Bài tập đạo hàm môn toán (1)

BÀI TẬP ĐẠO HÀM HÀM SỐ RIÊNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y = x 3

b) y = 3 x 2 + 1

d) y =

c) y = x + 1

1
x −1

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y =

x3 x2
− + x −5
3 2

2) y = 2 x 5 −

2
x

x
+3
2

3) y = −

4) y = 5 x 2 (3x − 1)

5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)

7) y = ( x 2 + 1)(5 − 3x 2 )

8) y = x ( 2 x − 1)(3x + 2)

2
x



10) y =  + 3 x ÷( x − 1)

x3 − 2 x
17) y = 2
x + x +1

19) y = x 2 + 6 x + 7

20) y = x − 1 + x + 2
22) y =

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

(

)

24) y = 2 x 2 + 3 x − 1

(

)

15) y =

2x2 − 5
x+2

− x2 + 7x + 5
18) y =
x 2 − 3x

1
16) y = 2
2 x + 3x − 5

3

9) y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3
12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

2
14) y = ( 2 x + 1) ( x − 2 ) ( 3x + 7 )

13) y = 3x 4 + x 2

x 2 − 2x + 3

2x + 1

21)
23) y =

1+ x
1− x

3

3

25) y = x + x + x − 2 x
2

6) y = ( x 2 + 5) 3

11) y = 2 x 3



4
5
6
+ 3− 4
2
x
x
7x

3

26) y =

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x (x - x +1)
2


x 
7) y =  2 x 2 + 3 x −
÷
x−2÷




2) y = cos (x3)

1) y = 5sinx – 3cosx

5) y = cos x. sin 2 x

4) y = (1 + cot x ) 2
1
y = cos x − cos3 x
3

3) y = x.cotx

7) y = sin

4

x
2

6)

8) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

9)

π
y = cot 3 (2x + )
4

10) y = sin 2 (cos 3 x)

11) y = cot 3 1 + x 2

13) y = 2 + tan 2 x

14) y = −

y = sin 4 p - 3 x

y=

sin x
x
+
x
sin x

17) y =

12) y = 3 sin 2 x. sin 3x

cos x 4
+ cot x
3sin 3 x 3

15) y = sin(2 sin x)

1
(1 + sin 2 2 x ) 2

18) y =

x sin x
1 + tan x

20) y = 1 + 2 tan x
1
4

Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x và g ( x) = cos 4 x
Chứng minh rằng: f '( x) = g '( x ), (∀x ∈ R) .
Bài 5: Cho y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Tìm x để:

x < 0

ĐS: a) 
x > 2

a) y’ > 0

b) y’ < 3

b) 1 − 2 < x < 1 + 2

Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

3 sin x − cos x + x

a) f(x) = cos x + sin x + x.

b) f(x) =

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 7: Cho hàm số f(x) = 1 + x. Tính :

f(3) + (x − 3)f '(3)

x2 + 2x + 2
Bài 8: a) Cho hàm số: y =
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2

16)
19)


b) Cho hàm số y =

x−3
. Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’
x+4

c) Cho hàm số y = 2x − x 2 . Chứng minh rằng: y 3 y"+ 1 = 0
Bài 9: Chứng minh rằng f '( x) > 0
a/ f ( x ) =

∀x ∈ R , biết:

2 9
x − x6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1
3

b/ f ( x) = 2 x + sin x

Bài 10: Tính vi phân các hàm số sau:
x

2

a) y = x 3 − 2 x + 1

4
b) y = sin

d) y = cos x. sin 2 x

e) y = (1 + cot x ) 2

c) y = x 2 + 6 x + 7

Bài 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

x +1
x−2

1) y =

2) y =

7) y = x.cos2x
ĐS: 1) y '' = x − 2 3
(
)

(x

2 x3 + 3x

)

+1

x +1
2

2) y '' =

6) y = (1 − x 2 ) cos x

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

+ x−2

)

3

3) y '' =

(x

2

)

−1

)

3

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 12: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1
x +1

(

2x x2 + 3

2
5) y '' = ( 2 − x ) sin x + 4 x cos x 6) y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

a) y =

x
x2 −1

8) y = sin5x.cos2x
6

2

3) y =

5) y = x 2 sin x

4) y = x x 2 + 1

4) y '' =

2x +1
x2 + x − 2

b) y = sinx


( n)
ĐS: a) y = ( −1)

n!

n

( x + 1)

π

( n)
b) y = sin  x + n ÷

2

n +1





Bài 13: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)

y = ( x 2 − 3x + 3)( x 2 + 2 x − 1)
x2 +1
x2 + 2

; b)

e) y = (1 − 2 x 2 ) 5

d)

y=

l)

y = sin 3 (2 x 3 − 1)

p)

y = sin 2 (cos 2 x )

m)

f)

y = sin 2 + x 2

g)

y = tan 2

2x
3

y = ( x 2 − 3x + 2)( x 4 + x 2 − 1)
 2x + 1
y=

 x −1 

n)

3

g)

y=

1
( x − 2 x + 5) 3

2

y = 2 sin 2 4 x − 3 cos 3 5 x

r)

y = tan

c) y = (

o)

x + 1)(

k)

1
x

− 1)

y = x3 − x 2 + 5

y = (2 + sin 2 2 x) 3

x
x
− cot
2
2

Bài 14: Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3. Chứng minh rằng: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)