Bài tập đạo hàm môn toán (18)

BÀI TẬP ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;
b) cos2

+ cos2

+ cos2

+ cos2

-2sin2x.

Lời giải:
a) Cách 1: Ta có:
y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx = 6sin3x.cosx(sin2x - 1)
+ 6sinx.cos3x(1 - cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0.
Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.
Cách 2:
y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) = sin6x + 3sin4x.cos2x +
3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1
Do đó, y' = 0.
b) Cách 1:
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u
Ta được
y' =[sin

- sin

] + [sin

- sin

.sin(-2x) + 2cos .sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,
vì cos

= cos

=

.

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.
Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên
cos2

= cos2

'

] - 2sin2x = 2cos


cos2

= cos2

.

Do đó

y = 2 cos2

+ 2cos2

- cos2x) = 1 +cos
2

cos2x + cos2x = 1.
Do đó y' = 0.

+ cos

- 2sin2x = 1 +cos

+ 1 +cos

- (1

+ cos2x = 1 + 2cos .cos(-2x) + cos2x = 1 +