Bài tập đạo hàm môn toán (30)

BÀI TẬP ĐẠO HÀM LỚP 11
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =



2x − 1

tại x0 = 5

1

Giải: Tập xác định D =  x : x ≥ 2 


• Với ∆ x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì
•

∆y

• Ta

=

2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1

∆y
9 + 2∆x − 9
có: ∆x =
∆x

lim

9 + 2∆x − 9

• = ∆x →0 ∆x (

Khi đó: y’(5)=
2

lim

9 + 2∆x + 3) = ∆x →0 (

Bài 2 : Chứng minh hàm số

9 + 2∆x + 3
y=

x
x +1

)

∆y
= ∆lim
x →0
∆x →0 ∆x
lim

(

9 + 2 ∆x − 3
∆x

(

)(

9 + 2 ∆x + 3

9 + 2 ∆x + 3

)

1

=3

liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm

đó.
HD: Chú ý định nghĩa:

x

x

,neáu x ≥ 0



,neáu x<0

= -x

Cho x0 = 0 một số gia ∆ x
∆y

= f(x0+ ∆ x) –f(x0) = f( ∆ x) –f(0) =

∆x
∆x + 1

∆x
∆y
= ∆x ( ∆x + 1)
∆x
•

Khi ∆ x

→ 0+

)

( thì ∆ x > 0) Ta có:

lim+

∆x →0

∆x
∆y
lim+
=
∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1)

1

= ∆lim
=1
x → 0 ( ∆x + 1)
+


, neáu x ≥ 0

− x 2
=
x

Bài 3: Cho hàm số y = f(x)

, neáu x<0

a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay
không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x)

(x − 1) 2 , neáu x ≥ 0
= 2

, neáu x<0
-x

không có đạo hàm tại x = 0.

Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x)

2
(x − 1) , neáu x ≥ 0
=
2
(x+1) , neáu x<0

không có đạo hàm tại x0 = 0,

nhưng liên tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; ∆lim
x →0

+

∆y
=
∆x

-2;

lim

∆x →0−

∆y
=
∆x

2 ⇒ ∆lim
x →0

+

∆y
∆y
⇒
≠ lim−
∆
x
→
0
∆x
∆x

hàm số không có

đạo hàm tại x0 = 0
b) Vì

lim f (x) =1; lim− f (x) =1;

∆x →0+

⇒ hàm

f(0) = 1

∆x →0

f (x) = lim− f (x) =
⇒ ∆lim
x →0+
∆x →0

f(0) = 1

số liên tục tại x0 = 0
cos x, Neáu x ≥ 0
Neáu x<0


Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = − sin x

a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
π

b) Tính đạo hàm của f(x) tại x = 4
HD:a) Vì

lim f (x) = lim+ cos x =1

x → 0+

x →0

và

lim f (x) = lim− (− sin x) =

x →0−

x →0

0;

f(0) = cos0 = 1

lim f (x)

x →0−

⇒

hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0)

f (x) ≠
⇒ xlim
→ 0+


Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9

2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =  x + 3x ÷(
2


Giải: y’ =  x + 3x ÷' (
2


=  − x 2 + 3 ÷(






2

3. y =

(

4. y =

(




) +  x2 + 3x ÷ (

x −1




)

x −1

)

) + x 1 x + 23xx

x −1

)

 1

x +1 
− 1÷
 x 
3

)(

x + 2 1 + 3 x 2 + 3x

)

5. y = ( x 2 -1)( x 2 -4)( x 2 -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+

x

7. y =

1+ x
1 + 2x

8. y =

1 − 3 2x
1 + 3 2x

9. y =

x +1
;
x −1

10.

y=

)(1+

Đs:-

1− x2
1+ x2

2x

)(1+

3x )

1
(x + 1)(x − 1)3

; Đs:-

2x
(1 − x )(1 + x 2 )3
2

(

 2

x −1 ' =  − 2 + 3÷
 x


) =  x2 + 3x ÷  2 1 x ÷

x −1