cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3 : DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ
NHÂN
Bài 3 : CẤP SỐ CỘNG
(Thời gian: 2 tiết)
I- Mục đích, yêu cầu:
- Kiến thức: giúp HS biết khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất
các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC.
- Kĩ năng: giúp HS biết sử dụng các công thức và tính chất của CSC để giải các bài
toán: tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u
1
, u
n
, n, d, S
n
.
II- Phương tiện dạy học:
GV: Phiếu học tập, các thiết bị liên quan.
III- Phương pháp dạy học:
- Nêu vấn đề, thảo luận nhóm, phát vấn …
IV- Tiến trình tiết học:
1) Ổn định lớp.
2) Kiểm tra bài cũ: Nêu các cách cho dãy số?
3) Bài mới:
Hoạt động của GV và HS Nội dung bài học
GV hướng dẫn HS xét dãy số: 0,
1, 2, 3, 4, …, n, n+1, …: để ý đến
tính chất đặc biệt của dãy số là: số
hạng đứng sau bằng số hạng đứng
trước nó cộng thêm 1, từ đó dẫn
đến định nghĩa khái niệm CSC.
Hỏi: Nêu đn CSC? Lưu ý đại

lượng d?
→
ghi đ.n
HĐ1: (nhóm thảo luận)
GV đưa ra yêu cầu cho HS:
Biết 4 số hạng đầu của một dãy
số là -1, 3, 7, 11. Hãy chỉ ra quy
luật rồi viết tiếp 5 số hạng tiếp
theo của dãy số.
HĐ2: (nhóm thảo luận)
GV đưa ra yêu cầu cho HS:
Cho (u
n
) là 1 CSC có sáu số
1. Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) trong đó,
kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng
ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của CSC.
(u
n
) là CSC với công sai d

*
n 1 n
u u d, n
+
⇔ = + ∀ ∈ ¥
Đặc biệt : d = 0 thì CSC là một dãy số không đổi.
VD : Dãy số 1, 3, 5, ..., 2n – 1, ... là CSC, d = 2.

1
hạng với
1
1
u
3
= −
, d = 3. Viết
dạng khai triển của nó.
GV: Cho CSC (u
n
).
Hỏi: u
2
= ?
2 1
(u u d)= +
Hãy biểu diễn u
3
, u
4
, … theo u
1
và
d?
3 2 1
u u d u 2d= + = +
4 3 1
u u d u 3d= + = +
…

Dự đoán công thức u
n
?
n 1
u u (n 1)d= + −
GV hướng dẫn HS chứng minh,
yêu cầu HS nhắc lại pp chứng
minh quy nạp?
GV phát vấn HS:
- Đọc dạng khai triển của dãy số
tự nhiên lẻ?
- Nhận xét gì về dãy số lẻ?
HS:
Dãy số lẻ 1, 3, 5, …, 2n-1, …
Là CSC có u
1
= 1, công sai d = 2.
Và bài toán đặt ra là tìm
100
u
?
HS tự giải và GV gọi lên bảng
trình bày.
GV phát vấn HS:
- Nhận xét dãy số trong trò chơi?
HS:
Dãy số được đọc là: 5, 10, 15, 20,
…tạo thành CSC với u
1
= 5,d = 5

Đề bài cho ta biết: u
n
= 100, và
yêu cầu tìm n?
2. Số hạng tổng quát:
Định lí:
Nếu CSC (u
n
) có số hạng đầu u
1
và công sai d thì số
hạng tổng quát u
n
được xác định bởi công thức:
n 1
u u (n 1)d, n 2= + − ∀ ≥
(*)
CM: (pp quy nạp)
* Khi n = 2 thì
2 1
u u d= +
. Vậy (*) đúng.
* Giả sử (*) đúng với n = k
2≥
, tức là:
k 1
u u (k 1)d= + −
Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là:
k 1 1
u u kd

+
= +
Ta có:
k 1 k 1 1
u u d u (k 1)d d u kd
+
= + = + − + = +
Vậy:
n 1
u u (n 1)d, n 2= + − ∀ ≥
Ví dụ 1: Số tự nhiên lẻ thứ 100 là bao nhiêu?
Giải
Dãy số lẻ: 1, 3, 5, …, 2n-1, … là CSC có u
1
= 1, công sai d
= 2.
Ta có:
n 1 100 1
u u (n 1)d u u 99d 199= + − ⇒ = + =
Vậy số tự nhiên lẻ thứ 100 là 199.
Ví dụ 2: Trong trò chơi “năm mười” khi đọc đến số 100 là
lần thứ bao nhiêu?
Giải
Trong trò chơi “năm mười”, dãy số được đọc là 5, 10, 15,
20, …tạo thành CSC với u
1
= 5,d = 5.
Ta có:
n 1
u u (n 1)d= + −

100 5 (n 1).5 n 20⇔ = + − ⇔ =

Vậy khi đọc đến số 100 là lần thứ 20.
2
HĐ3: (nhóm thảo luận)
GV đưa ra yêu cầu cho HS:
Cho một CSC có
1
u 1= −
,
3
u 3=
. Tìm
2 4
u ,u
.
HĐ4: (nhóm thảo luận)
GV đưa ra yêu cầu cho HS:
Cho CSC có u
1
= -2, công sai d
= 2. Tính tổng 17 số hạng đầu
của CSC đó.
3. Tính chất các số hạng của CSC:
Định lí:
Trong một CSC, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề
với nó, nghĩa là :
k 1 k 1

k
u u
u , k 2
2
− +
+
= ∀ ≥
4. Tổng n số hạng đầu của một CSC:
Cho CSC (u
n
). Đặt S
n

1 2 n
u u ... u= + + +
(tổng n số
hạng đầu tiên của CSC). Khi đó :

1 n
n
n(u u )
S
2
+
=
Hay :
n 1
n(n 1)
S nu d
2

−
= +
4) Củng cố.
5) BTVN: 1–5/97, 98 sgk.
3
BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN
I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU :
- Học sinh biết khái niệm CSN, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng
và công thức tính tổng n số hạng đầu của CSN.
- Biết sử dụng tính chất và công thức CSN vào giải tóan. Tìm các yếu tố còn lại khi
ta biết 3 trong 5 yếu tố U
1
, U
n
, n, q, S
n
.
II. PHƯƠNG PHÁP
- Phát vấn, nêu vấn đề, học sinh giải quyết vấn đề.
III. KIỂM TRA BÀI CŨ
I.Em hãy nêu định nghĩa cấp số cộng?
II. Cho biết công thức tính số hạng tổng quát của CSC
III. Công thức tính tổng n số hạng đầu CSC.
IV. BÀI MỚI
Hoạt động thầy và trò Nội dung bài giảng
- GV: Yêu cầu 1 học sinh của lớp đọc to
H1 ( trang 98)
- GV phân công:
+ Tổ 1: Tìm xem trong mỗi ô từ ô số 1 --> ô
số 6 có bao nhiêu hạt thóc.

+ Tổ 2: Tìm mối tương quan số hạt thóc của
các ô ( số thóc ô đứng sau = số thóc ô đứng
ngay trước nó nhân 2)
1, 2, 4, 8, 16, 32
Và các số trên lập thành một dãy các số có
tính chất số hạng đứng sau bằng số hạng
đứng ngay trước nó nhân với một số không
đổi. Từ đó GV đưa ra định nghĩa CSN.
- GV lần lượt cho công bội q các giá trị
q = 0, q = 1, U
1
= 0 và học sinh phát hiện
CSN trong mọi trường hợp đó.
- GV gọi một học sinh lên bảng tìm công
bội q bằng công thức: U
n+1
= U
n
.q
- GV hỏi học sinh các số trong VD1 thỏa
yêu cầu gì?
- Hs trả lời: số hạng đứng sau bằng số
hạng đứng ngay trước nó nhân với ¼.
- Vậy dãy số vừa cho là CSN
- GV quay lại hoạt động 1. Gọi số hạt
thóc trong các ô lần lượt là
U
1
= 1
U

2
= 2 = U
1
.2
U
3
= 4 = U
1
.2
2
U
4
= 16 = U
1
.2
3
U
5
= 32 = U
1
.2
4
U
6
= 64 = U
1
.2
5
Ta có công thức truy hồi t ính s ố h ạng th ứ
I.ĐỊNH NGHĨA

CSN là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong
đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với
một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội cấp số nhân.
- Nếu (U
n
) là CSN có công bội q ta có
công thức truy hồi: U
n+1
=U
n
.q với n ∈ N
*
ĐẶC BIỆT
khi q = 0 ==>CSN là U
1
, 0, 0, …,0
khi q = 1 ==>CSN là U
1
, U
1
, U
1
, …, U
1
khi U
1
= 0 ==> CSN là 0, 0, 0, …,0
VD1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là CSN:

-4; 1; -1/4; 1/16; - 1/64
II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CSN
Định lí 1: Nếu CSN có số hạng đứng đầu là U
1
và công bội q thì số hạng tổng quát U
n
được
xác định bởi công thức:
U
n
= U
1
.q
n-1
với n ≥ 2
VD2: Tính số hạt thóc ở ô số 37 (U
37
)
VD3: SGK trang 100 ( chuẩn)
4
n nh ư sau: U
n
= U
1
.2
n-1
GV: Cho cấp số nhân (U
n
) với U
1

= - 2 và q
= - ½.
gọi học sinh viết 5 số hạng đầu của nó. Gọi
học sinh so sánh
2
2
u
với tích
31
.uu
2
3
u
với tích
42
.uu
GV hướng dẫn học sinh nêu nhận xét tổng
quát
GV gọi học sinh nhắc lại định lý 1: U
n
=
U
1
.q
n-1
(n ≥ 2)
Từ đó đề nghị học sinh biểu U
k-1
, U
k+1

Gợi ý học sinh sẽ làm gì để được vế phải của
định lý 2. Từ đó học sinh phát hiện (*)
Giáo viên cho cấp số nhân U
n
có công bội q.
Hỏi các số hạng của cấp số nhân.
Học sinh trả lời: U
1
, U
1
q, U
1
q
2
, …, U
1
q
n-1
, …
GV hỏi khi đó để tính tổng của n số hạng
của cấp số nhân trên ta làm gì?
S
n
= U
1
+ U
1
q + U
1
q

2
+ …+ U
1
q
n -1
(4)
qS
n
= U
1
q + U
1
q
2
+ …+ U
1
q
n
(5)
(4) – (5): (1-q) = U
1
– U
1
q
n
==>
q
qU
S
n

n
−
−
=
1
)1(
1
GV hỏi: Như với n = 1 làm sao tính S
n
==>
với n = 1 cho biết các số hạng của CSN.
Học sinh trả lời: U
1,
U
1, …,
U
1
khi đó S
n
= U
1
+
U
1
+…+ U
1
( n số)
Cho HS nhận xét
GV hỏi: Để tính S
10

thì cần phải tính như thế
nào?
Học sinh phát hiện --> cần tính q
Cho học sinh phát biểu U
3
Gọi học sinh tính
Cho học sinh tính tổng:
n
S
3
1
...
3
1
3
1
1
2
++++=
III.TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CSN
Định lí 2: Trong cấp số nhân, bình phương của
mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
tích của 2 số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
11
2
.
+−
=
kkk
uuu

(với k ≥2)
(hay
11
.
+−
=
kkn
uuu
)
Chứng minh:
U
k-1
= U
1
.q
k-2
(1)
U
k+1
= U
1
.q
k
(2)
(1)*(2): U
k-1
.U
k+1
=
2

1
u
.q
2k-2
= (
1
u
.q
k-1
)
2
=
2
k
u

(*)
* Tổng n số hạng đầu của CSN
Định lý 3: Cho CSN (U
n
) với công bội (q≠1)
đặt S
n
= U
1
+U
2
+ …+U
n
Khi đó:

q
qu
s
n
n
−
−
=
1
)1(
1
Chú ý: với n = 1: S
n
= n.U
1
VD4: Cho CSN (U
n
), biết U
1
= 2, U
3
= 18. Tính
tổng của 10 số hạng đầu tiên.
Ta có: U
3
= U
1
.q
2
==>q

2
= 9
==>q= ±3
với q = 3, S
10
= 59048
với q = - 3, S
10
= - 29524
5