Các loại ma trận và cách giải

$2. MA TRẬN


2.1  KHÁI NIỆM MA TRẬN
a) ĐỊNH NGHĨA 2.1.1 Bảng số gồm mn số thực được
xếp thành m hàng và n cột được gọi là ma trận mn:

hàng

cột

phần tử


Kí hiệu: A, B, C,... đặt tên cho ma trận.
A = B  aij=bij  i, j

VD2.1.1

é 1 2 ù
A=ê
ú
ë -3 7 û

a12 = ?

é 3
ê
B=ê 0
êë 1

b31 = ?

-1 ù
ú
4
ú
5 úû


b) Một số ma trận đặc biệt:
Ma trận nn được gọi là ma trận vuông cấp n.
aii (i = 1, ... , n) lập nên đường chéo
VD2.1.2

Ma trận vuông cấp 3



2 0
1
 5 1 4 


 3 3 11
Đường chéo


 a11
 0
Ma trận tam giác trên 

 
 0


 a11
a
Ma trận tam giác dưới  21
 
a
 n1

a12
a22

0



a1n 
 a2 n 
.

 
 ann 



0 
a22  0 
.



 
an 2  ann 
0


 a11
 0
Ma trận đường chéo 
 
 0




0 
a22  0 
.


 
0  ann 
0

1 0  0 
0 1  0 
.
Ma trận đơn vị I = 
   

0 0  1 



Ma trận-không O là ma trận có tất cả các phần tử bằng
0.


2.2  CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN
a) Phép nhân ma trận với một số
Nếu A = (aij) là ma trận mn và c là một số, thì
cA= (c aij)
Ma trận đối của A là ma trận (-1)A, ký hiệu là -A.
VD2.2.1

é 1 2 ù é 2.1 2.2 ù é 2
4 ù
2A = 2 ê
=ê
=ê
ú
ú
ú
6
14
2.(-3)
2.7
-3
7
úû

ë
û ë
û êë


b) Phép cộng ma trận
Nếu A = (aij) và B = (bij) là hai ma trận mn, thì
A + B = (aij + bij)
VD2.2.2

é 1
ê 3
ê
êë 0

2
4
2

ù é 2
ú+ê 4
ú ê
úû êë 1

2
4
5

ù é 1+ 2
ú =ê 3 + 4

ú ê
úû êë 0 + 1

2+2
4+4
2+5

ù é 3
ú=ê 7
ú ê
úû êë 1

4
8
7

ù
ú
ú
úû


c) Phép nhân ma trận
Nếu A=(aij) là ma trận mn, B=(bij) là ma trận np thì AB
= (cij) là ma trận mp với
n

cij = å aik .bkj
k=1

= (hàng i của A) nhân (cột j của B)


VD2.2.3 Tính AB và BA nếu

1
3 4 
4
a) A = 
,
B
=


1
2


 3

2

5

6 

é 1 2 ù
é 0 3 ù
b) A = ê
,B=ê

ú
ú
ë 0 0 û
ë 0 1 û
1) Tính giao hoán
2) AB = O  A=O hoặc B=O?


VD2.2.4


d) Tính chất:
A, B, C là ma trận và những số thực bất kỳ x, y
1. A + B = B + A

8. 1A = A

2. A + (B + C) = (A + B) + C

9. A(BC) = (AB)C

3. A + O = A

10. A(B + C) = AB + AC

4. A + (-A) = O

11. (A+B)C = AC + BC

5. x(A + B) = xA + xB

12. AI = A, IA = A

6. (x + y)A = xA + yA

13. AO = O, OA = O

7. (xy)A = x(yA)


2.3  MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
ĐỊNH NGHĨA 2.3.1 Ma trận vuông A được gọi là ma trận
khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I.
Ta gọi B là ma trận nghịch đảo của A.

Chú ý: Ma trận nghịch đảo của A là duy nhất và được kí
hiệu A-1.


VD2.3.1

2
2 1 
-1
A=
có A = 

3 2
 3

TỔNG QUÁT

a
c


 1
.

2

b
khả nghịch  ad - bc  0.

d

Khi ấy
a
c


b  1
1
d


d
ad  bc   c

 b

.

a 


VD2.3.2

é 2 0 ù
é 1 0 ù
-1
A=ê
có A = ê
.
ú
ú
ë 0 -6 û
ë 0 -3 û

TỔNG QUÁT

 a11


Ma trận đường chéo A = 



ann 


khả nghịch  tất cả các phần tử trên đường chéo khác
1 / a11

.
không. Khi đó A-1 = 



1 / a nn 



Tính chất

Nếu A và B là hai ma trận nn khả nghịch, c

là số khác 0, thì
1. (AB)-1 = B-1A-1
2. (cA)-1 = c-1A-1


NHỮNG PHÉP TOÁN HÀNG TRÊN MA TRẬN:
I. Đổi chỗ hai hàng của ma trận.
II. Lấy một hàng của ma trận trừ đi bội của một hàng khác
trong ma trận.
III. Nhân một hàng của ma trận với một số khác 0.


Tìm A-1 bằng phương pháp Gauss-Jordan
Bước 1: Viết thêm ma trận đơn vị cùng cấp với A vào

bên phải của A để được [A | I].
Bước 2: Dùng các phép biến đổi trên hàng để đưa
[A | I ] về [I | b1 b2 … bn]
Bước 3:

-1

A = [b1 b2 … bn]


VD2.3.4

é 2 1 ù
-1
a) Cho A = ê
.
Tìm
A
ú
ë 3 2 û
é 1 0 2 ù
ê
ú
b) Cho B = -1 5 0 . Tìm B -1
ê
ú
êë 0 1 -1 úû


Chú ý Nếu A khả nghịch thì Ax = b có nghiệm duy nhất

là x = A-1b.
VD2.3.5

Tìm ma trận X sao cho

a)

é 2 1 ù
é 1 ù
ê 3 2 ú X = ê -1 ú.
ë
û
ë
û

b)

é 2 1 ù
é 1 ù
Xê
= ê
.
ú
ú
ë 3 2 û
ë -1 û

c)

2 1

1 
 4 2  X   1


 


2.4  MA TRẬN CHUYỂN VỊ
ĐỊNH NGHĨA 2.4.1 Cho A= (aij) là ma trận mn. Ma trận
chuyển vị của A là ma trận nm và được xác định
AT= (aji)


VD2.4.1

é 1
Cho A = ê
ë -1

2
0

3
4

ù
T
.
Tìm
A

ú
û

Tính chất
1. (AT)T = A

2. (cA)T = cAT

3. (A + B)T = AT + BT

4. (AB)T = BTAT

5. (A-1)T = (AT)-1


ĐỊNH NGHĨA 2.4.2 Ma trận A được gọi là ma trận đối
xứng nếu AT= A.


NHỮNG Ý CHÍNH

1. Khái niệm ma trận, các phép toán và tính chất.
2. Ma trận nghịch đảo. Phương pháp Gauss-Jordan để
tìm ma trận nghịch đảo.
3. Ma trận chuyển vị.