GIẢI PƯOƠNG TRÌNH BẰNG PP ẨN PHỤ

ĐINH VĂN QUYẾT
A. MỞ ĐẦU
Dạy và học tốn ở trường THPT là một q trình tư duy và sáng tạo. Song song với việc dạy và học định
lí và các khái niệm Tốn học, người thầy còn phải dạy và rèn luyện cho học sinh quy tắc và phương pháp giải
tốn, cùng với dạy học giải bài tập tốn. Trong thực tế dạy và học tốn hiện nay ở trường THPT, khơng nhiều
học sinh có kĩ năng vận dụng lí thuyết để giải được nhiều lớp bài tốn một cách chính xác và khoa học. Từ
nhận thức đó tơi xin đưa ra một vài ý kiến và kinh nghiệm của mình xung quanh việc giải bài tập tốn.
I. Vị trí, chức năng của bài tập tốn học.
Ở trường THPT, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải tốn là hình thức
chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và khơng
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng , kĩ
xảo ứng dụng Tốn học vào thực tiễn. Phát triển tư duy, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những
phẩm chất của tư duy khoa học.
II. Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài tốn
Trong mơn Tốn ở trường THPT có rất nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật tốn để giải. Đối với
những bài tốn ấy có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Khơng có một thuật tốn
tổng qt nào để giải mọi bài tốn. Chúng ta chỉ có thể thơng qua dạy học giải một số bài tốn cụ thể mà dần
dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ tìm tòi giải các bài tốn. Thơng thường
việc tìm lời giải bài tốn được tiến hành theo bốn bước sau:
- Tìm hiểu nội dung bài tốn
- Xây dựng chương trình giải
- Thực hiện chương trình giải
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Sau đây tơi trình bày một phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình.
B. NỘI DUNG
Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
* Phương pháp
Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn phụ.
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ và tìm nghiệm thỏa
điều kiện của ẩn phụ.
Bước 3 : Tìm nghiệm PT ban đầu thỏa hệ thức khi đặt ẩn phụ.

* Một số dạng thường gặp
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
1. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng dạng :
4 3 2
0,( 0)ax bx cx bx a a+ + + + = ≠

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
1
ĐINH VĂN QUYẾT
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho
2
x
ta được
2
2
1 1
0a x b x c
x x
   
+ + + + =
 ÷  ÷
   
.
Đặt ẩn phụ :
2 2
2
1 1
; 2 2t x t t x
x x
= + ≥ ⇒ = + +

.
PT trở thành :
2
2 0,( 2)at bt c a t+ + − = ≥
.Giải PT này tìm t , từ đó tìm x.
 VD :
4 3
3 7 7 3 0x x x+ + + =
 Giải :
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x
2
ta được
2
2
1 1
3 7 0x x
x x
   
+ + + =
 ÷  ÷
   
.
Đặt ẩn phụ :
2 2
2
1 1
; 2 2t x t t x
x x
= + ≥ ⇒ = + +

ta có PT :
2
3 7 6 0t t+ − = ⇔
3
2
3
t
t
= −


−

=

2
1 3 5
3 3 3 1 0
2
t x x x x
x
− ±
= − ⇒ + = − ⇔ + + = ⇔ =
2
3
t
−
=
( không thỏa ĐK)
2. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch dạng:

4 3 2
0,( 0)ax bx cx bx a a+ + − + = ≠
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho
2
x
ta được
2
2
1 1
0a x b x c
x x
   
+ − − + =
 ÷  ÷
   
.
Đặt ẩn phụ :
2 2
2
1 1
; 2 2t x t t x
x x
= − ≥ ⇒ = + −
PT trở thành :
2
2 0,( 2)at bt c a t+ + + = ≥
.Giải PT này tìm t , từ đó tìm x.
 VD :
4 3 2
3 4 5 4 3 0x x x x− − + + =

 Giải : PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho
2
x ta được
2
2
1 1
3 4 5 0x x
x x
   
+ − − − =
 ÷  ÷
   
.
Đặt ẩn phụ :
2 2
2
1 1
; 2 2t x t t x
x x
= − ≥ ⇒ = + −
ta có PT :
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
2
ĐINH VĂN QUYẾT
2
3 4 1 0t t− + = ⇔
2
2
1 1 5
1 1 1 0

2
1 1 37
3 3 0
3 2
t x x x x
x
t x x x

− ±
= ⇒ − = ⇔ − − = ⇔ =



±
= ⇒ − − = ⇔ =


3. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ dạng:
4 3 2 2
0,( 0, 0)ax bx cx bkx ak a k+ + + + = ≠ ≠
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho
2
x ta được
2
2
1
0
k
a x b x c
x x

   
+ + + + =
 ÷  ÷
   
Đặt ẩn phụ :
2
2 2
2
2
k k
t x t x k
x x
= + ⇒ = + +
.
PT trở thành :
2
2 0,( 2)at bt c ak t+ + − = ≥
Giải PT này tìm t , từ đó tìm x
4. Phương trình bậc bốn hệ số không đối xứng dạng :
4 3 2
0,( 0)ax bx cx dx e a+ + + + = ≠
Biến đổi PT đã cho về dạng :
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) 0A x b x c B x b x c C+ + + + + + =
Đặt ẩn phụ :
2
1 1
t x b x c= + +
, thu được PT mới :

2
0At Bt C+ + =
Giải PT này tìm t , rồi tìm x
5. Phương trình dạng :
2 2 2
( ) ( )a ax bx c b ax bx c c x+ + + + + + =
Đặt ẩn phụ :
2
y ax bx c= + +
ta có hệ :
2
2
ay by c x
ax bx c y

+ + =


+ + =


Trừ các vế của PT trong hệ ta được một PT hệ quả, từ đó tìm được x .
6) PT dạng :
2 2
,
a b
ax bx c px qx r
p q
 
+ + = + + =

 ÷
 

Đặt ẩn phụ :
2
,( 0)t px qx r t= + + ≥ .PT (1) trở thành PT bậc hai ẩn t
Từ đó tìm t , rồi tìm x.
 VD1 :Giải phương trình:
2 2
4 10 9 2 5 3x x x x+ + = + +
 Giải: Đặt
( )
2 2
2 5 3, 0 2 3 0t x x t t t= + + ≥ ⇒ − + =

Phương trình này vô nghiệm vì
0∆ <
.Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 VD2: Giải phương trình:
2 2
5 5 4 2x x x x+ + + + =
 Giải:
ĐK:
2
5 4 0 4 1x x x x+ + ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ −
Đặt
2
5 4 ,( 0)t x x t= + + ≥
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
3

ĐINH VĂN QUYẾT

2
3 0
(1) 6 0
2
t
t t
t
= − <

⇔ + − = ⇔

=


2 2
0
2 5 4 2 5 4 4
5
x
t x x x x
x
=

= ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔

= −

7) PT dạng:

( )( ) ;( 0; 0)a cx b cx d a cx b cx e c d+ + − − + − = > ≠

ĐK :
( ) 0
( ) 0
a cx
b cx
+ ≥


− ≥


Đặt ẩn phụ :
2
,( 0) 2 ( )( )t a cx b cx t a cx b cx t a b= + + − ≥ ⇒ + − = − −
.
PT trở thành dạng :
2
2 ( ) 2 ,( 0)t d t a b e t− − − = ≥
.
Giải PT này tìm t từ đó suy ra x.
 VD :
1 3 ( 1)(3 ) 2x x x x+ + − − + − =

 Giải: ĐK:
1 3x− ≤ ≤

Đặt ẩn phụ:

2
2
1 3 ,( 0) 2 (1 )(3 ) 4
0
2 0
2
1
* 2
3
* 0
t x x t x x t
t
t t
t
x
t
x
t PTVN
= + + − ≥ ⇒ + − = −
=

⇒ − = ⇔

=

= −

= ⇒

=


= ⇒
8) PT dạng :
2 2
2 2 ;( 0)x a b a x b x a b a x b cx d a+ − + − + + − − − = + >

ĐK :
0x b− ≥

Đặt ẩn phụ :
2
, 0t x b t x t b= − ≥ ⇔ = +
.
Thay vào PT (2) ta có PT
2
( )t a t a c t b d+ + − = + +
.
Giải PT này cần xét hai trường hợp :
t a≥
và
0 t a≤ <
.
 VD :
23
6 9 6 9
6
x
x x x x
+
+ − + − − =

Giải: ĐK :
9x ≥

Đặt ẩn phụ :
2
9, 0 9t x t x t= − ≥ ⇔ = + ⇔

2
( 32)
3 3
6
t
t t
+
+ + − =
Xét hai trường hợp:
2
8 73
12 32 0
1:
4 25
3
t x
t t
TH
t x
t
= =

− + =

 
⇔ ⇒

 
= =
≥
 

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
4
ĐINH VĂN QUYẾT
2
4
2 : 2 13
0 3
t
TH t x
t

=
⇒ = ⇒ =

≤ <

9) PT dạng :
. ( ) ( ) . ( ). ( ) 0,( 0)a P x bQ x c P x Q x abc+ + = ≠

Nếu
( ) 0P x =
thì

( ) 0Q x =

Nếu
( ) 0P x ≠
, chia hai vế PT cho P(x) và đặt
( )
,( 0)
( )
Q x
t t
P x
= ≥
PT trở thành
2
0at bt c+ + = .Giải PT tìm t , suy ra x.
10) PT dạng :
( )
( )
2 2
. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) 0,( 0)a P x Q x b P x Q x a P x Q x c a b+ + ± ± + = + ≠
(5)
ĐK :
( ) 0
( ) 0
P x
Q x
≥


≥



Đặt ẩn phụ :
2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( )t P x Q x P x Q x P x Q x t= ± ⇒ + ± =
PT trở thành
2
0at bt c+ + = .Giải PT tìm t , suy ra x.
11) PT dạng :
( ) ( )
k k
f x g x c± =
; trong đó:
( ) ( )f x g x a± =
(a là hằng số)
Đặt hai ẩn phụ :
( ); ( )
k k
u f x v g x= =
Thu được hệ :
k k
u v c
u v a
± =


+ =

 VD : Giải phương trình:
4 4

47 2 35 2 4x x− + + =
 Giải: TXĐ
35 47
;
2 2
D
−
 
=
 
 
Đặt:
4
4
47 2 0
35 2 0
u x
v x

= − ≥


= + ≥


Ta thu được hệ phương trình:
4 4
4
82
0; 0

u v
u v
u v
+ =


+ =


≥ ≥

Đặt
2
4
4
3
32 87 0
29
S
S
u v S
P
uv P
P P
P
=

=
+ =




⇒ ⇔
=

  
=
− + =




=


TH1:
3
1
4 17
3 23
1
3
u
v
S x
P x
u
v
 =




=
= = −
 


⇒ ⇒



= =
=

 


=



GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
5