Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 48

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 (33)
CHUYÊN LAM SƠN. Năm học 2006 - 2007
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút( không kể thời gian phát đề)
Đề bài:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1
+
a
-
1
3
+
aa
+
1
2
+−
aa
1/Rút gọn A
2/ Chứng minh A≤1
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
f(x) = x
3
+ 4x
2
+ x - 6
Bài 3: Cho phương trình:
x
2

- 2(m+2)x + 2m + 1 = 0 (1)
1/ CMR, với mọi giá trị của m, pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
2/ Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (1).
a/Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
b/Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hệ phương trình:




+=+
−=+
1
1
mmyx
mymx

a/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện y≥x+2
b/ Với các gía trị m tìm được hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z = x+y
Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H, I theo thứ tự là
hình chiếu của B trên AC, CD.
CMR: ∆ABD ∼ ∆HBI
Bài 6: Cho 3 điểm: A (1,3), B(-1,-1), C(0,1)
CMR: A, B, C thuộc một đường thẳng, viết pt của đường thẳng đó.
Bài 7: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) có AB = 8 cm, AC = 15,
đường cao AH = 5 cm. (Điểm H nằm trên cạnh BC)
Tính bán kính của đường tròn
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ®iÓm chÊM
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
1/
2/

A=
1
)1(231
+
++−+−
a
aaa
=
11
+
+
aa
aa
=

)1)(1(
)1(
+−+
+
aaa
aa

=
1
+−
aa
a

Xét A - 1 =
1
1
+−
−+−
aa
aaa
=
1
12
+−
+−
aa
aa
=
1
)1(

2
+−
−
aa
a
≤ 0
=> A ≤ 1. Dấu "=" xảy ra <=>
a
= 1 <=> a =1
0,5
0,5
0,5
Bài 2 Ta có f(x) = x
3
+ 4 x
2
+ x - 6
= x
3
+ 5 x
2
- x
2
- 5x - 6
= x (x
2
+ 5x + 6) - ( x
2
+ 5x + 6)
= (x-1)(x

2
+ 5x + 6)
= (x-1)(x+2)(x+3)
0,5
0,5
Bài 3
1
2
3
∆' = (m+2)
2
- (2m-1) = m
2
+ 2m + 3
= (m+1)
2
+ 3> 0 ∀ m =>p.trình có hai nghiệm phân biệt ∀ m.
Theo Viet ta có:



+=
+=+
12.
)2(2
21
21
mxx
mxx

Do đó x
1
+ x
2
- x
1
. x
2
= 3 là hệ thức cần tìm
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
. x
2

= 4(m+2)
2
- 2(2m+1) = 4m
2

- 12m + 14
= (2m - 3)
2
+ 5 ≥ 5

=> x
1
2
+ x
2
2
nhỏ nhất <=> m =
2
3

0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
1/
a/
Ta có: D =
m
m
1
1
= m
2
- 1 ; D

x
=
mm
m
1
11
+
−
= m
2
- 2m - 1
D
y
=
11
1
+
−
m
mm
= m
2
+ 1

Để hệ có nghiệm duy nhất phải có D ≠ 0 <=> m ≠ ± 1
0,5
b)

Khi đó: x =
D

D
x
=
1
12
2
2
−
−−
m
mm
, y =
1
1
2
2
−
+
m
m
Để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn y≥ + 2 phải có

1
1
2
2
−
+
m
m

≥
1
1
2
2
−
−−
m
mm
+2=
1
323
2
2
−
−−
m
mm

<=>
1
422
2
2
−
−−
m
mm
≤ 0 <=> 1 ≤ m ≤ 2

Tìm Max của z = x + y =
1
22
2
2
−
−
m
mm
=
1
2
+
m
m
Với 1 ≤ m ≤ 2
=> z =
1
2)1(2
+
−+
m
m
= 2 -
1
2
+
m
Suy ra Z
Max

= z(2) =
3
4
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5

11
ˆ
ˆ
CD
=
( Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
BHIC: Tứ giác nội tiếp =>
11
ˆ
ˆ
CI
=

Suy ra:
11
ˆˆ
ID
=
Tương tự
IBHDBA
ˆˆ

=
Vậy ∆ ABD ∼ ∆HBI (g.g)
0,5
0,5
D I C
1 1 1
A
B
H O
Bài 6
PT đường thẳng đi qua A, B có dạng: y = ax + b ∆
Vì ∆ đi qua A(1,3) nên: 3 = a + b (1)
Vì ∆ đi qua B(-1,-1) nên -1 = -a + b (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:



−=+−
=+
1
3
ba
ba
→



=
=
2

1
a
b

=> (AB): y = 2x + 1
Thay toạ độ điểm C(0,1) vào AB: 1 = 2.0 + 1 (đúng )
=> C
∈
(AB)
Vậy: A, B, C thuộc đường thẳng có PT: y = 2x + 1
0,5
0,5
Bài 7 Kẻ đường kính AD ta có:


CDACBA
ˆˆ
=
( Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
0
90
ˆ
=
DCA
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy ∆AHB ∼ ∆ACD (g.g)
→
AD
AB
AC

AH
=
→
R2
8
15
5
=
→ R=12 cm
Vậy bán kính đường tròn ( O) bằng: 12 cm.
0,5
0,5
0,5
B H C
A
O
D