CHINH PHỤC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

Toán học

Trung tâm luyện thi

Luyện thi đại học

Toán học

Luyện thi đại học

CHINH PHụC

CHUYÊN Đề:
HèNH KHễNG GIAN
tHầY HIếU LIVE
HọC VIÊN:
TÔI QUYếT TÂM THI ĐậU ĐạI HọC

Toán
học


LUYỆN THI ĐẠI HỌC – ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390 – FACEBOOK: HIẾU LIVE

MỤC LỤC HÌNH KHÔNG GIAN
STT
1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.

Kiến thức
Một số công thức giải tam giác và công thức tính diện tích
Lý thuyết về quan hệ vuông góc
Các công thức tính thể tích khối đa diện
PHẦN A: PHẦN NỀN TẢNG
PHẦN I: VẼ CHIỀU CAO VÀ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG.

Dạng 1: Vẽ chiều cao cho trước
Bài toán 1: Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 2: Mặt phẳng vuông góc với đáy
Bài toán 1: Mặt phẳng chứa đỉnh là tam giác đều, cân
Bài toán 2: Mặt phẳng chứa đỉnh là tam giác vuông
PHẦN II: VẼ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Dạng 3: Hai mặt phẳng vuông góc với đáy
Dạng 4: Các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy một góc bằng nhau
PHẦN III: VẼ KHOẢNG CÁCH
Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
Dạng 2: Khoảng cách hai đường chéo nhau
Bài toán 1: Dạng kẻng song song để xác định khoảng cách
Bài toán 2: Dạng xác định đường vuông góc chung
PHẦN B: PHẦN TÍNH TOÁN
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Dạng đề cho cạnh bên
Dạng 2: Dạng đề cho góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 3: Dạng đề cho góc giữa hai mặt phẳng
Dạng 4: Dạng đề cho tam giác vuông tại S.
Dạng 5: Chứng minh một tính chất đề xác định
Bài toán 1: Dạng đáy là hình thang
Bài toán 2: Dạng đáy là hình vuông, hình chữ nhật

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU
Dạng 1: Khi không tìm được đường vuông góc chung
Cho luôn khoảng cách giữa hai đường thẳng
Kẻ song song để tìm khoảng cách
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp sole trong để tính khoảng cách
Bài toán 2: Sử dụng tính chất hình vuông, hình chữ nhật
Dạng 2: Tìm được đường vuông góc chung
Lời giải chi tiết

Trung Tâm Olympia – Uy Tín – Chất Lượng – Tận Tâm 

Trang
1
5
7
8
9
9
12
13
14
24
17
18
28
28
24
24
28
30

30
31
39
50
59
61
61
65
68
69
69
79
79
94
103
109

Page 0


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A có AH  BC ta có :
 Định lý Pitago : c2  a 2  b2 ; BC2  AB2  AC2

 a 2  a '.c;b2  b '.c ; BA2  BH.BC ; CA2  CH.CB
 a.b  c.h ; AB. AC = BC. AH


1
1 1
1
1
1
(Công thức khủng bố IS)
 2 2;


2
2
2
h
a
b AH
AB AC2

 h  a '.b' ; AH2 = BH.CH ; AM 

BC
; BC  2AM
2

(Đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền)

AB

BC
AB
tan C 
AC



sin C 



;
;

AC
BC
AC
cot C 
AB
cosC 

2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:

a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
b 2  a 2  c 2  2ac.cos B
c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
3. Các công thức tính diện tích.
 Công thức tính diện tích tam giác:

S

1
1
h.c  AH.BC (Đáy x chiều cao)
2
2

1
1
1
S  a.b.sin A  a.csin B  b.csin C
2
2
2

(Tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa)

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 1


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
 Công thức tính diện tích liên quan đến đường tròn:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác tâm O bán kính R:

S

abc
(Tích 3 cạnh chia 4 lần bán kính)
4R

Đường tròn nội tiếp tam giác tâm K bán kính r:

p

abc
(nửa chu vi)
2

S  p.r (nửa chu vi x bán kính)
Công thức Heron: S  p(p  a)(p  b)(p  c)
 Công thức tính nhanh tam giác đặc biệt:

ABC vuông ở A : S 

1
AB.AC
2

x2 3
ABC đều cạnh x: S 
4
Chiều cao tam giác đều: h 

x 3
2

b) Công thức tính diện tích tứ giác và tính chất! (Thường dùng)
 Hình vuông:
 S  AB2  a 2 (Bình phương 1 cạnh)
 AC  AB 2 (Đường chéo bằng cạnh bên nhân 2 )
 AC  BD (Hai đường chéo vuông góc)
 OA = OB = OC = OD (O là tâm đường tròn ngoại tiếp)
 BAC  CAD  ADB  BDC  ...  450
(Đường chéo chia đôi góc vuông)
 AD / /BC;AB / /DC (các cặp cạnh đối song song)
Hình chữ nhật:
S  a.b  AB.AD (Chiều dài x chiều rộng)

OA = OB = OC = OD (O là tâm đường tròn ngoại tiếp)

AD / /BC
;

AD  BC

AB / /DC

AB  BC

(các cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 2

Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
 Hình thoi:
1
 S  AC.BD  AB2 sin BAD (Tích 2 đường chéo chia 2)
2
(Hoặc bình phương cạnh nhân sin góc xen giữa)
 AC  BD (Hai đường chéo vuông góc)
OA  OC

 OB  OD (O là trung điểm của 2 đường chéo)
AC # BD


 AD / /BC;AB / /DC (các cặp cạnh đối song song)
 Hình bình hành:
 S  b.h  AD.BH  a.bsin BAD (Chiều cao x đáy)
 (Hoặc tích hai cạnh bên nhân sin góc xen giữa)
OA  OC

 OB  OD (O là trung điểm của 2 đường chéo)
AC # BD


AD / /BC
;
 
AD  BC

AB / /DC


AB  BC

(các cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
 Hình thang thường:

 S

(a  b).h (AB  CD).AH

2
2

(S 

1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao)
2

 AB / /CD
 Hình thang thường có hai góc vuông:

(a  b).h (AB  CD).AD

2
2
 AD là chiều cao của hình thang

 Hình thang cân: (Tính chất nhỏ)
 S

DH  KC  c
 b  2c  a
DC  2DH  AB

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 3


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

c) Công thức tính diện tích đường tròn bán kính R :

S  R 2 

d 2
4

d) Công thức mặt cầu bán kính R :

S  4r 2  d 2
V

4r 3
3

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 4

Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

2

LÝ THUYẾT QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d
vuông góc với mp(P).

d  a, d  b 

a, b  (P)   d  (P)
a, b cat nhau 


Nếu d vuông góc với (P) thì d
vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong (P)

d  (P) 
  d  a
a  (P) 

2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Nếu một mặt phẳng chứa

một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng
khác thì hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.

Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng a
nào nằm trong (P), vuông
góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vuông góc với
mặt phẳng (Q).
Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.

Q
a

a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)

a  mp(Q)

P

P

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P), a  d


a

Q

d

P

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Q
a

R

Page 5

Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

3.GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt
phẳng (P)

a

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta
nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

a'

P

Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.

b

a

Q

P

4.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:

O

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm O và H, trong đó H là
hình chiếu của điểm O mp(P))
d(O; (P)) = OH

P

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song:

a

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song
song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của
a đến mp(P).

P

H

O

H

d(a;(P)) = OH

3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
d(a;b) = AB

a

A

b
B

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 6


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

3

CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

h

V= B.h

B

B : dien tich day
với 
h : chieu cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
a

b) Thể tích khối lập phương:

a

V = a3

c

a

b

với a là độ dài cạnh

a

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

1
V= Bh
3

B : dien tich day
với 
h : chieu cao

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

h

B

Page 7


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
S

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

C'
A'

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các
điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

A

B'
C
B

VSABC
SA SB SC

VSA'B'C' SA ' SB' SC'
(Lưu ý: Chỉ với hình chóp đáy là tam
giác)

PHẦN I: THỂ TÍCH HÌNH CHÓP
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

1
1
VS.ABCD  b.h  SH.SABCD
3
3

 b : dieän tích ñaùy

với 

 h : chieàu cao

LƯU Ý: Cần tính chiều cao và diện tích đáy
CÁC BƯỚC VẼ HÌNH! (Khi đọc một hình thì phải biết đầy đủ đề bài rùi)
-

Bước 1: Vẽ đáy
Bước 2: Xác định chân đường cao (điểm H) - Sẽ có 4 dạng để vẽ
Bước 3: Từ chân đường cao vẽ thẳng lên

Bước 4: Lấy 1 điểm trên đường cao rùi nối
Bước 5: Tìm thông tin về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng
(Sẽ được học mẹo)
Bước 5’: Vẽ khoảng cách (sẽ được học mẹo)
Bước 6: Điền đầy đủ thông tin (vuông góc, góc, độ dài các cạnh)
 Bước 7: Giải quyết bài toán!

CÁCH VẼ ĐÁY ĐỂ CÓ HÌNH ĐẸP!
ĐÁY

HÌNH VẼ

TAM GIÁC
(Vẽ tam giác lộn ngược)

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 8


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG,
HÌNH CHỮ NHẬT
(Đều vẽ là hình bình hành)
Chỉ khác ở kí hiệu:
-

Với hình thoi thêm 2 đường chéo vuông góc
Với hình vuông kí hiệu góc vuông và 2 đường chéo
vuông góc

Với hình chữ nhật chỉ kí hiệu góc vuông
HÌNH THANG THƯỜNG
(Vẽ đáy lớn trên, đáy nhỏ dưới)

Với hình thang có 2 góc vuông thì thêm kí hiệu!
(Lấy điểm ở bên trái)

PHẦN I: VẼ CHIỀU CAO VÀ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
DẠNG 1: VẼ CHIỀU CAO CHO TRƯỚC
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp ( (P ) )
-

Xác định đường thẳng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mp (P)

-

Tính góc giữa d và d’,khi đó (d, (  )) = (d,d’)

Phương pháp xác định góc:
- Bước 1: Xác định giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng
- Bước2 : Hình chiếu điểm còn lại
-

Bước 3: Nối ba điểm (Góc tại giao điểm)

H1.

- Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a
- SA vuông góc với đáy ABC

- SB hợp với đáy một góc 60o.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 9


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc

ACB  300 , cạnh AC  a 3 .
-

Góc giữa SB với mặt đáy (ABC) bằng 600 .

- Ngoài ra, SA

H2.

 (ABC).

_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; SC =
2a 5

-

H3.

H4.

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm M của cạnh AB.
- Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
- Đáy ABCD là hình vuông biết SA  (ABCD)
- SC = a
- SC hợp với đáy một góc 60o.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 10


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

H5.

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD.

- Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

Đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với
AB  2a 3; BC  2a .

Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy
ABCD trùng với trung điểm DI
- SB hợp với đáy (ABCD) một góc 600
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

-

H6.

Đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  600 ,
BC = 2a.
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
- Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC)
- SA tạo với mặt đáy một góc 600.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

H7.

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 11


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

DẠNG 2: MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P),a  d


H8.

-

BÀI TOÁN 1: MẶT PHĂNG CHỨA ĐỈNH LÀ TAM GIÁC ĐỀU, TAM GIÁC CÂN
Hình chiếu của đỉnh là trung điểm giao tuyến.
-

H9.

Đáy ABC là tam giác đều
Tam giác SBC cân tại S có đường cao SH = a và

(SBC)  (ABC).
- Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

_________________________________________
_________________________________________

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a
Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy,
SA = SB
- Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy bằng 450.
_________________________________________
_________________________________________
H10. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 12


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho

- MD = 2MA.
- SC tạo với đáy một góc 600.
_________________________________________
_________________________________________
H11.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

-

Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc (ABCD).

- Tính thể tích khối chóp S. ABCD
_________________________________________
_________________________________________
H12.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

_________________________________________
-

BÀI TOÁN 2: MẶT PHẲNG CHỨA ĐỈNH LÀ TAM GIÁC VUÔNG (KHÔNG CÂN, ĐỀU)
Hình chiều của đỉnh nằm trên giao tuyến (Không phải trung điểm)
Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a.
Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy
SA = a, SB  a 3 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
H13.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 13


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2

-

Tam giác SAC có SA = a, SC  a 3 và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.

- Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
_________________________________________
_________________________________________
H14. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

PHẦN 2: VẼ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: ( P) và (Q)

( P)  (Q)  d
a  ( P); b  (Q)

a, b  d  I

  P  ,  Q   (a, b)






Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng
-

Bước 1: Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng
Bước 2: Từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến tại điểm I
Bước 3: Nối 3 điểm
(Lưu ý: Góc tại giao tại điểm I)
-

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy

bằng 600.
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
_________________________________________
_________________________________________
H15.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 14

Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

- Đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết
tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với (ABC)

- Mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o.
Tính thể tích của SABC.
_________________________________________
_________________________________________
H16.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a

- Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
- Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy
bằng 300.

-

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
_________________________________________
H17. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

- Đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông
góc với đáy ABC

- (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể
tích hình chóp .
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
H18.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 15

Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

- ABCD là hình vuông cạnh a
- Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với (ABCD)

- (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o
- Tính thể tích hình chóp SABCD
_________________________________________
_________________________________________
H19. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

- Đáy là hình vuông cạnh a tâm O
- Hình chiếu của S trên (ABCD) là trung điểm của
AO

- Góc giữa (SCD) và (ABCD) là 600.
- Tính thể tích của khối chóp S.
_________________________________________
H20. _________________________________________
_________________________________________

_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

- Đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC = BC =
2a.

- Mặt phẳng (SAC) tạo với (ABC) một góc 600.
- Hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm H của
cạnh BC.

H21. - Tính thể tích khối chóp S.ABC.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 16


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AC  a, BC  2a.
-

Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt đáy (ABC) góc

600.
- Hình chiếu H của S trên mặt phẳng (ABC) là
trung điểm cạnh BC.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
H22.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
DẠNG 3: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


- Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a;

- Hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD).
Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
_________________________________________
H23. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

-

_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 17


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 4a; BC
= 3a, gọi I là trung điểm của AB,

- Hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc
với (ABC)

- Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng
600.
Tính thể tích khối chóp S.ABC
H24. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

DẠNG 4: CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU HOẶC HÌNH CHÓP ĐỀU
Hình chiếu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
 Đáy là tam giác đều: Trùng với trọng tâm tam giác
 Đáy là tam giác vuông: Trùng với trung điểm cạnh huyền
 Đáy là hình vuông, chữ nhật: Trùng với giao 2 đường chéo

-

Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = a 3 .

AB = a, AC = a 2, BC = a 3
- Tính thể tích khối tứ diện ABCD
_________________________________________
H25. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

- Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A
- Các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy những
góc bằng 600.

- Biết AB = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
H26. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 18


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Cho tứ diện ABCD, biết tam giác ABC vuông tại
A có AB=a, AC = a 3 .

-

DA=DB=DC và tam giác DBC vuông với M là

trung điểm BC.

- Tính thể tích khối tứ diện ABCD
_________________________________________
_________________________________________
H27. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

- Đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a;
- SA = SB = SC = BC = 2a.
- Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
_________________________________________
_________________________________________
H28. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
-

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có các cạnh bên
SA = SB = SD = a;

- Đáy ABCD là hình thoi có góc BAD  600
- Mặt phẳng (SDC) tạo với mặt (ABCD) một góc
300.

- Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
_________________________________________
H29. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 19


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

PHẦN 3: VẼ KHOẢNG CÁCH
DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp xác định khoảng cách:
-

Bước 1: Áp dụng công thức đổi điểm để đổi về chân đường cao

-

Bước 2: (Bước kẻ vuông góc 1) Từ chân đường cao kẻ vuông góc cạnh đáy tại I

-

Bước 3: (Bước kẻ vuông góc 2) Từ chân đường cao kẻ vuông góc SI tại K

-

Bước 4: Kết luận d(A;(P)) = AK
-

Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=3a;AD=2a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
AH=2HB.

- Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng
(ABCD) bằng 600.

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng từ A
đến (SBC)
H30. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________

_________________________________________

- Đáy là tam giác ABC vuông tại B
- SA vuông góc với đáy, SA = AB = a, BC  a 3 .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

- Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC).
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
H31. _________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 20


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live

- Đáy ABC là tam giác vuông tại

A,

ABC  300

, SBC là tam giác đều cạnh

- Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H
trung điểm của AB.

- Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB 

H32.

____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
- Đáy ABC là tam giác vuông tại B,
BA  3a, BC  4a

- Điểm H thuộc BC sao cho SH  ( ABC ) .
- Biết SB  2a 3 và SBC  300 .
- Tính V S.ABC và d từ B đến (SAC) theo a.
H33.
____________________________________

____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
-

H34.

Đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  600 ,
BC = 2a.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC)
SA tạo với mặt đáy một góc 600.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng
cách từ B đến (SAC) theo a.

____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 21


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền
bằng 3a, G là trọng tâm tam giác ABC

-

SG  (ABC) , SB 

a 14
.
2

- Tính V S.ABC và d từ B đến mặt phẳng (SAC)
theo a.

H35. ____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
- Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
- Mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc (ABCD).

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ A đến mp(SCD)

____________________________________
H36. ____________________________________
____________________________________

____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
-

Đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a.
Hình chiếu của đỉnh S trên (ABCD) là trung điểm
H của cạnh AD
Góc giữa hai mặt phẳng(SAC) và (ABCD) bằng
600.
Tính thể tích của khối chóp S.HABC và khoảng
cách từ H đến mặt phẳng (SBC).

H37. ____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 22


Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live
-

Đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là

tam giác vuông tại S
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho
HA = 3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết

H38. -

rằng SA  2 3a
Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 300.
Tính V S.ABCD và d từ M đến mặt phẳng (SBC).

____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
-

H39.

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD.
Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.

____________________________________
____________________________________

____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
-

Đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với
AB  2a 3; BC  2a .

-

Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy
ABCD trùng với trung điểm DI
SB hợp với đáy (ABCD) một góc 600.
Tính V S.ABCD và d từ D đến (SBC)

H40. ____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm

Page 23