DABTTL the tich khoi chop phan 01 02

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp ( Ph n 02) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n
h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

(Tài li u dùng chung cho P1+ P2)
Các bƠi đ

c tô mƠu đ là các bài t p

m c đ nâng cao

Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i đáy hình chóp. Cho
AB = a, SA = a 2 . G i H và K l n l t là hình chi u vuông gãc c a A lên SB, SD. Ch ng minh SC 
(AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK.
Gi i:
*) BC vuông góc v i (SAB)
 BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SB
 AH vuông góc v i (SBC)  AH vuông góc SC (1)
T ng t AK vuông góc SC (2)
(1) và (2)  SC vuông góc v i (AHK )

2
2
2
2
*) SB  AB  SA  3a

 SB  a 3  AH.SB  SA.AB  AH 

a 6
3

2a 3
2a 3
 SK 
3
3
(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùng vuông t i A)
 SH 

HK SH
2a 2

 HK 
BD SB
3
+ K OE// SC c t mf (AHK) t i E  OE  ( AHK)(doSC  ( AHK))

+ Ta có HK song song v i BD nên
suy ra OE là đ

ng cao c a hình chóp OAHK

+ G i I là giao đi m c a AE v i SC, SA  AC  a 2
 Tam giác SAC cân t i A
Mà AI vuông góc v i SC (do SC vuông góc (AHK))=>SI=CI hay I là trung đi m c a SC
Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
+ Có ta giác AHK cân t i A (do 2 tam giác vuông SAB và SAD b ng nhau)
+ G i AM là đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có
4a 2
2a
AM  AH  HM 
 AM=
9
3
2

2

2

1
1a 1
a3 2
VOAHK  OE.SAHK 
. HK. AM 
3
32 2
27

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA= a . G i M, N
l n l t là trung đi m c a SB và SD; I là giao đi m c a SC và m t ph ng (AMN). Ch ng minh SC vuông
góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.
Gi i:
 AM  BC,( BC  SA, BC  AB)
Ta có 
 AM  SC (1)
 AM  SB,(SA  AB)
T ng t ta có AN  SC (2)
T (1) và (2) suy ra
AI  SC
V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi đó IH vuông góc v i (AMB)
1
Suy ra VABMI  SABM .IH
3
Ta có

SABM

a2

4

S

H
I

N
2

2

IH
SI SI .SC
SA
a
1
1
1


 2
 2
  IH  BC  a
2

2
2
BC SC
SC
SA  AC
a  2a
3
3
3

V y

VABMI 

M

B

A

1 a2 a a3

3 4 3 36
D
C

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a . C nh SA vuông
góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600 .Trên c nh SA l y đi m M sao
cho AM =

a 3
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N .Tính th tích kh i chóp S.BCNM
3

Gi i:
Tính th tích hình chóp SBCMN.
( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD

 BC  AB
Ta có : 
 BC  BM .
 BC  SA
T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,

ng cao

MN SM
MN



2a
AD
SA

a 3
3 2
3
a 3

a 3

2a
4a
. BM =
3
3
Di n tích hình thang BCMN là :

Suy ra MN =

4a 

2a 

 2a 10a 2
BC  MN
3

BM  
S =

2
2  3 3 3



H AH  BM . Ta có SH  BM và BC  (SAB)  BC  SH.
V y SH  ( BCNM)  SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM

AB AM
1
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
=
.

SB MS
2
V y BM là phân giác c a góc SBA  SBH  300  SH = SB.sin300 = a
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

10 3a 3
1
SH .(dtBCNM ) =
27
3
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy. Góc gi a m t

ph ng (SBC) và (SCD) b ng 600. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD.
Gi i:
G i M là hình chi u vuông góc c a B lên SC. Ch ng minh
đ c góc DMB = 1200 và  DMB cân t i M
Th t v y:
- Do BD vuông góc v i (SAC)=> BD vuông góc SC
- Mà MB vuông góc v i SC (theo cách d ng)
 
SBC , SDC   
MB, DM (chú ý góc gi a 2 đ ng th ng là góc nh n)

G i V là th tích chóp SBCNM ta có V =

Có tam giác DMB cân t i M đi u này d th y (do SDC  SBC )
  600
Gi s góc gi a 2 đ ng th ng DM, MB= DMB

S

=>Tam giác DMB là tam giác đ u => đi u này vô lý do DB>BM
  1200
=> DMB
Tính đ

c: DM2 =

2 2
a
3

M

 SCD vuông t i D và DM là đ

ng cao nên

1
1
1
=
+
2
2
DM DS DC2

Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông t i A suy ra SA = a.
1
V y th tích S.ABCD b ng a3
3

A

D

B

C

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). áy là tam giác ABC cân t i
A, đ dài trung tuy n AD là a , c nh bên SB t o v i đáy m t góc  và t o v i m t (SAD) góc  . Tìm th

tích hình chóp S.ABC
Gi i:
1
Th tích hình chóp S.ABC là: V  .SAS
. ABC
3
Tam giác ABC cân đ nh A nên trung tuy n AD
c ng là đ ng cao c a tam giác.
Theo gi thi t:

SA  mp  ABC   SBA   SB, mp  ABC   
BD  mp  SAD  BSD  
t BD = x suy ra: AB  a 2  x2  SA  a 2  x2 .tan 
BD
SA
SB 

sin  sin 
 x sin   a 2  x2 tan  sin 
 x2 
Hocmai.vn – Ngôi tr

a 2 sin 2 
cos 2  sin 2 

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

1
a 3 sin  .sin 
2
2
Do đó: V  . a  x .tan  .a .x 
3
cos 2  sin 2 

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SC  (ABC) và ABC vuông t i B. Bi t r ng AB = a, AC = a 3  a  0 
và góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SAC) b ng  v i tan   13 .
6
Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
Gi i:
G i H, K là hình chi u c a C lên SA, SB.
Ta ch ng minh đ c
CK  (SAB), SA  (CHK) suy ra CHK vuông t i K
và SA  KH.
2
Do đó =CHK. T tan   13  sin   13  CK 2  13
6
19
19

CH
t SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC

có
T

1

1  1  1  CH 2  3a 2 x2
CH 2 CA2 CS 2
3a 2  x2
2 2
ng t trong tam giác vuông SAC có CK 2  2a2 x 2
2a  x

2
2
1  2  3a  x   13  x  6a . Suy ra VSABC  1 SC.SABC  2a 3
3
3  2a 2  x2  19
Bài 7. Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) đ th tích kh i chóp l n nh t .
S
Gi i:
G i  là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC) .

 ; BC = AC = a.cos  ; SA = a.sin 
Ta có :   SCA
1
1

1
1
V y VSABC  .SABC .SA  .AC .BC .SA  a 3sin .cos 2  a 3sin  1 sin 2  
3
6
6
6
3
Xét hàm s : f(x) = x – x trên kho ng ( 0; 1)
B
A
1
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . f '  x  0  x  
3
C
T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c và có m t đi m c c tr là đi m c c đ i, nên
t i đó hàm

2
 1 
s đ t GTLN hay Max f  x  f 

x 0;1
 3 3 3
a3
1
1

, đ t đ c khi sin  =
hay   arc sin

(v i0<  )
2
9 3
3
3
Bài 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  (ABCD), SA = a, đi m M  AD,
a
E  CD, AM = CE = . G i N là trung đi m c a BM, K là giao đi m c a AN và BC. Tính th tích kh i
4
M
A
chóp SADK theo a và ch ng minh r ng: (SKD)  (SAE).
Gi i
N
1
1
+ VSADK = SADK .SA  SADK .a
3
3

V y MaxVSABC =

B

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

K

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian
S

Mà :
SADK  SABCD  SABK  SDCK
1
CK.CD
2
1
1 3a
= a2 - AB. AM - . .a
2
2 4

= a2 - SABM -

3a 2 a 2
1 a
= .
= a - . .a 2
8

2 4
2

M

A

a3
1 a2
 VSADK= . .a  .
3 2
6

D

N

E
B

C

K

+ ( L u ý: Vì AM//BK nên theo h qu c a đ nh lý talet
NM NA AM
ta có
.



NB NK BK
Mà N là trung đi m c a BM NM=NB => NA=NK, AM=BK).
+ Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE  CDK .
M t khác: DAE  AED  900  CDK  AED  900  AE  DK.
 DK  AE
Ta có: 
 DK  (SAE ) , mà DK  (SKD) => (SAE)  (SKD).
 DK  SA
Bài 9. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ l n
l t là trung đi m c a SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính th tích kh i chóp
S’A’B’C’D’.
S
Gi i
- (A’B’C’D’)// (ABCD).
- SA  ( ABCD)  SA  ( A' B ' C ' D ')
C'
D'
- SA/ / SA  S ' A'  ( A' B ' C ' D ')
1
VS’A’B’C’D’= .SA' B'C ' D ' .S ' A' .
3
Mà:
1
a
+ SA’= SA=
2
2
+ A’B’C’D’ là hình vuông.

B'

A'

A
B

S'
D
C

a a a2
1 a 2 a a3
 SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’= . =
=> VS’A’B’C’D’ = . . =
2 2 4
3 4 2 24

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -