Bài tập đạo hàm môn toán (22)

BÀI TẬP ĐẠO HÀM CẤP CAO
Ta có thể tính đạo hàm của đạo hàm, có nghĩa là:
- Đạo hàm cấp 2 bằng cách đạo hàm của đạo hàm đầu tiên
- Đạo hàm cấp 3 bằng cách đạo hàm của đạo hàm cấp 2
Ví dụ 1: Cho phương trình
x5+3x3−2x+7
Hỏi đạo hàm cấp cao hơn của phương trình này là gì ?
Trả lời
Đạo hàm cấp 1:
dydx=y′=5x4+9x2−2
Bây giờ để tìm đạo hàm cấp 2, ta chỉ việc vi phân phương trình đạo hàm cấp 1:
d2ydx2=y′′=20x3+18x
Tiếp tục tìm đạo hàm cấp 3, cấp 4:
d3ydx3=y′′′=60x2+18
d4ydx4=y(4)=120x
Đạo hàm cấp 5 là:
y(5)=120
Đạo hàm cấp 6,7,8,.... đều có kết quả đạo hàm là 0 do đạo hàm của một hằng số bằng 0.
I. Ứng dụng: Gia tốc
Như ta đã biết gia tốc chính là tốc độ thay đổi của vận tốc
a=dvdt
Nhưng đồng thời vận tốc cũng chính là tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển:
v=dsdt
Vì vậy đạo hàm cấp hai của độ dịch chuyển sẽ cho ta gia tốc
a=d2sdt2


Ví dụ 2: Cho phương trình chuyển động (tính theo m) theo thời gian t (tính theo s) của
một vật thể là:
s=4t3+7t2−2t
Tính gia tốc vật thể tại t=10

Trả lời
s=4t3+7t2−2t
v=dsdt=12t2+14t−2
a=d2sdt2=24t+14
Tại thời điểm t=10 thì vật có gia tốc là:
a=24.(10)+14=254m/s2
II. Đạo hàm cấp cao của hàm ẩn :
Ví dụ 3:
a. Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn
xy+y2=4
Trả lời
Đạo hàm cấp 1:
Ta có xy là tích nên ta dùng công thức tích để làm:
ddx(xy)=xy′+y
Ta đã nghiên cứu về vi phân hàm ẩn ở bài trước:
ddxy2=2ydydx
Ta có thể viết lại là:
ddxy2=2yy′
Ráp lại và ta đã có đạo hàm bậc 1 của phương trình:
xy′+y+2yy′=0
(Ở đây tôi sử dụng y′ thay cho dydx để thuận tiện hơn trong việc đọc và viết)
Tôi đã sử dụng công thức tích (cho tích xy) và công thức chuỗi cho y2
Đạo hàm cấp 2:
(xy′′+y′)+(y′)+[2yy′′+y′(2y′)]=0


Đơn giản hóa, ta được:
(x+2y)y′′+2y′+2(y′)2=0
Ta có thể giải theo y′′
y′′=−2y′−2(y′)2x+2y

Video
Đây là một đoạn phim nhỏ cho ta góc nhìn khác về ví dụ này, trong phim sử dụng:
- Ký hiệu dydx
- Một cách tiếp cận khác với vấn đề (trong đoạn phim ta sẽ tìm biểu thức cho dydx trước,
sau đó vi phân để tìm ra đạo hàm bậc hai). Kết quả sẽ cho ta một phương trình đạo hàm
cấp 2 đơn giản hơn.
Câu trả lời khá khác, nhưng giá trị thì như nhau, xem tại đây
b. Tìm giá trị đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn ở phần a với x=2 và y>0
Trả lời
Ta cần tìm y với x=2
Thay vào phương trình, ta được:
2y+y2=4
Giải phương trình bậc hai này, kết hợp điều kiện y>0, ta được:
y=−1+5√
Ta cũng cần tìm giá trị dydx khi x=2
Ta đã tìm phương trình đạo hàm đầu tiên là:
xdydx+y+2ydydx=0
Giải theo dydx, ta được:
y′=dydx=−yx+2y
Thay x=2,y=−1+5√ ta được kết quả (xấp xỉ):
y′=dydx≈−0,276
Tiếp tục thay vào phương trình đạo hàm bậc hai đã tìm ở phần (a) để tìm ra câu trả lời:
y′=−2y′−2(y′)2x+2y≈0,0894