Tải bản đầy đủ (.doc) (8 trang)

giai pt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103.08 KB, 8 trang )

Giải phơng trình
Khi sử dụng đạo hàm trong giải phơng trình, phơng pháp chung là:
Ta thờng chọn hàm số thích hợp. Giả sử hàm số
( )f x
xác định trên D,
kiểm tra tính liên tục, khả vi của
( )f x
trên D.
Khảo sát hàm số
( )f x
để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực
trị bằng công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm
( )f x
để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các
0
Dx


0
x
là nghiệm của phơng trình
( ) 0f x
=
Kết luận nghiệm của phơng trình
( ) 0f x
=
.
Đồng thời sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu


( )f x
là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì
phơng trình
( ) kf x
=
nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Chứng minh
Xét trờng hợp
( )f x
là hàm số đồng biến.
Giả sử phơng trình
( ) 0f x
=
có hai nghiệm
1 2 1 2
; ( ).x x x x
<
Nên
1 2
( ) ( ) k.f x f x
= =
Do là hàm số
( )f x
là hàm số đồng biến nên từ
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
< <

mâu thuẫn với
1 2

( ) ( ) kf x f x
= =
. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy phơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Đối với trờng hợp
( )f x
là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự.
Tính chất 2: Nếu
( )f x
là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)

( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v= =
.
Chứng minh
Xét trờng hợp
( )f x
là hàm số đồng biến.
Nếu
( ) ( )u v f u f v= =
(hiển nhiên).
Ta đi chứng minh nếu
( ) ( )f u f v u v= =
.
Giả sử
u v

,không mất tính tổng quát ta giả sử
u v
<
.

Do là hàm số
( )f x
là hàm số đồng biến nên
( ) ( )f u f v
<
mâu thuẫn
với giả thiết. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy
( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v= =
Đối với trờng hợp
( )f x
là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự.
Tính chất 3: Nếu
( )f x
là hàm số tăng còn là
( )g x
hàm số giảm trên
( ; )a b
thì phơng trình
( ) ( )f x g x
=
có nhiều nhất là một nghiệm.
Chứng minh
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) 0.f x g x f x g x= =
Xét hàm số
( ) ( ) ( )h x f x g x=

trên
( ; )a b

. Khi đó
( )h x
là hàm số đồng biến trên
( ; )a b
.
Theo tính chất 1 thì phơng trình
( ) 0h x =
có nhiều nhất là một nghiệm.

Đpcm.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:

= + + +
3
3 1 log (1 2 ). (6.3)
x
x x
( TH & TT )
Giải:
Điều kiện:

>
1
.
2
x
Đặt
= + + =
3
log (1 2 ) 1 2 3 .

y
y x x
Ta có
+ = + + + + = +
3
(6.3) 3 1 2 log (1 2 ) 3 3 . (6.4)
x x y
x x x x y
Xét hàm số
( ) 3
t
f t t
= +
trên
1
( ; )
2

+
. Có

= + > >
1
'( ) 3 ln3 1 0 .
2
t
f t t
Nên hàm số
( )f t
là hàm số đồng biến trên


+
1
( ; ).
2
Khi đó
= = = + =
3
(6.4) ( ) ( ) log (1 2 ) 3 2 1 0.
x
f x f y x y x x x
Đặt

= >
1
( ) 3 2 1, .
2
x
g x x x


= = > >
2
1
'( ) 3 ln3 2, ''( ) (3 ln3) 0, .
2
x x
g x g x x

'( )g x


là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :
= > = <'(2) 9ln3 2 0, '(0) ln3 2 0.g g
'( ) 0g x
=
có nghiệm duy nhất

=
.x
Ta có bảng biến thiên
x
-1/2 0

2
+
'( )g x
- 0 +
( )g x
( )g

Từ bảng trên

nếu
( ) 0g x
=
có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm
Mặt khác,
(0) (1) 0g g
= =
.

Do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
0, 1x x
= =
.
Ví dụ 2: Giải phơng trình
2 2
1 1 1 1x x x x x x
+ + + + + + =
.
Giải:
Điều kiện:
2 2
2 2
1 0 1 (6.5)
1 1 0 1 1.(6.6)
x x x x x x
x x x x x x

+ + +



+ + + + + +


Giải (6.5):
Nếu
0x

(6.5) luôn đúng.

Nếu
2 2
0 (6.5) 1 1 0 1x x x x x x< + < <
0x
<
Chứng tỏ (6.5) đúng với
x

Ă
.
Giải (6.6):
Nếu
1x
(6.6) luôn đúng
Nếu
2 2 2 2
1 (6.6) 1 ( 1) 1 2 1x x x x x x x x< + + + + + +
0x

. Kết hợp với
1x < 1.x <
Chứng tỏ (6.6) đúng với
x

Ă
.
Vậy:
D
=
R

.
Viết lại phơng trình dới dạng
+ + + = + + + + + + +
2 2
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) (6.7)x x x x x x x x
Xét hàm số
= + + +
2
( ) 1 .f t t t t t
Ta có
+ +
= +
+ + +
2
2 2
2 1 2 1
'( ) 1.
4 1 1
t t t
f t
t t t t t
Mặt khác
+ + = + + > +
2 2
2 1 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0.t t t t t t t
Vậy
'( ) 0f t t>


hàm số

( )f t
luôn đồng biến trên
.R
.
Khi đó
= + = +
(6.7) ( ) ( 1) 1f x f x x x
(vô nghiệm).
Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phơng trình

5 7 16 14x x x x
+ + + + + =
.
Giải:
Điều kiện:

5.x
Xét hàm số
( ) 5 7 16f x x x x x= + + + + +
trên

5.x
Ta có :
= + + + > >
+ +
1 1 1 1
'( ) 0, 5.
2 2 5 2 7 2 16
f x x

x x x x
Hàm số
( )f x
đồng biến trên
+
(5; ).

= + + + = = =
(9) 3 2 4 5 14 ( ) (9) 9.f f x f x
Phơng trình trên có nghiệm duy nhất là
9x
=
.
Ví dụ 4: Giải phơng trình
2 2
log (3log (3 1))x x
=
.
Giải:
Đặt
2
1
log (3 1),
3
y x x
= >
d
.
Do đó ta có hệ phơng trình
=



=

2
2
log (3 1)
log (3 1).
y x
y xd

Cộng vế với vế ta đợc:
+ = +
2 2
log (3 1) log (3 1) . (6.8)x x y y
Xét hàm số
= + >
2
1
( ) log (3 1) , .
3
f t t t t


= + > >

3 1
'( ) 1 0, .
(3 1)ln2 3
f t x

t
Hàm số
( )f t
là hàm đồng biến trên
+
1
( ; ).
3
= = = + =
2
(6.8) ( ) ( ) log (3 1) 2 3 1 0.
x
f x f y x y x x x
Xét hàm
= + = ( ) 2 3 1, '( ) 2 ln2 3.
x x
g x x g x
Ta có :
= = =
0 2
3
'( ) 0 log ( ).
ln2
g x x x

> > < <
0 0
'( ) 0 , '( ) 0 .g x x x g x x x
Nên hàm số
( )g x

nghịch biến trên
0
( ; )x

, đồng biến trên
+
0
( ; ).x
Do đó phơng trình
( ) 0g x
=
có không quá hai nghiệm trên
R
.

= =
(0) (1) 0.g g
Giá trị
0x
=
(loại do không thuộc tập xác định).
Do vậy
1x =
là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.
Nhận xét: + Đối với phơng trình có dạng
=( ( )) (6.9)f f x x
, trong đó
( )f x

đồng biến trên tập xác định D.

Cách giải: Đặt
=
( ).y f x
Ta có hệ phơng trình
=


=

( ) (6.10)
( ) (6.11)
f y x
y f x

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×