Bai 10 HDGBTTL cac van de ve vi tri tuong doi hocmai vn

Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

CÁC VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

(2m  1) x  (m  1) y  m  1  0
Bài 1. Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng d m : 
mx  (2m  1) z  4m  2  0
Tìm m để ( P) / / d m
Lời giải

(2  m) x  (m  1) y  4  0 ( P)
Giả sử d m : 
 x  z  2  0 ( P ')
Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng đã cho là:

udm  nP , nP '   (2m2  m  1; 4m2  4m  1; m2  m)
y 1
1
( P) / / d m  udm .nP  0  2m2  m  1)  (4m2  4m  1)  0(m2  m)  0  m    (d ) : 
2
x  0
Khi đó với điểm A(0;1; z )  dm nhưng không thuộc (P), do đó ( P) / / d m .
Bài 2.

 x  3ky  z  2  0
Cho đường thẳng d : 
. Tìm k để d vuông góc với (P): x – y - 2z + 5 = 0.

kx  y  z  1  0
Lời giải:

 x  3ky  z  2  0 ( P1 )
Giả sử d : 
, khi đó đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là:
kx  y  z  1  0 ( P2 )
ud   nP , nP '   (3k  1; k  1; 1  3k 2 )
d  ( P)  ud / / nP  (3k  1; k  1; 1  3k 2 ) / /(1; 1; 2) 

3k  1 k  1 1  3k 2


 k 1
1
1
2

.

Vậy k = 1.

 x  az  a  0 ( P1 )
ax  3 y  3  0 ( P2 )
; d2 : 
Bài 3. Cho 2 đường thẳng d1 : 
 y  z  1  0 ( P1 ')
 x  3z  6  0 ( P2 ')
Tìm a để 2 đường thẳng cắt nhau.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Lời giải:
Ta có:

ud1   nP1 , nP1 '   (0;1;1); M (a; 1;0)  d1
ud2   nP2 , nP2 '   (9; 3a; 3); N (0;1; 2)  d 2
 MN (a; 2; 2); ud1 , ud2   (3a  3;9; 9)
Để 2 đường thẳng cắt nhau ta cần có: ud , ud2  .MN  0  3a 2  3a  0  a1  0; a2  1.
Thử lại với 2 giá trị của m trên ta thấy ud1 , ud2 không cùng phương, tức là 2 đường thẳng đã cho cắt nhau.
Bài 4.

x 1 y  3 z
x 5 y z 5

 , d2 :
 
.
2
3
2

6
4
5
Tìm điểm M thuộc d 1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng
bằng 2.
Cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 và các đường thẳng d1 :

Lời giải:
Gọi M 1  2t;3  3t;2t  , N  5  6t ';4t '; 5  5t ' 

d  M ;  P    2  2t  1  1  t  0; t  1.
Trường hợp 1: t  0  M 1;3;0  , MN   6t ' 4;4t ' 3; 5t ' 5

MN  nP  MN .nP  0  t '  0  N  5;0; 5
Trường hợp 2: t  1  M  3;0;2  , N  1; 4;0 
Bài 5.

2 x  y  0
x  2 y 1
z
Cho 2 đường thẳng d : 
. Tìm m để d  d ' .
; d ':


2m
3
m9
mx  z  1  0
Lời giải:

2 x  y  0 ( P1 )
x  2 y 1
z
; d ':


Giả sử: d : 
.
2m
3
m9
mx  z  1  0 ( P2 )
Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là: ud  nP1 , nP2   ud  (1; 2; m)
Và véc tơ chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud '  (2m;3; m  9)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

m  1
Ta có: d  d '  ud .ud '  0  1.2m  2.3  m(m  9)  0  
m  6

m  1
Vậy có 2 giá trị cần tìm là: 
m  6
(2  m) x  (m  1) y  4  0
Bài 6. Cho mặt phẳng (P) x+y-z+5=0 và đường thẳng d m : 
.
x  z  2  0
Tìm m để ( P) / / d m
Hướng dẫn giải:

d  ( P)  ud / / nP  (m  1; m  1; m  3) / /(1;1; 2) 

m 1 m 1 m  3


 m  5 Giả sử
1
1
2

(2  m) x  (m  1) y  4  0 (d )

 x  z  2  0 (d ')
Ta có: uM  d , d '  (1  m; 2  m;1  m)

3 y  4  0
( P) / / d m  um .nP  0  2  m  0  m  2  (d ) : 
x  z  2  0

4

Với m = -2, điểm A(0;  ; 2) không thuộc (P), do đó ( P) / / d m
3
 x  my  1  0
(m-1)x  3 y  3  0
Bài 7. Cho 2 đường thẳng d1 : 
.
; d2 : 
my  z  1  0
mx  y  3z  1  0
Tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau.
Hướng dẫn giải:

d  ( P)  ud / / nP  (m  1; m  1; m  3) / /(1;1; 2) 

m 1 m 1 m  3


 m  5 Ta có:
1
1
2

ud1  (m;1; m); M (1;0;1)  d1
ud2  (9;3m  3; 2m  1); N (0;1;0)  d 2
 MN (1;1; 1); ud1 , ud2   (3m 2  m  1; 2m 2  8m; 3m 2  3m  9)
Để 2 đường thẳng cắt nhau ta cần có: ud1 , ud2  .MN  0  m2  3m  4  0  m1  4; m2  1.
Thử lại với 2 giá trị của m trên ta thấy ud , ud2 không cùng phương, tức là 2 đường thẳng đã cho cắt nhau.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Bài 8.

 x  (m  1)t  1

Cho đường thẳng d :  y  (m  1)t  3 . Tìm m để đường thẳng d vuông góc với (P): x + y + 2z + 4 = 0.
 z  (m  3)t  2

Hướng dẫn giải:

d  ( P)  ud / / nP  (m  1; m  1; m  3) / /(1;1; 2) 

m 1 m 1 m  3


 m  5.
1
1
2

Vậy m = 5.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Trong không gian cho hai mặt phẳng  P  và  Q  lần lượt có phương trình là:

 P  : 2 x  my  3z  6  m  0

và  Q  :  m  3 x  2 y   5m  1 z  10  0 .

Với giá trị nào của m thì:
a. Hai mặt phẳng đó song song?
b. Hai mặt phẳng đó trùng nhau?
c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau?
d. Hai mặt phẳng đó vuông góc nhau?
Lời giải
a. Để hai mặt phẳng song song nhau thì:
m  1; m  4
m 2  3m  4  0


2

m
3
6m
6

 

 5m 2  m  6  0  m  1; m    vô nghiệm
m  3 2 5m  1
10
5
10m  12  2m


m  1

Vậy không tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng  P  và  Q  song song.
b. Để hai mặt phẳng trùng nhau thì:

m 2  3m  4  0

2
m
3
6m
 

 5m 2  m  6  9  m  1
m  3 2 5m  1
10

10m  12  2m

Vậy với m  1 thì hai mặt phẳng  P  và  Q  trùng nhau.
c. Để hai mặt phẳng cắt nhau thì
 5m 2  m  6  0
 


 nP , nQ   0  5m 2  m  6; 7 m  7; m 2  3m  4  0  7 m  7  0
 m  1 Vậy với m  1 thì



2
 m  3m  4  0






hai mặt phẳng cắt nhau.



d. Gọi nP và nQ lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng  P  và  Q  .


nP  2,  m, 3 và nQ   m  3, 2, 5m  1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 
Để  P  và  Q  vuông góc nhau thì: nP .nQ  0

 2  m  3  m  2   3  5m  1  0  19m  9  m  

Vậy với m  

9
19

9
thì hai mặt phẳng trên vuông góc nhau.
19

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d1 :

x y z
x 1

  , d2 :
 y  z  1 và mặt phẳng P : x  y  z  0 . Tìm tọa độ hai điểm
1 1 2
2

 

 

M  d1, N  d2 sao cho MN song song P và MN  6 .

Lời giải
Gọi M  d1  M  t; t; 2t  , N  d 2  N  1  2t '; t ';1  t ' 

 t  1

 
 t '  0
 MN .nP  0

t  2t ' 1

  t   11
 
2
2
2

MN  6
 (1  2t ' t )  (t ' t )  (1  t ' 2t )  6

13
 


12
 t '  
13

 11

11

22 

 11

12 2 

Vậy M   ;  ;   , N  ;  ;  hoặc M (1;1;2), N (1;0;1)
 13 13 13 
 13 13 13 
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai
 x  1  2t
x 1 3  y z  2

đường thẳng :
(d)
và (d’)  y  2  t . Viết phương trình tham số của đường



1
1
2
z  1  t

thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau
và tính khoảng cách giữa chúng .
Lời giải
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

x  9  t

 y  6  8t
z  5  15t


Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 

Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u '  2;1;1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Ta có :


MM '   2; 1;3
  
 MM '  u, u '   2; 1;3 11 12 ; 12 12 ;
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)




1 1
2 1

  8  0

  
MM '  u, u '
8

Khi đó : d   d  ,  d '   
 
11
 u, u '



Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d :
y2

x2
z5
.
x
 z và d’ :
 y 3
1
2
1
Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và vuông góc
với d’
Lời giải
Đường thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và có vectơ chỉ phương u (1;1;1)
Đường thẳng d’ đi qua điểm M ' (2;3;5) và có vectơ chỉ phương u '(2;1;1)

  
Ta có MM  (2;1;5) , u ; u '  (0; 3; 3) , do đó u; u ' .MM '  12  0 vậy d và d’ chéo nhau.



 

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (0;2;0) và có vectơ pháp tuyến là u '(2;1;1) nên có phương
trình: 2 x  ( y  2)  z  0 hay 2 x  y  z  2  0
Bài 5.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = 0 và hai đường thẳng d1:
x
y3
z 1 x  4
y
z3

=
=
,
= =
. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình
1
2
3
1
1
2
đường thẳng  nằm trên (P), đồng thời  cắt cả d1 và d2.
Lời giải
Các em có thể tự chứng minh 2 đường chéo nhau.
Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5)
Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)
Phương trình đường thẳng :

x2 y 7 z 5


5
8
4

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :

x  t

(d)  y  1  2t

z  4  5t


x  t

và (d’)  y  1  2t
z  3t


a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Lời giải


a) Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 

Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3
 1 3
Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I   ;0;  hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM)

 2 2


 u   15
15
15 
b) Ta lấy v   .u '  
; 2
; 3
.
7
7 
u'
 7
   
15
15
15 
Ta đặt : a  u  v  1 
;2  2
;5  3

7
7
7 

   
15
15
15 

b  u  v  1 
;2  2
;5  3

7
7
7 

 
Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b làm VTCP

và chúng có phương trình là :

1 
15 
 x    1 
t
2 
7 



15 

và
t
 y   2  2
7 




z  3   5  3 15  t

2 
7 



1 
15 
 x    1 
t
2 
7 



15 

t
 y   2  2
7 



z  3   5  3 15  t

2 
7 


Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
x  t
x y2 z


d1 :  y  4  t ;d2: 
1
3
3
 z  1  2t


và d3:

x 1 y 1 z 1
. Chứng tỏ rằng d1 ; d 2 là hai đường thẳng


5
2
1

chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 ; d 2 .Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba
đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Lời giải

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

x  t

Đường thẳng d1 :  y  4  t suy ra d1 đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp u1 (1; 1; 2) .Đường thẳng d2:
 z  1  2t




x y2 z
suy ra d 2 đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp u2 (1; 3; 3) .Ta có AB (0; 2;1) và


1
3
3
 
  
u1 , u2    9;5; 2  suy ra AB. u1 , u2   9.0  (2).5  1.(2)  12  0 .Vậy d1 và d 2 là hai đường thẳng





  
AB. u1 , u2 
12
6


chéo nhau. Khoảng cách giữa d1 và d 2 là : d  d1 , d 2  
 
2
2
2
55
u1 , u2 
9  5  (2)


Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
A, B, C thẳng hàng và AB = BC  B là trung điểm của AC

t  (1  5v)  2u

 4  t  (1  2v)  2.(2  3u )
1  2t  (1  v)  2(3u )

Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0
Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
Đường thẳng  đi qua A, B, C có phương trình

x y2 z



1
1
1

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường
x  1  t

thẳng d có phương trình  y  2  t . Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trên trục Oz sao cho
 z  t


AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Lời giải
A(1+t;-2+t;-t)d, B(0;0;b)Oz, AB(1  t ;2  t ; b  t ) , n( P ) (2;0;1)

 
AB / /( P)  AB.n( P )  0  b  2  t
AB đạt giá trị nhỏ nhất khi t  

B(P) b≠0 ,

AB2=6t2+6t+9 ;

1
3
b
2
2

1 5 1
3
Vậy A( ; ; ), B (0;0; )
2 2 2
2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | -