DABTTL cuc tri ham bac ba phan p1

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC BÀI TOÁN C

ng)

Hàm s

B N V C C TR HÀM B C BA (PH N 01)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các bài toán c b n v c c tr hàm b c ba (Ph n 01)
s d ng
thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
hi u qu , B n c n h c tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ
Bài 1. Cho hàm s

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

y  x3  3mx  3m  1 (1) (m là tham s )

Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i, c c ti u, đ ng th i chúng cách đ u đ
trình x  y  0

ng th ng có ph

ng

Gi i:
Ta có: y '  3x2  3m, y '  0  3x2  3m  0  x2  m
Hàm s có c c đ i và c c ti u khi và ch khi y’ có hai nghi m phân bi t và y’ đ i d u qua 2 nghi m
đó, suy ra đi u ki n là m>0 (*). Các đi m c c tr c a hàm s là:
A( m, 2m m  3m  1), B( m, 2m m  3m  1)

G i  là đ

ng th ng có ph

d ( A, )  d ( B; ) 

ng trình: x  y  0 . Ta có:

 m  2m m  3m  1
2



m  2m m  3m  1
2

 m  2m m  3m  1  m  2m m  3m  1

 m  2m m  3m  1   m  2m m  3m  1
 6m  2  0


 2 m  4m m  0
1
Do m>0 nên ch có m  tho mãn
3
1
V y m  là giá tr c n tìm.
3
Nh n xét: Bài toán trên còn có cách gi i khác d a vào tính ch t hình h c sau đây:
2 đi m A và B cách đ u đ ng th ng  ch x y ra 2 tr ng h p sau:
Th nh t  song song v i đ ng th ng AB
Th hai  đi qua trung đi m I c a đo n th ng AB
Ta tìm đ c ph ng trình đ ng th ng đi qua các đi m c c tr A và B là: y  2mx  3m  1
+ N u AB / /  và  : y  x ta có:
1

m   2
 2 m  1
1

 m   không tho mãn đi u ki n (*)

2
3m  1  0
m  1

3

+ Trung đi m c a AB là I  0; 3m 1
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

I  nên ta có: 3m  1  0  m 

ng)

Hàm s

1
tho mãn
3

1
là giá tr c n tìm.
3
Bài 2. Cho hàm s y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + 1
a. Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 0.
b. CMR: V i m i m, hàm s luôn có c c đ i, c c ti u và kho ng cách gi a hai đi m c c đ i, c c ti u
là không đ i.
Gi i
2
b. y’ = 6x – 6(2m+1)x + 6m(m + 1)
- Xét ph ng trình: y’ = 0  x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0

Ta có:  = (2m + 1)2 – 4(m2 + m) = 1 > 0 => y’ = 0 luôn có 2 nghi m.
=> Hàm s luôn có c c đ i, c c ti u v i m i m.
x  m
- y’ = 0  
 x  m 1
=> Các đi m c c tr là A(m; 2m3+3m2 +1), B(m+1; 2m3+3m)
V y m

 AB  2 không đ i.
Bài 3. Cho hàm s : y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - m3 + m (1)
a. Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 1.
b. Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c tr đ ng th i kho ng cách t đi m c c đ i đ n g c O b ng
2 l n kho ng cách t đi m c c ti u đ n g c O.

Gi i
b. y’ = 3x – 6mx + 3(m – 1)
hàm s có c c tr thì ph ng trình y’ = 0  x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t.
  '  0  1  0, m
2

2

- i m c c đ i c a đ th là A(m – 1; 2 – 2m), đi m c c ti u là B(m + 1; 2 – 2m)
Ta có: OA  2.OB  m2  6m  1  0  m  3  2 2
áp s : m  3  2 2
Bài 4. Cho hàm s y = x3 – 3x2 + (2 – m)x + m2
a. Kh o sát và v đ th khi m = 2.
b. Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u và trung đi m c a đo n th ng n i 2 đi m c c đ i, c c
ti u đó n m trên đ ng th ng d: 2x – y + 1 = 0
Gi i

2
b. y’ = 3x – 6x + 2 – m
hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình y’ = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t.
  '  0  3  3m  0  m  1 (*)
- G i các đi m c c đ i, c c ti u là A(x1, y1), B(x2, y2) và I là trung đi m c a AB. Ta có x1, x2 là
nghi m c a ph ng trình: 3x2 – 6x + 2 – m = 0
x x
2m
, do đó xI  1 2  1
nên: x1  x2  2; x1.x2 
2
3
3
2
2
3
2
y1  x1  3x1  (2  m) x1  m ; y2  x2  3x2  (2  m) x2  m2
 yI 

y1  y2
 m2  m
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Nh v y I(1; m2 – m)


1  13
m 
2
 I  d : 2 x  y  1  0  m2  m  3  0  

1  13
m 

2

(Lo i, vì không th a mãn (*))

1  13
2
Bài 5. Cho hàm s : y = x3 - 3mx2 + 2 (1)
a. Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 1.
b. Tìm m đ đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr c a đ ng th ng hàm s (1) t o v i các tr c t a đ m t
tam giác có di n tích b ng 4.

Gi i
b. y’= 3x2 – 6mx
đ th có 2 đi m c c tr thì ph ng trình y’ = 0 3x2 – 6mx = 0 ph i có 2 ngi m phân bi t.

áp s : m 

  '  9m2  0  m  0
x  0
Khi đó: y '  0  
 x  2m
=> Các đi m c c tr c a đ th hàm s (1) là: A(0; 2); B(2m, 2 – 4m3)
x
y2
- Ph ng trình đ ng th ng đi qua A, B là:

 2m2 x  y  2  0
3
2m 4m
 1

AB c t Ox t i C  2 ; 0  , c t Oy t i A(0; 2)
m

1
1
1
1
 SAOC  4  OAOC
.
 4  2  4  m2   m  

2
m
4
2
1
áp s : m  
2
Bài 6. Cho hàm s : y = x3 - 3x2 + 3mx + 1 - m (Cm)
a. Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 0.
b. Tìm m đ hàm s có c c tr , đ ng th i đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr t o v i đ ng th ng
 : 3x + y – 8 = 0 m t góc 45o.
Gi i
b. y’ = 3x2 - 6x + 3m
hàm s có c c tr thì ph ng trình y’ = 0  x2 - 2x + m = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t.
  ’ = 1 – m > 0  m < 1 (1)
x  1 1 m
- Khi m < 1 thì y’ = 0  
 x  1  1  m
=> Các đi m c c tr là:
A(1  1  m; 2m  2 1  m  2m 1  m  1); B(1  1  m; 4m  2 1  m  2m 1  m  5)

(s d ng tính ch t phép d c a phép chia y:y’ là đ ng th ng qua 2 c c tr (c n CM khi dùng tính
ch t này))
=> Ph ng trình đ ng th ng AB là: y = 2(m – 1)x + 1


=> d có vecto pháp tuy n n  2m 2; 1 ;  có vecto pháp tuy n n ' 3;1
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

- Góc gi a hai đ

ng)

Hàm s

ng th ng AB và  b ng 45o khi và ch khi:

cos(, AB)  cos45o
 
n.n '
6m  7
2
2
   


2
2
n . n'
4(m  1)2  12 . 32  12
th a mãn (1))

2
 m (Không

 4m  11m  6  0 
m  3
4

3
áp s : m  .
4
Bài 7. Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1)
2

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1).
2. Tìm đi m M thu c đ

ng th ng y=3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai đi m c c tr nh nh t.
Gi i.

2. G i t a đ đi m c c đ i là A(0;2), đi m c c ti u B(2;-2)
Xét bi u th c P=3x-y-2
Thay t a đ đi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a đ đi m B(2;-2)=>P=6>0
V y 2 đi m c c đ i và c c ti u n m v hai phía c a đ
đi m A, M, B th ng hàng
Ph

ng trình đ

ng th ng y=3x-2, đ MA+MB nh nh t => 3

ng th ng AB: y= - 2x+2

T a đ đi m M là nghi m c a h :
4

x

 y  3x  2

4 2
5

=> M  ; 

5 5
 y  2 x  2
y  2

5

Bài 8. Cho hàm s

y  x3  3(m  1) x 2  9 x  m , v i m là tham s th c.

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đó cho ng v i m  1 .
2. Xác đ nh m đ hàm s đó cho đ t c c tr t i x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .
Gi i.
2. Ta có y'  3 x 2  6(m  1) x  9.
+) Hàm s đ t c c đ i, c c ti u t i x1 , x2

 ph

ng trình y'  0 có hai nghi m pb là x1 , x2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

 Pt x 2  2(m  1) x  3  0 có hai nghi m phân bi t là x1 , x2 .
m  1  3
 '  (m  1) 2  3  0  
m  1  3

(1)

+) Theo đ nh lý Viet ta có x1  x2  2(m  1); x1 x2  3. Khi đó

x1  x2  2  x1  x2 2  4 x1 x2  4  4m  12  12  4
 (m  1) 2  4  3  m  1

( 2)

T (1) và (2) suy ra giá tr c a m là  3  m  1  3 và  1  3  m  1.
Bài 9. Cho hàm s y = - x3 + 3mx2 -3m – 1.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 1.
2. Tìm các giá tr c a m đ hàm s có c c đ i, c c ti u. V i giá tr nào c a m thì đ th hàm s có
đi m c c đ i, đi m c c ti u đ i x ng v i nhau qua đ ng th ng d: x + 8y – 74 = 0.
Gi i.
2. Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0  x = 0 v x = 2m.
Hàm s có c c đ i , c c ti u  ph

ng trình y’ = 0 có hai nghi m phân bi t  m  0.

Hai đi m c c tr là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)
Trung đi m I c a đo n th ng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)
Vect


AB  (2m; 4m3 ) ; M t vect ch ph

ng c a đ


ng th ng d là u  (8; 1) .

Hai đi m c c đ i , c c ti u A và B đ i x ng v i nhau qua đ

I  d
ng th ng d  

 AB  d

m  8(2m3  3m  1)  74  0
m=2
   
 AB.u  0

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -