Bài tập đạo hàm môn toán (28)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.94 KB, 5 trang )
BÀI TẬP ĐẠO HÀM – SỐ 5
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =
2x − 1
tại x0 = 5
1
Giải: Tập xác định D = x : x ≥ 2
• Với ∆ x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì
•
∆y
=
2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1
∆y
9 + 2∆x − 9
∆x
• Ta có: ∆x =
lim
(
9 + 2∆x − 3
∆x
∆x →0
lim
(
)(
9 + 2 ∆x + 3
9 + 2∆x + 3
9 + 2∆x − 9
• = ∆x →0 ∆x (
Khi đó: y’(5)=
)
)
2
lim
9 + 2∆x + 3) = ∆x →0 (
Bài 2 : Chứng minh hàm số
9 + 2∆x + 3
y=
hàm tại điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa:
x
x
x +1
)
1
=3
liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo
x
,neáu x ≥ 0
,neáu x<0
= -x
∆y
=
∆x →0 ∆x
lim
Cho x0 = 0 một số gia ∆ x
∆y
= f(x0+ ∆ x) –f(x0) = f( ∆ x) –f(0) =
∆x
∆x + 1
∆x
∆y
= ∆x ( ∆x + 1)
∆x
• Khi ∆ x
→ 0+
( thì ∆ x > 0) Ta có:
Bài 3: Cho hàm số y = f(x)
TaiLieu.VN
− x 2
=
x
lim+
∆x →0
∆x
∆y
lim+
=
∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1)
1
= ∆lim
x → 0 ( ∆x + 1) =1
+
, neáu x ≥ 0
, neáu x<0
Page 1
a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0
hay không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x)
2
(x − 1) , neáu x ≥ 0
= 2
, neáu x<0
-x
không có đạo
hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x)
2
(x − 1) , neáu x ≥ 0
=
2
(x+1) , neáu x<0
không có đạo hàm
tại x0 = 0, nhưng liên tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; ∆lim
x →0
+
không có đạo hàm tại x0 = 0
b) Vì
∆y
=
∆x
lim f (x) =1; lim− f (x) =1;
∆x →0+
⇒ hàm
-2;
lim
∆x →0−
f(0) = 1
∆x →0
∆y
=
∆x
2 ⇒ ∆lim
x →0
+
∆y
∆y
⇒
≠ lim−
∆
x
→
0
∆x
∆x
f (x) = lim− f (x) =
⇒ ∆lim
x →0+
∆x →0
hàm số
f(0) = 1
số liên tục tại x0 = 0
cos x, Neáu x ≥ 0
Neáu x<0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = − sin x
a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =
HD:a) Vì
lim f (x) = lim+ cos x =1
x →0+
x →0
π
4
và
lim f (x) = lim− (− sin x) =
x → 0−
x →0
0;
f(0) = cos0 = 1
⇒
lim f (x) ≠ lim− f (x)
x →0
x → 0+
⇒
hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0)
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9
2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y = x + 3x ÷(
2
Giải: y’ = x + 3x ÷' (
2
TaiLieu.VN
) + x2 + 3x ÷ (
x −1
)
)
x −1
(
2
x −1 ' = − 2 + 3÷
x
) = x2 + 3x ÷ 2 1 x ÷
x −1
Page 2
= − x 2 + 3 ÷(
2
3. y =
(
4. y =
(
) + x 1 x + 23xx
x −1
)
1
x +1
− 1÷
x
3
)
)(
x + 2 1 + 3 x 2 + 3x
5. y = ( x 2 -1)( x 2 -4)( x 2 -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+
7. y =
8. y
)(1+
2x
)(1+
3x )
1+ x
1 + 2x
1 − 3 2x
= 3
1 + 2x
9. y =
10.
x
x +1
;
x −1
y=
Đs:-
1− x2
1+ x2
1
(x + 1)(x − 1)3
2x
; Đs:-
(1 − x )(1 + x 2 )3
2
1− x
÷
÷
cos2 1 + x ;
1− x
1
sin 2
÷
2
÷
x (1 + x )
1+ x
11.
y=
Đs:
12.
y = (1+sin2x)4; Đs: (1 + sin 2 x)3 sin 2x
13.
y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
14.
y=
sin x − cos x
;
sin x + cos x
15.
y=
sin 3x
sin 2 x.cos x
2
Đs: (sin x + cos x) 2
518) y = f(x) =
x
;
1 − cos x
519) y = f(x) =
tan x
;
x
TaiLieu.VN
y’ =
y’ =
1 − cos x − x sin x
( 1 − cos x )
2
x − sin x cos x
x 2 cos 2 x
Page 3
522) y = f(x) =
sin x
;
1 + cos x
y’ =
1
1 + cos x
sin x + cos x + x(sin x − cos x)
1 + sin 2x
x
523) y = f(x) = sin x + cos x ; y’ =
526) y = f(x) =
1
tan 4 x ;
4
1
y’ = tan3x. cos 2 x
1
527) y = f(x) = cosx − 3 cos3 x ; y’ = -sin3x
3
sin 2x(2 − sin x)
2
528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ =
1
529) y = f(x) = 3 tan3x –tanx + x; y’ = tan4x
535) y = f(x) =
x +1
tan 2 ;
1
y’ =
x +1
2
2 cos 2
539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 + tan x + ÷ ;
x
x2 −1
y’ =
672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ =
682) y = f(x) =
2sin 2 x
cos 2x
684) y = f(x) =
tan
685) y = f(x) =
sin 2
689) y = f(x) =
694) y = f(x) =
TaiLieu.VN
; y’ =
; y’ =
x
x
cot ;
3
2
y’ =
1 + tan x + tan
3
sin2x(cosx-2)
2
2sin 2x
cos 2 2x
x
x
+ cot
2
2
x
2
1
1
2x 2 cos 2 x + ÷ 1 + tan x + ÷
x
x
4
−
2(x cos x + sin x)
x 2 sin 2 x
1
x
2x 1 2 x
cot sin
− sin
….
3
2
3 2
2
x ; y’ =
1
1
sin 6 3x − sin 8 3x ;
18
24
tan x(1 + 2 tan 2 x)
cos 2 x 1 + tan 2 x + tan 4 x
y’ = sin53xcos33x
Page 4
705) y = f(x) = cosx.
(
706) y = f(x) = 0.4 cos
2x + 1
+ cos 0.8x ÷
sin
2
713) y = f(x) =
1 + sin 2 x
)
; y’ =
−
2sin 3 x
1 + sin 2 x
2
2x + 1
− sin 0.8x ÷
2
1
1 + sin 2 x
; y’ =
−
; y’ = -0.8 cos
2x + 1
− sin 0.8x ÷
2
sin 2x
2 ( 1 + sin 2 x )
3
721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)
722) y = f(x) =
TaiLieu.VN
2 cos x
cos 2x
2sin x
cos 2x
; y’ = cos 2x
Page 5
