Chuyên đề phương trình bậc hai và ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
I- TẦM QUAN TRỌNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG TỐN HỌC
PHỔ THÔNG VÀ TRONG VIỆC ÔN THI VÀO LỚP 10
Như chúng ta đã biết cấu trúc đề thi vào lớp 10 của TP Hà Nội trong những năm gần đây
hầu như khơng có sự thay đổi nhiều. Đề thi gồm 5 bài với 6 nội dung kiến thức trọng tâm: Rút
gọn biểu thức, giải bài toán bằng cách lập PT hoặc hệ PT, hàm số và đồ thị, hệ PT, PT bậc hai
và hình học.Nội dung kiến thức về phương trình bậc hai khơng q nặng nhưng bài tập áp
dụng thì vô cùng phong phú và phức tạp. Đặc biệt bài tập liên quan đến phương trình bậc hai
lại chiếm một phần điểm tương đối lớn trong tổng điểm của đề thi. Chẳng hạn:
- Ngay trong bài rút gọn đôi khi câu hỏi 3 liên quan đến giải và biện luận về phương trình
bậc hai.
- Giải bài tốn bằng cách lập phương trình (hoặc hệ phương trình) hầu như đều quy về
phương trình bậc hai.
- Đặc biệt bài số 3 thường có thể là một trong hai dạng bài:
• Phương trình bậc hai có chứa tham số (Đề thi năm 2015-2016)
Cho PT bậc hai: x2 –(m + 5) x + 3m + 6 = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh PT luôn có nghiệm với mọi số thực m
b) Tìm m để PT có hai nghiệm x 1 ; x2 là độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng
có cạnh huyền bằng 5
• Quan hệ tương giao giữa (P) và (d) (Đề thi năm 2013-2014)
1

Cho (P): y = 2 x

2

m2 + m + 1.Tìm các giá trị của m để (d) cắt

và đường thẳng (d): y = mx –

(P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 sao cho

- Đơi khi trong bài 5 hoặc bài tốn cực trị hình học cũng có thể liên quan đến phương trình
bậc hai.
Xét thấy tầm quan trọng của phương trình bậc hai trong việc ôn thi vào lớp 10, tổ Tốn
của trường chúng tơi mạnh dạn hệ thống một số dạng bài tập liên quan đến PT bậc hai và
phương pháp giải của từng dạng. Song với kinh nghiệm còn chưa nhiều và kết quả thi vào
lớp 10 của trường chúng tơi cịn hạn chế, thời gian có hạn nên chúng tơi rất mong được sự
đóng góp ý kiến của các trường bạn để chúng ta có một tài liệu ôn thi về PT bậc hai hoàn
chỉnh hơn.
II- GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A- CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1- Dạng tổng quát của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a) Công thức nghiệm :
Bước 1: Lập biệt số ∆ = b 2 − 4ac
Bước 2: Xét dấu của ∆ :
• Nếu

V > 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

• Nếu

V = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép: x1 = x2 = −2ab
1

x1 =

−b −
2a

V

; x2 =

−b +
2a

V


• Nếu V < 0 thì phương trình (*) vơ nghiệm
b) Cơng thức nghiệm thu gọn
Bước 1:
• Xác định b’: Ta có b = 2b’ ⇒ b ' =

b
2

2
• Lập biệt số thu gọn: V' = b ' − ac

Bước 2: Xét dấu của
• Nếu
x1 =

V' :

V' > 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
−b '− V'
a

; x2 =

−b '+ V'
a

V' = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép: x1 = x2 =
Nếu V' < 0 thì phương trình (*) vơ nghiệm

• Nếu
•

−b '
a

c) Hệ thức Vi – ét:

Nếu phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thì S = x1 + x2 =
2-

−b
c
; P = x1 x2 =
a
a

Ứng dụng của phương trình bậc hai vào giải tốn
• Sử dụng hệ thức Vi – ét để giải bài tập
• Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai

2

B) CÁC DẠNG BÀI TẬP
PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng 1 : Giải và biện luận phương trình
Các phương pháp giải phương trình
Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích
Để giải phương trình :f(x) = ax2 + bx + c = 0, ta biến đổi phương trình về dạng q(x).g(x) = 0
trong đó q(x), g(x) là các đa thức bậc nhất, rồi giải các phương trình này để tìm nghiệm của
phương trình đã cho:
q ( x ) = 0
f ( x) = 0 ⇔ q ( x) g ( x) = 0 ⇔ 
 g ( x ) = 0

Chú ý: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8). Phương pháp
này thường được sử dụng trong trường hợp PT bậc hai khuyết
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm
a) Biết S = x1 + x2 = −b = α + β ; P = x1.x2 = c = α .β Suy ra: x1 = α và x2 = β
a

a

b) Biết được: a + b + c = 0 Suy ra: x1 = 1 ; x2 =

c
a

c) Biết được:a - b + c = 0 Suy ra:
Chú ý: So sánh a + c với b
• Nếu a + c = b thì sử dụng a – b + c = 0
• Nếu a + c và b là hai số đối nhau thì sử dụng a + b + c = 0

Phương pháp 3: Sử dụng công thức nghiệm
Phương pháp 4:Phương pháp đồ thị
Viết phương trình bậc hai dưới dạng ax2 + bx +c = 0 ⇔ ax2 = - bx - c
Xét các hàm số: y = ax2 (P) và y = -bx – c (d)
Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
a) Nếu đường thẳng (d) cắt (P) thì hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương
trình đã cho.
b) Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc (P) thì hồnh độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình đã
cho.
c) Nếu đường thẳng (d) khơng cắt (P) thì phương trình đã cho vơ nghiệm.
Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp trên để giải các bài toán về sự tương giao giữa
đường thẳng (d) và Parabol (P):
Lưu ý: Đây là dạng bài tập thường có trong bài 3 hoặc trong bài giải bài toán bằng cách
lập PT và là câu hỏi HS đại trà có thể gỡ điểm. Vì vậy GV cần chú trọng rèn ngay từ khi
học PT bậc hai để HS có kĩ năng giải PT tốt nhất sao cho các em không bị mất điểm.

3


Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của một
phương trình bậc hai cho trước
Ví dụ: Cho phương trình 5x2 – 3x – 1 = 0. Khơng giải phương trình, hãy tính giá trị của
các biểu thức sau:
A = x12 + x22
B = x13 + x23
C = 2x13 – 3x22x1 + 2x23 – 3x2x22
2

x
x

x 1 1
D = 1 + 1 + 2 − − ÷
x2 x1 + 1 x1  x1 x2 

Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm hay khơng
Bước 2: Tính S, P
Bước 3: Biến đổi biểu thức làm xuất hiện S, P , thay giá trị của S, P vào biểu thức rồi tính.
Dạng 3: Chứng minh (Tìm điều kiện của tham số để) phương trình có:
1) Hai nghiệm phân biệt
2) Có nghiệm kép
3) Có nghiệm
4) Vơ nghiệm
5) Có nghiệm x = x0
Lưu ý:
- Trong quá trình giảng dạy GV có thể đưa ra 2 dạng bài tập này trong cùng một lúc để dễ
phân biệt cho học sinh. Về cơ bản hai dạng bài tập này đều chung một kiến thức vận dụng và
chỉ khác nhau về cách trình bày lập luận.
VD 1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x + 2m - 4 = 0 (ẩn x)
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
• Có a = 1; b’ = -(m – 1); c = 2m – 4 =>∆’ = m2 – 4m + 5 = (m – 2)2 + 1
• Vì ∆’ = (m – 2)2 + 1>0 với mọi m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với
mọi m
VD2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1) x + m2 -4m + 5 = 0 ( ẩn x)
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
• Có a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 -4m + 5 =>∆’ = 6m - 4
• Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt ⇔∆’ > 0 ⇔ 6m - 4 > 0 ⇔ m > 2/3
- Trong trường hợp hệ số a của phương trình có chứa tham số thì HS thường mắc sai lầm là
không xét trường hợp hệ số a = 0 với câu hỏi phương trình có nghiệm hoặc vơ nghiệm.
- Với phương trình bậc hai có chứa tham số ở hệ số a cần chú ý điều kiện hệ số a khác 0.

VD3:Tìm m để phương trình mx2 + 2(m + 1)x+ m + 3 = 0 có nghiệm duy nhất
• Xét m = 0 , phương trình có dạng 2x + 3 = 0

4


• Nếu m ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất

∆’ = 0

(TMĐK m ≠ 0)
Vậy m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
(Rõ ràng nếu HS không xét trường hợp a = 0 thì làm mất giá trị m = 0)
- Một sai lầm nữa mà học sinh thường hay mắc phải khi giải điều kiện của ∆:
Chẳng hạn: Khi ∆= (2m + 1)2 mà bài tốn hỏi tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt, HS thường cho ∆= (2m + 1)2> 0 luôn đúng với mọi m hoặc khi m > -1/2,..(Sai).
Mà giải đúng phải là ∆ > 0
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để:
1) Nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện về dấu.
2) Hai nghiệm của phương trình liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước
4.1 Nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện về dấu:
1. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu⇔a.c < 0
2. Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu⇔

3. Phương trình có 2 nghiệm cùng dương⇔

4. Phương trình có 2 nghiệm cùng âm⇔

5. Phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn nghiệm dương⇔

6. Phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm dương lớn hơn GTTĐ nghiệm âm⇔
7. Phương trình có 2 nghiệm là hai số đối nhau⇔

8. Phương trình có đúng một nghiệm dương
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: a = 0 Phương trình có dạng bx+c =0 =>Tìm nghiệm x và kiểm tra dấu của
nghiệm
5


Truờng hợp 2: a ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Để phương trình có
đúng một nghiệm dương, ta xét các khả năng sau:
∆ = 0

⇒ Tìm m
• Phương trình có nghiệm kép dương⇔  −b
>0

 2a

• Phương trình có một nghiệm bằng 0 cịn nghiệm kia lớn hơn 0

Tìm m

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0⇒Tìm
Kết luận: Kết hợp các trường hợp rồi tìm m
9. Phương trình có đúng một nghiệm khơng dương
Trường hợp 1: a = 0, Phương trình có dạng bx + c = 0
=>Tìm nghiệm x và kiểm tra dấu của nghiệm
Truờng hợp 2: a ≠ 0, Phương trình là phương trình bậc hai. Để phương trình có đúng một

nghiệm khơng dương, ta xét các khả năng sau:
∆ = 0

⇒ Tìm m
• Phương trình có nghiệm kép khơng dương ⇔  −b
≤
0

 2a

• Phương trình có một nghiệm bằng 0 cịn nghiệm kia nhỏ hơn 0

Tìm m

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0⇒Tìm m
Kết luận: Kết hợp các trường hợp rồi tìm m
10. Phương trình có ít nhất một nghiệm khơng âm
• Xét a = 0, phương trình có dạng bx + c = 0 ⇒ Tìm nghiệm x và kiểm tra dấu của
nghiệm
• Xét: a ≠ 0: phương trình là phương trình bậc hai
Cách 1: Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm khơng âm
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
 Phương trình (1) có một nghiệm bằng 0
⇔
 Phương trình (1) có 2 nghiệm dương
Cách 2: Với m (Thoả mãn a ≠ 0 ). Phương trình (1) có nghiệm ⇔ V ≥ 0 (Từ đó tìm m) Các
nghiệm của phương trình (1) là: x =
1

−b + V

−b + V
; x =
2
2a
2a

Cho x1 ≥ 0 ⇒ Tìm m (2)
Cho x2 ≥ 0 ⇒ Tìm m (3)
Kết hợp (2), (3) và điều kiện của m (a ≠ 0) Suy ra giá trị tham số m cần tìm

6


V ≥ 0

Cách 3: Phương trình (1) có hai nghiệm đều âm ⇔  P > 0 (*) Giải tìm giá trị của m
S < 0


Vậy pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm ⇔ m nhận các giá trị trái với giá trị của m ở (*)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Bước 2: Viết hệ thức Vi – ét: S = x1 + x2; P = x1 . x2 theo m
Bước 3: Viết hệ thức theo yêu cầu của đề bài và kết hợp với hệ thức Vi – ét, giải điều kiện
Bước 4: Kết hợp điều kiện và trả lời bài toán
Lưu ý:
- Cho học sinh đọc kĩ đề bài và từ yêu cầu của đề bài các em phải phân tích rồi viết được hệ
điều kiện tương ứng.
- Có thể tính tích của hai nghiệm, xác định dấu của các nghiệm để giảm bớt điều kiện của
bài toán.

- Có những trường hợp câu hỏi khó ( Câu 8; 9; 10) GV cần phân tích và hướng dẫn HS xét
tất cả các trường hợp:
- Đôi khi học sinh không chịu suy nghĩ, lười phân tích nên có thể viết ra hệ ĐK rất phức tạp:
Chẳng hạn: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn nghiệm

dương HS có thể viết ra hệ điều kiện là
Tuy nhiên khi phân tích thì phương trình có hai nghiệm trái dấu nên chỉ cần
4.2 Hai nghiệm của phương trình thỏa mãn một hệ thức cho trước
a) Hệ thức cho trước là biểu thức đối xứng của hai nghiệm:
1) x12+ x22 = 7
7)x13+ x23 = 11
2) x12+ x22 = x1 + x2
8)x13 – x23 = 50
3) x12x2 + x22x1 - x1x2 =3
9)
4) x1 (1- x2 ) + x2(1 - x1) = - 6
10)
5) x12+ x22 – 6x1x2 = 13
2
2
6) x1 = x2 ( x1 = x2 )
11)
12)

Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 . x2 theo m
Bước 3:Biến đổi điều kiện làm xuất hiện S và P rồi kết hợp với Vi – ét,giải điều kiện với ẩn
số m.
7

Bước 4: Đối chiếu, so sánh điều kiện và trả lời bài toán
b) Hệ thức cho trước là biểu thức không đối xứng của hai nghiệm:
1) x1 - 4x2 = 3
2) x1 = 9x2
3) x12 – x22 = 10
4) x1 = x22
5) x1.x2 = 1(Hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 . x2 theo m
Bước 3: Biến đổi điều kiện,rồi kết hợp với S ( P) được hệ phương trình. Giải hệ phương trình
tìm x1; x2 theo m, thay vào hệ thức cịn lại rồi tìm tham số m
Bước 4: Đối chiếu, so sánh điều kiện và trả lời bài tốn
VD: Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa
mãn 2x1 – 5x2 = - 8
• Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm m ≤
• Viết hệ thức Vi – ét:
• Kết hợp 2x1 – 5x2 = - 8 với

ta có hệ PT:

Giải hệ được x1 = 1; x2 = 2. Thay vào điều kiện
(TMĐK m ≤
Vậy với m = 3 thì PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2x1 – 5x2 = - 8
Chú ý: Đối với dạng bài này, GV cần hướng dẫn học sinh lựa chọn S hoặc P kết hợp với điều
kiện của nghiệm tạo thành hệ PT sao cho việc giải hệ là đơn giản nhất.
c) So sánh các nghiệm của phương trình với một số khác 0:
1) 1

2) x1≤ x2< 1
3) x1< 1 < x2
4) -2< x1 < x2
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 . x2 theo m
Bước 3: Từ điều kiện của bài toán biến đổi, đưa về bất phương trình, kết hợp với hệ thức Vi
– ét giải bất phương trình và tìm m
Chẳng hạn: x1< 1 < x2=> (x1 – 1)(x2 – 1) < 0 ⇔x1x2 –(x1+x2) + 1 < 0
Bước 4: Đối chiếu với ĐK ở bước 1 và trả lời bài toán.
8


d) Hệ thức liên quan đến hình học
• PT có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng biết độ dài cạnh
huyền.
• PT có hai nghiệm là hai kích thước của hình chữ nhật biết diện tích hoặc chu vi hoặc độ
dài đường chéo.
• PT có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vuông biết độ dài đường cao
ứng với cạnh huyền
• …
Chú ý:
- GV phải giúp HS biết đưa lạ về quen, chuyển từ bài tốn có nội dung hình học về một
trong các hệ thức quen thuộc
- Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh điều kiện của 2 nghiệm là 2 giá trị phải ln dương. Từ
đó suy ra phương trình bậc hai phải có 2 nghiệm dương.
e) Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm đạt GTLN, GTNN:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 . x2 theo m
Bước 3: Biến đổi biểu thức làm xuất hiện S, P. Thay S, P vào biểu thức rồi tìm tham số để

biểu thức đạt GTLN, GTNN.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện và trả lời.
VD: Cho phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 - 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2.
Khi đó tìm GTNN của biểu thức P = x1.x2 + 2(x1+x2) .
• Dễ dàng tìm được ĐK để PT có 2 nghiệm x1, x2 là m ≥ -1.
• Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 2m + 2, x1.x2 = m2 – 1
• Khi đó ta có P = x1.x2 + 2(x1 + x2) = m2 -1 + 2(2m+2) = m2 + 4m + 3.
Đến đây có một sai lầm mà đa số HS mắc phải là phân tích m2 + 4m + 3 = (m+2)2 -1 ≥ -1 và
kết luận ngay GTNN của P = -1.
Đối với bài tốn này, cách làm trên hồn tồn sai vì HS khơng chú ý điều kiện PT có nghiệm
là m ≥ -1.
Giải đúng: Ta có P = m2 + 4m +3 = (m+1)(m+3).
Với m ≥ -1 suy ra m+1 ≥ 0, m+3 > 0 suy ra (m+1)(m+3) ≥ 0.
Vậy min P = 0, dấu bằng xảy ra khi m = -1 (thỏa mãn ĐK đã nêu).
Chú ý đối với dạng 4. 2 : Đơi khi học sinh có thể nhẩm nghiệm hoặc giải phương trình
tìm 2 nghiệm x1; x2 , sau đó thay nghiệm vào điều kiện bài tốn đưa về giải các phương
trình (hoặc bất phương trình) ẩn m
Chẳn hạn:
Tìm m để phương trình x2 + 2mx + 2m – 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1 – 2x2 = 3
Ta có: a – b + c = 0 suy ra x1 = - 1; x2 = 1 – 2m
Thay x1; x2 vào hệ thức ta được: -3 – 2 + 4m = 3 suy ra m = 2
Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
9


Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm a ≠ 0 và ∆ ≥ 0
Bước 2:Viết hệ thức Vi – et: S = x1 + x2; P = x1 . x2 theo m
Bước 3: Từ hệ thức Vi – ét ta khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai
nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Lưu ý :
GV cần nhấn mạnh bước 1 vì học sinh thường ít chú ý đến điều kiện để vận dụng Vi – et
VD1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x – 3 – m = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn:
2

1 7

• Điều kiện ∆ = m 2 − m + 4 =  m − ÷ + ≥ 0 (Ln đúng với mọi m)
2 4


• Áp dụng Định lí Vi – ét ta có:

VD2: Cho phương trình(m-1)x2 – 2(m – 2) x +3 + m = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn:
• Điều kiện m ≠1;m ≤

• Áp dụng Định lí Vi – ét ta có:

Dạng 6: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P
Phương pháp:
Tính S2 – 4P và xét dấu
• Nếu S2 – 4P< 0, khơng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài
• Nếu S2 – 4P ≥ 0 thì hai số đó là 2 nghiệm phương trình: X 2 – SX + P = 0. Giải phương
trình X2- SX+ P = 0 và kết luận
Chú ý: Điều kiện S2 – 4P ≥ 0
Dạng 7: Lập phương trình khi biết hai nghiệm

1. Nghiệm là một giá trị cụ thể
2. Cho hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Phương pháp:
10


Bước 1: Lập tổng hai nghiệm (S) và tích hai nghiệm( P)
Bước 2: Kiểm tra điều kiện: S2 - 4P
• Nếu S2 – 4P ≥ 0 thì phương trình cần lập là: X2 – SX + P = 0
• Nếu S2 – 4P < 0 thì khơng lập được phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề bài
Ví dụ:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là

2
và
2 +1

2
2 −1

Bài 2: Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm bằng tích nghịch đảo hai nghiệm của
phương trình cho trước và có tích hai nghiệm bằng tổng các nghịch đảo của các nghiệm
của phương trình cho trước.
Bài 3: Cho phương trình 2x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm là x1; x2. Khơng giải phương trình
hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm là :

a- là hằng số

PHẦN II: CÁC DẠNG TOÁN QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng 1: Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và parabol

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = x + m - 1 và Parabol (P): y = x 2. Tìm giá trị của tham số m
để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt:
a) Ở hai phía trục tung
b) Ở bên phải trục tung
c) Ở bên trái trục tung
2
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx +1 và Parabol (P): y = x . Tìm giá trị của tham số m để
đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm ( x1 ; y1 ) và (x2 ; y2 ) thỏa mãn:
a)

.

b) x1 = 9x2
c) x1 + x2 = 4
d) y12 + y22 = 24
Bài 3: Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có pt: y = 4mx + 10 .Giả sử (d) cắt (P)
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x12 + x22
+ x1x2 khi m thay đổi.
Phương pháp :
• Phương trình hồnh độ giao điểm giữa (d) và (P) là: ax2 = - bx - c ⇔ ax2 + bx + c = 0
• Đưa u cầu của bài tốn tương giao (d), (P) về bài tốn liên quan đến phương trình
bậc hai
Lưu ý:
11


• Đây là dạng bài tập rất thường gặp trong đề thi. GV phải giúp HS chuyển từ bài toán
tương giao của hai đồ thị hàm số về việc giải tốn về phương trình bậc hai.
- Từ điều kiện của các hoành độ ta đưa về điều kiện giữa các nghiệm của phương
trình hồnh độ

- Từ điều kiện của các tung độ ta đưa về điều kiện giữa các hoành độ và chuyển về
điều kiện giữa nghiệm của phương trình hoành độ
- Từ điều kiện của các tọa độ ta đưa về điều kiện giữa các nghiệm của phương trình
hồnh độ
• Do đó khi GV đã làm chắc dạng 1, 2, 3 thì việc làm tốt dạng tốn này là khơng hề khó.
VD: Cho đường thẳng (d): y = mx +1 và Parabol (P): y = x 2. Tìm giá trị của tham số m để
đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn:

.

- Phương trình hồnh độ giao điểm x2 = mx +1 ⇔ x2 - mx -1 = 0
- Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn
khi phương trình (*) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
- Đến đây HS gặp bài tốn quen thuộc về phương trình bậc hai
Dạng 2: Giải các loại phương trình quy về phương trình bậc hai
1 Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
VD: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

x2
3
m
−
+
=0
2
x −9 x −3 x +3

2 Phương trình có chứa dấu GTTĐ:
2
Bài 1: Tìm m để phương trình x − 2 x + m = x − 1 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 2: Tìm m để phương trình x − 2 x − m x − 1 + m = 0 có nghiệm
3 Phương trình bậc cao:
Phương pháp chung : 1) Đưa về phương trình tích
2) Đặt ẩn phụ
3.1 Phương trình bậc ba:
VD:Cho phương trình x3 + m(x - 1) – 1= 0
a) Giải phương trình khi m = -3;
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt;
c) Gọi x1; x2; x3 là ba nghiệm đó, tìm m sao cho: x1x2 + x2x3+ x3x1 = -4
• Phương pháp: Biến đổi về phương trình tích (Thơng thường ta hay sử dụng PP nhẩm
nghiệm, nghiệm nguyên nếu có của PT là ước của hạng tử tự do)
• Chú ý : Điều kiện nghiệm của phương trình
2

2

12


3.2 Phương trình bậc bốn:
- Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
(1)
Cách giải:
Bước 1: Đặt x2 = t, t ≥ 0
Bước 2: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai
Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên, tìm t rồi tìm nghiệm x tương ứng
Bước 4: Trả lời
Chú ý:
Xét phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (1) với a khác 0. Đặt t = x2 ≥ 0, ta có at2 + bt + c = 0 (2)

•
PT (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
•
PT (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0.
•
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có duy nhất một nghiệm dương.
•
PT (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (2) có duy nhất bằng 0 hoặc (2) có 1 nghiệm bằng 0
và nghiệm cịn lại âm.
•
PT (1) vơ nghiệm khi và chỉ khi (2) vơ nghiệm hoặc (2) có nghiệm đều âm
Bài 4: Cho phương trình: x4 – 2x2 + m – 2 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = -1
b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm các giá trị của m để PT có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 mà: x12 + x22 – x1x2 = 121
Các phương trình bậc bốn thường gặp:
a) ( x2 + ax + c)( x2 + ax + d) = k. Đặt
b) ( x2 + ax + c)( x2 + bx + c) = kx2. Đặt
c) ( x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = k với

. Đặt

d) ( x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = kx2 với

. Đặt

e) (x + a)4 + (x + b)4 = k. Đặt

3.3 Phương trình có hệ số đối xứng:
Là phương trình có hệ số đối xứng nhau qua số hạng ở giữa

•Bậc chẵn:
Phương pháp:
Xét x = 0 khơng là nghiệm của phương trình
Với phương trình đối xứng bậc 2n ta chia hai vế cho x n rồi đặt ẩn phụ
bậc của phương trình xuống bậc n. Điều kiện của ẩn phụ
13

giảm


Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng
của phương trình cho

. Ta chia hai vế

rồi cũng đặt

phương trình chuyển về dạng

, đây là phương trình bậc hai ẩn t.
•Bậc lẻ:
Phương pháp:
Phương trình đối xứng bậc lẻ ln nhận
trình thành nhân tử ta được

là một nghiệm. Phân tích vế trái phương
trong đó g(x) là đa thức đối xứng bậc chẵn đã biết

phương pháp giải ở trên.
3.4 Phương trình hồi quy:

Là phương trình có dạng

với

.

Phương pháp:
- Xét x = 0 khơng là nghiệm của phương trình
-

Chia hai vế của phương trình cho

rồi đặt ẩn phụ có dạng

ta sẽ đưa

được về phương trình bậc hai ẩn t.
4. Phương trình vơ tỉ:
Một số phương trình vơ tỉ quy về phương trình bậc hai
•

Dạng

. Đặt ẩn phụ

đưa về phương trình bậc hai

để tìm t
Ví dụ: Giải phương trình ( x − 3)(8 − x ) + 26 = − x 2 + 11x
•

Dạng

trong đó a, b là hằng số

Đặt ẩn phụ

đưa về hệ phương trình đối xứng để tìm m, n.

Ví dụ: Giải phương trình
•

x2 + 9 − x2 − 7 = 2

Dạng
Đặt ẩn phụ

đưa về phương trình bậc hai để tìm t

Ví dụ: Giải phương trình 7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = 3
5. Hệ phương trình
 x + y + xy = 11
a)  2
2
 x y + xy = 30

 xy = −64

b)  1 1 1
x − y = 4



x + y = 1
c)  3
3
2
2
x + y = x + y

 x 2 − xy − 2 y 2 = 0
d)
3x + y = 1

Dạng 3: Các bài tập liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng phương pháp giải
14


đặc biệt
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình x 2− mx + 2002 = m có nghiệm là các số
nguyên.
Giải
Cách 1: Giải sử x0 ∈  là một nghiệm của pt ⇒ x02 + 2002 = m(x0 + 1)
x0 2 + 2002 x0 2 − 1 + 2003
2003
=
= x0 − 1 +
x0 ≠ 1 ⇔ m =
Vì m ∈  nên x0 + 1 ∈ Ư(2003) =
x0 + 1
x0 + 1

x0 + 1

{±1; ± 2003}
⇒ x0 ∈ {-2004; -2; 0; 2002}
⇒ m ∈ {-2006; 2002}
Cách 2: Ta có x2− mx + 2002 – m = 0
Tính
Để phương trình có nghiệm ngun thì

là số chính phương. Giả sử

với

Suy ra

Do đó

và

là ước của 8012.

Nhưng

nên hai số đó cùng là ước chẵn của 8012. Mà
nên

Từ đó tìm được

hoặc
hoặc

Bài 2: Tìm m để 2 phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm chung
x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0
Giải:
∆1 ≥ 0
∆ 2 ≥ 0

Có ∆1 = m2 − 8; ∆2 = 4 − 4m. Để 2 phương trình cùng có nghiệm thì 
m2 − 8 ≥ 0
⇔
⇔m≤- 8
 4 − 4m ≥ 0

 x0 + mx0 + 2 = 0 (3)
 x0 + 2 x0 + m = 0 (4)

Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình ta có: 

Lấy (3) − (4) có: (m − 2)(x0 − 1) = 0
⇔ x0 = 1 (vì m − 2 ≠ 0 do m ≤ - 8 )
Thay x0 = 1 vào (3) ⇒ 3 + m = 0 ⇔ m = -3 (TMĐK)
Vậy …
Bài 3: Cho phương trình x2 − mx + m2 − 5 = 0
Giải: Giả sử x0 là nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của x0
Vì x0 là nghiệm của (1) nên x02 − mx0 + m2 − 5 = 0
15


⇔ m2 − x0m + x02 − 5 = 0 (2)
Pt (2) ẩn m phải có nghiệm. Do đó ∆ = x0 − 4(x02 − 5) ≥ 0

20
2 15
2 15
≤ x0 ≤
⇔−
3
3
3
2 15
15
x0 = −
⇔m= −
3
3
2 15
15
x0 =
⇔m=
3
3

⇔ 3x02 ≤ 20 ⇒ x02 ≤

Vậy …
Bài 4: Chứng minh phương trình: (x2 + mx + m + 1)(x2 + x − m − 1) = 0 ln có nghiệm với
mọi m.
Giải:
 x 2 + mx + m + 1 = 0 (a) ∆1 = m 2 − 4m − 4
(1) ⇔  2
 x + x − m − 1 = 0 (b) ∆ 2 = 1 + 4m + 4

∆1 + ∆2 = m2 + 1 > 0 ∀m
Do đó phải có ít nhất một trong hai số ∆1, ∆2 dương. Vì vậy ít nhất 1 trong 2 pt (a) và (b)
có nghiệm ⇒ pt (1) ln có nghiệm ∀m
Bài 5: Cho hai phương trình x 2 + p1 x + q1 = 0 ; x 2 + p2 x + q2 = 0 . Chứng minh rằng nếu
p1 p2 ≥ 2(q1 + q2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vơ
nghiệm: a 2 x 2 + (a 2 + b 2 − c 2 ) x + b 2 = 0
Bài 7: Cho ba phương trình: x 2 + 2ax + ac = 0 ; x 2 − 2bx + ab − c = 0 ; x 2 + 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm
KẾT LUẬN
Trên cơ sở phân tích tài liệu ơn tập thi vào 10 của Sở GD & ĐT Hà Nội, đề thi vào 10 những
năm gần đây, tổ Toán trường THCS Dịch Vọng hệ thống các dạng bài liên quan đến PT bậc
2, Hệ thức Vi-et và các ứng dụng của chúng. Việc phân chia các dạng bài tập chỉ có tính chất
tương đối. Trong q trình giảng dạy, mỗi người giáo viên phải nắm được năng lực của các
đối tượng học sinh, từ đó vận dụng một cách sáng tạo để đạt được hiệu quả cao nhất. Tổ
Toán trường THCS Dịch Vọng rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các trường bạn để
tồn quận có một chuyên đề phục vụ giảng dạy và ôn thi vào lớp 10 THPT đạt kết quả cao.
Xin trân trọng cảm ơn!

16