Bai 12 HDGBTTL cac phuong phap tinh tich phan phan 6 hocmai vn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (349.16 KB, 3 trang )
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 6)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Tích phân từng phần
1
Bài 1. Tính tích phân: I = ∫
0
x 2e2 x
( x + 1)
2
dx
Hướng dẫn giải:
1
x 2e2 x
1
1
1
1
x 2e2 x
1
e2
1
2 2x
I =∫
dx
=
−
x
e
d
=
−
+
d
x
e
=
−
+ ∫ 2 xe 2 x dx
(
)
2
∫
∫
x +1 0 0 x +1
2 0
x +1
0 ( x + 1)
0
2 2x
1
1
1
e2
e2
e2 e2 x
= − + ∫ xd ( e2 x ) = − + xe 2 x − ∫ e 2 x dx = −
0
2 0
2
2
2
0
1
=
0
e2 e2 1 1
− − =
2 2 2 2
π
2
Bài 2. Tính tích phân: I = ∫ ( x + 1) sin 2 xdx
0
Hướng dẫn giải:
ðặt
π
π
du = dx
u = x + 1
cos2 x
12
π
⇒
⇒
−
x
+
1
+
cos2 xdx = + 1
(
)
2
cos2 x
∫
2
20
4
dv = sin 2 xdx v = −
0
2
π
Bài 3. Tính tích phân: I = ∫ x.sin x.cos 2 xdx
0
Hướng dẫn giải:
π
I = ∫ x.sin x.cos 2 xdx = −
0
π
π
π
1
1
3
3
xd
cos
x
=
−
x
cos
x
−
cos3 xdx
(
)
∫
∫
0
30
3
0
π
π
1
π 1
sin 3 x
π
2
= + ∫ (1 − sin x ) d ( sin x ) = + sin x −
=
3 30
3 3
3 0 3
π
Bài 4. Tính nguyên hàm: I = ∫ x 2 ( e − x + sin 2 x ) dx
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hướng dẫn giải:
I = ∫ x 2 ( e − x + sin 2 x ) dx = ∫ x 2 e− x dx + ∫ x 2 sin 2 xdx
= −∫ x 2 d ( e− x ) −
1 2
x d ( cos 2 x )
2∫
1
= − x 2 e − x + ∫ 2 xe − x dx − x 2 cos 2 x + ∫ x cos 2 xdx
2
1
1
= − x 2 e − x − x 2 cos 2 x − 2 ∫ xd ( e − x ) + ∫ xd ( sin 2 x )
2
2
1
1
1
= − x 2 e − x − x 2 cos 2 x − 2 xe − x + ∫ e − x dx + x sin 2 x − ∫ sin 2 xdx
2
2
2
1
1
1
= − ( x 2 + 2 x + 1) e − x − x 2 cos 2 x x sin 2 x + cos 2 x
2
2
4
1
x3
Bài 5. Tính tích phân: I = ∫ xe 2 x −
4 − x2
0
dx
Hướng dẫn giải:
1
1
1
x3
1
1
x2
I = ∫ xe 2 x −
dx = ∫ xd ( e 2 x ) + ∫
d ( 4 − x2 )
2
2
2
2
4− x
4− x
0
0
0
4
1
4
1
e2 x
1 4−t
1 e2 1 1
2 32
= xe2 x −
−
dt
=
+
−
8
t
−
t
2
2 0 2 ∫3 t
2 2 2 2
3 3
=
2
e2 + 1 1 32
61
e
− −6 3 = +3 3 −
4
2 3
12
4
π
Bài 6. Tính tích phân: I =
4
x
∫ 1 + cos 2 x dx
0
Hướng dẫn giải:
π
π
4
x
I= ∫
dx =
1 + cos 2 x
0
=
π
1
+ ln cos x
8 2
π
0
4
=
4
∫
0
π
x
1
dx =
2
2 cos x
2
4
∫
0
π
1
xd ( tan x ) = x tan x 0 4 −
2
π
4
∫
0
tan xdx
π
1
2 π 1
+ ln
= − ln 2
8 2
2
8 4
π
2
Bài 7. Tính tích phân: I = ∫ esinx .sin 2 xdx
0
Hướng dẫn giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
π
2
Ta có: I = 2 ∫ esinx .sin x cos xdx
0
ðặt:
π
π
π
2
u = s inx
u = cos xdx
sinx
⇒
⇒
I
=
2sin
xe
−
esinx .cos xdx = 2e − 2esin x 2 = 2e − 2e + 2 = 2
2
∫
sinx
sinx
dv
=
e
.cos
x
dv
=
e
0 0
0
π
2
Bài 8: I = ∫ ( x + 1) sin 2 xdx
0
Hướng dẫn giải:
π
π
du = dx
u = x + 1
π
cos2 x
12
⇒
( x + 1) 2 + ∫ cos2 xdx = + 1
cos2 x ⇒ −
2
20
4
dv = sin 2 xdx v = −
0
2
π
2
Bài 9. Tính tích phân: I =
∫e
sin 2 x
.sin x.cos3 x dx ;
0
Hướng dẫn giải:
π
π
2
I = ∫ esin
0
2
2
12
1 + cos2 x
x
.sin x.cos3 x dx = ∫ 2esin x .sin x.cos x
dx
20
2
π
(
2
)
(
2
2
1
1
= ∫ (1 + cos2 x ) d esin x = (1 + cos2 x ) esin x
40
4
1
)
π
2
0
π
(
2
12 2
1 1
+ ∫ esin x sin 2 x d x = + esin x
20
2 2
)
π
2
=
0
e
2
Bài 10. Tính tích phân: I = ∫ x 3e x dx
2
0
Hướng dẫn giải:
1
I = ∫ x3e x dx =
2
0
Vậy
∫
1
0
1 1 2 x2
1 1
x e d ( x 2 ) = ∫ tet dt (1). ðặt u = t ⇒ du = dt ; dv = ∫ et dt ⇒ v = et
∫
2 0
2 0
tet dt = tet
1
0
1
1
0
0
− ∫ et dt = e − et
= e − (e − 1) = 1 . Vậy thay vào (1) và có I =
1
2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
