DABTTL mat cau phan 02

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

M T C U (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng M t c u (Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi Qu c
gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c tr c
Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân và AB // CD.
ng tròn tâm O n i ti p
trong hình thang có bán kính r. Bi t SO vuông góc (ABCD) và SO = 2r. Xác đ nh tâm và bán kính m t c u
n i ti p hình chóp S.ABCD.
Gi i:
G i M, N, P, Q là các ti p đi m c a đ ng tròn n i ti p hình thang v i các c nh c a hình thang.
Do SO vuông góc mp(ABCD)
nên các tam giác SOM, SON, SOP, SOQ b ng nhau
và m i đi m trên SO cách đ u các m t bên c a hình chóp.
 v i SO.
Tâm m t c u n i ti p là giao c a đ ng phân giác trong SON
Ta có: SN  SO2  ON2  r 5

Theo tính ch t phân giác:
IO NO

IS NS
Suy ra bán kính m t c u n i ti p hình chóp là:

R  IO 

2r
5 1
ON.OS


r
2
ON  NS 1  5

Bài 2: Cho m t c u tâm O bán kính R. T 1 đi m S trên m t c u k ba dây cung SA, SB, SC sao cho
SA = SB = SC và ASB  BSC  CSA  .
a) Tính th tích kh i chóp SABC theo R và 
b) Xác đ nh  đ th tích kh i chóp SABC l n nh t.
Gi i:
a) Vì SA = SB = SC và ASB  BSC  CSA 
suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đ u.
- G i H là hình chi u c a S trên (ABC) khi đó ta có :
HA = HB = HC nên H là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
- Ta có : SH  ( ABC );OH  (ABC )  3 đi m S, O, H th ng hàng

1
1 1

3
3
. AB2 .SH
VS. ABC  dt (ABC ).SH  . AB.  AB.
 .SH 
3
3 2
2 
12

M t khác :
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

G i S’ là đi m đ i x ng v i S qua O và đ t SA x .
Khi đó vì tam giác SAS’ vuông t i A nên ta có :
x2
2R

SA2  SH .SS '  x2  SH .2 R  SH 

. .c os   x 2  x 2  2.x.x.c os   2x 2(1 c os )
Trong tam giác SAB ta có : AB2  SA2  SB 2  2SASB

 2 AB 3 
Trong tam giác SHA ta có : SA  SH  AH  SA  SH   .

2 
3
2

 SA2  SH 2 

2

2

2

2

2

AB2
3

 x2 

x2 2 x2 (1  cos )
x2 2
1



 (1  cos )
4 R2
3
4 R2 3

 x2 

4 R2 (1  2 cos  )
2 R(1  2 cos  )
8 R2 (1  2 cos  )(1  cos )
 SH 
; AB2 
3
3
3

3 8R2 (1  2 cos  )(1  cos ) 2 R(1  2 cos  ) 4 3.R3
.
.

(1  cos )(1  2 cos  ) 2
2
3
3

27
t t  cos (1  t  1)

V y VS. ABC 
b)

Khi đó : V 

4 3R3
(1  t )(1  2t ) 2 ,  1  t  1
27

4 3R3
4 3R3
.3(1  2t )(1  2t ) 
( 4t 2  1)
Ta có : V ' 
27
9
1
V '  0  4t 2  1  0  t  
2
B ng bi n thiên :
1
-1

t
2
V’
0

+
0

V

8 3 R3
27

1
2
-

1

8 3 R3
27

0

0

1
1

 cos    
2
2
3
Bài 3 : Cho m t c u (S) đ ng kính AB = 2R, H là đi m n m gi a A và B. M t ph ng (P) đi qua H và
vuông góc v i AB c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn (C). Xét hình nón có đ nh A và có đáy là hình tròn

gi i h n b i (C). t AH  x
a. Tìm x đ th tích V c a kh i nón gi i h n b i hình nón đó là l n nh t.
b. Tìm x đ di n tích xung quanh c a hình nón l n nh t
Gi i :
a) L y M thu c (C) khi đó hình nón có bán kính r = HM.
- Vì tam giác AMB vuông t i M và MH  AB

T b ng bi n thiên suy ra V l n nh t  t 

.
nên ta có: MH 2  HAHB
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

 r  HM  HAHB
.
 x(2R  x)
- Hình nón có chi u cao AH  x . Do đó ta có:

1
1
V   .r 2 . AH   .x2 (2 R  x)
3
3



  x  x  4R  2 x 

32. .R3
(B t đ ng th c Côsi)
 .x.x.(4R  2 x)  
 
6
6
3
81

4R
Suy ra V l n nh t  x  4 R  2 x  x 
3
3

b) Hình nón có đ

ng sinh là l  AM  AH . AB  2 R.x

Sxq   .r .l   x(2R  x). 2Rx   2Rx2 (2R  x)
2

 x  x  4 R  2 x  8 3 .R
(b t đ ng th c Côsi)
  R x.x.(4 R  2 x)   . R. 


3
9


3

8 3. .R2
4R
 x  4R  2 x  x 
9
3
Bài 4: Cho t di n ABCD v i AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a. Xác đ nh tâm và bán kính R c a
m t c u ngo i ti p t di n ABCD (m t c u đi qua 4 đi m A, B, C, D).
Gi i:
A
- G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và CD
- Vì ACD, BCD là các tam giác cân nên CD vuông góc v i AN và BN
Suy ra CD  ( ANB)  CD  MN

Suy ra Sxq l n nh t b ng

T

M

ng t ta có: AB  MN

MN  AB



MN  CD
  MN là đo n vuông góc chung c a AB và CD B
M  AB, N  CD 
- G i O là trung đi m MN thì OA = OB = OC = OD.
V y O là tâm m t c u ngo i ti p t di n ABCD, bán kính c a nó là R = OA.
2

2

MN 2 b2
 MN   b 
Ta có: R  OA  OM  AM  



  
4
4
 2  2
2

2

2

D

N
C

2

Mà MN 2  AN 2  AM 2  AD 2  ND 2  AM 2  a 2 

 R2 

Q

b2
( v i 2a 2  b 2 )
2

a 2 b2 b2 a 2 b2 2a 2  b2
2a 2  b2
    
 R
4 8 4
4 8
8
8

Bài 5: Cho kh i chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, AB  a 2, SA  SB  SC. Góc
gi a đ ng th ng SA và m t ph ng (ABC) b ng 600. Tính th tích kh i chóp S.ABC và bán kính m t c u
ngo i ti p hình chóp S.ABC theo a.

Gi i:
G i H là trung đi m c a BC  HA  HB  HC . K t h p v i gi thi t SA = SB = SC
Suy ra
SH  BC, SHA  SHB  SHC

 SH  ( ABC ) và SAH  600
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Tam giác ABC vuông cân t i A: AC  AB  a 2  BC  2a  AH  a
Tam giác SHA vuông:

SH  AH tan 600  a 3

S

1 1
3a 3

.
 VS. ABC  . . AB. AC.SH 
3 2
3
G i O, R l n l t là tâm, bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC
 O thu c đ ng th ng SH  O thu c m t ph ng (SBC)
B
 R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác SBC.
SH
Xét SHA, ta có: SA 
 2a  SBC đ u có đ dài c nh b ng 2a
sin 600
 R

C
H

2a
2a 3

0
2sin 60
3

A

Bài 6: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a, chi u cao = h.
a) Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
b) Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u n i ti p hình chóp.
Gi i:

a) G i H là hình chi u c a S trên m t ph ng (ABC) thì H là tâm đ ng tròn ngo i ti p c a tam giác đáy.
Trong m t ph ng (SAH) d ng trung tr c MI c a c nh SA c t SH t i đi m I thì I là tâm m t c u ngo i tieps
hình chóp.
SM SA
,
Hai tam giác SMI và SHA đ ng d ng nên

SH SI
do đó bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC là:
S

SA2 SH 2  HA2
EH .SH
ah
R


r  JH 
;
2SH
2SH
EH  ES a  a 2  12h 2
Ta có AH 

2
3
a 2  3h 2
AE 
a nên R 
3

2
6h

M

A

I
C
F

H
E

b) D dàng ch ng minh m i đi m thu c đ ng cao SH cách đ u 3 m t bên c u hình chóp. B
Trong tam giác SHE k phân giác EJ c a góc SEH c t SH ta J thì J là tâm m t c u n i ti p hình chóp.
Theo tính ch t phân giác, ta có
JS ES
SH EH  ES
1
3
a 2  12h2



mà HE  AE 
a nên SE  HE 2  SH 2 
JH EH
JH
EH

3
6
12
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Do đó: r  JH 

ng)

Hình h c không gian

EH .SH
ah

EH  ES a  a 2  12h 2
S

J
A
C
F

H
E

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -