Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 50

Sở GD&ĐT Thanh hoá
Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lam sơn (35)
Năm học : 2006-2007
Môn thi: Toán - (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1. (1,0đ).Rút gọn biểu thức:
A=
nm
mnnm
nm
nm
+
++
+


2
.
Câu 2.(0,5đ). Rút gọn biểu thức:
A=
15
1
246
2
23
++

++
xx
x
xxx
Câu 3. (1,0đ).Cho phơng trình: x

2
- 2(m+1)x + m 4 = 0
Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình.
C/m rằng:A =x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1-x
1
) không phụ thuộc vào m.
Câu 4. (1,0đ) Tìm a để hệ sau vô nghiệm:




+=
=+
323
1
aayax
ayx
Câu 5.(1,,0đ). Giải hệ phơng trình:

=+
=++
2
3
22
yx
xyyx
Câu 6. (1,5đ).Cho các đờng thẳng (d
1
) : y=2x+2;
(d
2
) : y=-x+2;
(d
3
) : y=mx (m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị m để d
3
cắt cả hai tia AB và AC. Trong đó A,B,C lần lợt
là giao điểm của d
1
với d
2
;d
1
với ox; của d
2
với ox

Câu 7. ( 1,0đ )
Chứng minh rằng ( n
3
+ 17n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Câu 8. ( 1,0đ )
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đờng tròn ( o ) và D là diểm nằm
trên cung BC không chứa điểm A. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC.
Chứng minh tam giác ABE bằng tam giác CBD.
Câu 9. ( 1,0 đ )
Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC giả sử góc BPC
bằng 135
0
. Chứng minh rằng 2PB
2
+ PC
2
= PA
2

Câu 10.( 1,0 đ )
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD ( Tức là hình chóp có đáy ABCD là
hình vuông và chân đờng cao trùng với tâm của đáy ). Tính diện tích xung
quanh và thể tích hình chóp biết rằng SA = AB = a .
Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trờng THPT Thọ Xuân 4
Hớng dẫn chấm thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn
Năm học 2006-2007
Câu Lời giải Điểm
1
Ta có

nm
nm
nm
nm
mnnm
nm
mnnm
nm
nm
nmnm
nm
nm
nm
nm
+=
+
+
=
+
++
=
+
++
+=

+
=


=

2
22
22
)(22
)((
Vậy A =
)(2 nmnmnm
+=+++
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2
A =
15
1
246
2
23
++

++
xx
x
xxx
= (x
2
5x - 1) +
15

1
1
2
++

xx
x
=
1
1

x

0,5đ
3
0
4
19
2
1
5)4()1(
2
22'
>+

+=++=+=
mmmmm
nêm phơng trình luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
áp dụng định lí Viet ta có



=
+=+
4
)1(2
2.1
21
mxx
mxx
Vậy A =
10)4(2)1(22
2121
=+=+
mmxxxx
Suy ra A không phụ thuộc vào m. Đ P C.M
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4 Từ phơng trình x + ay = 1
Thế x = 1 ay vào phơng trình ax 3 ay = 2a + 3

Ta đợc a ( 1 ay ) 3ay = 2a + 3
323
2
+=
aayyaa
3)3(
2
+=+
ayaa
( 1 )
Hệ vô nghiệm

phơng trình (1) vô nghiệm




+
=+
03
0)3(
2
a
aa

=
3
0
a
a


a=0
0,25đ

0,25đ
0,5đ
5 Đặt S = x + y, P = x.y ĐK S
2
4P

0
Ta đợc hệ






=
=

=
=+
2)3(2

3
22
3
22
SS
SP
PS
PS









=
=



=
=

=
=
=




=+
=

)(
7
4
)(
1
2
4
2
3
082
3
2
Loai
P
S
manThoa
P

S
S
S
SP
SS
SP
Với











=
=

=
=+

=
=
1
1
1.
2

1
2
y
x
yx
yx
P
S
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
6
Toạ độ A là nghiệm hệ
)2;0(
2
22
A
xy
xy




+=
+=
Toạ độ B là nghiệm hệ
)0;1(
0
22

=
+=
B
y
xy
Toạ độ C là nghiệm hệ
)0;2(
0
2
C
y
xy




=
+=
Tia AB nằm bên trái oy nên ( d
3
) cắt tia AB khi và chỉ khi hoành độ
giao điểm của d
3
và d
1
âm hay

20
2
2
<<

m
m
Tơng tự ( d
3
) cắt tia AC khi và chỉ khi
0
1
2
>
+
m
1
>
m
. Do đó ( d
3
) cắt cả hai tia AB và AC
21
<<
m
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ
0,25đ
7 n
3
+ 17n = n
3
n + 18 = n( n
2
1 ) + 18 n
Ta có 18n
6
n(n
2
1) = n ( n 1 ) ( n + 1 )

2
Nn

n(n-1)(n+1)

3
Nn

6)1)(1(
+
nnn

Nn

Vậy ( n

3
+ 17n )
6

Nn

0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ
8 Ta có: AE = CD (theo giả thiết) A
AB = CB (gt)
BAE = BCD (cùng chắn cung BD) E
Suy ra rABE = rCBD (c-g-c). B C
D
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
T
T
9 Lấy một diểm P khác phía với A D
P đối với bờ AB
sao cho rBPP vuông cân tại B P
Ta có rBPC = rBPA (c-g-c)
BPA = 135
o
P

Do BPP = 45
o
nên PPA = 90
o
B C
Theo định lí Pitago PA
2
= AP
2
+PP
2
= PC
2
+ 2PB
2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
10 Gọi H là tâm của hình vuông ABCD
AC=a
2
AH=
2
2a
;
SH=
22
AHSA

=
2
2a
.
SAB
S

=
4
3
2
a
;
ABCD
S
= a
2
;

S
xq
=4.
SAB
S

= a
2

3
.

V
SABCD
=
3
1
SH.S
ABCD
=
3
1
2
2a
.a
2
=
6
2
3
a

S
Hình vẽ đúng -đẹp
D C

H

A B

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
Së GD&§T Thanh ho¸