bài tap giới hạn

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Đỗ Thế Nhất THPT- Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải D ơng
Giới hạn của dãy số
1.Dãy số có giới hạn o
a)Đn:Dãy số (u
n
) có giới hạn 0,kí hiệu
lim 0
n
n
u
+
=
(Hay lim(u
n
)=0),nếu với mọi số dơng nhỏ tuỳ ý
cho trớc ,mọi số hạng của dãy số,kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
số dơng đó .
b)Một số dãy số có giới hạn đặc biệt.
+Lim
1
0
n
=
;Lim
1
0
k
n
=
(nếu k

Z
+

);Lim
1
0
n
=
;Lim
3
1
0
n
=
VD:
+Lim
0
n
q =
(nếu
1q <
)
VD:
+lim0=0
c)Đlí:Cho hai dãy số u
n
và v
n
:
,

lim 0
lim 0
n n
n
n
n
n
u v n
u
v
+
+

=

=

Vd1:Tìm
( )
1
lim
n
n
n
+

Vd2:Tìm
sin 2
lim
n

n
n
+
Vd3:Tìm
cos
4
lim
4
n
n
n

+
Vd4:Tìm
( )
1
lim
1
n
n n
+
+
Vd5:Tìm
( )
2
1 cos
lim
1
n
n

n
n
+

+
2.Dãy số có giới hạn hữu hạn
a)Đn:Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu Lim(u
n
-L)=0
Khi đó ta viết lim(u
n
)=L hoặc Limu
n
=L hoặc u
n

L
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn
b)Một số định lí đợc thừa nhận
( )
( )
( )
( )
3
3
1. lim
lim
2. lim

lim
0,
3. 0 lim
lim
4. lim lim
lim
lim
lim
lim ( ) lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
n
n n
n n
n n
n
n n
n
n n
n
n

n n
c c c const
u a
u a
u a
u n
a va u a
u a
Neu u a va v bthi
u v a b
u v a b
u v ab
ku k
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
= =
=

=

=

=

=

= =
+ = +
=
=
=
( )
lim 0
,
5. lim
lim lim ( )
n
n
n
n
n n n
n
n
n n
n n
u ka
u a
Neu b

v b
u v w n
v a
u w a a R

+
+
+ +
=
=


=

= =

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
6.Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
7.Dãy (u
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn
Vd6:Tìm
( )
( )
2
2
1
) lim 2

4
) lim 3
10
2 3
) lim
3 2
2
) lim
2 1
2 3
) lim
2 5
4 5 2
) lim
2 1
) lim 2 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
b
n

c
n
d
n n
n
e
n
n n
f
n
g n n
+
+
+
+
+
+
+



ữ
ữ


+
ữ

ữ
+

+
+
+
+ +

+ +
Vd7:Tìm
( )
( )
( )
( )
2
3
3 2
1
) lim 1
cos 2
) lim
3 2
1 4
) lim
6 8
1 2 4
) lim
2 4
n
n

n
n
n
n n
n
n
n
a
n
n
b
n n
c
n
d
n n n
+
+
+
+



ữ
ữ


ữ
+ +

+
+
+ +
Vd8:Tìm
( )
(
)
2
2
3 2
4
2
2
5
3
3
3
2
2
2 2
3 2
) lim
2 3 5
2 2 3 2
) lim
3 2
2
) lim
1 3

2 1
) lim
3 2
4
) lim
2.3 4
27
) lim
2
2 1 cos
) lim
4 5
3 1 2
) lim
3 1
) lim 2 1
) lim
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n n

a
n n
n n n
b
n
n n
c
n
n
d
n
e
n n
f
n n
n n
g
n n
n n
h
n
k n n n
l
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+ +
+ +
+


+
+
+

+

+ +
+ +

+
2 2
2
3 2 2n n n n+ +
3.Dãy số có giới hạn vô cực
a)Dãy số có giới hạn +

Đn:Ta nói dãy số U
n
có giới hạn là +

nếu với mỗi số dơng tuỳ ý cho trớc ,mọi số hạng của dãy số

kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều lớn hơn số dơng đó .
Khi đó ta viết Lim(u
n
)=+

hoặc Limu
n
=+

hoặc u
n
+
VD:a)Limn=+

b)Lim
n = +
c)Lim
3
n = +
CM: + Cho hs chọn số dơng a tuỳ ý
+ Cm u
n
>a với mọi n>n
0
b)Dãy số có giới hạn -

Đn:Ta nói dãy số U
n
có giới hạn là -

nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trớc ,mọi số hạng của dãy số kể
từ một số hạng nào đó trở đi ,đều nhỏ hơn số âm đó .
Khi đó ta viết Lim(u
n
)=-

hoặc Limu
n
=-

hoặc u
n

Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Chú ý:Các dãy số có giới hạn +

và -

đợc gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần
đến vô cực.
c)Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
lim ( 0)
lim ( 1)
k
n
n
n
n voi k
q neu q

+
+
+ = + >
+ = + >
Chú ý:Vì +

và -

không phải là các số thực nên không áp dụng đợc các định lí về giới hạn hữu
hạn cho các dãy số có giới hạ vô cực
d)Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1:Nếu Limu
n
=

và Limv
n
=

thì Lim(u
n
v
n
) đợc xác định trong bảng sau.
Limu
n
Limv
n
Lim(u
n

v
n
)
+

+

+

+

-

-

-

+

-

-

-

+

Vd1:Tìm Lim(
3
.2

n
n
)
Quy tắc 2: Nếu Limu
n
=

và Limv
n
=L
0

thì Lim(u
n
v
n
) đợc xác định trong bảng sau.
Limu
n
Dấu của L Lim(u
n
v
n
)
+

+ +

+

- -

-

+ -

-

- +

Vd2:Tìm a)Lim
( )
3 2
2 3 1n n n +
b)Lim
( )
4 3
2n n +
Quy tắc 3: Nếu Limu
n
=L và Limv
n
=0 và v
n
>0 hoặc v
n
<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì
Lim
n
n

u
v
đợc xác định trong bảng sau.
Dấu của L Dấu của v
n
Lim
n
n
u
v
+ + +

+ - -

- + -

- - +

Vd3:Tìm
3 3 2
2
4 1 2 3
) lim ) lim
3 3 2
3 1 3 2.5
) lim ) lim
1 2 7 3.5
n n
n n n
n n

n n
n n n n
a b
n n n
c d
+ +
+ +
+ +

+ +

e)Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
Nếu Limu
n
=a và Limv
n
=

thì Lim
0
n
n
u
v
=
Vd4:Tìm
2
2 5 4
) lim ) lim
.3 3 2 4

n
n n
n
a b
n n n
+ +
+
+
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Giáo viên:Đỗ Thế Nhất-Kẻ Sặt-Bình Giang-HảI dƯƠNG
Bài tập về nhà số 5-6 NGày 27-01-08
Tính các giới hạn sau
a
1
=Lim
2
2
2
3 5
n n
n n

+ +
(chia ts và ms cho n
2
)
a
2
=Lim

3
4 2
2
3 1
n n
n n

+ +
(chia ts và ms cho n
4
)
a
3
=Lim
( ) ( )
2 3
5
2 3 1
2
n n
n
+
+
(chia ts và ms cho n
5
)
a
4
=Lim
2

3
2 3
2 2
n n
n n
+
+
(Trong căn chia cho n
3
)
a
5
=Lim
3 2
3
2
2 1
n n n
n
+

(Chia ts và ms cho n)
a
6
=Lim
4
2
2 1 2 1
3 2
n n n

n
+ +
+
(chia tsvà ms cho n
2
)
a
7
=Lim
2
2
2 1
n n
n n+
(chia ts và ms cho n
2
)
a
8
=Lim
2
6
2
2 1
n n
n n

+
(chia ts và ms cho n
3

)
a
9
=Lim
3 2 1
1 2 3
n n
n n
+ +
+ + +
(chia ts và ms cho
n
)
a
10
=Lim
2
5
3 2 2
2
n n
n
+
+
(chia ts và ms cho
2
n n
)
a
11

=Lim
(
)
2 2
2 4n n n n+ +
(nhân liên hợp)
a
12
=Lim
(
)
2 2
1 3n n n +
(nhân liên hợp)
a
13
=Lim
2 2
1 4 2
4
n n n
n
+
+
(nhân liên hợp)
a
14
=Lim
2
33

3 2
5
n n
n n
+
+
(chia ts và ms cho n)
a
15
=Lim
( )
1 1n n n+
(nhân liên hợp)
a
16
=Lim
3 4 1
2.4 2
n n
n n
+
+
a
17
=Lim
2 3
4
n
n
n

+
ữ



a
18
=Lim
2 1
1
3 4.2 3
3.2 4
n n
n n
+
+

+
a
19
=Lim
1
!n
a
20
=Lim

( )
2
2 1
1 2
n
n
n

+
a
21
=Lim
( )
2
2
1
1
3
3 2
n
n
n
n



+
ữ
ữ
+

a
22
=Lim
2
3
cos2
5
1
n n
n


ữ
+

a
23
=Lim
( )
3 2
2 5 7n n n +
a
24
=Lim
( )
4 2
3 3 2n n n +
a
25

=Lim
( )
4 3
n n

+

a
26
=Lim
3
2
2 3 2
2
n n
n n
+
+
a
27
=Lim
(
)
2
2 2n n n+
a
28
=Lim
(
)

2
1n n n+ + +
a
29
=Lim
1
3 2 2 1n n+ +
a
30
=Lim
1
3 2n n+ +
Đs:-1;0;9;0;
1
2
;
1
3
0;0;
2 2 3
;0;-1;-2;
3
2

;
3
;1
1
2

;0;-2;0;0;2; 5;+

;-

;+

;+

;-

;+

;0;+

Bài tập Giới hạn hàm số
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
Giới hạn của hàm số
I.Giới hạn của hàm số tại một điểm.
1.Đn:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa x
0
hoặc K\{x
0
}.Số thực L đợc gọi là giới hạn
hữu hạn của hàm số f(x) khi
0 0
( )x x x x
kí hiệu
0
lim ( )
x x

f x L

=
( )
( )
*
0
0
, ,
lim
lim
n n n
n
n
x x K x x n
f x L
x x



=

=


Vd:Cho hàm số
( )
2
1
1

x
f x
x

=
+
.Tìm
2 2
1 1
1 1
lim ; lim
1 1
x x
x x
A B
x x


= =
+ +
Lg:Tính A:
Theo gt:TXĐ:D=R\{-1}
Vậy hàm số f(x) xác định trên khoảng K=(0;2) mà
( )
1 0;2
=K
Giả sử (x
n
) là một dãy số bất kì x
n

K,x
n
*
1 n N
và limx
n
=1 ta có
( )
( ) ( )
2
1 1
1
1
1 1
n n
n
n n
n n
x x
x
f x x
x x
+

= = =
+ +
(vì x
n
+1
0

)
Limf(x
n
)=lim(x
n
-1)=limx
n
-lim1=1-1=0
Vậy
2
1
1
lim 0
1
x
x
x


=
+
Tính B:
Theo gt:TXĐ:D=R\{-1}
Vậy hàm số f(x) xác định trên khoảng (-2;0)\{-1} ;K=(-2;0)
Giả sử (x
n
) là một dãy số bất kì x
n
K,x

n
*
1 n N
và limx
n
=-1 ta có
( )
( ) ( )
2
1 1
1
1
1 1
n n
n
n n
n n
x x
x
f x x
x x
+

= = =
+ +
(vì x
n
+1
0

)
Limf(x
n
)=lim(x
n
-1)=limx
n
-lim1=-1-1=-2
Vậy
2
1
1
lim 2
1
x
x
x


=
+
2.Một số giới hạn đặc biệt
( )
0
0
0
1) lim
2) lim
x x
x x

x x
C C C const


=
= =
( )
0
0
3) lim ( )
x x
f x f x

=
nếu
0
x K
là khoảng xác định của hàm số f(x)
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng
VD:Tính các giới hạn sau:
( )
2
1
2
2
2
2
3
2
3

4
4
2
2
3
5
1
lim 3 2 1
2
lim
4
lim 2
lim 2 3
lim 4 2
x
x
x
x
x
A x x
x x
A
x
A x x
A x
A x x

= +

=

=
=
= + +
3.Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số tại môt điểm.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1. 0 lim

lim
2. lim lim
lim
lim
lim
lim ( 0)
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f x x K
L va f x L
f x L
Neu f x a va g x b thi
f x g x a b
f x g x a b
f x g x ab
f x
a
b
g x b

=

=


= =
+ = +
=
=


=
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải Dơng