DABTTL cuc tri ham bac ba phan p2

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC BÀI TOÁN C

ng)

Hàm s

B N V C C TR HÀM B C BA (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các bài toán c b n v c c tr hàm b c ba(Ph n 02)
thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng
hi u qu , B n c n h c tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1. Cho: y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + 2 (Cm)
a. Kh o sát v đ th khi m = 2.
b. Tìm m đ đ th hàm s (Cm) có đi m c c đ i và c c ti u đ ng th i hoành đ các đi m c c đ i, c c tiêu
đ u có hoành đ d ng.
Gi i

b. y’ = 3x2 + 2(1 – 2m)x + 2 – m
(Cm) có c c đ i, c c ti u thì y’ = 3x2 + 2(1 – 2m)x + 2 – m = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t.
5
  '  4m2  m  5  0  m  1; m  (*)
4
G i hoành đ các đi m c c tr là x1, x2 (x1, x2 là nghi m c a ph ng trình: y’ = 0)
x1, x2 d

 2(2m  1)
1
0


 x1  x2  0
1
m 
3


ng ta ph i có: 
2   m 2
2
 x1 x2  0
2  m  0
 m  2
 3

5
 m 2
4

Bài 2. Cho y = mx3 – 3mx2 + 2(m - 1)x - 1 – m
a. Kh o sát và v đ th khi m = 1.
b. Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u. Ch ng minh r ng: Hai đi m c c tr đó c a đ th luôn cách đ u
đ ng th ng x = 1.
Gi i
b. y’ = 3mx2 – 6mx + 2(m - 1)
đ th hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình: y’ = 3mx2 – 6mx + 2(m - 1) = 0 ph i có 2 nghi m

K t h p v i (*) =>

m  0
phân bi t  2
 m  2  m  0
3m  6m  0
- G i hoành đ 2 đi m c c tr là x1, x2 v i x1, x2 là hai nghi m c a ph
Các đi m c c tr cách đ u đ ng th ng x = 1  |x1 - 1| = |x2 -1|

ng trình y’ = 0.

 x1  x2
 x1  1  x2  1


 x1  x2  2  6m  2  2  2 (Luôn đúng)
1
(
1)
x
x





2
 1
3m

V y các đi m c c tr c a đ th luôn cách đ u đ ng th ng x = 1.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Bài 3. Cho y = x3 – 3(m+1)x2 + (3m2 + 6m)x + 1
a. Kh o sát v đ th khi m = 1.
b. Tìm m đ đ th hàm s có đi m c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy.
Gi i
b. y’ = 3x2 – 6(m + 1)x + 3m2 + 6m
hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình y’ = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t.

 x2 – 2(m+1)x + m2 + 2m = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t.
  '  (m  1) 2  (m2  2m)  1  0, m
G i x1, x2 là hoành đ các đi m c c tr (x1, x2 là nghi m c a ph ng trình (*))
c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy thì x1, x2 ph i trái d u  x1x2 < 0
c
 0  m2  2m  0  2  m  0
a
áp s : 2  m  0
Bài 4. Cho: y = (m2 + 1)x3 – 3(m2 + 1)x
a. Kh o sát v đ th khi m = 0.
b. Tìm m đ tung đ đi m c c ti u c a đ th hàm s đ t giá tr nh nh t.
Gi i
b. y’ = 3(m2 + 1)x2 – 3(m2 + 1)  3(m2  1)( x2  1)
y’ = 0  x  1
BBT
x
y'
y

-
+

-1
0

-

1
0

+
+

2(m2  1)

2(m2  1)

yCD =2  m2  1  2
=>Min yC =2 (d u = x y ra) khi m = 0.
Bài 5. Cho: y = x3 – 3x2 + 4m (Cm)
a. Kh o sát và v đ th khi m = 0.
b. CMR: (Cm) luôn có c c đ i, c c ti u. Tìm m đ m t trong hai đi m c c tr này thu c Ox.
Gi i
b. y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)
y’ = 0 3x(x – 2) = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x = 0, x = 2
Ch ng t v i m i m (Cm) luôn có c c đ i, c c ti u.
Các đi m c c tr là A(0;4m), B(2;4m – 4)
m t trong hai đi m c c tr này thu c Ox thì ta ph i có:
 4m  0
m  0
 4m  4  0  m  1 .


Bài 6. Cho y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 2m + 1)x + m2 + 2
a. Kh o sát và v đ th khi m = 0.
1 1 1
  ( x1  x2 )
b. Tìm m đ đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 sao cho:
x1 x2 3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Gi i
b. y’ = 3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 2m + 1
đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 thì y’ = 0 ph i có 2 nghi m phân bi t
  '  (m  1) 2  0  m  1 (*)

- Ta có:

1 1 1
  ( x1  x2 )
x1 x2 3

  4(1  m)
0
  3
  x1  x2  0


2
3( x2  x1 )  ( x1  x2 ) x1 x2
( x1  x2 )( x1 x2  3)  0

 (m  1)


   x1 x2  0   
0
 3
 x1 x2  0 ( x1  0; x2  0)
 x1 x2  0
x x  3

 1 2
 (m  1) 2
3
 3
m  1
  m  4
 m  2

m = 1 b lo i vì không th a mãn (*)
áp s : m = 4; m = -2
Bài 7. Cho: y = mx3 – (2m - 1)x2 – x + 1 (Cm)
a. Kh o sát và v đ th khi m = 1.
b. Tìm m đ hàm s (Cm) đ t c c đ i t i x1, đ t c c ti u t i x2 và x2  x1 

16
9

Gi i
b. y’ = 3mx2 - 2(2m - 1)x – 1
hàm s đ t c c đ i t i x1 , c c ti u t i x2 (có c c đ i, c c ti u) thì ph

ng trình y’ = 0 ph i có 2

 '  4m2  m  1  0
nghi m phân bi t  
 m 0
m  0
16
+) x2  x1  => x2 > x1 và y’ đ i d u t + sang – khi qua x1, t - sang + khi qua x2 nên y’ là tam th c b c
9
hai v i h s a = 3m > 0  m > 0
2m  1  4m2  m  1
2m  1  4m2  m  1
; x1 
3m
3m
16
8m
 x2  x1   4m2  m  1 
9
3

Ta có: x2 

Vì m > 0 nên bình ph

áp s : m 

3

m

7
ng 2 v ta có: 4(4m2 – m + 1) = 64m2  
 m   3 (Lo i)

4

3
7

1
1
Bài 8. Cho hàm s : y  x3  mx2  (m2  3) x
3
2
a. Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 1.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

b. Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u đ ng th i xC , xCT là đ dài các c nh góc vuông c a m t tam giác
vuông có đ dài c nh huy n b ng

5
2

Gi i
b. y’ = x2 – mx + m2 – 3
- Hàm s có c c đ i, c c ti u  ph

ng trình y’ = 0  x2 – mx + m2 – 3 = 0 có hai nghi m phân bi t.

   12  3m2  0  2  m  2 (*)
-

xC , xCT là đ dài các c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có c nh huy n b ng

5
ta ph i có:
2

m  0, m2  3  0
 xCD  0; xCT  0  xCD .xCT  0, xCD  xCT  0




 2
5 
5 2
2
5
2

xCD  xCT
m  2(m2  3) 
 xCD  xCT   2 xCD .xCT 





2
2

2
c
b
(Theo Viet ta có: xCD  xCT    m và xCD .xCT   m2  3 )
a
a


m  0


7
=> Th a mãn (*)
 m2  3  m 
2

7
m2 

2
7
2
Bài 9. ( HKA 2002) Cho hàm s : y = -x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1)
a. Kh o sát và v đ th khi m = 1.
b. Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr c a đ th hàm s (1).
Gi i
b. y’ = -3x2 + 6mx + 3(1 – m2)
đ th hàm s (1) có 2 đi m c c tr (có c c đ i, c c ti u) thì ph ng trình: y’ = 0 ph i có 2 nghi m
phân bi t  x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 có 2 nghi m phân bi t.
  '  0  1  0, m

áp s : m 

 x  m 1
=> Các đi m c c tr là A(m – 1; - m2 + 3m – 2), B(m + 1; - m2 + 3m + 2)
- y'  0  
 x  m 1
=> Ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr A, B là:
x  m  1 y  m2  3m  2

 y  2 x  m2  m

2
4
 x3
 mx2  (5m  4) x  m (1)
3
a. Kh o sát và v đ th hàm s (1) khi m = 0.
b. Tìm m đ đ th hàm s (1) có đi m c c ti u và đi m c c ti u đó có hoành đ d
Gi i
b. y’ = -x2 + 2mx + 5m + 4
Hàm s (1) có c c tr khi y’ = -x2 + 2mx + 5m + 4 = 0 có 2 nghi m phân bi t.

Bài 10. Cho hàm s : y 

ng.

  '  m2  5m  4  0  m  4  m  1
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Khi m < -4, m > -1 thì y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 < x2 nên ta có b ng bi n thiên:
x
x1
x2
-
+

y'
y

-

0

+

+

0

-

y2

-

y1

Ta th y (x1, y1) là đi m c c ti u. Do x1 < x2 nên đ th hàm s (1) có đi m c c ti u và đi m c c ti u đó có

hoành đ d ng khi và ch khi ph ng trình y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t 0 < x1 < x2
  '  m2  5m  4  0

  S  2m  0
=> H này vô nghi m nên không t n t i m th a mãn yêu c u bài ra.
 P  5m  4  0

Bài 11. Cho: y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (Cm)
a. Kh o sát và v đ th khi m = 2.
b. Tìm m đ (Cm) có c c tr đ ng th i hoành đ đi m c c ti u nh h n 1.
Gi i
5
7
b. áp s : m  1   m 
4
5
3
Bài 12. Cho y = x – 3(m – 1)x2 + 3m(m - 2)x + 1
a. Kh o sát và v đ th khi m = 0.
b. CMR: V i m i m hàm s luôn có c c đ i, c c ti u. Tìm m đ các đi m c c đ i, c c ti u đ i x ng nhau
1
qua đ ng th ng: y  x  1 .
2
Gi i

m  1
áp s : 
 m  2  14

2

Bài 13. Cho: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – 1
a. Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 2.
b. Tìm m đ đi m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s đ i x ng nhau qua đ
Gi i
b. Các đi m c c tr là A(-1; 6 – 3m); B(2 – m; m3 – 9m2 + 24m – 21)

 AB  U d
A, B đ i x ng v i nhau qua d: y = x  
 I  d (I là trung đi m AB)
m=2
2
Bài 14. Cho hàm s : f ( x)  x3  (cos a  3sin a ) x2  8(1  cos 2a ) x  1
3

ng th ng y = x.

a) CMR: Hàm s luôn có C , CT.
b) Gi s hàm s có c c tr t i x1, x2. CMR: x12  x22  18

Gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

a) Xét ph

ng)

Hàm s

ng trình: f '( x)  2 x2  2(cos a  3sin a ) x  8(1  cos 2a )  0

Ta có:  '  (cos a  3sin a ) 2  16(1  cos 2a )  (cos a  3sin a ) 2  32 cos 2 a  0 a
N u  '  0  cos a  3sin a  cos a  0  sin a  cos a  sin 2 a  cos 2 a  0 (vô lý)
V y  '  0  a  f '( x)  0 có 2 nghi m phân bi t x1, x2 và hàm s có C , CT.

 x  x  3sin a  cos a
b) Theo viet ta có  1 2
 x1 x2  4(1  cos 2a )
x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  (3sin a  cos a ) 2  8(1  cos 2a )  9  8cos 2 a  6sin a cos a
 9  9(sin 2 a  cos 2 a )  (3sin a  cos a ) 2  18  (3sin a  cos a ) 2  18

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 6 -