TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC

Lý thuyết : Tính tích phân kép (hai lớp, bội 2) chính là tính thể tích
y  ham or const

V   Zdxdy  
D

D

 xconst
f ( x ; y )dy
  dx 
 xconst yham or const
f ( x ; y )dxdy   yconst xham or const

 dy xhamor const f ( x ; y)dx
 yconst

const

thẳng
Khi hàm Z =1 chính là tích diện tích S=  1dxdy quy ước.
D

Kiến thức cần nhớ! : Vẽ Tất cả các đồ thị đã học
y  x
 y  2x

 y  3x

+ đường thẳng : y  ax  b, a x  by  C  0   y  3x



x  y  1  y  1  x
x  y  2  y  2  x



x   y
y  x2  

 x   y

x   1 y

y  1 x2  
 x   1  y


x  1 y 1

 y  ax 2  bx  c  y  x 2  2x  y  1  x 2  2x  1  y  1  (x  1) 2  


 x  1  y  1
2
 x  ay  by  c 

y   x
2
x  y  


 y   x

 y   x

2
x


y



 y    x

 y 2  2x


: ở đây là đường


Tính chất của tích phân kép :
a) Nếu f ( x ; y) là hàm lẻ đối với x ; nghĩa là : f ( x ; y)   f ( x ; y) và miền D có trục đối
xứng qua oy thì  f ( x ; y )dxdy  0
D

b) Nếu f ( x ; y) là hàm lẻ đối với y ; nghĩa là : f ( x ;  y)   f ( x ; y) và miền D có trục đối
xứng qua ox thì  f ( x ; y )dxdy  0
D

c) Nếu f ( x ; y) là hàm lẻ đối với x ;nghĩa là : f ( x ; y)  f ( x ; y) và miền D có trục đối xứng
qua oy thì  f ( x ; y )dxdy   f ( x ; y )dxdy Với D’ là phần của D mà x  0
D

D'

Công thức đổi biến sang tọa độ cực :
x  r cos 
Đặt 
 y  r sin 

I



D(X;Y)

x 2  y2  r 2 J  r

f (x; y)dxdy 



D(X;Y)

  
D x ,y  D / ,r 
  r

(rcos ;rsin ). J drd



D(X;Y)

(rcos ;rsin ) r drd


Dạng : Parabol, đường thẳng :
Bài 1 :10/08/2015

x  0,y  0
Vẽ miền D : 
và tính tích phân kép của hàm số f ( x ; y)  2 x  y trên miền D
x  y  1
Giải
Vẽ hình ra
Cố định x, tính tích phân theo y

1

1 x

1


y2 1  x 
I   dx  (2 x  y )dy    2 xy 
 dx
0

2

0
0
0
1


(1  x)2 
   2 x.(1  x) 
 dx
2 
0
1

2

Cố định y, tính tích phân theo x
1 y

1

1


1 y 
I   dy  (2 x  y )dx    x 2  xy
 dy
0


0
0
0
1

   (1  y ) 2  (1  y ) y  dy 
0

1
2


Bài 2: 30/12/2008
2 x2

1

Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dx
2



f ( x ; y )dy

x

Giải
1

2 x2

I =  dx



2

x

1

2  x2 
9
2
f ( x ; y ) dy    y
 dx    2  x  x  dx 
2
x
2 
2

1

y

1

I =D1 +D 2 =  dy
2



2

1dx   dy
1

 2 y

2 y



1dx

 2 y

2

y

2 y 
 dy
=  x
 dy +   x






2

y
2 
1

  2 y
1

1





2

=  y  2  y dy + 
2

=





2  y  2  y dy

1

19
6

 1,333333333

 4,5


Bài 3 : Tính I 

 xy dxdy
D

Y  0

D là giao giữa 3 đường Y  X 2
X  Y  2


Giải
y  0

Phải vẽ 3 đường  y  x 2
để tìm miền D
 y  2  x


Vẽ hình ra
Cố định y, tính tích phân theo x
1

 x2y 2  y 
(2  y)2 y

I   dy  xy dx   

 dy   


2
2
y
0
0
0
y


2 y

1

1

2

 y  y  dy 
2






1

 (2  y)2 y y 2 
7
0  2  2  dy  24

Cố định x, tính tích phân theo y

1

x2

2

I   dx  xydy   dx
0

0

 x2
   x.

2
0


1

2 x


0

1

2
 y 2 x2 
 y2 2  x 
xydy    x.
dx    x.
 dx
 2 0 
0
2


0
1


2

2

2
1 5
2


4  4 x  x2
2

x
x


 dx   x.
 dx   dx    x.




2
2
2
1
0
1


1 5
2  4 x  4 x 2  x3 
x
 dx
  dx   


2
2

0
1

1 5
7
 

12 24 24
1

 







  dx




Bài 4:
Tính tích phân I =  xydxdy ,nếu D được giới hạn bởi các đường cong y  x  4, y2  2x.
D

Giải
2


 y2  

y  4
y 4
 2  y
4
4  2
4
4
2
 ( y  4) 2 y y 5 
x
y
(
y

4)
y






2
I =  xydxdy =  dy  xy dx  
dy   

  dy  90
 dy   

 2 y 
2
2
2
8 
2
D
2
2 
2
2 

y


2


2





2x

2

I =D1 +D 2 =  dx
0

8

xydy   dx



2

 2x

2x

 xydy

x4

8
 xy 2
 xy 2 2 x 
2x 
 dx +  
= 
 dx



2
2
x


4
 2x 
0
2


2
2
2 x
8 x
2x
x  2x 
2x
 dx + 
= 

2  2


2
2
0



2













2

2 
x  x  4 

dx

2



8
 x.2 x x  x  4 2 
 x.2 x x.2 x 
I = 


 dx  0  90
 dx +  


2
2
2
2


0
2

2


Bài 5. Tính diện tích giới hạn bởi y  x 2  6 và y  x
Giải
Vẽ hình ra
Cố định x, tính tích phân theo y
x

3

3

3
 x

2
I  2  dx  1dy  2   y 2
 dx  2  x  x  6 dx  27

x  6

0
0
0
x 2 6





Cố định y, tính tích phân theo x
y 6

0

I  2  dy



6

y 6

3

1dx  2  dy

0



0

y

0

3

1dx  2  y  6 dy  2 
6





y  6  y dy  27

0

1

Bài 6: Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dy
0

y2  y



f ( x ; y )dx

0

Giải
Cố định y :
1

y2  y

I =  dy



0

1

f ( x ; y ) dx   dy

0

0

y2  y


0

1

 y2 

1dx    x
 0
0

1
y
5
2
 dy    y  y  dy 
6
0


Cố định x :

 1

2
 1
1


I =  dx  1dy =   y 1
dx
=
1


x



 dx = 0,833333333334
1

2
4


x

0
0
0
1
1

  x
2
4 
2
4

2

1

2

y2  y  x
1

1
 y2  y   x 
4
4
1

 y 
2

 y

2


x

1
4

1
1
1
1
  x  y    x
2
4
2
4

x2 2

3

Bài 7. Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx
0

2



f ( x ; y ) dy

x 2 x  2

Giải
x2  2

3

I =  dx
0

3
 x2  2

f ( x ; y )dy     y 2
 dx   x 2  2  ( x 2  2 x  2) dx  9
 x  2x  2 
0

0

3





x 2 2 x  2



Cố định y, tính tích phân theo x
1 y 1

2

I   dy
1

5

1 y 1

1dx   dy


1 y 1



y 2

2

2

5

2

5
1dx   1  y  1  1  y  1  dy   1  y  1  y  2  dy
1
2
1
2

16 x 2

2

Bài 8. Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx
0



f ( x ; y ) dy

8 x  x2

Giải
2

16 x 2

I =  dx



0

8 xx

2

2
2
16  x 2 
 dx 
f ( x ; y )dy     y
0

0
8 x  x 2 




Cố định y, tính tích phân theo x

4  16 y 2

12

I


0

dy


0

16  y 2

4

1dx 


12

dy


0

1



16  x 2  8 x  x 2 dx  2,7394


1 y 
1dx    x 2  xy
 dy  2,7934
0
0



1

x2

3

Bài 9: Đổi thứ tự lấy tích phân : I =  dx  f ( x ; y) dy   dx
0

0

1

3 x
2

f ( x ; y )dy


0

Giải
1

I   dy
0

3 2 y

 1dx  1,333
y

2

Bài 10: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I   dy
1

4 y

f ( x ; y )dx   dy


4 y

4

2

2

4 y



f ( x ; y )dx

0

Giải

Bài 11 : 05/06/2015
1

2

2

2

Cho I =  dy  f ( x ; y )dx   dy  f ( x ; y )dx Vẽ miền lấy tp và đổi thứ tự tích phân trên.
1
2

1
y

1

y

Giải

2

Bài 12: Giả sử mật độ dân số (đơn vị : ngàn người/ km ) của một thành phố được cho bởi
 x2  y 2

hàm số p(x, y)  5000e
(trong đó x,y có đơn vị km). Hãy ước lượng dân số trong
vòng bán kính 1km xunh quanh tòa nhà thị chính (được đặt ở gốc tọa độ).
Giải


Bài 13: Tính diện tích miền D

x  y  1; x  y  3
y  x ; y  2x

Giải
1
2

2x

3
2

2x

1

3 x

S   1dxdy  D1  D2  D3   dx  dy   dx  dy   dx
1
3

D
1
2

1
2

1 x

x

3
2

1

   2 x  1  x  dx    x  dx    3  2 x  dx 
1
3

1
2

1

 dy
x

1

1 3 1 2
  
24 8 4 3

1

Bài 14: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I =  dx
0

2 x 2



f ( x ; y )dy

x

Giải
2 x 2

 2  x2 
I =  dx  f ( x ; y )dy =   y
 dx
x
0
x
0

1
7
=   2  x 2  x  dx   1,166666667
6
0
1

1

1

y

2

I = D1 +D 2 =  dy  dx   dy
0

1

=

0

1

2

 ydy +  2  y dy =
0

1

2 y


0

2
 y
2 y
dx =   x  dy +   x
 dy


0
0
0
1


1

1
2

 0,6666666667

 1,166666667


Bài 15: 20/12/2008
Tính tích phân I =  ( x  2 y )dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y  x , x  y  1, y  0.
D

Giải
1 y

0,5

0,5

 x2
1 y
I   dy  (x  2y)dx     2xy
 dy
2
y
0
y
0 


0,5

 (1  y)2

y2
 
 2(1  y)y   2yy  dy
2
2

0 
0,5
 (1  y)2

y2
2
 
 2y  2y   2y 2  dy
2
2

0 
0,5
 (1  y)2
7 
 
 2y  y 2  dy
2
2 
0 

1
24



Cách khác :
0,5

x

I =D1 +D 2 =  dx  ( x  2 y )dy 
0

1 x

1

0

 ( x  2 y)dx  dy

0,5

0

0,5

1

x


1 x
2
I =   ( xy  y )  dx +   xy  y 2
 dx
0
0
0 
0,5 


0,5

1

I =   xx  x  dx +
2

0

0,5

2

0,5
1

I =   x  x  dx +
2

2

0

I=

  x.(1  x)  (1  x)  dx

0



 x  x

2

 (1  x) 2  dx

0,5

1
24



1
24


Bài 16: 10/12/2007

Tính tích phân I =  (3x 2 +y)dxdy ,trong đó D  (x , y)  R 2 :y  0, y  x 2 , x  y  2
D

Giải
Vẽ hình ra
Cố định y, tính tích phân theo x
1
 3
2  y
I   dy  (3x +y)dx    x  xy
 dy    (2  y)3  (2  y)y 


y 
0
0
0
y
2y

1

1

2

1





  (2  y)3  2y  y 2  2 y.y dy
0

 3,616666701
1

x2

2

2 x

2

I =D1 +D 2 =  dx  (3 x  y )dy   dx  (3x 2  y )dy
0

0

1

0

2
2
 2
 2
y2 x 

y2 2  x 
I =   3x y 
 dx +   3x y 
 dx
0
2 0 
2
0
1

1
2
(2  x) 2 
 2 2 x4 
 2
I =   3 x .x   dx +   3 x .(2  x) 
 dx
2
2


0
1
1

1

2
(2  x) 2 
 4 x4 

 2
3
I =   3 x   dx +   6 x  3x 
 dx
2
2


0
1
7
35
217
I=


 3,616666667
10
12
60

 
y

3

 y.y  dy


Bài 17: 13/06/2014
1

0  x 
Tính tích phân kép I = 10ye dxdy ,Với D: 
y
D
1 y  2

 xy

Giải
Cố định y, tính tích phân theo x
1
y



1
1
1
2
 xy
 .y
10ye



y  dy    10e y  10e0.y y  dy
I   dy  10ye xy dx   

y
1
0
1
1
0 
0 


2

2

2





  10e1  10 dy
1

 10 

10
e


Bài 18: 18/06/2013
3

Đổi thứ tự lấy tích phân I =  dy
1

3

2



f ( x ; y )dx

x 2 x

Giải

Bài 19:
2

Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân kép I =  dy
1

Giải
0

I =  dx  f ( x ; y )dy chưa giải
0

y 1



y 2 1

f ( x ; y )dx


Bài 20 :
Tính tích phân I =  ( x 2  xy )dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y  x , y  2x , x  2.
D

Giải
2

2x

2

 2
y2 2x 
I   dx  (x  xy)dy    x y  x
 dx
2
x
0
x
0

2
 2

(2x)2
x2 
2
   x .2x  x
 x .x  x  dx
2
2 
0
2

2

 3
x3 
3
3
   2x  2x  x   dx
2
0
2

5 
   x 3  dx
2 
0
 10
Cách khác :
2

y

4

2

2

I =D1 +D 2 =  dy  ( x  xy )dx   dy  ( x 2  xy ) dx
0

y
2

2

y
2

 3
y
2
4 3
x
x2
x
x2



I =


y y dy + 

y y  dy
 3

 3

2
2
0
2
2
2


3
2
3
2
2 3
4 3
y
y2
1 y  1 y  
2 22
1 y  1 y 
I =  
y       y  dy +    y      
 3

 3 2
2
3  2  2  2  
3 2  2 2 
0
2
2

 y 3 y 3 1  y 3 1  y  2
I =        
 3
2 3 2  2 2 
0
2

2

4

3
2
4

8
1 y  1 y 
y  dy +    2 y      

3
3 2  2 2 
2



1 3 1 3
1 3 1 3
5
8
I =   y3 
y  y  dy +    2 y 
y  y  dy
6
24
8
3
24
8 



0
2
8
22
I=

 10
3
3


y  dy





y  dy




Bài 21 :
Tính tích phân I =  2 y dxdy ,Với D là miền giới hạn bởi các đường y  x , y  2x , y  1
D

Giải
1
2

2x

1

1
2

1

1
 2 2x 
 2 1
I  D1 +D 2   dx  2ydy   dx  2ydy    y

dx


 y  dx

x
x
1
1

0
x
x
0
2
1
2

2

1



2

2





2



1



1
2

0

1
8

0

5
1

24
3



Cách khác :


y

I =D1 +D 2 =  dy  2 ydx =  2 xy y  dy


y
0
0
2


2
y

1

1

y

=   2 yy  2
2
0
1

=  y 2dy =
0

1
3

1

1


y  dy =  2 y 2  y 2 dy

0



2



  (2x)  x dx   1  x dx   3x dx   1  x 2 dx


2

1
2



1
2

Bài 22 : Tìm cận của tích phân kép I =  f ( x ; y )dxdy theo các thứ tự khác nhau của các biến,
D

Với D là miền được giới hạn bởi các đường: x   y 2 , y  2  x .
Giải
1

 y2

1

1
 y2 
9
2
I   dy  dx    x
dx


y

y

2
dx

2
 y  2 
2
2

y 2
2 





Cách khác :
1

I =D1 +D 2 =  dx
4

x2

0

dy 



 dx 
1

 x

x

dy

 x

0
 x2 
x 
 dx
I=  y
dx +   y

  x 




x
4 
1 


1

1



0



I =  x  2   x dx +

4

I=





 x   x dx

1

19
6



1,333333333

 4,5




Bài 23: 20/05/2012
Tìm cận của tích phân kép I =  f ( x ; y )dxdy theo các thứ tự khác nhau của các biến, Với D là
D

miền được giới hạn bởi các đường: x  y 2 , y  2  x .
Giải

1

2 y

I   dy 
2

y

2

1

1
 2  y
9
dx    x 2  dx   2  y  y 2 dx 
 y

2
2 
2




Cách khác :
x

1

I =D1 +D 2 =  dx
0

4

2 x

 dy   dx  dy
1

 x

 x

4

 2  x
x
 dx +   y
I =  y
 dx



 x
0
1
  x
1

1

I =
0

I=





4





x  x dx +  2  x  x dx
1

1,333333333 

19
6

 4,5



Bài 28: 26/12/2013
Tính tích phân bội sau I =  ( x  2 y )dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường y  2x 2 và
D

2

y  x 1

Bài 29: 29/05/2013
Xác định cận của tích phân bội sau I =  f ( x ; y )dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các
D

2

đường y  x  x , y  2x . Sau đó hãy đổi thứ tự lấy tích phân.
Bài 30: 10/07/2013
1

4

Đổi thứ tự lấy tích phân I =  dx
4

Tính I =



3

f ( x ; y ) dy



x 3 x

y  x 2 dxdy , Với A(1,0);B(1,0);C(1,1);D(1,1)

ABCD

1

1

1
2

BK nó giải I 2 = dx ( y  x )dy 

 

1

x

2

x2

 dx  ( x

1

2

 y )dy xử lý trị tuyệt đối bằng cách tách ra hai

0

tích phân rồi cộng kết quả lại
Bài 31: 6/6/2016
1

Đổi thứ tự lấy tích phân

1 x 2

 dx 
0

(1  x 2  y 2 )dy , sau đó tính tích phân này trong tọa độ cực.

 1 x 2

Giải


1

y2  y

Bài 24. Đổi thứ tự tính tích phân sau: I =  dy
0



2

e2 x dx Khó Quá

0

Giải
y2  y

1

I =  dy
0



2

e2 x dx 

0

1

1
2

Bài 27. 08/06/2015 Đổi thứ tự tính tích phân sau: I =  dy  e2 x dx
0

y

Giải
1

1

I =  dy  e

2 x2

y

0

1
1
 2 x2 x 
2
1
5
2
d (2 x )    e y  dx =  e2 x xdx 
0

4
6
0
0

y2  y  x
 y2  y 
1

 y 
2

y

1

1
1
 x
4
4
2


x

1
4

1

1
1
1
  x  y    x
2
4
2
4

x

1

1
1
 2 x2 x 
2 1
1 21 1
1
2 x2
I =  dx  e dy =   e y  dx =  e xdx =  e2 x d (2 x 2 ) = e 2 x  e 2 
0
0 4
4
4
4
0
0
0
0

0
2 x2


có 5 dạng : đi thi biết dạng nào là ok
Tích Phân đường loại 2 có dạng : I  P(x,y)dx  Q(x,y)dy


L

Tích Phân đường loại 2 kín có dạng : I 

 P(x,y)dx  Q(x,y)dy
L

Nếu L là đường cong kín thì dùng công thức : Green

P  P(x, y)
P ' y 

Q  Q(x, y) Q 'x 

Đặt : 

I

  Q

/
x



Ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương (+)



Cùng chiều kim đồng hồ (-) hoặc thuận chiều kim đồng hồ.

 Py/ dxdy

D



I    Q x/  Py/ dxdy
D

 Thông thường đi thi tính tích phân đường loại 2 là tính hoàn lưu, tính công.







+ Tính công của lực F (x,y)  P(x,y)i  Q(x,y)j







+ Tính hoàn lưu trường vectơ phẳng F (x,y)  P(x,y)i  Q(x,y)j

Tính chất của tích phân kép :
a) Nếu f ( x ; y ) là hàm lẻ đối với
qua oy thì

x ; nghĩa là : f ( x ; y )   f ( x ; y ) và miền D có trục đối xứng

 f ( x ; y)dxdy  0
D

b) Nếu f ( x ; y ) là hàm lẻ đối với
qua ox thì

y ; nghĩa là : f ( x ;  y )   f ( x ; y ) và miền D có trục đối xứng

 f ( x ; y)dxdy  0
D

c) Nếu f ( x ; y ) là hàm lẻ đối với
oy thì

x ;nghĩa là : f ( x ; y )  f ( x ; y) và miền D có trục đối xứng qua

 f ( x ; y)dxdy   f ( x ; y)dxdy Với D’ là phần của D mà
D

Đường tròn có dạng :

x0

D'

2

x  a  y  b

2

 R 2 , Tâm  a,b  , Bán kính R

x 2 y2
Đường elip có dạng : 2  2  R 2
a
b
Diện tích của hình elip là : ab
Cận là hằng số, hàm độc lập  bấm máy tính


-

Bài 1: Tính tích phân đường I 

2
 (2arctanx y)dx (x y )dy, Với L là đường tròn x  y  1

2

L

Lấy theo chiều dương.
Giải
y
Đường tròn :

x 2  y2  1

1

-1

x

/
P  2arctanx y Py  1

Đặt 
2
/
Q  x  y
Qx  1

L là đường cong kín
P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
Áp dụng công thức Green





I   Q x/  Py/ dxdy   1  (1)  dxdy   2dxdy  2S ht  2.R 2  2..12  2 
D

D

D

2


-

1
e2x
Bài 2: Tính tích phân I  
L e ln y  1  y dx  2  6x  1  y2

tâm O, bán kính R  1 , Chiều lấy tích phân là chiều dương.
2x

2


 dy, Với L là đường tròn có



Giải
y
Đường tròn :

x 2  y2  1

-1

1

x


1  y2  y
2y
1

P  e2x ln y  1  y2
2
2
2x
2
1

y
1

y


e
/
2x
2x

e .

Py  e .

2
2
y  1 y
y  1 y
1  y2

Đặt 
2x


1
e
Q   6x 
 
2

  / 1
2e2x 
e2x
2


1

y


  3
Q x  2  6 
2 
2
1

y
1

y



L là đường cong kín
P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
Áp dụng công thức Green

I  
D




e2x
e2x

Q  P dxdy    3 

2

1 y
1  y2
D 
/
x

/
y




 dxdy   3dxdy  3S §t  3.R2  3..1  3

D



-

Bài 3: Tính tích phân đường loại hai 19/12/2006

  e

I

xy







 2y dx  exy  2x  xy dy

C 

Với (C) là đường tròn

x 2  y2  1, theo chiều dương
Giải
y

x

1

-1

 Py/  e x  y  2
 P  e x  y  2 y

Đặt 
x y
Q  e  2 x  xy Qx/  e x  y  2  y

L là đường cong kín P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
Áp dụng công thức Green
I    Qx/  Py/  dxdy    e x  y  2  y  e x  y  2  dxdy   ydxdy
D

D

D

Cách 1 giải trong tọa độ đề các :
1 x 2

1

I =  ydxdy =  dx
D

1


 1 x 2


1 
 2 1  x2 
y
 dx  
y dy =  



2 
2
1 
1 
 1 x 


1



1  x2
2

2

 

 1  x2
2



2


1  x 2  1  1  x 2  (1  x 2 ) 
 dx  
 dx  0
2


 1  x 2  1 


Cách 2 : Đổi biến sang tọa độ cực
x  r cos 
y  r sin 

Giả bộ giải nek : Đặt (Đổi biến) 

J r

 0   2 
 0 r  1

Đổi cận : D xy  D /  r 
2

2

1

1

2 r3 1
r3 1
I   ydxdy   d (r sin ).r dr   sin d. r dr   cos  .( )  0.( )  0
3 0
0 3 0
D

0
0
0
0
2

2

2

2
 r3
1
2
1
1
I   ydxdy   d r sin  dr    sin   d   sin d   cos 
0
3
0
3
3
0

D
0
0
0 
0
1

2