Đề thi học sinh giỏi Toán 9

Phòng GD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎỈ KHỐI 9
Trường THCS Môn: Toán - Năm học: 2007-2008
Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(2.0điểm)
Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x -
2 xy 3y 2 x 2008,5+ − +
Bài 2:(2,0diểm)
Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x
≥
0 )
3 6
4
2 3. 7 4 3 x
A x
9 4 5. 2 5 x
− + −
= +
− + +
Bài 3:(2,0điểm)
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
x x 1 m+ − =
Bài 4:(4điểm)
Cho hai nửa đường tròn ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài
TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm
OO’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M
a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ ).
b) Chứng minh: SO.SO’ = SM
2
ST.ST’ = SA
2

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp
∆
TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường
tròn ngoại tiếp
∆
OMO’tiếp xúc với SM tại M
Phòng ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI
Trường THCS Môn Toán – Năm học 2007-2008
 Thời gian:120 phút(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0đ)
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
§Æt x a; y b víi a, b 0, ta cã:
P = a 2ab 3b 2a 2008,5
= a 2a b 1 3b 2008,5

= a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5
= a - b -1 2 b b 2007,5
1 1
a - b -1 2 b b 2007,5
4 2
1
a - b -1 2 b
2
= = ≥
− + − +
− + + +
− + + + + − +
+ − +
 
= + − + + −
 ÷
 
 
= + − +
 ÷
 
( )
2
2
2007 2007
1
V× a - b -1 0 vµ b 0 a, b.
2
3
a b 1

a
2
Nªn P = 2007
1
1
b
b
2
2
3 9
x x
2 4
VËy P ®¹t GTNN lµ 2007
1 1
y y
2 2
≥
 
≥ − ≥ ∀
 ÷
 

= +
=


 
⇔ ⇔
 
=

 
=



 
= =
 
 
⇔ ⇔
 
 
= =
 
 
Bài 2: (2,0đ)
( )
( )
2
3 6
6
2
4
4
*TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3
2 5 2 5 9 4 5
*Suy ra: A = 1
− = − = −
+ = + = +
( 0,5điểm )

( 0,5 điểm )
( 0,5 điểm )
( 0,5 điểm )
( 1,0 điểm )
( 1,0 điểm )
( 1,0 điểm )
Bài 3: (2,0đ)
*Xét ba trường hợp:
Với x
≤
0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1
Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1
Với x
≥
1 thì y = x + x – 1 = 2x -1
Vậy y =
2x 1 nÕu x 0
1 nÕu 0 < x < 1
2x - 1 nÕu x 1
− + ≤




≥

Đồ thị hàm số : y =
x x 1+ −
( 1 điểm )
*Đường thẳng y = m cùng phương với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m. Dựa vào đồ thị ta

kết luận:
Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0
x 1≤ ≤
.
Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm . ( 1 điểm )
Bài 4: (4 điểm )
b) Chứng minh:
∆
SO’M ~
∆
SMO suy ra:
2
SO' SM
hay SO.SO '= SM
SM SO
=
( 1 điểm )

∆
SAT~
∆
ST’A suy ra:
2
ST SA
hay ST.ST' = SA
SA ST '
=
( 1 điểm )
c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp

∆
TAT’ và OO’ MA tại A.
Do đó đường tròn ngoại tiếp
∆
TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A. ( 0,5 điểm )
Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M//OT
⇒
SM M’M ở M mà M’M là bán kính đường
tròn ngoại tiếp
∆
OMO’.
Do đó đường tròn ngoại tiếp
∆
OMO’ tiếp xúc với SM tại M ( 0,5 điểm )
1
O
-1
1
2
-1
x
y
T
O A
M
’
’
O’
S
T’

a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên OMO’=90
o
Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên:
MA
2
= OA.OA’, Suy ra:
MA =
OA.OA' R.R'=
( 1 điểm )
∧