DABTTL the tich khoi chop phan 06

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 06)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 06) thu c khóa h c Luy n

thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
h c tr

ng) t i website Hocmai.vn.

s d ng hi u qu , B n c n

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

D NG CHÓP
U
Bài 1. Cho hình chóp đ u S.ABCD, O là tâm đáy, M là trung đi m c a SO, kho ng cách t M đ n m t
ph ng (SBC) b ng b, AB = a. Tính th tích hình chóp S.ABCD

S
Gi i:
1
B c 1: Xác đ nh d(M, (SBC)  OH
2
I
B c 2: Ph i tính SO
B c 3: Tính SO thì d a vào tam giác vuông SOE và c n tính OE
M
1
OE  AB
H
2
A
B
Xét tam giác SOE vuông t i O, OH là chi u cao
1
1
1


 SO  V
2
2
OH
OE
SO 2
O

E

D

Bài 2.
C
Cho hình chóp đ u S.ABC, đáy b ng a, góc gi a hai m t ph ng (SBC ),( ABC )   . Tính V
B

Gi i:
c 1: Xác đ nh góc gi a hai m t ph ng (SBC ),( ABC )  SEA  

c 2: Ph i tính SH
c 3: Tính SH thì d a vào tam giác vuông SHE
1
Trong tam giác SHE c n tính HE, HE  AE
3
AE là chi u cao trong tam giác đ u

S

B
B

C

A

a 3
2
Có AE suy ra HE suy ra SH suy ra V.

AE 

H
E

B

Bài 3. Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC) b ng 2. V i giá tr nào
c a góc  gi a m t bên và m t đáy c a chóp thì th tích c a chóp nh nh t?
Gi i:
G i M, N là trung đi m BC, AD, g i H là hình chi u vuông góc t N xu ng SM. Ta có:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

SMN  ,d  A;  SBC    d  N; SBC    NH  2
NH
2
4


 SABCD  MN 2 
sin  sin 
sin 2 
tan 
1

SI  MI.tan  
sin  cos
1
4
1
4
 VSABCD   2 

2
3 sin  cos 3.sin .cos
sin 2   sin 2   2cos 2 2
2
2
2

sin .sin .2cos  
3
3
1
 sin 2 .cos 
3
VSABCD min  sin 2 .cos max
 MN 

 sin 2   2cos 2  cos 

S

H

C

D
N
M

I
A

B

1
3

Bài 4. Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, O là giao đi m c a AC và BD. Bi t m t bên c a hình chóp là
tam giác đ u và kh ang cách t O đ n m t bên là d. Tính th tích kh i chóp đã cho.
Gi i:
G i M là trung đi m CD, k đ ng cao OH c a tam giác SOM
S
 OH  (SCD)  OH  d
G i CM = x. Khi đó: OM = x , SM = x 3
SO = SM 2  x2  3x2  x2  x 2
Ta có: SM.OH = SO.OM hay

H

A

D

d
M

O

d 6
x
x 3..d  x 2 .x  x 
 CD  d 6 , SO  d 3
B
C
2
1
1
V  CD 2 .SO  6d 2 .d 3  2d 3 3
3
3
Bài 5. Cho t di n ABCD có t t c các c nh đ u b ng a. G i P, Q l n l t là trung đi m c a AB và CD
R là m t đi m trên c nh BC sao cho BR = 2RC . M t ph ng ( PQR) c t AD t i S . Tính th tích kh i t
di n SBCD theo a.
A
Gi i:
A

RQ c t BD t i K, g i I là trung đi m c a BR =>DI//RQ
=> ID là đ ng trung bình c a tam giác BRK =>D là trung đi m c a BK. P
AS 2
C
 .
T đó suy ra S là tr ng tâm tam giác ABK 
S
R
AD 3
A
I
B
V
1
AS 2
  VSBCD  VABCD
Ta có ABSC 
Q
A
3
VABCD AD 3

mà VABCD 

a3 3
a3 3
 VSBCD 
12
36

D
K
A

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 6. Cho hình chóp t giác đ u SABCD có c nh đáy b ng a, m t bên t o v i đáy góc 600 . M t ph ng
qua CD và vuông góc v i m t bên (SAB) c t SA, SB l n l t t i M và N. Tìm th tích hình chóp
S.CDMN
Gi i:
S

G i O là tâm hình vuông ABCD, thì SO là đ

ng cao c a

chóp đ u SABCD

M

N

K SH  AB thì H là trung đi m AB do SAB cân,

P
A

D

G i I là trung đi m CD, k IP  SH

O
I

H

B

Ta có:
 AB  SH
 AB  ( SHI )  IP  AB

 AB  SO

C

Xét PHI vuông t i P, có HP  HI cos 600 

a
2

OH
a
Xét OSH vuông t i O, có SH 
cos60o
 P là trung đi m c a SH do đó M, N l n l
M t khác:
SO  OH tan 600 

VS . ABD  VS .BCD

  60o
Khi đó SHO

a 3
2

SABD

Do đó IP  (SAB)  (CDP )  (SAB)
nl

đ

i 2 đi

t là trung đi m c a SA, SB


1
a2
 . AB. AD 
2
2



1
1 a 3 a2 a3 3
 .SO.SABD  .
. 
3
3 2 2
12

Ta có:
VS.MND SM SN 1
1
.

  VS.MND  VS . ABD
4
VS . ABD
SA SB 4
VS . NCD 1
1
  VS. NCD  VS .BCD
2

VS. BCD 2

Th tích kh i chóp S.MNCD là:
3
a3 3
VS.MNCD  VS.MND  VS. NCD  VS. ABD 
(đvtt)\
4
16

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 7. Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng 1. G i M, N là các đi m l n l
AC sao cho  DMN    ABC  .

t di đ ng trên các c nh AB,

t AM = x, AN = y. Tính th tích t di n DAMN theo x và y. Ch ng

minh r ng: x  y  3xy.
Gi i:
D ng DH  MN  H
Do  DMN    ABC   DH   ABC  mà D. ABC là
D

t di n đ u nên H là tâm tam giác đ u ABC .
2

 3
6
Trong tam giác vuông DHA: DH  DA  AH  1  
 
3
 3 
2

2

2

B

C
N
H

Di n tích tam giác AMN là SAMN 

1
3
AM . AN.sin 600 
xy
2
4

M
A

1
2
xy
Th tích t di n D. AMN là V  SAMN .DH 
3
12

Ta có: SAMN  SAMH  SAMH 

1
1
1
xy.sin 600  x. AH .sin 300  y. AH .sin 300
2
2
2

 x  y  3xy.
Bài 8. Trong m t ph ng (P) cho tam giác đ u ABC c nh a, I là là trung đi m c a BC và D là đi m đ i

a 6
. G i H là
2
hình chi u c a I trên SA. Ch ng minh r ng (SAB)  ( SAC ) và tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC.

x ng c a A qua I. Trên đ

ng th ng vuông góc v i (P) t i D l y m t đi m S sao cho SD 

Gi i:
Ch ng minh: (SAB)  ( SAC ) .
Ta có:

BC  AD


  BC  ( SAD )  BC  SA
BC  SD (do SD  ( ABC )) 

Nh v y:

SA  BC 
 
  SA  ( HBC )  SA  HB và SA  HC  [(SAB),(SAC )]  BHC .
SA  IH 

Ta có: AHI   ADS 

a 6
a 3

HI AI

v i: SD 
, AI 
2
2
SD AS

AS  AD 2  SD 2  (a 3)2  (

Hocmai.vn – Ngôi tr

2
AI .DS
a 3 a 6
a
a 6 2 3a 2
 HI 
 SD 

.
.
) 
2
2 3a 2 2
AS
2
2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Tam giác HBC có IH  IB  IC 

ng)

Hình h c không gian

a
  900
 HBC vuông t i H  BHC
2

V y: (SAB)  ( SAC ) (đpcm)
Tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC
Ta có: VH . ABC  VS. ABC  VS.HBC
1
1 a 6 a2 3 a3 2
.
VS. ABC  SD.SABC  .

(đvtt).
3
3 2

4
8
S

SH là đ

ng cao c a hình chóp S.HBC  VS.HBC

Tam giác IHC có IH  IC 

1
 SH .SBCH
3
H

a
a 2
, HC 
 IHC vuông cân t i I.
2
2
A

C

a 2
 IHB vuông cân t i I  HB  HC 
2
 SBHC

I
D

B

1
1 a 2 2 a2
 HB.HC  .(
) 
(đvdt)
2
2
2
4

a 2 2
a2 a 2
2
)  a 

Tam giác AHB vuông t i H  AH  BA  BH  a  (
2
2
2
2

2

2

1
a2 a3 2
3a 2 a 2 2a 2
SH  SA  AH 


 a 2  VS . HBC  .a 2. 
(đvtt).
3
4
12
2
2
2 2

V y: VH . ABC  VS . ABC  VS .HBC 

a3 2 a3 2 a3 2


(đvtt).
8
12
24

Bài 9. (bt t gi i) Cho kh i chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a. G i G là tr ng tâm c a tam
giác SAC và
kho ng cách t G đ n m t bên (SCD) b ng

a 3

. Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
6

a3 3
.
6
Bài 10. (bt t gi i) Cho t di n đ u ABCD c nh a. G i H là hình chi u vuông góc c a A xu ng m t
ph ng (BCD) và O là trung đi m c a AH. Tính th tích V c a t di n theo a.

áp s : VS . ABCD 

áp s : VABCD 

a3 2
12

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn
- Trang | 5 -