Bài giảng xác suất thống kê giảng viên phan trung hiếu đại học sài gòn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
-----------------O0O-----------------

Bài giảng
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu

Lưu hành nội bộ
9/2015

1


MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG 0. ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP.……………...…………1
I. Tập hợp……………………………………………………………………………………....2
II. Các phép toán tập hợp…………………………………………………………………..…..4
III. Các tính chất………………………………………………………………………………..5
IV. Các quy tắc đếm……………………………….…………………………………………...5
V. Giải tích tổ hợp………………………………………………………………………….......6
VI. Một vài ví dụ tổng hợp………………………………………………………………...…...7

CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT……………………….......…….…9
I. Hiện tương ngẫu nhiên………………………………………………………………….....…9
II. Phép toán trên các biến cố……………………………...…………...…………..…………10
III. Quan hệ giữa các biến cố…………………………………...……………..…………...…11
IV. Các tính chất của biến cố ……………...………………………………..……………..…13
V. Nhóm đầy đủ các biến cố…………………………………..………..…………………….13
VI. Định nghĩa xác suất………………………………………………………………….….14
VII. Các công thức tính xác suất………………………………..……………………….……19

CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN……………………………………….……24
I. Định nghĩa…………………………………………………………….…………...……….24
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc…………………………………………………...……...………..24
III. Biến ngẫu nhiên liên tục…………………………………………...…………………..….25
IV. Hàm phân phối (tích lũy)………………………………………..………..……………....27
V. Các tham số đặc trưng…………………………………..……………………………..…..28
VI. Định nghĩa biến ngẫu nhiên n chiều……………………………………………….……32
VII. Biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc…………………………..……………………...………33
VIII. Biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục……………………….……………………………….36
IX. Hàm của các biến ngẫu nhiên……………………………………..………………..…….36
X. Các tham số đặc trưng khác………………………………..……………………..……….38

CHƯƠNG 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT…….……..…39
I. Phân phối nhị thức B(n,p)…………………………………………………………………..39
II. Phân phối siêu bội H(N,M,n)……………………………...…………...………………..…41
III. Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M,n)…………………………………...………..…………...42
IV. Phân phối Poisson P(  )……………...………………………………...…………….......43
V. Liên hệ giữa B(n,p) và P(  ) ………………………………………………..……...…….44
VI. Phân phối chuẩn N(  , 2 )……………………………………………...……………..….45
VII. Liên hệ giữa B(n,p) và N(  , 2 )……………………….………….…………….………46


VIII. Phân phối đều U(a,b)…………………………………………………………………...48
IX. Phân mối mũ E(  )………………………………………………………………….……48

CHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT MẪU & ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ………..……50
I. Tổng thể và mẫu…………………………………………………………….……………...50
II. Các đặc trưng của tổng thể…………………………………………………...……...........50
III. Các đặc trưng của mẫu…………………………………………...…………………....….50

IV. Lý thuyết ước lượng………………………………………..………..…………………....53
V. Ước lượng điểm…………………………………..…………………………………...…..53
VI. Ước lượng khoảng…………………………………………………………………..……53
VII. Ước lượng trung bình của tổng thể…………………………..……………………..……54
VIII. Ước lượng tỉ lệ của tổng thể……………………….……………………………...…….55
IX. Ước lượng phương sai của tổng thể……………………………………..…………….….57
X. Các bài toán liên quan đến ước lượng trung bình………………………………..…….….57
XI. Các bài toán liên quan đến ước lượng tỉ lệ………………………………..…………..….57

CHƯƠNG 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ………………..……59
I. Các khái niệm…………………………………………………………….………....……...59
II. Các loại sai lầm trong kiểm định…………………………………………………...……...60
III. Kiểm định tham số…………………………………………...…………………..........….60
IV. So sánh trung bình với một số………………………………………..………..………....61
V. So sánh tỉ lệ với một số…………………………………..………………………………..63
VI. So sánh hai trung bình……………………………………………………………………64
VII. So sánh hai tỉ lệ…………………………..………………………………………………65

DẠNG BÀI THỐNG KÊ.………………………..……………..…………..……67
BÀI TẬP CHƯƠNG 1.………………………..……………..……………..……76
BÀI TẬP CHƯƠNG 2.………………………..……………..……………..……85
BÀI TẬP CHƯƠNG 3.………………………..……………..……………..……98
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 VÀ CHƯƠNG 5.………………………..…………….106
CÁC BẢNG SỐ THÔNG DỤNG.………………………..……………..…..…109
TÀI LIỆU THAM KHẢO.………………………..…………....………..…..…122


9/2/2015

Kiểm tra, đánh giá kết quả:

XÁC SUẤT
THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu

45 tiết
LOG
O

-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm

bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.

3

Trang web môn học:
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
/>
5

4

Nội dung:
Chương 0:
Chương 1:
Chương 2:
Chương 3:
trọng.
Chương 4:
tham số.
Chương 5:

Đại cương về Giải tích tổ hợp.
Đại cương về Xác suất.

Biến ngẫu nhiên.
Một số phân phối xác suất quan
Lý thuyết mẫu và ước lượng
Kiểm định giả thuyết thống kê.

6

1


9/2/2015

Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng
dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê
ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,
Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.

Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus.

Các tài liệu tham khảo khác.
7

Chương 0:

ĐẠI CƯƠNG VỀ
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Giảng viên: Phan Trung Hiếu

8

I. Tập hợp:
1.1. Khái niệm:
-Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không
có định nghĩa.
-Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau
cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này
trở thành phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong
giờ môn XSTK tại phòng A… .

LOG
O
10

1.2. Ký hiệu:
▪ Tập hợp: A, B, C,…,X, Y, Z,…
▪ Phần tử: a, b, c,…,x, y, z,…
▪ x là một phần tử của tập hợp A: x  A
▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x  A
▪ A : số phần tử của tập hợp A.

1.3. Các phương pháp xác định tập hợp:
 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn
(đếm được, thấy được cụ thể)

Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và
bé hơn 6:
A   2, 3, 4, 5 

3A

5 A

0 A

A 4

11

12

2


9/2/2015

Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn
1000:
B  0, 1, 2, …, 997, 998, 999 

500  B

B 1000

Chú ý: Phương pháp liệt kê

- Không quan tâm thứ tự liệt kê.
- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không
lặp lại.

Trưng tính:
- Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử
trong tập hợp.
- Hay dùng khi số phần tử là vô hạn.
Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:

A   x x   và x  2 

10  A

101  A

13

14

Ví dụ 2:
B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại
phòng A…..}
 Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín,
không tự cắt.
Ví dụ 1:
3
7
3 A
2

5
4
A
7 A

A  2,3, 4,5

Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5
bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký
chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai
môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể
thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể
thao.
7 bạn đăng ký
CL

3

2

BB

2

3 bạn không đăng ký

15

16

1.4. Tập hợp con:
A là tập con của B, ký hiệu:

A B



A chứa trong B
A

4  A

I. Tập hợp:
BA

Ví dụ:

A  {1, 2, 3, 5, 7}

BA

B chứa A

A  B  x  A  x  B

B  {1, 5}



CA

C  {1, 2, 8}

B

17
18

3


9/2/2015

1.5. Tập hợp rỗng: 
-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.
Ví dụ 1:
A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng
A…. mà có số tuổi lớn hơn 80}  A  
Ví dụ 2: B   x x   và x 2  1  B  
Quy ước:  là tập con của mọi tập hợp.
Chú ý: ( X ) là tập tất cả các tập con của X.

1.6. Tập hợp bằng nhau:

A  B
A B
B  A

( X )  { A A  X }.

( X )  2n , n: số phần tử của X.
19
20

II. Các phép toán tập hợp:
2.1. Phép giao:

A  B   x | x  A và x  B
A

2.2. Phép hợp:

A  B   x | x  A hay x  B
A

B

B

A B
A B
A

B  A B  
(A và B rời nhau)

22

21

II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ:

A  {1, 2, 3, 4}
B  {3, 4, 5, 6, 7}
C  {2, 8, 9}
A  B  {3, 4}
A  C  {2}
BC  

2.3. Phép lấy hiệu:

A \ B   x | x  A và x  B
A

B

A\ B

A  B  {1, 2,3, 4,5,6, 7}
A  C  {1, 2,3, 4,8,9}
B  C  {2,3, 4,5,6,7,8,9}
23

24

4


9/2/2015

II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ:

2.4. Phép lấy bù:

A   x  X | x  A

A  {1, 2, 3, 4}
B  {3, 4, 5, 6, 7}
C  {6, 7, 8, 9}
A \ B  {1, 2}
A\C  A
C\ A C

X

A

C \ B {8, 9}
A\ A  
B\ B

A
Nhận xét:

A A  
A A  X

25

26

II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên
dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn
hơn 10. Hỏi A  ?
Giải

X  {1, 2, 3, 4, 5,....}
A  {11, 12, 13, 14, 15,....}
A   x  X | x  A  1, 2, 3, 4,...,10

III. Các tính chất:
3.1. Phân phối:

A   B  C   A  B   A  C
A   B  C   A  B   A  C
3.2. De Morgan:

AB  A B
A B  AB

3.3:
A
X
B A B A

A
B



B   B  A  B  A



27

IV. Quy tắc đếm:
4.1. Quy tắc cộng:
Công việc

1  n1 cách
thực hiện

Phương án 2  n cách
2
(Trường hợp)





k  nk cách

n1  n 2  ...  nk cách

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có
mấy cách chọn 1 quần để mặc

mặc?
Giải
TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách.
TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây: 3 cách.
Vậy có: 4 + 3 = 7 cách.
Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8
quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa
khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
10 + 8 + 6 = 24 cách.
30

29

5


9/2/2015

4.2. Quy tắc nhân:
Công việc

thực hiện

1  n1 cách
2  n 2 cách

Bước





k  nk cách

n1  n 2  ...  nk cách

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ
mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để
mặc?
Giải
Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách.
Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi: 3 cách.
Vậy có: 4  3  12 cách.

32

31

Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh
chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà
trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người
dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và
1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách
lập một đoàn như trên?

12  18  216 cách.

Tóm lại:
-Khi thực hiện một công việc có nhiều phương

án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong
công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng.
-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua
nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng
quy tắc nhân.

33

34

V. Giải tích tổ hợp:
5.1. Hoán vị: n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác
nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n
n ! cách.
vật khác nhau.
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào
a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi: 3!  6 cách
b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi: 2!  2 cách

c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số: 3!  6 cách
35

5.2. Tổ hợp ( C nk ):
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật.

C nk 

n!
cách.
k !(n  k )! (0  k  n;

k , n  )

Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao
nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp.
3
C 40
 9880 cách.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ
bài 52 lá? C 523  22100 cách.
36

6


9/2/2015

k

5.3. Chỉnh hợp (An ):
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật
rồi rồi xếp vào k chỗ khác nhau

n k cách.
 Xếp có lặp lại, có hoàn lại
 Xếp không lặp lại, không hoàn lại

Ank 

n!

cách.
(n  k )! (0  k  n;

Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao
nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp
trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào
nếu:
a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc
nhiều chức danh? 403  64000 cách.
b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức
3
danh? A40
 59280 cách.

k , n  )

Nhận xét: Ank  Cnk . k !
37

Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2
người, một người lau bảng, một người quét lớp
cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người?

A52  20 cách.
Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy
cách:
a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường? C 53 cách.
b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên
tường?A53 cách.

39

Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác
nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh
văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên
một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau.
Giải
Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách.
Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách.
Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách.
Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách.
Vậy có: 4! 2! 6! 3! cách.

41

38

VI. Một vài ví dụ tổng hợp:
Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1
chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp:
a) Năm người vào ghế?
b) Sao cho C ngồi chính giữa?
c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế?
Giải
a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 5! cách.
b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: 1 cách.
B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách.
Vậy có: 4! cách.
c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: 2! cách.
B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách.

Vậy có: 2! 3! cách.
40

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người,
nhóm 3 có 3 người?
Giải
B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1:
C104 cách.
B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2:
C63 cách.
B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3:
C33 cách.
Vậy có: C104 . C63 .C33 cách.
42

7


9/2/2015

Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh.
Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra
cùng màu?
Giải
TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ:C42 cách.
TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: C32 cách.
Vậy có: C42  C32 cách.

Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6

người trong đó:
a) có 3 nam và 3 nữ.
b) có đúng 2 nữ.
c) có ít nhất 2 nữ.
d) có nhiều nhất 2 nữ.
e) có không quá 1 nữ.
Giải
a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: C73 cách.
B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: C43 cách.
Vậy có: C73 .C43 cách.
b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: C42 cách.
B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: C74 cách.
Vậy có: C42 .C74 cách.

43

44

c) có ít nhất 2 nữ ( 2 nữ)
TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: C42 .C74 cách.
TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: C43 .C73 cách.
TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: C44 .C72 cách.
Vậy có: C42 .C74  C43 .C73  C44 .C72 cách.
d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2nữ)
TH1: chọn 6 nam:C76 cách.
TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: C41 .C75 cách.
TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: C42 .C74 cách.
Vậy có: C76  C41 .C75  C42 .C74 cách.
e) có không quá 1 nữ ( 1 nữ)
TH1: chọn 6 nam: C76 cách.

TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: C41 .C 75 cách.
Vậy có:C76  C41 .C 75 cách. 45

Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng.
Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3
màu?
Giải
Lấy 4 bi trong 15 bi: C154 cách.
Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu:
TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: C41 .C51 . C62 cách.
TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: C41 .C52 .C61 cách.
TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: C42 . C51 .C61 cách.
 Có: C 41 .C51 .C62  C41 .C52 .C61  C42 .C51 .C61 cách để số bi
lấy ra có đủ cả 3 màu.

Ví dụ 7: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào một chiếc
ghế dài có 6 chỗ sao cho 2 chỗ đầu tiên phải là
nam. Hỏi có mấy cách?
Giải
B1: Chọn 2 nam từ 3 nam rồi xếp vào 2 chỗ đầu
tiên: A32 cách.
B2: Chọn 3 chỗ từ 4 chỗ còn lại rồi xếp 3 người
còn lại vào 3 chỗ đó: A43 cách.
Vậy có: A32 . A43 cách.

Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có
20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán
sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên
học tập, 1 ủy viên đời sống nếu:
a) Chọn bất kỳ. A304 cách.

3
b) Lớp trưởng là nữ. 10.A29
cách.
3
c) Có đúng 1 nam.20.C10 .4! cách.
d) Toàn là nữ. A104 cách.
e) Có ít nhất 1 nam. A304  A104 cách.

Vậy có:

1
1
C154   C4 .C51 .C62 C41 .C52 .C61  C 42 .C51.C6 

 645 cách thỏa yêu cầu.
46

47

48

8


9/2/2015

Chương 1:

ĐẠI CƯƠNG VỀ
XÁC SUẤT

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

LOG
O

I. Hiện tượng ngẫu nhiên:
Hiện tượng tất định:
là những hiện tượng
mà khi thực hiện
trong cùng một điều
kiện như nhau sẽ
cho kết quả như
nhau.

Hiện tượng ngẫu nhiên:
là những hiện tượng mà
dù được thực hiện trong
cùng một điều kiện như
nhau vẫn có thể cho
nhiều kết quả khác
nhau.

biết trước kết quả
sẽ xảy ra

không biết trước được
kết quả sẽ xảy ra
2

-Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát

của lý thuyết xác suất.
-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu
nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”.
1.1. Phép thử (T ):thí nghiệm, phép đo, sự quan
sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không
thể dự đoán trước được.
Ví dụ: T: tung một con súc sắc
T: mua 1 tờ vé số
T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy
3

Ví dụ 3:
▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi
|  | C102  45.
Ví dụ 4:
▪ Một kho có 50 sản phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho.
T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm
1
|  | C 50
 50.
5

1.2. Không gian mẫu ( ):Tập hợp tất cả các
kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Ví dụ 1:
▪ T: tung một con súc sắc

   {1, 2,3, 4,5,6}|  | 6.
▪ T: tung một đồng xu

   {S , N } |  | 2.

▪ T: tung hai đồng xu

   {SS , SN , NS , NN }|  | 4.

Ví dụ 2:
▪ T: tung 2 con súc sắc |  | 6  6  36.
4

1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu.
Thường được ký hiệu là A, B, C,…
Ví dụ 1:
T: tung một con súc sắc   {1, 2,3, 4,5,6}.
A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”

 A  {2, 4, 6} | A | 3.

Khi nào biến cố
A xảy ra?
Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của
biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.
6

1

9/2/2015

Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi |  | C102  45.

Ví dụ 3:
T: tung một con súc sắc

  {1, 2,3, 4, 5, 6}.

A: “Lấy được 2 bi đỏ”
| A | Số cách lấy được 2 bi đỏ  C 42  6.
B: “Lấy được 2 bi khác màu”

A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm
không vượt quá 6”

 A {1, 2,3, 4,5,6} .

| B | C 61C 41  24.

B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”

Chú ý:
 A   : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).
 A  : biến cố không thể (không bao giờ xảy
ra).

 B  .
8

7

II. Phép toán trên các biến cố:
2.1. Quan hệ kéo theo:

A  B : biến cố A kéo theo biến cố B
A  B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra
A



B

Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong
một ngày.
D0 :“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”
D1 :“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”
D2 :“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày”
D3 :“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày”
B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một
ngày”. Trong các biến cố Di (i  0, 3) trên, biến cố
nào kéo theo biến cố B?
D0  B D1  B D2  B D3  B

9

2.2. Quan hệ tương đương:
A  B : biến cố A tương đương với biến cố B

A  B
A  B 
B  A
 A xảy ra thì suy ra B xảy ra
và ngược lại.

10

2.3. Tổng của các biến cố:

AB  AB
A + B xảy ra  có ít nhất 1 trong hai biến cố

A

A, B xảy ra
 hoặc A,
hoặc B,
B
hoặc cả A và B đều xảy ra.



11

12

2

9/2/2015

Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.
C: “Có ít nhất một sinh viên đậu”  C  A  B.
Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên ra 3 bi.
T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”.
Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”.
A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”  A  T  Đ.

2.4. Tích của các biến cố:

A.B  A  B
A.B xảy ra  A xảy ra VÀ B xảy ra
(tất cả)
A

B



13

14

Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.

C: “SV A và SV B đều đậu”  C  AB
.
Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.
A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”.
B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”.
C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”
 C  AB
.

Ví dụ 3: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con
thú.
A1 : “Viên đạn thứ 1 trúng con thú”.
A2 :“Viên đạn thứ 2 trúng con thú”.
A: “Con thú bị trúng đạn”.
Chọn câu đúng:

a ) A  A1
d ) A  A1.A2

e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.

15

16

Ví dụ 4:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi
đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi.
T1 : “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”.
T2 : “Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.

A: “2 bi lấy ra là bi trắng”.
Chọn câu đúng:

a ) A  T1 b ) A  T2
d ) A  T1 T2

c ) A  A1  A2

b ) A  A2

III. Quan hệ giữa các biến cố:
3.1. Xung khắc:
A và B xung khắc
 A và B không bao giờ cùng xảy ra.

 AB  

c ) A  T1.T2

A

B

e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.



17
18

3


9/2/2015

Ví dụ 1:

T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”.
B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”.
C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Chọn câu đúng:
a) A và B xung khắc.
b) A và C xung khắc.
c) B và C không xung khắc.
d) Tất cả đều sai.

Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá.
A: “Lấy được lá ách”.
B: “Lấy được lá cơ”.
Chọn câu đúng:
a) A và B xung khắc.
b) A và B không xung khắc.

19

Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá.
A: “Lấy được 2 lá ách”.
B: “Lấy được 2 lá cơ”.
Chọn câu đúng:

a) A và B xung khắc.
b) A và B không xung khắc.

20

3.2. Đối lập:
A và B được gọi là đối lập nhau
 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra
(có 1 và chỉ 1)
Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A.
A : “Không xảy ra biến cố A”.

A



21

Ví dụ 1:

T: tung một đồng xu
A: “Xuất hiện mặt ngửa”.
B: “Xuất hiện mặt xấp”.
 A và B đối nhau.

23

AA  

A

AA  
22

Ví dụ 2:

T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”.
B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”.
C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”.
Chọn câu đúng:
a) A và B không xung khắc.
b) A và B đối nhau.
c) B và C không xung khắc.
d) B và C đối nhau.

24

4


9/2/2015

Ví dụ 3:

T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”.
Chọn câu đúng:
a)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”.
b) A  1, 2, 3 .

c)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất
là 3”.
d) Cả hai câu b và c đều đúng.

Nhận xét:
 A và B
 đối nhau

đều không xảy ra
đều xảy ra

A và B
không
đối nhau.

 xung khắc.



 A xảy ra  A không xảy ra.

25

26

Ví dụ 4: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt
Si : “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2)
Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Si :
a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”. A  S1.S 2
b) B: “Không có ai thi đậu”. B  S 1.S 2

c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”. C  S1  S 2
d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”. D  S1.S 2  S1.S 2
e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”. E  S1.S 2
f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”. F  S1.S 2  S 1.S2
g) G: “Có sinh viên thi đậu”.G  S1  S2  C
h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”.

H  S 1.S 2  S1.S 2  S 1.S 2  B  F
27

IV. Các tính chất của biến cố:
 A  B  B  A; A.B  B. A
 ( A  B)  C

 A  ( B  C ); ( A.B ).C  A.( B.C )
 A.( B  C )  A.B  A.C ;
 A  B  A  B  B; A.B  A
 A  A  ; A. A  
 A  A  A; A    A; A. A  A; A.  
 A  B  A.B; A.B  A  B
A

A
B  ( B. A)  ( B. A)
B. A B. A

B
28

V. Nhóm đầy đủ các biến cố:

A1 , A2 , A3 ,..., An   là nhóm đầy đủ

A1  A2  A3  ...  An  

i j   khi i  j
AA
 luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra.
A1

A2

...

An

Ví dụ 1: A, A là một nhóm đầy đủ.
Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi.
T: “Lấy được viên trắng”.
Đ: “Lấy được viên đỏ”.
X: “Lấy được viên xanh”.

 {T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ.


30

29

5

9/2/2015

VI. Định nghĩa xác suất:
Xác suất của một biến cố là một con số đặc
trưng cho khả năng xảy ra khách quan của
biến cố đó.
Ký hiệu:
P(A): xác suất của biến cố A.

6.1. Định nghĩa cổ điển:

P (A) 

|A|
||

| A |: số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra.
|  |: số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Chú ý:
 0  P (A)  1, A
 P ( )  0

 P ( )  1
 P (A)  1  P (A)
32

31

Ví dụ 1: Lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10
nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp. Tính xác
suất để người được chọn là nam.
Giải
T: chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 người
1
|  |C 30
 30.
1
A: “Người được chọn là nam”| A |C 20
 20.
| A | 20

 0, 6667.
 P (A) 
|  | 30

Ví dụ 2: Từ một hộp đựng 20 quả cầu đỏ, 5
quả cầu đen, 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên
đồng thời 4 quả. Tính xác suất để:
a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen.
b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ.
c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ.
d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu.
e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu.
Giải
T: lấy ngẫu nhiên ra 4 quả từ 27 quả
4
|  | C 27
 17550.

33

a) A: “4 quả cầu lấy ra cùng màu đen”

| A | C  5
|A|
5
 P (A) 

 0, 0003.
|  | 17550
4
5

b) B: “4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ”
3
| B |C 20
.C 71  7980
| B | 7980
 P (B ) 

 0, 4547.
|  | 17550

35

34

c) C: “4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ”.

C : “4 quả cầu lấy ra không có quả đỏ”.
| C | C 74  35
|C |
35
 P (C ) 

|  | 17550
 P (C )  1  P (C )
 1

35
3503

 0,998.
17550 3510
36

6


9/2/2015

d) D: “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu”

Chú
của định
cổ điển):
V.ý (Điều
Địnhkiện

nghĩa
xácnghĩa
suất:
 Các kết quả trong không gian mẫu  phải
đồng khả năng xảy ra.
 Không gian mẫu  phải hữu hạn.

| D | C C  4850
| D | 4850
 P (D ) 

 0, 2764.
|  | 17550
4
20

4
5

e) E: “4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu”
E : “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu”.

E D
 P (E )  1  P (E )
4850 254
 1

 0, 7236.
17550 351
37

38

6.2. Định nghĩa theo thống kê:
-Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất
hiện k lần thì tỷ số
k
: Tần suất của biến cố A.
n
-Trong thực tế, khi n đủ lớn thì

Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút
thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi.
Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì
xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng:

91
 0,91
100

k
n

P( A) 

40

39

Ví dụ 2:

T: tung một đồng xu.

S: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”  P (S )  0,5
N: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” P (N )  0,5
Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để
kiểm chứng: Người thí
Số lần
Số lần
Tần
P (N )  0,5 

nghiệm
Buffon
Pearson
Pearson

tung
4040
12000
24000

41

ngửa
2048
6019
12012

suất

0,5069
0,5016
0,5005

6.3. Định nghĩa theo hình học:
Xét một phép thử đồng khả năng, không gian
mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành
một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài,
diện tích, thể tích).
Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền .
A: điểm M thuộc miền S  

P( A) 

độ đo của S
độ đo của 

42

7


9/2/2015

Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình
tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm.
Giải
A: điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp
22 3
 3 cm 2

4
??? 1
??? 
r
cm  S S  cm 2
3
3
 /3 
 P ( A) 

 0,6046.
3 3 3
S 

6.4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:
-Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác
suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong
thực tế nó không xảy ra trong một phép thử.
-Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác
suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong
thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử.

43

44

6.5. Xác suất có điều kiện:

P( A | B) 

P( AB)
P( B)

Chú ý:

 P ( B)  0 

P(A|B): xác suất để A xảy ra biết B đã xảy ra.
B: thông tin.

 P( B | A) 

P( AB )
P( A)

 P( A | B)  1  P ( A | B)
 P( A1  A2 | B )  P( A1 | B)  P( A2 | B)
nếu A1 và A2 xung khắc.

45

Ví dụ 1: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó
có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn
giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn.
Tính xác suất:
a) chọn được bạn giỏi Toán.
b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán.
c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn.
d) chọn được bạn không giỏi môn nào.
e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọn

được bạn giỏi Toán?
47

46

Giải
Toán

3

2

2

Văn

T: chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 10 bạn

|  | C101  10.
a) A: “Chọn được bạn giỏi Toán”

| A | C 51  5.
|A| 5
 P (A) 

 0,5.
|  | 10
48

8

9/2/2015

b) B: “Chọn được bạn chỉ giỏi Toán”

| B | C 31  3.
|B | 3
 P (B ) 

 0,3.
|  | 10
c) C: “Chọn được bạn giỏi ít nhất một môn”

| C | C 71  7.
|C | 7
 P (C ) 
  0, 7.
|  | 10

d) D: “Chọn được bạn không giỏi môn nào”

| D | C 31  3.
|D | 3
 P (D ) 

 0,3.
|  | 10
e) V: “Chọn được bạn giỏi Văn”

P(V|A )=?
P (V | A) 

50

49

V.A: “Chọn được bạn giỏi cả 2 môn”

|V .A |C 21  2.

2
 0,2
10
P (V .A) 0, 2
 P (V | A) 

 0, 4.
P (A)
0,5
 P (V .A) 

P (V .A)
P (A)

Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 8 bi gồm: 5 bi đỏ
và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi (lấy không hoàn
lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi
đỏ biết lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ?
Giải

Đ1 : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”.
Đ2 : “Lần thứ hai lấy được bi đỏ”.

P Đ2 | Đ1  4  0,5714.

7

51

Ví dụ 3: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa,
trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa. Một
người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa
khóa cho đến khi nào mở được mới dừng.
a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần
đầu tiên.
b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần
thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa.
c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần
thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều
không mở được khóa.
53

52

Giải
Mi : “Người đó mở được khóa ở lần thứ i”.

(i  1,2,3)

1

a) P (M 1 ) 
.
10
1
b) P M2 | M 1 
9

1
c) P M3 | M 1 .M 2  
8
54

9


9/2/2015

6.6. Biến cố độc lập:
Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy
ra hay không xảy ra của biến cố này không
làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia.
A, B độc lập  P( A | B)  P ( A)
hoặc

P ( B | A)  P ( B )
Hệ quả:

Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì
 A và B cũng độc lập với nhau.
 A và B cũng độc lập với nhau.

 A và B cũng độc lập với nhau.
Ví dụ 1:
T: tung 2 đồng xu.
A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”.
B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”.
 A và B độc lập.

A, B độc lập  P( A.B)  P ( A).P( B )
55

Ví dụ 2:

T: tung 1 đồng xu.
A: “Xuất hiện mặt sấp”.
B: “Xuất hiện mặt ngửa”.
 A và B không độc lập.

Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2
bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi.
a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ?
b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ?

56

Giải
Lấy mẫu
có hoàn lại
Lần 1 lấy ra quan sát
rồi bỏ trở lại vào hộp,
sau đó lấy tiếp lần 2.

P (Đ2)  2

10

Lần 1 lấy ra quan
sát rồi để ra ngoài
luôn, sau đó lấy tiếp
lần 2.

58

57

Lấy mẫu
Lấy mẫu
không hoàn lại
có hoàn lại
a)
Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”.
P (Đ1)  2
10
b)
Đ2: “Lần thứ 2 lấy được bi đỏ”.

Lấy mẫu
không hoàn lại

Nhận xét:
Lấy mẫu

không hoàn lại

Lấy mẫu
có hoàn lại

Kết quả
không độc lập nhau

Kết quả độc lập nhau

Đ2 = Đ2 |Đ1 + Đ2 |Đ1
P(Đ2) = P (Đ2 |Đ1)  P (Đ2 |Đ1)
1
2 1
= 9
+ 9=
3
59

60

10


9/2/2015

VII. Các công thức tính xác suất:
7.1. Công thức cộng xác suất:

P (A.B )  P (A).P (B )

 Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc AB   thì

Tổng quát:

P (A  B )  P (A)  P (B )

P (AA
1 2 ...An )  P (A1 ).P (A2 | A1 ).P (A3 | AA
1 2 )...P (An | AA
1 2 ...An 1 )

Tổng quát: Nếu A1,A2,…,An đôi một xung
khắc thì P (A  A  ...  A )  P (A )  P (A )  ...  P (A )
2

n

1

2

P (A.B )  P (A | B ).P (B )  P (B | A).P (A)
 Đặc biệt: Nếu A, B độc lập thì

P (A  B )  P (A)  P (B )  P (AB )

1

7.2. Công thức nhân xác suất:

n

 Hệ quả:
P (A)  1  P (A); P (A)  1  P (A)

Hệ quả: Nếu A1,A2,…,An độc lập (toàn bộ)
với nhau thì
P (AA
1 2 ...An )  P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )...P (An )
62

61

Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II
hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động
cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7.
Tính xác suất để:
a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt.
b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt.
c) Có động cơ chạy tốt.
d) Có 1 động cơ chạy tốt.

Giải
Đ1: “Động cơ I chạy tốt”
 P (Đ1)  0,8  P( Ñ1 )  1  P( Ñ1 )  1  0,8  0,2.
Đ2: “Động cơ II chạy tốt”

 P (Đ2 )  0, 7 P( Ñ 2 )  1  P( Ñ2 )  1  0,7  0,3.
a) A: “Cả 2 động cơ đều chạy tốt”

 A  Đ1.Đ2

P (A) P ( Đ1.Đ2 )  P (Đ1).P (Đ2 ) (Vì Đ1 và Đ2 độc lập)
 0,8. 0, 7  0,56.
63

64

c) Cách 1:
C: “Có động cơ chạy tốt”
b) B: “Cả 2 động cơ đều không chạy tốt”
 B  Đ1. Đ2

 P (B )  P ( Đ1.Đ2 )
(Vì Đ1 và Đ2 độc lập)

 P ( Đ1).P (Đ2 )

= “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”  C  Đ1 +Đ2
 P (C )  P ( Đ1 +Đ2 )
 P ( Đ1) +P (Đ2 ) - P (Đ1.Đ2 )
 0,8 + 0, 7 - 0,56

 0,94.

 0, 2. 0, 3  0, 06.

65

66

11


9/2/2015

Cách 2: Dùng biến cố đối lập
C: “Không có động cơ nào chạy tốt”  C  B
 P (C )  1  P ( C )

 1  P (B )  1  0, 06  0,94.
d) D: “Có 1 động cơ chạy tốt”

 D  Đ1.Đ2 + Đ1.Đ2
 P (D )  P(Đ1).P(Đ2) +P(Đ1).P(Đ2)

 0,8  0, 3  0, 2  0, 7  0,38.
67

a) A: “Lấy được 2 chính phẩm”  A  C1 .C2
P (A) P ( C1 .C2 )  P (C1).P (C2 ) (Vì C1 và C2 độc lập)

 0, 20,3  0,06.
b) B: “Lấy được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm”
 B  C1 .C 2 + C 1 .C2
 P (B )  P (C1 .C 2 + C 1 .C2)
 P (C1 .C 2)+ P (C 1 .C2 )

Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp chứa một số sản
phẩm bao gồm 2 loại chính phẩm và phế

phẩm. Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ hộp
I là 0,2; từ hộp II là 0,3. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để:
a) Lấy được 2 chính phẩm.
b) Lấy được 1 bi chính phẩm và 1 phế phẩm.
Giải
C1: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp I”.
 P (C 1 )  0, 2  P (C 1 )  1  P (C 1 )  1  0, 2  0,8.
C2: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp II”.
 P (C 2 )  0, 3  P (C 2 )  1  P (C 2 )  1  0, 3  0, 7.
68

 P (C1 ).P (C 2) + P (C 1) .P (C2 )

 0, 2.0, 7

 0,8.0,3

 0,38.

(Vì C1.C 2 và C 1 .C2 xung khắc)

70

69

Ví dụ 3: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ
thanh toán M và N. Tỉ lệ khách hàng của ngân
hàng sử dụng thẻ loại M, N tương ứng là 60%,
55% và cả hai loại là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1

khách hàng của ngân hàng. Tính xác suất người
đó:
a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng.
b) Chỉ sử dụng loại thẻ M.
c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng.
d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng.

71

Giải
M: “Khách hàng sử dụng thẻ loại M”.
N: “Khách hàng sử dụng thẻ loại N”.
Ta có: P(M)=0,6 ; P(N)=0,55 ; P(M.N)=0,3.
a) A: “Người đó có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng”.
A= M + N
 P(A) = P(M + N) = P(M) + P(N) – P(M.N)
= 0,6 + 0,55 – 0,3 = 0,85.
b) B: “Người đó chỉ sử dụng loại thẻ M”.

 B  M .N

P( B )  P (M .N )  P ( M )  P ( M .N )  0, 6  0,3  0, 3.
72

12


9/2/2015

c) C: “Người đó chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng”.

 C  M .N  M .N
 P(C )  P( M .N  M .N )  P ( M . N )  P ( M .N )
Ta có:

P ( M .N )  0,3

P ( M .N )  P( N )  P( M .N )  0,55  0,3  0, 25
 P (C )  0, 3  0, 25  0, 55.

Ví dụ 4: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong
đó có 5 sản phẩm xấu. Lấy lần lượt 2 sản phẩm
(không hoàn lại). Tính xác suất để cả 2 sản
phẩm đều là sản phẩm xấu.
Giải
A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”.
A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”.
A: “Cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu”

 A  A1.A2

d) D: “Người đó không sử dụng thẻ của ngân hàng”.

 D  M .N
 P( D )  P( M .N )  P ( M  N )  P ( A)
 1  P( A)  1  0,85  0,15.
74

73

 P (A)  P (AA
1 2 )  P (A1 ). P (A2 | A1 )
1  C 52 
 5  4 

20 19 19  C 2 
 20 
Chú ý:
 Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật
và không hoàn lại  Lấy cùng lúc k vật.

P (A.B )  P (A  B )  1  P (A  B ).

P (A  B )  P (A.B )  1  P (A.B ).

Ví dụ 5: Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi
cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng. Tính xác
suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 3.
Giải
Đi : “Lấy được bi đỏ ở lần thứ i”. (i  1,2,3)
A: “Việc lấy bi dừng ở lần thứ 3”

 A  Ñ1 .Ñ 2 Ñ3  Ñ1 .Ñ2 Ñ3

75

 P ( A)  P ( Ñ1 .Ñ 2 Ñ3  Ñ1 .Ñ2 Ñ3 )

 P (Ñ1 .Ñ 2 Ñ3 )  P (Ñ1 .Ñ2 Ñ3 )

76

7.3. Công thức xác suất đầy đủ:
Nếu {A1, A2,…, An} là nhóm đầy đủ thì
A1 A2 ... An

 P ( Ñ1 ).P ( Ñ2 | Ñ1 ).P ( Ñ3 | Ñ1 Ñ 2 )
 P ( Ñ1 ).P( Ñ2 | Ñ1 ).P( Ñ3 | Ñ1 Ñ2 )


2 8 1 8 2 1 2
. .  . .  .
10 9 8 10 9 8 45

H



P (H )  P (H | A1 )P (A1 )  P (H | A2 )P (A2 )  ...  P (H | An )P (An )

Công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác
suất của một biến cố qua một nhóm đầy đủ.
77

78

13

9/2/2015

7.4. Công thức Bayes:
VI. Các công thức tính xác suất:
Nếu {A1, A2,…, An} là nhóm đầy đủ các biến cố
thì
P (H | Ak ).P (Ak )
P (H )

P (Ak | H ) 


P (H | Ak ).P (Ak )
P (H | A1 )P (A1 )  P (H | A2 )P (A2 )  ...  P (H | An )P(An )

Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của
các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế
nào khi một biến cố đã xảy ra.

Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng
sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của
phân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhà
máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%.
Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50%. Tỷ lệ
phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là
5%, 4% và 10%. Lấy 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm?
b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm. Tính xác suất để
nó do phân xưởng II sản xuất?
80

79

Giải
5%



4%

I
II
(40%) (10%)

H

10% (phế phẩm)
III
(50%)

T: lấy 1 sản phẩm của nhà máy.

A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I” P(A) =0,4
B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II” P(B) =0,1
C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”  P(C) =0,5

a) H: “Lấy được phế phẩm”
 P(H|A) = 0,05
P(H|B) = 0,04
P(H|C) = 0,1

Vì {A, B, C} là nhóm đầy đủ nên ta có
P (H )  P (H | A).P (A) P (H | B ).P (B )P (H | C ).P (C )

 0,05 . 0,4
 0,074.
81

b)

P (H | B ).P (B )
P (H )
0, 04 . 0,1

0, 074
2

 0, 0541.
37

P (B | H ) 

83

+ 0,04 . 0,1 + 0,1. 0,5
82

Ví dụ 2: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 8 bi đỏ, 3 bi
vàng. Hộp 2 có 10 bi đỏ, 4 bi vàng.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
ra 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.

b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
ra 2 bi. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi
đỏ.

84

14