DABTTL tim so giao diem voi ham phan thuc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (503.13 KB, 9 trang )
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
T
S
ng)
Hàm s
NG GIAO C A HÀM PHÂN TH C
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng S t ng giao c a hàm phân th c thu c khóa h c
Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n
c n h c tr
c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.
Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
2 x 4
Bài 1. Cho hàm s : y
. G i d là đ ng th ng đi qua A (1; 1) và có h s góc k. Tìm k sao cho d
x 1
c t (C) t i 2 đi m M, N mà MN 3 10
Gi i
–
ng th ng d có ph ng trình: y = k(x – 1) + 1
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t M, N thì ph ng trình:
2 x 4
k( x 1) 1 kx2 (2k 3) x k 3 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x 1.
x 1
k 0
k 0
3
9 24k 0 k
3 (1)
8
k 8
k.12 (2k 3).1 k 3 0 6 0
- G i M(x1, y1), N(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Khi đó: MN 3 10 MN 2 90 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 90
x1 x2 k( x1 1) 1 (k( x2 1) 1 90
2
2
x1 x2 k 2 x1 x2 90
2
2
2
2
(1 k 2 ) x1 x2 90 (1 k 2 ) x1 x2 4 x1 x2 90
2k 3
k3
; x1 x2
(x1, x2 là nghi m c a (*) nên theo Viet ta có: x1 x2
)
k
k
2k 3 2
k 3
(1 k )
4
90
k
k
2
8k 3 27k 2 8k 3 0 (k 3)(8k 2 3k 1) 0
k 3
(Th a mãn (1))
k 3 41
16
k 3
áp s :
k 3 41
16
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
Bài 2. Cho hàm s : y
x 1
(C). Tìm m đ đ
x 1
ng)
Hàm s
ng th ng (d): y = 2x + m c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B
sao cho AB ng n nh t.
Gi i
–
(d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
x 1
2 x m 2 x2 (m 3) x m 1 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t khác 1.
x 1
2
m
m 2m 17 0
2
m
2
0
2.1
(
3).1
1
0
m
m
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Ta có: AB
x1 x2
2
( y1 y2 ) 2
x1 x2 2 x1 m (2 x2 m)
2
2
5( x1 x2 ) 2 5 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
3 m 2
m 1
5
4
2
2
5 2
5
2
(m 2m 17)
m 1 16 20
4
4
=> AB ng n nh t (d u = x y ra) khi m = -1
áp s : m = -1.
x3
(1). Tìm k đ đ ng th ng (d) đi qua đi m I(-1; 1) v i h s góc k c t đ th
Bài 3. Cho hàm s : y
x 1
hàm s (1) t i 2 đi m A, B sao cho I là trung đi m AB.
Gi i
– (d) có ph ng trình: y = k(x + 1) + 1
(d) c t đ th (1) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
x3
k( x 1) 1 ph i có 2 ngi m phân bi t khác -1.
x 1
kx2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghi m phân bi t khác -1.
k 0
' 4 k 0 k 0
k 0 (1)
k (1) 2 2k ( 1) k 4 0 4 0
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
x1 x2
2 1
I là trung đi m AB ta ph i có:
y1 y2 1
2
x1 x2 2
x x 2
x1 x2 2
1 2
k x1 x2 2k 0
2k 2k 0
k( x1 1) 1 k( x2 1) 1 2
x1 x2 2 -2 = -2 (Luôn đúng)
V y v i k < 0 thì d luôn c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m A, B và I là trung đi m.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
ng)
Hàm s
2x 1
(C). G i I là giao đi m 2 đ ng ti m c n c a (C). CMR: V i m i m, đ ng
x3
th ng : y x m luôn c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B và tam giác AIB cân t i I. Tìm m đ AB2 =
Bài 4. Cho hàm s : y
3.IA2
Gi i
– I(-3; 2)
2x 1
x m; x 3
x3
x2 + (5 - m)x - 1 - 3m = 0 (*)
- Xét ph
ng trình:
m2 2m 29 0
m
m
Ta có:
2
7
0
m
m
(
3)
3(5
)
1
3
0
Ch ng t v i m i m thì (*) luôn có 2 nghi m phân bi t khác -3.
T c v i m i m thì : y x m luôn c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B.
M t khác: G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
x x m 5
m 5
; yE xE m
Và g i E là trung đi m c a AB => E(xE, yE) v i xE 1 2
2
2
2
m 1 m 1
;
Ta có: IE.U d
(1;1) 0
2
2
IE AB AIB cân t i I.
+) AB2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 x1 m ( x2 m)
2
2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 m2 2m 29
1
1
1
IA2 IE 2 EA2 (m 1)2 (m2 2m 29) ( Do EA AB)
2
2
2
AB2 3.IA2 m2 2m 13 0 m 1 14 .
2 x 3
Bài 5. Cho hàm s : y
(C). Tìm m đ đ ng th ng d: y = mx + 2 c t (C) t i 2 đi m phân bi t A,
x 1
1
B sao cho G (1; ) là tr ng tâm tam giác AOB (O là g c t a đ ).
3
Gi i
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2 x 3
mx 2 ph i có hai ngi m phân bi t x 1.
x 1
mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x 1.
m 0
m 0
m2 12m 16 0 m 6 2 5, m 6 2 5
2
1 0
m.1 (m 4).1 5 0
m 6 2 5 6 2 5 m 0 m 0 (1)
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
1
Khi đó G (1; ) là tr ng tâm tam giác AOB
3
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
ng)
Hàm s
x1 x2 0
x1 x2 3
1 x1 x2 3
3
mx1 2 mx2 2 1 m x1 x2 4 1
0
y
y
1
1
2
3
3
3
3
3
3
m 4
3
4m 4
m
m 1 (Th a mãn (1))
3m 3
3m 4 1
áp s : m = 1.
x 2
Bài 6. Cho hàm s : y
(C). Tìm k đ đ ng th n d đi qua M(-1; -1) v i h s góc k c t (C) t i 2
2x 1
đi m phân bi t A, B sao cho A và B n m v 2 phía khác nhau c a tr c hoành.
Gi i
- Ph ng trình c a d là: y = k(x + 1) – 1
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
x 2
1
k( x 1) 1 ph i có 2 nghi m phân bi t x
2x 1
2
1
2kx2 + (3k - 3)x + k – 3 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x
2
2k 0
k0
k 0
2
(m 3) 0
k 3
(1)
k 3
3
2
2k 1 (3k 3) 1 k 3 0
0
2
2
2
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
A, B n m v 2 phía c a Ox ta ph i có: y1.y2 < 0
(kx1 + k – 1)(kx2 + k – 1) < 0
k2.x1x2 + k2(x1 + x2) – k(x1 + x2) + k2 – 2k + 1 < 0
k 3 2 3 3k
3 3k 2
k2
k
k
k 2k 1 0
2k
2k
2k
-k – 1 < 0 k > -1
áp s : 1 k 0 k 0 .
2x 1
(C)
Bài 7. Cho hàm s : y
x 1
G i I là giao đi m hai đ ng ti m c n c a (C). Tìm m đ đ
phân bi t A, B sao cho SAIB
ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i 2 đi m
5
2
Gi i
+) I(1; 2)
+)
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2x 1
x m ph i có 2 nghi m phân bi t x 1.
x 1
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
ng)
Hàm s
x2 (1 m) x m 1 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x 1.
m2 6m 5 0
m 1; m 5
2
m 1 m 5 (1)
1
0
m
m
1
(1
).1
1
0
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Ta có: AB ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 x1 m ( x2 m)
2
2
2( x1 x2 )2 2 x1 x2 4 x1 x2 2 m2 6m 5
3 m
d(I,AB) = d(I,d) =
SAIB
2
5
1
5
AB.d ( I , AB)
2
2
2
3 m
1
5
2 m2 6m 5 .
2
2
2
2 m2 6m 5 .(3 m)2 10 (m 3)2 4 .(m 3)2 5
t: (m – 3)2 = t; t 0
t 2 4t 5 0 t 5 (m 3) 2 5 m 3 5 m 3 5 (Th a mãn (1))
áp s : m 3 5 .
2x 1
(C)
x 1
G i I là giao đi m 2 đ ng ti m c n c a (C). Tìm m đ đ ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i 2 đi m phân
bi t A, B sao cho tam giác AIB đ u.
Gi i
- I(1, 2)
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2x 1
x m ph i có 2 ngi m phân bi t x 1.
x 1
x2 + (1 – m)x + m – 1 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x 1
Bài 8. Cho hàm s : y
2
m 1; m 5
m 6m 5 0
2
m 1 m 5 (1)
1 (1 m).1 m 1 0
1 0
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*)) và g i H là trung đi m AB.
IA IB
IA2 IB2
=> Tam giác AIB đ u
3 2
2 3
IH
AB
.
IH AB .
4
2
( x1 x2 ) x1 x2 (m 1) 0
x1 x2 m 1
m 32 3
2
2
( x1 x2 ) 2
m 3 3 ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
2
m 1 m 1
2
m 3 6 (Th a mãn (1))
m 6m 3 0
áp s : m 3 6
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
ng)
Hàm s
IH AB
* Có th gi i: Tam giác AIB đ u
3
IH AB.
2
BÀI T P THAM KH O THÊM
3x 1
. Ch ng minh r ng v i m i m đ ng th ng d m : y x m luôn c t đ th
2x 1
(C) t i hai đi m phân bi t A và B thu c hai nhánh khác nhau. Tìm m đ đo n th ng AB có đ dài nh
nh t.
Gi i:
3x 1
Xét ph ng tình hoành đ giao đi m c a d m và (C ) :
x m
2x 1
1
f ( x) 2 x2 2(m 2) x m 1 0 (1) x
2
y
Bài 1. Cho hàm s
5
1
Ta có: ' m2 2m 6 0, m và f 0, m nên ph ng trình (1) có hai nghi m phân
2
2
1
bi t khác v i m i m. V y h đ ng th ng dm luôn c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A và B.
2
Gi s
A x1; y1 , B x2 ; y2 ta có x1 , x2 là nghi m c a ph
ng trình (1), theo đ nh lí Viet, ta có:
m 1
(2 x1 1)(2 x2 1) 4 x1 x2 2( x1 x2 ) 1 4
2(m 2) 1 5 0
2
1
x2 nên hai đi m A và B thu c hai nhánh c a đ th và:
2
y1 x1 m; y2 x2 m
x1
AB2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( x2 x1 ) 2 ( x2 x1 ) 2
m 1
2
2( x2 x1 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 (m 2)2 4
2(m 1) 10 10
2
Suy ra AB 10 . V y min AB 10 khi m 1 .
2x 1
, tìm m đ đ ng th ng d: y x m c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A
x 2
và B sao cho OA vuông góc v i OB (v i O là g c t a đ ).
Gi i:
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a d và (C):
Bài 2. Cho hàm s
y
x 2
2x 1
x m 2
x 2
x (4 m) x 1 2m 0 (1)
t g ( x) x2 (4 m) x 1 2m
m2 12 0 m
Ta có:
nên ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t th a mãn x 2 . Suy ra d và
g (2) 0, m
(C) luôn c t nhau t i 2 đi m phân bi t A và B. G i A( xA; xA m), B( xB; xB m)
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
ng)
Hàm s
Do OA OB nên OAOB
. 0 2xA.xB m( xA xB ) m2 0 (*)
xA; xB là nghi m c a ph
ng trình (1) nên có: xA xB m 4; xAxB 1 2m
Thay vào (*) ta đ c: 2(1-2m)-m(m-4)+m2 =0 ph ng trình vô nghi m.
V y không t n t i m th a mãn đ u bài.
2x 1
(C)
Bài 3. Cho hàm s : y
x 1
G i I là giao đi m hai đ ng ti m c n c a (C). Tìm m đ đ ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i 2 đi m
phân bi t A, B sao cho SAIB
5
2
Gi i:
+) I(1; 2)
+)
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2x 1
x m ph i có 2 nghi m phân bi t x 1.
x 1
x2 (1 m) x m 1 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x 1.
m2 6m 5 0
m 1; m 5
2
m 1 m 5 (1)
1 (1 m).1 m 1 0
1 0
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Ta có: AB ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 x1 m ( x2 m)
2
2( x1 x2 ) 2 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 2 m2 6m 5
d(I,AB) = d(I,d) =
SAIB
3 m
2
5
1
5
AB.d ( I , AB)
2
2
2
3 m
1
5
2 m2 6m 5 .
2
2
2
2 m2 6m 5 .(3 m)2 10 (m 3)2 4 .(m 3)2 5
t: (m – 3)2 = t; t 0
t 2 4t 5 0 t 5 (m 3) 2 5 m 3 5 m 3 5 (Th a mãn (1))
áp s : m 3 5 .
Bài 4. Cho hàm s
y
6
x3
1
x3
x3
C Tìm trên (C) hai đi
m A,B thu c hai nhánh khác nhau sao
cho AB ng n nh t .
Gi i:
G i A thu c nhánh trái xA 3 v i s 0 , đ t
xA 3 3 yA 1
-T
6
6
6
1
1
xA 3
3 3
1
ng t B thu c nhánh ph i xB 1 v i s >0 , đ t :
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
xB 3 ; yB 1
6
6
6
1
1
xB 3
3 3
ng)
Hàm s
2
V y:
AB xB xA yB yA
2
2
g ( ; )
2
6 6
3 3 1 1
2
2
2
2
2
6 6
1
2
1
2
2
2
2
2
6 1
2 2
2 1 36
2
1
4
2 2 148
8 8 2 4.148 8 8 37
g ( ; ) 2 2 1 36
AB 8 8 37
- D u đ ng th c x y ra khi :
1
4 ;
1 4
2
37
148 37
1
6
1
6
c hai đi m : A 3 4
;1 4
; B 3 4 ;1 4
37
37
37
37
x 2
3
Bài 5. Cho hàm s y
1
C Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho kho ng cách t M đ n
x 1
x 1
tr c Ox b ng ba l n kho ng cách t M đ n tr c Oy .
Gi i:
Theo gi thi t ta có :
- Do đó ta tìm đ
x 2
vô n 0
3x
2
3
3
2
2
0
y
x
x
x
x 1
2
2 10
2 10
x
y 3x
x 2 3 x
3 x 4 x 2 0
x
3
3
x 1
V y trên (C) có hai đi m M có hoành đ : x
Bài 6: Cho hàm s : y
2 10
2 10
x
, th a mãn yêu c u bài toán .
3
3
x 1
(C). Tìm m đ (C) c t đ
2x 1
ng th ng (dm): y = mx + 2m – 1 t i 2 đi m phân
bi t A, B th a mãn đi u ki n 4 OA.OB 5.
Gi i:
Xét ph
ng trình hoành đ giao đi m:
x 1
1
mx 2m 1 f ( x) mx2 (5m 1) x 2m 2 0 v i x
2x 1
2
(C) c t (dm) t i 2 đi m phân bi t A, B f(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t khác
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
1
2
- Trang | 8 -
Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
ng)
Hàm s
m 0
m 0
(*). Gi s A(x1; mx1 + 2m – 1); B(x2 ; mx2 + 2m -1)
17m2 2m 9 0
6
m
1
1
3
f m 0
4
2
2
5m 1
x1 x2 m
5
; 4 OA. OB 5 OA. OB 0
Theo Viet ta có:
4
x .x 2m 2
1 2
m
x1 x2 (mx1 2m 1)(mx2 2m 1)
5
0
4
(m2 1) x1 x2 m(2m 1)( x1 x2 ) (2m 1) 2
5
0
4
(m2 1)(2m 2) m(2m 1)(5m 1) m(2m 1) 2
4m3 m2 2m
5
0
4
3
3
1
3
0 (2m 1) 2 (m ) 0 m m
4
4
2
4
1 3
áp s : m ;
2 4
Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
:
ng
Hocmai.vn
- Trang | 9 -
