Bai 10 HDGBTTL cac phuong phap tinh tich phan phan 4 hocmai vn

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Tích phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 4)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1. Tính nguyên hàm:

∫ 5x

2

dx
− 8x + 6

Hướng dẫn giải:

∫ 5x

2

dx
5dx
=∫
=I
2
− 8x + 6
( 5 x − 4 ) + 14

5 x − 4 = 14 tan t ⇒ dx =

⇒I =∫

14 1
.
dt
5 cos 2 t

14 1
.
dt
5 cos 2 t = dt = 1 t + C = 1 arctan 5 x − 4 + C
∫ 14 14
14(tan 2 t + 1)
14
14

5.

Bài 2. Tính tích phân:

∫

2

0

2x − x 2 dx

Hướng dẫn giải:
ðặt x − 1 = sin t

⇒∫

2

0

2 x − x 2 dx = ∫

2

0

Bài 3. Tính tích phân:

π

π

−

−

1 − ( x − 1) 2 dx = ∫ 2π 1 − sin 2 t .cos tdt = ∫ 2π cos 2 tdt =
1
2
1
−

2

∫

1
1 − 4 x2

2

2

1 π2
π
.
π (1 + cos2t ) dt =
∫
−
2 2
2

dx

Hướng dẫn giải:
ðặt

1
2 x = sin t ⇒ dx = cos tdt
2
1
π

1
1
1
1 π2
π
2
2
dx = ∫ π
cos tdt = ∫ π dt = .
⇒∫ 1
2
2
−
−
−
2 2
2
1 − sin t 2
2 1− 4x
2

Bài 4. Tính tích phân:

x 3 − 8 x − 36
∫−4 x 2 + 4 x + 8 dx
0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Tích phân

Hướng dẫn giải:
ðặt x + 2 = 2 tan t , ta có:
0
0
x 3 − 8 x − 36
4
1 2
1
0
∫−4 x 2 + 4 x + 8 dx = ∫−4 ( x − 4 − ( x + 2)2 + 4 )dx = ( 2 x − 4 x) |−4 −4∫−4 ( x + 2)2 + 4 dx
0

π

= −24 − 4 ∫ 4π
−

4

π
1
2

.
dt
=
−
24
−
2
∫−4π4 dt = −24 − π .
4 tan 2 t + 4 cos 2t

Bài 5. Tính tích phân:

∫

1

3

−3

dx

x +9
2

Hướng dẫn giải:
ðặt x = 3 tan t , ta có:

∫

π

1

3

−3

x2 + 9

dx = ∫ 4π
−

4

π
3
1
4
dt
=
dt
π
2
∫
− cost
9 tan 2 t + 9 cos t
4

1

.

π

π
2
1
1
dy
1 22 1
1
1
1 + y 22
4
2
d
sin
t
=
d
sin
t
=
=
(
+
)
dy
=

(ln
|
|) | 2 = 2 ln(1 + 2)
∫−π4 1 − sin 2 t
∫− 2 1 − y 2 2 ∫− 2 1 − y 1 + y
− cos 2t
−
2
1
−
y
4
2
2
2

= ∫ 4π

1

Bài 6. Tính tích phân:

dx

∫ 1+ x +

−1
1

dx

∫ 1+ x +

Ta có :

−1

1 + x2

1

=∫

−1

1 + x2

1 + x − 1 + x2

(1 + x )

2

− (1 + x 2 )

1 + x − 1 + x2
1 1 
1 + x2
dx = = ∫  + 1 dx − ∫
dx

2x
2 −1  x 
2x
−1
−1
1

1

dx = ∫

1

1

•

I1 =

•

I2 =

1 1 
1
1
 + 1 dx = ln x + x  |−1 = 1
∫
2 −1  x 
2

1

∫

−1

1 + x2
dx . ðặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx
2x

t = 2
x = 1
ðổi cận : 
⇒
 x = −1 t = 2
2

Vậy I2=

t 2 dt
∫ 2 (t 2 − 1) = 0
2

Vậy I = 1
3

Bài 7. Tính tích phân:

∫ 3.
0

x −3
dx
x +1 + x + 3

Hướng dẫn giải:
ðặt u =

x = 0 ⇒ u = 1
x + 1 ⇒ u 2 − 1 = x ⇒ 2udu = dx ; ñổi cận: 
x = 3 ⇒ u = 2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

2u 3 − 8u
1
x −3
dx
=
∫0 3 x + 1 + x + 3 ∫1 u 2 + 3u + 2du = ∫1 (2u − 6)du + 6∫1 u + 1du
3

Ta có:

Tích phân

2

(

= u 2 − 6u

2

2

2

) 1 + 6 ln u + 1 1 = −3 + 6 ln 32
2

Bài 8.
3ln 2

∫

Tính tích phân: I =

0

dx
( e + 2)2
3

x

Hướng dẫn giải:
x

3ln 2

Ta c ó I =

∫
0

x
3

e 3 dx
x
3

x
3

e (e + 2)

=
2

x
3

ðặt u= e ⇒ 3du = e dx ; x = 0 ⇒ u = 1; x = 3ln 2 ⇒ u = 2
Ta ñược:
2

2
 1

1
3du
1
1
3 3 1
1
1 
=3
I =∫
−
du =3  ln u − ln u + 2 +
 −
 = ln( ) −
2
2 
∫
u (u + 2)
4u 4(u + 2) 2(u + 2) 
4
2(u + 2)  1 4 2 8
4
1

1
2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -