BÀI tập TỔNG hợp GT1

CHƯƠNG I: DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) lim
d) lim

2n 2 − n + 3
3n 2 + 2n + 1
n4

1+ 5
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
4 n 2 + 1 + 2n − 1

a) lim

4n 2 + 1 + 2 n

d) lim

n

5 + 2.7

2

2

4

4n 2 + 1 − 2n − 1

g) lim

n 2 + 4n + 1 − n
Bài 6. Tính các giới hạn sau:
2 cos n 2
a) lim 2
n +1
3sin 6 n + 5cos 2 (n + 1)
d) lim
n2 + 1
Bài 7. Chứng minh các giới hạn sau:
n

f) lim

b) lim

(

3n3 − 2n 2 + 1
4n +1 + 6n+ 2

5n + 8n
1 − 2.3n + 6n
2n (3n+1 − 5)
n 2 + 3 1 − n6
n4 + 1 + n2
n 2 − 4n − 4n 2 + 1

f) lim

3n 2 + 1 + n

(

e) lim
h) lim

1 + 2 + 22 + ... + 2n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

n2 + n − n2 + 2
n

2

− n − n)

n 2 + 3 1 − n6
n4 + 1 − n2

)

c) lim
f) lim

(

3

)

2 n − n3 + n − 1
1

n2 + 2 − n2 + 4
n 2 − 4n − 4n 2 + 1

i) lim

3n 2 + 1 − n

2 − 2n cos n
(−1) n sin(3n + n 2 )
c) lim
3n + 1
3n − 1
3n 2 − 2n + 2
3sin 2 (n3 + 2) + n 2
lim
e) lim
f)
n(3cos n + 2)
2 − 3n 2
b) lim

n2

n

c) lim

2016n
=0
n!

d) lim n

a) lim a = 1 (a > 0)

b) lim n = 1

d) lim n n ! = +∞

e) lim

Ths Ngô Quang Hùng ĐHXD

2n 4 + n 2 − 3

c) lim

(2n n + 1)( n + 3)
(n + 1)( n + 2)

1 

1 − 2 ÷
 n 

( n + 2n − n −1)
d) lim ( 1 + n − n + 3n + 1 )

n3 + 4

 1

1
1
+
+ ... +
b) lim 
÷
n( n + 2) 
 1.3 2.4
 1
1
1 
+
+ ... +
d) lim 
÷
n( n + 1) 
 1.2 2.3

Bài 5. Tính các giới hạn sau:
a) lim

f) lim

n

n2 + 2 + n

e) lim

3n3 + 2n 2 + n

c) lim

n2 + 3 − n − 4

n 2 + 4n + 1 + n
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
 1

1
1
+
+ ... +
a) lim 
÷
(2n − 1)(2n + 1) 
 1.3 3.5
1 
1 

c) lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷ ...
 2  3 
1 + 2 + ... + n

e) lim
n 2 + 3n

2n 4 + n + 1

2.5n + 7 n

b) lim

n 2 + 4n + 1 + n

f) lim

1 + 2.3n − 7 n

e) lim

n

n2 + 1

4.3n + 7 n+1

b) lim

2n + 5n +1

c) lim

n3 + 4 n 2 + 3

e) lim

(n + 1)(2 + n)(n 2 + 1)
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1 + 3n
a) lim
4 + 3n
d) lim

2n + 1

b) lim

2n

=0

( n n − 1) = +∞





Bi 8. Cho dóy s (un) vi un = 1

1
1
1
1 2 ữ... 1 2 ữ, vi n 2.

2 ữ
2 3 n

a) Rỳt gn un.
b) Tỡm lim un.

Bi 9.
1
1
1
=

(n N*).
n n + 1 + (n + 1) n
n
n +1


1
1
1
+
+ ... +
b)Tớnh lim
ữ
n n + 1 + ( n + 1) n
1 2 + 2 1 2 3 + 3 2
u1 = 1

Bi 10. Cho dóy s (un) c xỏc nh bi:

1
.
un +1 = un + n (n 1)

2
a) t vn = un+1 un. Tớnh v1 + v2 + + vn theo n.
b) Tớnh un theo n. T ú suy ra lim un.
u1 = 0; u2 = 1
Bi 11. Cho dóy s (un) c xỏc nh bi:
2un+ 2 = un +1 + un , (n 1)
a) Chng minh:

1
a) Chng minh rng: un+1 = un + 1 , n 1.
2
2
b) t vn = un . Tớnh vn theo n. T ú tỡm lim un.
3
u1 = 2

Bi 12. Cho dóy s ( un ) xỏc nh nh sau :
un1 + 2
(n 2)
un =
3
a) Chng minh dóy s trờn gim v b chn di.
b) Tớnh lim un .
u1 = a > 0
Bi 13. Cho dóy s ( un ) xỏc nh nh sau :
un = arctan un1 (n 2)

a) Chng minh dóy s trờn gim v b chn di.
b) Tớnh lim un .
u1 = 1
Bi 14. Cho dóy s ( un ) xỏc nh nh sau :
(n 2)
un = 2 + un1
a) Chng minh dóy s trờn tng v b chn trờn.
b) Tớnh lim un .
Bi 15. Cho 0 < a < b v cỏc dóy s { xn } , { yn } xỏc nh nh sau :
x0 = a, y0 = b


xn1 + yn1
(n 2)
xn = xn1 yn1 , yn =
2
Chng minh hai dóy s trờn hi t v lim xn = lim yn .

Baứi 1: Tỡm caực giụựi haùn sau:
Ths Ngụ Quang Hựng HXD

CHNG II: GII HN HM S


a) lim

x3 x 2 x + 1

d) lim

b) lim+

x 2 3x + 2

x1

x3 5 x 2 + 3 x + 9

x4 1

c) lim

x3 2 x 2 + x
x 5x + 4 x6

x1

x1
5

e) lim

f) lim

x1
(1 x) 2
x4 8x2 9
(1 + x )(1 + 2 x)(1 + 3 x) 1
x + x 2 + ... + x n n
g) lim

h) lim
x 0
x
x1
x 1
Baứi 2: Tỡm caực giụựi haùn sau:
3
x 1
4x +1 3
lim
.
a) lim
b)
3
2
x1 4 x + 4 2
x2
x 4
x3

x+2 2
x+7 3

d) lim

x2

x5 + 1
x3 + 1

xm 1

x1

xn 1
i) lim

x 4 16

x2 x 3

1 + x2 1
x

c) lim

x 0

2 x + 2 3x + 1
e) lim
x1
x 1

+ 2x2

x2 + 1 1

f) lim

x 0

x 2 + 16 4

1 + x 1
x + 3 2x
x + 9 + x + 16 7
h) lim
i) lim
3
2
x 0 1 + x 1
x3 x + 3 x
x 0
x
Baứi 3: Tỡm caực giụựi haùn sau:
3
8 x + 11 x + 7
1+ x 3 1+ x
2 1+ x 3 8 x
lim
a) lim
b)
c) lim
x2
x 0
x 0
x
x
x2 3x + 2
g) lim

d) lim

1 + 4x 3 1+ 6x
x2

x 0

e) lim

1 + 4x. 1 + 6x 1
x 0
x
Baứi 4: Tỡm caực giụựi haùn sau:
x2 + 1
a) lim
x+ 2 x 2 x + 1

g) lim

x 5x2
Baứi 5: Tỡm caực giụựi haùn sau:
x+

(

x2 + x x

2 x2 x + 1
x2

e) lim

)

9 x 2 3x + 2 x
4 x2 + 1 x + 2

2x2 + 1

x+

( 3 2x 1 3 2x + 1)
e) xlim
+

f) lim

x

3
1

g) lim
ữ
x1 1 x 1 x 3
Baứi 6: Tớnh caực giụựi haùn sau:

x+

x2 5x + 2
x 2 x + 1

i) lim

(

( 3 3x3 1 +

x2 + x + 1

x2 + 2

)

c) lim

x+

(

x 0

1 cos x
x2

c)

lim

)


x
2

1 sin x
2



xữ
2


d)

lim


x
4

3

x 2 + 1 x3 1

1
1

+ 2
h) lim 2
ữ
x2 x 3 x + 2 x 5 x + 6

b) lim

Ths Ngụ Quang Hựng HXD

x3 3 x 2 + 2
x x +1

f) lim

2
b) lim 2 x 1 4 x 4 x 3



d) lim x + x + x x ữ
x+


sin 3x
a) lim
x0 sin 2 x

x2 1
3

x +1 1 x
i) lim
x 0
x

x+

x 2 + 2 x + 3x

x+

5 x3 3 x 2 + 7

c) lim

4 x2 2 x + 1 + 2 x

h) lim

x

a) lim

b) lim

x

(2 x 1) x 2 3

x1

1 + 2 x .3 1 + 4 x 1
x

x

4x2 + 1 + 2 x

f) lim

h) lim

x 0

x2 + 2x + 3 + 4 x + 1

x

8 x + 11 x + 7
2 x2 5x + 2

x2

g) lim

d) lim

3

cos x sin x

cos 2 x

)


1 + sin x − cos x
x→0 1 − sin x − cos x

e) lim

i) lim

cos x − 3 cos x
2

x →0

sin x

π

tan x
g) limπ  2 − x ÷

x→

tan 2 x
x→0 arc sin 5 x

f) lim

j) lim

x→0

2

1 − cos x.cos 2 x
x

2

k) lim

π

sin  x − ÷
6

h) lim
π
3
x→
− cos x
6
2

1 − cos x. cos 2 x

x →0

sin 2 x

Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1 − cos x
b) lim
x→0 ln ( 1 − 2 x )

2

esin x − 1
a) lim
x→0 1 − cos x
1 − 3 cos 2 x
d) lim
x→0 1 − cos x

e) lim

x →0

cos x − 3 cos 2 x
sin 2 x

c) lim

(

)

sin e 2 x − 1

x →0

tan ( sin x )

)
x→0 arctan e 2 x − 1
(
)

f) lim

(

ln 1 + sin 2 2 x

Bài 8: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 x+3 −2
khi x ≠ 1

x
−
1
tại x = 1
tại x = −1
b) f ( x ) = 
1

khi x = 1

khi x = 1
 4
 x−5
 2 − 7 x + 5 x 2 − x3
khi x > 5
khi
x
≠
2


2
2
x
−
1
−
3
f
(
x
)
=
tại
x
=
2
f
(
x

)
=
tại x = 5
c)
d)
 x − 3x + 2

2
1

khi x = 2

( x − 5) + 3 khi x ≤ 5
 x −1
khi x < 1
1 − cos x khi x ≤ 0

tại x = 0
tại x = 1
e) f ( x ) = 
f) f ( x) =  2 − x − 1
khi x > 0
 x + 1
 −2 x
khi x ≥ 1

x+3

a) f ( x) =  x − 1
−1

khi x ≠ 1

Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác đònh của chúng:
 x3 + x + 2
 x 2 − 3x + 4
khi x ≠ −1
 3

a) f ( x) =  x + 1
b) f ( x ) = 5
4

khi x = −1
2 x + 1
 3
 x2 − 2
 x2 − 4


khi x ≠ −2
c) f ( x) =  x + 2
d) f ( x ) =  x − 2
 −4

khi x = −2

2 2

Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD

khi x < 2
khi x = 2
khi x > 2
khi x ≠ 2
khi x = 2


CHƯƠNG III : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra :

a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 tại x0 = 3

b) f ( x ) = 2 x − x 2 tại x0 = 1 ;

;

x 2 − 3x + 3
tại x0 = 4
;
x+2
Bài 2. Xác định a, b để hàm số sai khả vi trên ¡ . Tính f ' ( x )

d) f ( x ) = cos 2 x tại x0 =

c) f ( x ) =

 2 x 2 + a
khi x ≤ 0
f

x
=
a) ( )  3
 − x + bx khi x > 0
 ln 1 + sin 2 x

khi x > 0
c) f ( x ) = 
x
 2
khi x ≤ 0
 ax + bx + c
 ln 1 + x 2 + x3

khi x > 0
e) f ( x ) = 
x
 2
khi x ≤ 0
 x + ax + b
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau:

(

)

(

e) y =

3

( x − 1)
Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
2

 sin x 
a) y = 
÷
 1 + cos x 

khi x > 0

 2 1
 x sin
x
e) f ( x ) = 
 ax 2 + bx + c


( x − 2 x + 5)

khi x ≤ 0
3

1
2

khi x > 0

 2x +1 
c) y = 
÷
 x −1 

b) y = (1 − 2 x 2 )5

( x + 1)2

khi x ≤ 0

 esin 2 x − cos 2 x

khi x > 0
d) f ( x ) = 
x
 2
khi x ≤ 0
ax + bx + c

)

a) y = ( x 2 + x + 1) 4
d) y =

sin + a
b) f ( x ) = 
bx

π

;
4

f) y = ( 3 − 2 x 2 )

2

b) y = x.arccos x

4

c) y = sin 3 (2 x + 1)

y = cot 2 x

e) y = sin 2 + x 2
f) y = xsin x
Bài 5. Tính đạo hàm cấp n của các hàm sau:
π
π
2x −1


a) y = cos  2 x + ÷
b) y = 2
c) y = sin x.cos  2 x − ÷
3
6

2 x − 3x − 2


2
π 
x − 5x + 1
2
d) y = sin  x + ÷
e) y = cos 2 x.sin 2 x
f) y =
12 

x−2
Bài 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm sau bằng công thức Lepnit.
π

2
2x
2
a) y = 2 x + x − 1 .e
b) y = ( 2 x − 1) sin  3 x − ÷ c) y = ln x − 5 x + 6
3

d)

(
d) y = ( x

)

2

)

− x + 2 cos 3 x

(

e) y = ( 2 x − 1) cos 2 x

)

(

2x
f) y = ( 2 x + 1) e − sin 3 x

Bài 7. Dùng quy tắc Lopitan để tính các giới hạn sau

x2 − 3x + 1

x −2

 2x + 3 
a) lim
lim 
b)
÷
2
x→+∞ 2 x − 1
x→+∞  2 x − 1 
x2 − 9

e2 x − 1
lim
lim
e)
d)
x→3 2 x + 3 − 3
x→0 sin 3 x
Bài 8. Dùng quy tắc Lopitan để tính các giới hạn sau
sin x − x
ln sin x
a) lim
b) lim+
3
x →0
x→0 ln ( 1 − cos x )
x
Ths Ngô Quang Hùng ĐHXD

c) lim

2 x 2 − 3x + 1

x2 −1
tan 2 x
lim
x→0 ln ( 1 + 3 x )
x→1

f)
c)

1 
 1
lim 
−
÷
x→1  ln x x − 1 

)


11

− cot x ÷

x →0 x  x

lim

d)

1 
 1
lim  2 −
x →0  x
x sin x ÷


g)
j)

lim

( )

sin x3

x − tan x
1 1

m) lim  − cot 2 x ÷
x →0 x  2 x


e)

lim x + x + 1

x→+∞

h)
k)

x →0

n)

(

2

)

1

1
ln x


2− x
1 
lim 
− 2÷
x→0  2 x ln ( 1 + x )
x ÷


1
1 
lim 
− x ÷
x→0  ln ( 1 + x )
e −1 ÷

2

x
 3 
lim  x − ln 1 + ÷÷
x→+∞ 

3  x ÷



f)

 sin x  x2
lim 
÷
x →0  x 

i)

lim+ e x − 1

x →0

(

)

sin x

 x +1
1
lim 
− ÷
x→0  ln ( 1 + x )
x÷


l)
o)

(

2

lim x + x + 4

x→+∞

)

1
ln ( 1+ x )

Bài 9. Tính các giới hạn sau.

1
a) lim
x
x
x→0 sin x − e + 1
2 x − sin x
d) xlim
→+∞ x 3 + x + cos 2 x
x3 sin

1

x
b) lim
x→0 sin x − ln ( 1 + x )
x3 cos

e)

(

)

ln e 2 x + cos x + 1

lim

x→+∞

1
x
lim
x→0 ln ( 1 + x ) − x

Bài 10. Viết khai triển Maclaurin của các hàm số sau.

e x − e− x
f ( x ) = sh x =
2
1
x −1
d) f ( x ) =

e) f ( x ) = 2
2x +1
x − 2x − 3
Bài 11. Viết khai triển Maclaurin của các hàm sau
x
a) f ( x ) =
đến x5 . Từ đó suy ra f ( 5) ( 0 ) .
2
2+ x
b) f ( x ) = x 4 + x 2 đến x5 . Từ đó suy ra f ( 5) ( 0 ) .
2x
( 5) 0 .
5
c) f ( x ) =
( )
2 đến x . Từ đó suy ra f
1− x
d) f ( x ) = x 3 1 + x 2 đến x 7 . Từ đó suy ra f ( 7 ) ( 0 )
f ( x ) = e 2x

a)

b)

x 4 − 1 + x cos 2 x

x3 arctan

f)

x + sin x

x→+∞

lim

c)

3x 2 + 2 x cos x

c)

f ( x ) = sin 2 x.cos x

f)

f ( x) =

x 2 − 3x + 4
x+2

Bài 12. Áp dụng công thức khai triển Maclaurin để tính giới hạn

a) lim

sin x − x3

x →0

x

ex −1− x
x→0 sin x.ln ( 1 + 2 x )

3

tan x − x
d) xlim
→0 ln 1 − 2 x 2 .arctan x

(

3

c) lim sin x − x 1 − x
x →0
x3
sin ( sin x ) − x
f) lim
x→0 tan x − sin x

b) lim

)

x
1+ x) −1
(
lim

e)

x →0

1 − cos x

2

CHƯƠNG IV : TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
xdx
a) I = ∫
( x + 1) ( 2 x + 1)
d)

I=

0

2x + 2

−1 x

2

∫

+ x−2

dx

Ths Ngô Quang Hùng ĐHXD

3

b) J = ∫
e) I =

2 2x
2

∫

dx
2

−2 4 x

− 9x + 7
x

2

c) I =

+ 12 x + 9

dx

f)

2

∫

dx

−1 x
1

I =∫

0

2

( 4x

+ 2 x + 10
dx
2

)(

+ 4 x + 1 4x2 + 4 x + 4

)


4

g) I = ∫

2

j)

I =∫

m) I = ∫

(x

1

dx

2

)(

− 6 x + 5 x 2 − 6 x + 10

2 x 2 + 41x − 91

(

( x − 1) x 2 − x − 12

)

dx

3x + 1

( x + 1)

1

x2 + 1

0

k) I = ∫

dx
3

n) I = ∫

dx

q) I = ∫

x3 − 1
4 x3 − x

2
0 4− x

2

dx

dx

3x 2 + 3x + 3
x3 − 3x + 2

1

x2

p) I = ∫

)

h) I = ∫

x3 + x + 1

dx

i)

I =∫

l)

I =∫

0

o) I = ∫

x7

(1+ x )

4 2

1
4 x + x3
x4 − 2
x3 + x

1

x

0 ( 2 x + 1)

dx
3

dx

dx

4x −1

I =∫

r)

dx

3
2
0 x + 2x + x + 2

dx

Bài 2. Tính các tích phân sau:
7
3

1

dx
0 1+ x

b) I = ∫

x +1
a) I =
∫ 3 3x + 1 dx
0
d)

I=

g) I =

j)

I=

2

∫

2
3
4

∫

7

∫

1+ x

2

dx

f)

2

ln x 3 1 + ln 2 x
dx
h) I = ∫
x
1

i)

1 − x2
dx
x+ x

1

1 − x2

∫

x6

2
2

dx

2
2
k) I = ∫ x 4 − x dx

0

n) I =
dx

q) I =

2

dx

∫

∫

3

3

∫

1
x2 4 − x2

I=

ln 2

∫

3

l)

I =∫

0

(

x5 1 + x 2 dx

dx

r)

I=

1

dx

x

e +1
dx
x2 + 3

)

5

xdx
2x +1 +1

o) I = ∫

x5 x 2 − 1

2
1

I=

0

2

x

x3 x 2 − 1dx

0

e

2

∫

1

x3
3

0

dx

2
2

m) I = ∫ 3

p)

x x −1

x x +9

∫

e) I =

2

7

0

I=

dx

c) I =

2

3

∫

1

1 + x2
x2

dx

Bài 3. Tính các tích phân sau:
20

a) I = ∫ x ( 1 − x ) dx
d) I = ∫
g) I =

sin x + cos x
dx
3 + sin 2 x

ln 2

e x − 1dx

∫

0

j)

I =∫

x2 + 1
4

2

x − x +1

b) I = ∫
e) I = ∫

x2 + 1
x4 + 1

( x + 1) dx

(

x. 1 + x.e x

1

h) I = ∫

0e

k) I = ∫

0

)

x
cos 2  ÷dx
c)
2
I =∫
x + sin x
x 2 dx
I
=
f)
∫
( 1 − x ) 10

dx
x

1

dx

dx

+ e2 x

i)

I=

xdx
4

2

x + x +1

l)

I=

π
3

∫

π
4
π

2

cos 4 xdx

∫ cos4 x + sin 4 x

0

Ths Ngô Quang Hùng ĐHXD

cos x + sin x
dx
3 + sin 2 x


Bài 4. Tính các tích phân sau:
e

(

)

2

a) I = ∫ 3 x + 2 x ln xdx
1

d) I =

π

3

ln ( sin x )

∫

j)

I =∫

dx

( x + 1) 2

0
π
2

c) I = ∫ x ln ( x + 2 ) dx
1

π

∫x

2

cos xdx

f)

I = ∫ e x .cos xdx
0

0

1
 x
g) I = ∫  + ln x ÷e dx
x

1
xe x

2

b) I = sin x.ln ( 1 + cos x ) dx
∫
e) I =

dx

cos 2 x

π
6
2

π
2

ln x

h) I = ∫

k) I =

( 1+ x)

π
2

2

dx

x

i)

I =∫

l)

I = ∫ x sin x cos 2 xdx

dx

sin 2 x

π

2

∫ x cos

xdx

0

0

Bài 5. Tính các tích phân suy rộng sau:
1

2
a) I = ∫ x ln xdx

d) I =

0
+∞

∫

j)

I=

m) I =

x +4
x + 5x + 6

+∞

∫

dx

2

x3e − x dx

1

h) I =

+∞

∫

0

+∞

0
+∞

∫

1

arc cot x
x3

+∞

∫

1
x

1

k) I =

dx
x3 + 1

2

∫

0

dx

1
e x dx

1+ x

e) I = ∫ 4

0

∫

arctan x

∫

+∞

1

p) I =

2

+∞
−∞
e

2

4

0

g) I =

b) I =

n) I =

q)

I=

1
dx
ln x .x
e−2 x cos xdx
4

dx
x3 + 8

+∞ ln

∫

1
+∞

∫

π

2

2

dx

( 1 + x ) dx
x4

1

1
sin dx
x
x
2

1

d) I = ∫

ex −1

0

1

g) I = ∫

0

j)

I=

sin 2 x
4

1− x

+∞ ln

∫

1

2

dx

e) I =

π
2 1 − cos x

∫

0
1

dx

( 1 + x ) dx

h) I = ∫

Ths Ngô Quang Hùng ĐHXD

3

x

dx
sin x
e
−
1
0

2

x

x3

dx

k) I =

+∞

∫

1

 12

x  e x − 1÷dx

÷



+∞

∫

1
4

f)

I =∫

i)

I=

l)

0

I=

1
x

2

1− x

+∞

∫

3
+∞

∫

o) I =
r)

I=

x x2 + 6
arctan x
x3

2

c) I =
f)

I=

π
3

2

x3

1

( 4+ x )
2

dx

1

0
+∞

∫

1

l)

dx

∫ sin 2 xdx
1

i)

dx

( 2 + x ) dx

1
+∞

∫

dx

dx

2

dx

+∞ ln

∫

( x + 1)

1

1

2

Bài 6. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân suy rộng sau:
+∞
+∞
1
1
dx
dx
a) I = ∫
b) I = ∫
3
x + sin x
1 1+ x
1
1

c) I =

I =∫

1
α

x ln x

dx

x

dx
tan x
e
−
1
0

I=

π
3

∫

0

2 cos x − 1
tan x − 3

dx