DABTTL the tich khoi chop phan 07

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 07)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 07) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c
tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

D NG: CHÓP T NG H P
Bài 1. Cho hình chóp SABC, đáy ABC có AB = a, AC = 2a, góc BAC  1200 . G i G1 và G2 l n l t là
a
tr ng tâm c a các tam giác ABC, SBC sao cho G1G2 = . Hình chi u vuông góc c a S trên m t (ABC)
3
trùng v i G1, góc gi a SA và (ABC) b ng  . Tính theo a và  th tích kh i chóp G1G2 BC.
Gi i
- SAG1  
S
- G i I là trung đi m c a BC, ta có:
IG2 IG1
IG2 1 IG1 1

=> G1G2//SA.

 ,
 =>
IS
IA
IS 3 IA 3
GG
a
1
 1 2   SA  3G1G2  3.  a .
SA
3
3
- K G2H  AI ( H  AI) => G 2H//SG1 => G2H  (ABC).
1
1
a
Ta có: G2H= SG1= .SA.sin  = sin  .
3
3
3
1
1 1
- VG1G2BC = VG2G1BC= . SG1BC .G2 H  . .SABC .G2 H
3
3 3

G2
A

C

G1
H

3 a
a . 3.sin 
1 1
1
. .AB.AC.sin1200. G2H =
.a.2a.
. .sin  =
.
2 3
54
9 2
18

I

3

=

B

Bài 2. Cho hình chóp SABC đáy ABC là tam giác đ u c nh a, I là trung đi m c a BC, D là đi m đ i x ng
a
v i A qua I, SD  (ABC). G i K là hình chi u vuông góc c a I trên SA, IK= . Tính th tích kh i chóp
2

S
SABC.
Gi i
1
VSABC = . SABC .SD
3
K
Mà:
+ SABC =

a 3 a2 3
1
1
.BC.AI= .a.
=
4
2
2
2

A
C

+ SD = ?
Tam giác vuông SDA đ ng d ng v i tam giác vuông IKA
( vì góc A chung)

I
D
B

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

SD DA
SD



a
IK KA
2

=> SD=

a 3
AI  IK
2

2



ng)

Hình h c không gian

SD
a 3

a
a 3 2 a 2
(
) ( )
2
2
2

a 6
1 a2 3 a 6 a3 2
. V y VSABC = .
.
=
4
8
2
2
3

Bài 3. Cho hình chóp SABC, đáy ABC có AB = AC = a, BC =

a

. SA = a 3 , SAB  SAC  30o . Tính
2

th tích kh i chóp SABC.
Gi i:
Theo đ nh lí Cosin ta có:
3
= a 2.
2

SB2 = AS2 + AB2 – 2. AS.AB.cos30o = 3a2 + a2 – 2 3a . a.

 SB = a.
T ng t ta có: SC = a
 SAB  SAC .
- G i M là trung đi m c a SA, do SAB và SAC cân, nên ta có:
SA  BM 
  SA  ( BMC )
SA  CM 
1
1
2
Do đó VSABC  VSMBC  VAMBC  SM .SBMC  AM .SBMC  AM .SBMC (AM = SM)
3
3
3
Mà:
a 3
2
+ G i N là trung đi m c a BC, vì BMC cân t i M nên MN  BC

1
a
 SBMC  BC.MN  .MN
2
4
M
M t khác xét AMN vuông ta có:

+ AM =

MN  AN 2  AM 2 =

S

AB2  BN2  AM 2

3a 2
a
a 3 2
.
) 
 a 2  ( )2  (
4
2
16

A
C

2

a a 3 a 3
 SBMC  .

.
4 4
16
2

N
3

2 a 3 a 3 a
 SSABC  .
.

B
3 2
16
16
Bài 4. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang cân, đáy nh BC = 3a, đáy l n AD = 8a,

BAD  60o . Các c nh bên c a hình chóp t o v i đáy m t góc 600. Tính th tích kh i chóp SABCD.
Gi i:
G i O là hình chi u vuông góc c a S trên (ABCD)
SAO  SBO  SCO  SDO  60o
 SAO  SBO  SCO  SDO
 OA  OB  OC  OD  O là tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD
- K BE//CD (E  AD)  BAE đ u  AB = AE = 5a
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian
S

- Xét ABD , theo Cosin ta có:
BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos60o= 49a2  BD = 7a.
- G i R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p ABD (R = OA)
BD
Theo đ nh lí hàm s Cosin ta có:
 2R

sin BA
D



7a
7a
 2R  R =

 OA
o
sin 60
3

- Xét SAO vuông, ta có: tan60o =

- VSABCD

A
SO
SO
 3
 SO  7a .
7a
OA
3

E
D

O

1
385.a 3 . 3
 .SABCD .SO 
.
3
2
B

C

Bài 5. Cho hình h p đ ng ABCDA’B’C’D’, đáy ABCD là hình vuông c nh a. AA’= b. G i M là trung
a
đ hai m t ph ng (A’BD) và (MBD)
đi m c a CC’. Tính th tích c a kh i t di n A’BDM. Tìm t s
b
vuông góc v i nhau.
Gi i
A'

A'

D'

B'

C'

M

BMD

M

A

VA' BDM  ?

D

S
O

B
- G i S= AC  A’M
- Vì CM // AA’ nên theo đ nh lí Talet ta có:
SM CM 1

  M là trung đi m c a SA’
SA' AA ' 2
SA’  (BDM) = M mà M là trung đi m c a SA nên ta có:
d(A’,(BDM)) = d (S, (BDM))  VAB' DM  VSBDM

C

S

1
- VSBDM  VMBSD  SBSD .MC
3
b
Mà MC =
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

G i O = AC  BD, ta có SBSD 

ng)

Hình h c không gian

a 2
1
1
1
3a 2
BD.SO  .BD.( SC  OC )  .a 2( a 2 
)
(C là trung
2
2
2
2
2

đi m c a SA).

1 3a 2 b a 2b

. 
V y VA' BDM  VSBDM  .
.
3 2 2
4
a
+ Tìm t s
đ hai m t ph ng (A’BD) và (MBD) vuông góc v i nhau.
b
Ta có: A’O  BD và MO  BD    ( A' BD),(MBD)   ( A' O, MO) .

 (A’BD)  (MBD)  OA’  OM  OA’2 + OM2 = A’M2 (*)
Mà
2

a 2
a2
2
O ' A  A' A  AO  b  

b


2
 2 
2

2

2

2

b
a 2 2 b2 a 2
)  
OA’2 = MD2 – OD2 = CM2 + CD2 – OD2 = ( ) 2  a 2  (
2
2
4
2

b
b2
+ A’M2 = A’C’2 + C’M’2 = (a 2)2  ( )2  2a 2 
2
4
a 2 b2 a 2
b2
2
 2a 
Thay vào (*) ta có: b   
2 4 2
4
a
 a2 = b2  a = b  = 1.
b
2

Bài 6. Cho l ng tr đ ng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a 2 . G i M,

N l n l t là trung đi m c a AA’ và BC’. Tính th tích kh i chóp MA’BC’; và ch ng minh r ng MN là
đo n vuông góc chung c a AA’ và BC’.
Gi i:
C'
A'
+ VMA' B' C '  VC ' A' BM  ?

1
VC ' A' BM  SA' BM . C’A’ ( C ' A'  (AA ' B ' B) )
3
Mà: + C’A = a
+ SA' BM  SABB' A'  S ABM  S A' B' B
2

M
B'

C

A
2

2

1 a 2 1
a 2 a 2 a 2
 a .a 2  a .
 a .a 2  a 2 2 



2
2
2
4
2
4
1 a2 2 a3 2
 VC ' A' BM  .a .

3
4
12
+ Ch ng minh: MN là đo n vuông góc chung c a AA’ và BC’
-  vuông C’AM =  vuông MAB  MC’ = MB.
B'
-  BMC’ cân t i M và có N là trung đi m c a BC’
 MN  BC’.

C'

A'

B

M

N

- G i I là trung đi m c a BC
1

1
 NI// = CC’  NI// = AA’  NI//=MA
2
2
 T giác MNIA là hình bình hành

C

A

I

B

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

 MN//AI mà AI  AA’  MN  AA’.

MN  BC ', MN  AA '
  MN là đo n vuông góc chung c a AA’ và BC’.
M  AA ', N  BC '

Bài 7. Cho l ng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có c nh b ng a. G i M, N, I l n l t là trung đi m c a
AA’, AB, BC. Bi t góc gi a hai m t ph ng (C’AI) và (ABC) b ng 600. Tính theo a th tích kh i chóp
NAC’I và kho ng cách gi a hai đ ng th ng MN, AC’.
Gi i
C'
A'
CI  AI
   (C ' AI ), ( ABC )   C ' IC  600


C
I
AI
'

+ VNAC’I = ?
B'
O
1
M
Ta có: VNAC’I = V C’ANI = SANI .C ' C
3
Mà :
- Xét tam giác vuông CC’I ta có:
tan 600 =

C 'C
C 'C
a 3
 3 
=> C’C=
.
a
2
IC
2

A
C

I

N

- SANI

1
1 1
1 a 3 a2 3
 SABC  . .BC. AI  .a .

4
4 2
8
2
16

2

B

3

1 a 3 a 3 a
.

=> VNAC’I= .
.
3 16
2
32
+) d(MN, A’C)=?

 MO / / AC
 NI / / AC


và 
- G i O=A’C  AC’, khi đó 
1
1
 MO  2 AC
 NI  2 AC
 MO//NI và MO=NI => MONI là hình bình hành => MN//OI
 MN//(AC’I) => d(MN, AC’) =d(MN,(AC’I))=d(N,(AC’I))=h.
-

1
a3
a3
Ta có: VNAC’I=  SAC ' I .h 
(*)
3
32
32

Mà theo công th c di n tích hình chi u, ta có SAIC  SAC ' I . cos600
1 a2 3
a3
a 3
a2 3
1
a2 3
.h 
 h 
 d ( MN , AC ') .
 SAC ' I . => SAC ' I 
, thay vào (*) ta có: .
3 4
32
8
4
8
2
Bài 8. Cho hình l ng tr đ ng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân t i B; A’A = AC = a, góc gi a
đ ng th ng BC’ và (ABC) b ng 600. G i P, M l n l t là trung đi m c a BB’ và CC’, N là đi m n m
a

trên A’C’ sao NC’= . Tính th tích kh i t di n AB’C’B và ch ng minh r ng PN  A’M.
4
Gi i:
+ VAB’C’B = ?



-

( BC ',( ABC)  (C ' BC)  600

-

1
VAB’C’B= VABCC’= V C’ABC= . SABC .CC’
3

Mà:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

+ CC’=a.

+ G i H là trung đi m c a AC, vì  ABC cân t i B
1
1
=> BH  AC => SABC = .AC.BH = .a.BH
2
2
M t khác, xét tam giác vuông BCC’ ta có:
CC '
a
CC '
tan 600 =
=> BC =
=
.
0
BC
tan 60
3
2

 BH= BC 2  HC 2 

2

ng)

Hình h c không gian
N

A'

C'

Q

B'

M

2

a
a
a
a



3
4
12
2 3

P
A

H

1
a

a2
 SABC = .a.
=
.
2
2 3 4 3

C

1 a2
a3
V y VAB’C’B = .
.a =
.
3 4 3
12 3
+ Ch ng minh : PN  A’M?
G i Q là trung đi m B’C’, khi đó ta có:
 PQ / / BC '
 ( NPQ ) / /(C ' HB)

 NQ / / BH

B

(1)

 A' M  CH
 A' M  (C ' BH )
(2)


 A' M  BH
T (1) và (2) suy ra A’M  (NPQ) => A’M  NP.
a 3
, BAD  600 . G i M, N l n l t là
2
trung đi m c a A’D’ và A’B’. Ch ng minh r ng AC’  (BDMN) và tính th tích kh i đa di n
AA’BDMN.
S
Gi i
+ Ch ng minh : AC’  (BDMN)
- G i O=AC  BD.
C'
D'
- G i S= BN  AA’.
Do N là trung đi m A’B’
M
nên A’ s là trung đi m c a SA
N
và S c ng chính là giao đi m c a AA’ v i DM.
A'

Bài 9. Cho hình h p đ ng ABC.A’B’C’ có AB =AD = a, AA’=

B'

AB=AD=a, BAD  600
=>  ABD đ u => OA=

a 3

, AC = a 3 .
2

D

C

a 3
SA=2.AA’= a 3 , CC’= AA’=
.
2
AO SA

Ta có:
=>  SAC đ ng d ng v i  ACC’
A
AC CC'

O

B

 ASO  C ' AC mà ASO  SOA  90 => C ' AC  ASO  90 => SO  AC’.
M t khác BD  (ACC’A’) => BD  AC’
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

0

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

 A' C  BD
Nh v y 
 A' C  ( BDMN) .
 A' C  SO
+ VAA’BDMN=?
VAA’BDMN= VSABD – VSA’MN

Mà: VSABD=
VSA’MN=

a3
3
1
1 1
1
. SABD .SA= . .AB. AD.sin600.SA= .a.a.
.a 3 =

.
2
3
3 2
6
4

3 a 3 a3
1
1 1
1 a a
. SA' MN .SA’= . .A’M. A’N.sin600.SA’= . . .
.
=
.
2
3
3 2
6 2 2 2
32

 VAA’BDMN=

a 3 a 3 8a 3
- =
.
4 32 32

Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i M, N l n l

t là trung đi m c a

AB, AD. Gi s CN  DM  H . Cho SH = a 3 và vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Tìm VS.CDNM
Bài gi i:
Ta có: SCDNM  SABCD  SAMN  SBNC

1 a a 1 a 5a 2
 a 2  . .  a. 
2 2 2 2 2
8
1
1 5a 2
5 3a 3
 VS .CDNM  .SCDNM .SH  .
.a 3 
3
3 8
24

Bài 11. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông t i A và D, AB = AD = 2a; CD = a. Góc gi a
(SBC) và (ABCD) b ng 600. G i I là trung đi m c a AD. Gi s hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng
vuông góc v i (ABCD). Tìm th tích hình chóp SABCD.
Bài gi i:
T I k IH  CD .mà SI vuông góc v i ABCD nên

SI  CD  CD   SIH   SH  CD -V y góc gi a 2 m t
ph ng (SBC) và (ABCD) là góc SHI  600

SABCD 
-

CB 

 AB  DC  AD  3a 2

 2a 

2

2

 a2  a 5

Có CI 2  CH .CB, mà CI 2  DI 2  DC 2  2a 2
2a
4a 2
6
2
2
2
 CH 
 IH  IC  CH  2a 
a
5
5
5

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

 SI  IH .tan(SHI )  IH .tan 600  a

ng)

Hình h c không gian

6
18
3 10
a
. 3a
5
5
5

1
3 10 3a 3 10
 VS. ABCD  .3a 2 .a

3
5
5

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 8 -