DABTTL the tich khoi chop phan 08

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 08)
BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tich kh i chóp (Ph n 08) thu c khóa h cLuy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n
h c tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1. Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i SA vuông góc v i đáy, G là tr ng tâm
tam giác SAC, m t ph ng (ABG) c t SC t i M, c t SD t i N. Tính th tích c a kh i đa di n MNABCD bi t
SA= AB= a và góc h p b i đ ng th ng AN và mp(ABCD) b ng 300 .
Gi i:
+ Trong mp(SAC) k AG c t SC t i M, trong mp(SBD) k BG c t SD t i N.
+ Vì G là tr ng tâm tam giác ABC nên d có
SG 2
 suy ra G c ng là tr ng tâm tam giác SBD.

SO 3
T đó suy ra M, N l n l t là trung đi m c a SC, SD.
1
1
+ D có: VS. ABD  VS.BCD  VS. ABCD  V .
2
2
Theo công th c t s th tích ta có:
VS. ABN SA SB SN
1 1
1

 1.1.   VS. ABN  V
. .
VS. ABD SA SB SD
2 2
4
VS.BMN SB SM SN
1 1 1
1
.
.

 1. .   VS. ABN  V
2 2 4
8
VS.BCD SB SC SD

T đó suy ra:
3

VS. ABMN  VS. ABN  VS.BMN  V.
8
1
+ Ta có: V  SAS
. ABCD ; mà theo gi thi t SA  ( ABCD) nên góc h p b i AN v i mp(ABCD) chính là góc
3

NAD, l i có N là trung đi m c a SC nên tam giác NAD cân t i N  NAD  NDA  300.

 AD 

SA
1
1
3 3
. ( ABCD)  a .a .a 3 
a
 a 3  V  SAdt
0
tan 30
3
3
3

3
5
5 3a 3
 VMNABCD  VS. ABCD  VS. ABMN  V  V  V 
.
8

8
24
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i AB  a , AD  2a , c nh SA vuông góc v i đáy,
còn c nh SB t o v i m t ph ng đáy góc 60 . Trên c nh SA l y đi m M sao cho AM 

a 3
. M t ph ng
3

(BCM) c t c nh SD t i N. Tính th tích kh i chóp S.BCMN
Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Theo gi thi t :

SA  mp  ABCD   SBA   SB, mp  ABCD    60  SA  AB.tan 60  a 3

Trong mp(SAD) k MN || AD (N thu c c nh SD)  SD  mp  BCM   N
Theo công th c t s th tích, ta có:
VSMBC SM 2
2
1

  VSMBC  VSABC  VS. ABCD
VSABC
SA 3
3
3
2

VSMNC SM SN  SM  4
4
2
.


   VSMNC  VSADC  VS. ABCD
VSADC
SA SD  SA  9
9
9
5
5 1
10 3 3
VS.BCMN  VSMBC  VSMNC  VS. ABCD  . .SAS
. ABCD 
a

9
9 3
27
Bài 3. Cho hình chóp t giác đ u SABCD có chi u cao h, góc đ nh c a m t bên là 600. M t ph ng qua
A, B và trung đi m M c a SC c t SD t i N. Tính th tích chóp S.ABMN
Gi i:

V y:

( ABM )  ( SCD)  d
 d / / AB / /CD.
Ta có: 
 AB / /CD
M   SC  M  d  trong mp(SCD) d ng MN//CD,

khi đó N là trung đi m SD.
t:
V '1  VSABM ;V '2  VSAMN ;V '  VSABMN

V1  VSABC ,V2  VSACD ,V  VSABCD  V1  V2 

V
2

Theo t s th tích ta có:
V '1 SA SB SM 1 V '2 SA SN SM 1 1 1

 ;

 . 

. .
.
.
V1 SA SB SC 2 V2
SA SC SC 2 2 4
 V '1 

V '  V '2 3
V
V
3
 V'  V
,V '2   1
V
4
8
8
8

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Theo gi thi t, các m t bên chính là các tam giác đ u, gi s c nh hình vuông là x, ta có:

x 3 2
x
x2
)  ( )2  h2  h2 
 xh 2
2
2
2
1
2h 3
3 2h3 h3
2
 V  h(h 2) 
 VSABMN  .

3
3
8 3
4
(

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =

a

. SA  a 3 , SAB  SAC  300 . Tính th tích
2

kh i chóp S.ABC.
Gi i:

. .cos SAB  3a 2  a 2  2.a 3.a.cos300  a 2
Theo đ nh lí côsin ta có: SB2  SA2  AB2  2SAAB
Suy ra SB  a . T ng t ta c ng có SC = a.
G i M là trung đi m c a SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB  SA, MC  SA.
Suy ra SA  (MBC).
1
1
1
Ta có VS. ABC  VS.MBC  VA.MBC  MAS
. MBC  SAS
. MBC  SAS
. MBC
3
3
3
Hai tam giác SAB và SAC có ba c p c nh t ng ng b ng nhau nên chúng b ng nhau. Do đó MB = MC
hay tam giác MBC cân t i M.
G i N là trung đi m c a BC suy ra MN  BC. T ng t ta c ng có MN  SA.
2

2
2
a 3
 a   a 3  3a

.
MN  AN  AM  AB  BN  AM  a     
 MN 
 
4
16
4  2 
2

2

2

2

2

2

2

a 3 a a3
1
1
1
Do đó VS. ABC  SA. MN.BC  a 3.
. 
3
2
6

4 2 16
Bài 5. Trên đ ng th ng vuông góc t i A v i m t ph ng ch a hình vuông ABCD c nh a ta l y đi m S v i
SA=2a. G i B’, D’ là hình chi u vuông góc c a A lên SB và SD. M t ph ng (AB’D’) c t SC t i C’. Tính
th tích hình chóp S.AB’C’D’
Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Ta có:

AB '  SB 
  AB '  SC . T
AB '  CB

ng t

ng)

Hình h c không gian

AD '  SC  SC  ( AB ' C ' D ')  SC  AC '

Do tính đ i x ng ta có: VS. AB ' C ' D '  2VS. AB ' C ' .
Áp d ng tính ch t t s th tích cho 3 tia: SA,SB,SC, ta có:

VS.AB ' C '  SB ' . SC '  SB '.SB . SC '.SC  SA . SA  4a . 4a  8
5a 6a
15
SC
SB SC
VS.ABC SB SC SB
1 a
8 a
8a
16a
a
 VS. AB ' C ' D ' 
Mà VS. ABC  . .2a   VS. AB ' C '  . 
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3 2

3

15 3

45

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân
ABC ,

3

45

B,

AC  a 2

, SA vuông góc v i đáy

SA  a .

1) Tính th tích c a kh i chóp S.ABC.
2) G i G là tr ng tâm tam giác ABC, m t ph ng (  ) qua AG và song song v i BC c t SC, SB l n l
M, N. Tính th tích c a kh i chóp S.AMN

tt i

S

L i gi i:
a)Ta có: VS. ABC 

1
SABC .SA và SA  a
3

N

+ ABC cân có : AC  a 2  AB  a

 SABC 

1 2

a3
1 1
a V y: VSABC  . a 2 .a 
2
3 2
6

M
I

b) G i I là trung đi m BC.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

C

G

A

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

G là tr ng tâm,ta có :

 // BC  MN// BC


ng)

Hình h c không gian

SG 2

SI 3



SM SN SG 2



SB SC SI 3

VSAMN SM SN 4


.
VSABC
SB SC 9

V y: VSAMN

4
2a 3
 VSABC 
9
27

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông cân
ph ng (ABC) l y đi m D sao cho
t i E.

A và

AB  a . Trên đ ng th ng qua C và vuông góc v i m t

CD  a . M t ph ng qua C vuông góc v i BD, c t BD t i F và c t AD

a) Tính th tích kh i t di n ABCD.
b) Ch ng minh CE  ( ABD)
c) Tính th tích kh i t di n CDEF.

D
L i gi i:
a)Tính

F

VABCD : VABCD  1 SABC .CD  a
3

3

a

6

E

b)Tacó: AB  AC, AB  CD  AB  ( ACD)  AB  EC
Ta có:
c) Tính

DB  EC  EC  ( ABD)

VDCEF :Ta có:

B

C

VDCEF DE DF
.
(*)

VDABC DA DB

a
A

Mà DE.DA  DC , chia cho DA2

2



DE DC 2
a2
1



2
2
DA DA
2a
2

DF DC 2
a2
1



T ng t :
2
2
2
DB DB
DC  CB
3

VDCEF 1
a3
1
 .V y VDCEF  VABCD 
T (*) 
VDABC 6
6
36
Bài 8. Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, đáy là hình vuông c nh a, c nh bên t o v i đáy góc
M là trung đi m SC. M t ph ng đi qua AM và song song v i BD, c t SB t i E và c t SD t i F.

60 . G

i

a) Hãy xác đ nh mp(AEMF)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD
c) Tính th tích kh i chóp S.AEMF
S

L i gi i:
a) G i I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD
b)

VS. ABCD

M

1
 SABCD .SO v i SABCD  a 2
3

E

I
B

a 6
+ SOA có : SO  AO.tan 60 
2


V y : VS. ABCD 

C

F
O

a3 6
6

A

D

c) Phân chia chóp t giác ta có

VS. AEMF = VSAMF + VSAME

=2VSAMF

VS. ABCD = 2VSACD = 2 VSABC
Xét kh i chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :


SM 1
 , SAC có tr ng tâm I, EF // BD nên:
SC
2

V
SM SF 1
SI SF 2
.



  SAMF 
VSACD SC SD 3
SO SD 3

1
1
a3 6
 VSAMF  VSACD  VSACD 
3
6
36

 VS. AEMF

a3 6 a3 6
2

36
18
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 6 -