Giải hệ phương trình sau . 
3
2
27 x  27 x  20 x  4  4. 3 y  2 x - 1  2 
Bài giải:
Phương trình (1)  x 3  3 x  - y 3  6 y 2 - 15 y  14
3

 x 3  3 x  2 - y   32 - y 

Xét hàm số: f (t )  t 3  3t liên tục trên R.
Ta có f ' (t )  3t 2  3  0 với t  R   hàm số đồng biến trên R.
pt : f ( x )  f ( 2 - y )  x  2 - y  y  2 - x

Thế y = 2-x vào phương trình (2) ta được.
3

27 x 3  2 x 2  20 x  4  43 1  x  3 x  1  4(3 x  1)  x  1  43 x  1

Xét hàm số: g (t )  t 3  4t liên tục trên R.
Ta có g ' (t )  3t 2  4  0  hàm số đồng biến trên R.

Suy ra: g (3 x  1)  g (3 x  1)  3 x  1  3 x  1  27 x 3  27 x 2  9 x  1  x  1

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

4


Tất cả vì học sinh thân yêu

x  0  y  2
 27 x 3  27 x 2  8 x  0  
2
27 x  27 x  8  0(vn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)

 x  1  ( x  1)( y - 2)  x  5  2 y  y - 2

Bài 4: Giải hệ phương trình  ( x - 8)( y  1)
 x, y   
 ( y - 2) x  1 - 3
 2
 x - 4x  7





Bài giải:
Điều kiện:

Xét phương trình:

Đặt

Từ phương trình

ta được phương trình:

ta có

thay vào phương trình

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

ta

5


Tất cả vì học sinh thân yêu

được

Tiếp tục giải phương trình

Xét hàm số

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

6


Tất cả vì học sinh thân yêu

Do đó hàm số

đồng biến trên

Từ
Giải phương trình

+) Với

+) Với

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:







 x  x 2  4 y  y 2  1  2 1

Bài 5 : Giải hệ phương trình 
12 y 2 - 10 y  2  2 3 x3  1  2 


( x; y   ) .

Bài giải:

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

7


Tất cả vì học sinh thân yêu

Ta có: (1)  x  x 2  4  (-2 y ) 2  4  (-2 y ) (*) .

Xét hàm số đặc trưng f (t )  t 2  4  t  f '(t ) 

t
t2  4

1 

t  t2  4
t2  4



t t
t2  4

 0.

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: f ( x )  f ( -2 y )  x  -2 y .
Thay vào phương trình (2) ta được:
3x 2  5 x  2  2 3 x3  1
3

  x  1  2  x  1   x 3  1  2 3 x3  1 (**)

Xét hàm số g (t )  t 3  2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra

x  0
1
. Vậy hệ có hai nghiệm là (-1; ); (0;0) .
x  1  3 x3  1  
2
 x  -1

3
2

2
 y  1  y y  1  x  2 1
Bài 6: Giải hệ phương trình: 
 x  x2 - 2x  5  1  2 2 x - 4 y  2  2


( x, y   )

Bài giải:
Đk: 2 x - 4 y  2  0

Ta có: 1  2 x - 4 y  2 

 x - 1   x - 1

2

4 2



y2 1  y



y2 1  y





2

thế vào PT (2) ta được

2

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

8

Tất cả vì học sinh thân yêu

2



x -1
æ x -1 ö
2
 ç
÷  1  y  y  1 (*) (vì
2
è 2 ø

y2 1  y  y  y  0 )

Xét hàm số f  t   t  t 2  1 trên 

t

f 't   1

2



t2 1  t

t 1

2

 0, t   , do

t 2  1  t  t  t  0, t  

t 1

æ x -1 ö
 f  t  đồng biến trên  , theo (*) ta có f ç
÷  f  y
è 2 ø
 x  2 y 1

Với x  2 y  1 thay vào (1) ta có:



y2 1  y



2

4

y2 1  y  2 

y2 1  2 - y  y 

3
5
x
4
2

æ5 3ö
Vậy hệ có nghiệm  x; y   ç ; ÷
è2 4ø

2 x - 2. y  2

Bài 7: Giải hệ phương trình 

 y  8 x  y  4 x

.

 xy  2 x - 11  12 - x  y  7 - 3 x  0

Bài giải:
Điều kiện 2  x 

7
,y0
3

Ta có

2 x - 2. y  4( x - 2) y 

4x - 8  y
. Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8
2

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

9


Tất cả vì học sinh thân yêu

2

 y  8 x   y  8 4 x 

4x  y  8
.
2

Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8

 y  8 x  y  4 x . Dấu “=” xẩy ra khi y=4x–8

Suy ra 2 x - 2. y  2

Như vậy, pt(1)  y = 4x – 8. Thế vào pt(2) ta có:

4 x 2 - 6 x - 11  4  3x  7 - 3x  0

 4  x 2 - x - 3 



 

4  3x - x - 1 

x

2

- x - 3



7 - 3x - x  2  0

x

2

- x - 3

æ
 7ö
 0 ç do x   2;  ÷
4  3x  x  1
7 - 3x  x - 2

 3ø
è
1
1


  x 2 - x - 3  4 0
4  3x  x  1
7 - 3x  x - 2 

 4  x - x - 3 2

-

 x2 - x - 3  0
()


1
1


 4 (3)
 4  3x  x  1
7 - 3x  x - 2
+ pt ()  x 2 - x - 3  0  x 

Đối chiếu điều kiện ta có x 

1  13

1 - 13
x
2
2

1  13
2

æ 1  13
ö
; 2 13 - 6 ÷
è 2
ø

Hệ có nghiệm ç
+ Xét pt(3)

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

10


Tất cả vì học sinh thân yêu

 7
x   2;   4  3 x  x  1  3  10  6 
 3

1
1


4  3x  x  1 6

 7ö
 3ø

Xét hàm số x   2; ÷ : g ( x )  7 - 3 x  x - 2

 g '( x)  -

3
2 7 - 3x - 3
1 
0
2 7 - 3x
2 7 - 3x

1
æ7ö 1
 g ( x)  g ç ÷  
 3 . Do đó,
7 - 3x  x - 2
è3ø 3

 7
x   2;  :
 3

1
1

1

  3  4 hay pt(3) vô nghiệm
4  3x  x  1
7 - 3x  x - 2 6

æ 1  13
ö
; 2 13 - 6 ÷
è 2
ø

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất ç

2 x 3 - 4 x 2  3 x - 1  2 x3  2 - y  3 - 2 y

Bài 8: Giải hệ phương trình 
 x  2  3 14 - x 3 - 2 y  1

1
 2

Bài giải:
Ta thấy x  0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x 3 ta được

1  2 -

4 3 1
 -  22 - y 3 - 2y
x x2 x3

3

æ 1ö æ 1ö
 ç1 - ÷  ç1 - ÷   3 - 2 y  3 - 2 y  3 - 2 y
è xø è xø

* 

Xét hàm f  t   t 3  t luôn đồng biến trên 

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

11


Tất cả vì học sinh thân yêu

 *  1 -

1
 3- 2y
x

Thế (3) vào (2) ta được

 3
x  2  3 15 - x  1  x  2 - 3  2 - 3 15 - x  0

æ
ö

ç
÷
1
1
ç
÷
  x - 7 ç

0
2 ÷
x  2  3 4 - 2 3 x  15  3 x  15
ç
÷

÷
ç 
0
è
ø





æ 111 ö
Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y   ç 7;
÷.
è 98 ø

2 x  y  6  1 - y

(1)

Bài 9: Giải hệ phương trình 

2
9 1  x  xy 9  y  0 (2)

Bài giải:

x  y  6  0
 x  -1

Đk: 

+) Nếu y  0 , để hệ có nghiệm thì 1  y  0 .

VT (1)  2 x  y  6  2 5 
  VT (1)  VP (1) hệ vô nghiệm.
VP (1)  1 - y  1

+) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0
2

æ 3 ö
æ 3 ö
2
9 1  x  xy 9  y  0  ç
÷ 9ç
÷   - y  9   - y  (3)

è xø
è xø
2

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

12


Tất cả vì học sinh thân yêu

2
Xét hàm số f (t )  t 9  t , t  0; f '(t ) 

9  2t 2

9  t2

 0t  0

3
9
æ 3 ö
(3)  f ç
 -y  x  2
÷  f (- y ) 
y
x
è xø
Thế vào pt(1) ta có phương trình 2

9
9
 y  6  1 - y (4). Hàm số g ( y )  2 2  y  6 đồng
2
y
y

biến trên  -;0  ; hàm số h(y) = 1 – y nghịch biến trên  -;0  và phương trình có ngiệm y = –3
nên pt(4) có nghiệm duy nhất y = –3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1; –3).

 y - 1  2 y 2  1  x  x 2  xy  3 y 1
Bài 10: Giải hệ phương trình : 
2
2
 x  y  3  y - 3x  7  2 
Bài giải:
Đk: y  1, x  0, y 2  3 x
æ
ö
1
Từ pt (2) ta có :  y - x - 1 ç
 2 y -1  x ÷  0
ç y -1  x
÷
è
ø

Suy ra, y = x + 1
Thay vào pt (1) ta được

x2  x  1 - x2 - x  1  7 - 3

Xét hàm số: f ( x)  x 2  x  1 - x 2 - x  1
Chứng minh hàm số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

13


Tất cả vì học sinh thân yêu

Vậy nghiệm của hệ là (2;3)

 x  3  xy  x  3 y  3  x  1  2 y  y  1 1

Bài 11: Giải hệ phương trình: 
2
x 1 - 2 2
 x - 3 y  1   y - 1 x - 2 x  3







Bài giải:

Pt(1)  x  3 

 x  3 y  1  x - 2 y  1 

y 1

a  x  3
a  b
Đặt 
 a, b  0  , (1) trở thành: a 2 - 2b2  ab  a - b  0  
 a  2b  1  0
b  y  1
+ a  2b  1  0 vô nghiệm do a, b  0
+ Xét a = b  y  x  2 thay vào (2) ta được:

 x - 3 x  3   x  1  x 2 - 2x  3 

x 1 - 2



  x - 3 x  3   x  1  x 2 - 2x  3 .

x -3
x 1  2

 x  3  y  5(tm)

2
 x  3 x  1  2   x  1  x - 2x  3  *



(*)  






2

x  1  2








2
x  1  2   x - 1  2   x - 1  2 



Xét hàm số f  t    t  2   t 2  2  , t  0 có f '  t   0t  
Suy ra f  t  đồng biến mà f





x  1  f  x - 1  x  1  x - 1

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

14


Tất cả vì học sinh thân yêu

x  1
 2
 x 3 y 5
 x - 3x  0
Vậy hpt có nghiệm:  3;5





8 2 x - 1 2 x - 2 x - 1  y  y 2 - 2 y  4  1

Bài 12: Giải hệ phương trình: 
4 xy  2  y  2  y  2 x   5 y  12 x - 6  2 
Bài giải:


1

x 
2
ĐK: 
. Từ pt (1)  dể pt có nghiệm thì y  0
 y  2  y  2 x   0

3



2

 

 



PT 1  2 2 x - 1 - 2 2 2 x - 1  4 2 2 x - 1  y 3 - 2 y 2  4 y (*)
Xét hàm số f  t   t 3 - 2t 2  4t

 t  0  có f   t   3t

2

2

- 4t  4  2t 2   t - 2   0 t  0 nên f(t)

luôn đồng biến





Từ pt (*)  f 2 2 x - 1  f  y   2 2 x - 1  y

Thay vào pt ( 2 ) ta được pt y 3  2  y  2  y  2  3y  y  2 



Đặt z  y  2 ta được pt y  2 z  3yz   y - z  y  yz - 2 z
3

3

2

2

2



 y  -2 z  loaïi 

 0  
t / m
 y  z

Với y = z ta được y  y  2  y  2  x  1 (t / m)

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

15


Tất cả vì học sinh thân yêu

 x x2 - y 2  x2  2 x - y 2 3



 
Bài 13: Giải hệ phương trình: 
 x, y   
3 x3  2 x - y 2  x2  y 2  2
2


 x  y 1 

x
2x 1
Bài giải:
ĐK: x  y 2  0
Từ PT(1) tìm được x  x - y 2  x 2  x - y 2
Thế vào (2) đưa về pt chỉ có ẩn x
3

æ
1ö
1
2
2
Đưa được về hàm çç 1  ÷÷  1   1   3 1 
xø
x
x
x
è
Xét hàm f  t   t 3  t đồng biến trên  từ đó được pt 1 
x-

1 3
2
 1  giải được
x
x

5 1
5 -1
 L , x 
N
2
2

æ 5 -1
Nghiệm ç
;

è 2

ö
5 - 2÷
ø



 x 2  1 - 3x 2 y  2

Bài 14: Giải hệ phương trình 
 x 2 y - x  2  0





4 y 2  1  1  8x 2 y3

1
 2

Bài giải:

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

16


Tất cả vì học sinh thân yêu

+) Với y  0 thì VT 1  0, VP 1  0  Hệ phương trình chỉ có nghiệm (x;y) với y  0

+) vì y  0 nên từ phương trình (2) của hệ suy ra x  2
Khi đó: 1  x 2  1 - 3 x 2 y  2  2 x 2 y



 x2  1  2  2x2 y 4 y 2  1  x2 y



4 y2 1 -1

 3

Thay 2  x - x 2 y vào phương trình (3) ta được:
x2  1  x  2 x2 y 4 y 2  1  2 x2 y



1
1 1
1  2   2 y 4 y2 1  2 y
x
x
x

+) xét hàm số: f  t   t 1  t 2  t với t  0
f 't   1  t 2 

t2
1 t2

 1  0 với mọi t  0

1
1
æ1ö
 f(t) là hàm đồng biến trên  0;   . Mà f ç ÷  f  2 y    2 y  xy 
x
2
è2ø

+) Thay xy 

1
1
vào phương trình (2) của hệ ta có: x  4  y 
8
2

x  4

Thử lại thấy 
1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
 y  8
æ 1ö
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   ç 4; ÷
è 8ø

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

17


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 15:

 y 3  3 y 2  y  4 x 2 - 22 x  21   2 x  1 2 x - 1
Giải hệ phương trình  2
2 x - 11x  9  2 y

1
 2

 x, y   

Bài giải:
Điều kiện: x  1/ 2 *
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được:
y 3  3 y 2  y  3   2 x  1 2 x - 1 - 4 y  y 3  3 y 2  5 y  3   2 x  1 2 x - 1
 y3  3 y 2  3 y  1  2 y  2   2 x - 1  2 2 x - 1
3

  y  1  2  y  1 





3

2x -1  2 2x -1

 3

Xét hàm số: f  t   t 3  2t với t  
Ta có: f  t   3t 2  2  0 với t    f  t  đồng biến trên 
Do đó:  3  f  y  1  f





2x - 1  y  1  2x -1  y  2x -1 -1

2

Thay vào (2) ta được: 2 x - 11x  9  2 2 x - 1 - 2  2 2 x - 1  2 x 2 - 11x  11
2 x 2 - 11x  11  0
**


2
2
 4
4  2 x - 1   2 x - 11x  11
 4   8x - 4  4 x4  121x2  121 - 44 x3  44 x 2 - 242 x

 4 x 4 - 44 x3  165 x 2 - 250 x  125  0   x - 1  4 x 3 - 40 x 2  125 x - 125   0
  x - 1 x - 5   4 x 2 - 20 x  25   0

x  1

 x  5

 x  5 / 2

 tm * , ** 
 tm * , ** 
 ktm * , ** 

x  1  y  0

x  5  y  2

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

18


Tất cả vì học sinh thân yêu

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là  x; y   1;0  ,  5;2 

 x4  x2 y 2 - y2  y3  x2 y  x2
Bài 16: Giải hệ phương trình:  3
2
2 y - 5 - 2 x - 1

 x, y   

Bài giải:
Điều kiện: x 

5
2

Phương trình (1)   x 2 - 1 - y  x 2  y 2   0  x  y  0 hoặc x 2  y  1
Trường hợp x  y  0 thế vào (2) không thoả mãn.
Trường hợp x 2  y  1 thế vào (2): 2 y 3 - 3 - 2 y - 1  0 (3)
3
æ
Xét hàm f  t   2t 3 - 3 - 2t - 1; t  ç -;  ; ma` f 1  0
2
è

Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất: y  1 . Với y  1  x 2  2  x   2 (thoả điều
kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:







2;1 ; - 2;1

 2 x 2  x  x  2  2 y 2  y  2 y  1
Bài 17: Giải hệ phương trình: 
x2  2 y 2 - 2 x  y - 2  0


.

Bài giải:

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

19


Tất cả vì học sinh thân yêu

Điều kiện: x  -2, y  -

1
2

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với x 2  -2 y  2 x - y  2
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

x 2  (-2 y 2  2 x - y  2)  x  x  2  2 y 2  y  2 y  1
 x 2  3x  2  x  2  4 y 2  2 y  2 y  1
 ( x  1)2  ( x  1)  ( x  1)  1  (2 y) 2  2 y  2 y  1 (1)

Xét hàm số f (t )  t 2  t  t  1 với t  -1 .
Ta có f '(t )  2t  1 

1
; f ''(t )  2 2 t 1
4

1

 t  1

3

; f ''(t )  0  t  -

3
4

æ3ö 1
Suy ra f '(t )  f ' ç ÷   0 với mọi t   -1;   . Do đó hàm f(t) đồng biến trên [-1; ) .
è4ø 2

Suy ra phương trình (1)  f ( x  1)  f(2 y)  x  1  2 y  x  2 y - 1 .
Thế vào pt thứ hai của hệ, ta
 y 1
được  2 y - 1  2 y - 2(2 y - 1)  y - 2  0  6 y - 7 y  1  0  
y  1
6

2

2

2

æ 2 1ö
Suy ra nghiệm (x;y) của hệ là (1;1), ç - ; ÷ .
è 3 6ø

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

20


Tất cả vì học sinh thân yêu







 x  x 2  4 y  y 2  1  2
Bài 18: Giải hệ phương trình : 
12 y 2 - 10 y  2  23 x 3  1

Bài giải:
Phương trình đầu ên của hệ tương đương với:
x  x2  4 

 -2 y 

2

 4   -2 y 

 f  x   f  -2 y  với y  f  t   t 2  4  t
Ta có f '  t   1 

t
2

t 4



t2  4  t
2

t 4



t t

t2  4

 0, t  f  t  là hàm số đồng biết trên R.

Từ đó f  x   f  -2 y   x  -2 y

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

21


Tất cả vì học sinh thân yêu

Thế x  -2 y vào phương trình sau của hệ phương trình đã cho ta được:

3 x 2  5 x  2  23 x 3  1
3
  x  1  2  x  1   x 3  1  23 x 3  1 với y  g  t   t 3  2t

g  x  1  g



3

x3  1



Ta có g '  t   3t 2  2  0, t  g  t  là hàm số đồng biến trên R. Từ đó:
g  x  1  g
3



3

x3  1



3

 x 1  x 1
 3 x 2  3x  0
  x  -1  y  2
 x  0  y  0

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:(-1;2),(0;0)

 2 x  2 2x - 1  y3  3 y
Bài 19: Giải hệ phương trình  2
 y - xy  5  5 x - 6 y

1
 2

Bài giải:


1
Đk x  , 1   2 x - 1 2 x - 1  y 3  3 y 
2

ét hàm số



3

2 x - 1  3 2 x - 1  y 3  3 y; x

f  t   t 3  3t trên , co´ f '  t   3t 2  3  0t  f  t  đồng

biến trên  ,pt(1) trở thành f  y   f








2x -1  y  2x -1 ;

Pt(2)   y  5 y - x  1  0  y  -5; y  x - 1;

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

22


Tất cả vì học sinh thân yêu



Với y  -5  2 x - 1  -5, vô nghiệm

x  1
Với y  x - 1  2 x - 1  x - 1  
2  x  2 2
2 x - 1   x - 1



Với x  2  2  y  1  2. nghiệm của hệ là  x; y   2  2;1  2



 2 x  y  5 - 3 - x - y  x3 - 3 x 2 - 10 y  6
 3
2
3
 x - 6 x  13x  y  y  10

Bài 20: Giải hệ phương trình:
Bài giải:

Phương trình thứ 2 của hệ được biến đổi thành:
3

 x - 2    x - 2   y 3  y  *
Xét hàm số f  t   t 3  t là hàm số đồng biến trên R. Ta suy ra (*)  y  x - 2
Thế vào phương trình đầu của hệ:





 

3 x  3 - 5 - 2 x  x 3 - 3 x 3 - 10 x  26



3x  3 - 3  1 - 5 - 2x  x3 - 3x2 -10x  24

x  2
2


  x - 2  x - x -12  

 x2 - x -12 1
3

3x  3  3 1  5 - 2x
1  5 - 2x
 3x  3  3
3  x - 2

2  x - 2

2

Phương trình (1) vô nghiệm vì với -1  x 

5
thì x 2 - x - 12  0.
2

Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất x  2 x  2; y  0

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

23


Tất cả vì học sinh thân yêu

3
2
2
3
 x  xy - 2 x y - 2 y  x - 2 y  0(1)
Bài 21: Giải hệ phương trình 
3
2
 3 6 y  5  x  3x  2 y - 3(2)

Bài giải:

(1)  ( x3 - 2 x 2 y )  ( xy 2 - 2 y 3 )  ( x - 2 y )  0  x 2 ( x - 2 y )  y 2 ( x - 2 y )  ( x - 2 y )  0
 ( x 2  y 2  1)( x - 2 y )  0  2 y  x ( Vì x 2  y 2  1  0, x, y  R ).
Thay vào (2), ta có: 3 3 x  5  x 3  3x 2  2 y - 3  3 x  5  3 3 x  5  ( x  1)3  ( x  1) (*)
3
2

Xét hàm số f (t )  t  t , R  f '(t )  3t  1  0, t  R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên

R.
(*)  f



3

1

x 1 y 
3 x  5  f ( x  1)  3 3 x  5  x  1  x 3  3 x 2 - 4  0  
2 .

 x  -2  y  -1



æ 1ö
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ç 1; ÷ ; (-2;-1).
è 2ø

3 y 2  x  8 2  x  10 y - 3 xy  12(1)
Bài 22: Giải hệ phương trình 
3
2
3
 5 y 2 - x - 8  6 y  xy 2 - x (2)
Bài giải:

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

24


Tất cả vì học sinh thân yêu

3 y 2  x  8 2  x  10 y - 3 xy  12(1)

3
2
3
 5 y 2 - x - 8  6 y  xy 2 - x (2)
Điều kiện: x [-2;2]
Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
(2) 



2- x



3

3

æ2ö
æ2ö

 3 2 - x  ç ÷  3 ç ÷ (*)
è yø
è yø

Xét hàm số f (t )  t 3  3t trên R  hàm số đồng biến trên R
(*)  f



æ2ö
2
2 - x  f ç ÷  2 - x  thế vào (1)
y
è yø



(1)  3 y 2  x  8 2  x  10 y - 3 xy  12  3 2  x  4 2  x 2 - x  10 y - 3x  6 2 - x

 3 2  x - 6 2 - x  4 4 - x 2  3x - 10  0 (**)

Đặt

2  x - 2 2 - x  t  t 2  10 - 3x - 4 4 - x 2

t  0
Phương trình (**) trở thành 3t - t 2  0  
t  3
6
- với t = 0: x  ; y  5

5

- với t = 3: 2  x - 2 2 - x  3 phương trình vô nghiệm, vì vế trái  2 .

CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

25