ỨNG DỤNG ĐỊNH lý VI ét TRONG các bài TOÁN cực TRỊ

Sở GD-ĐT Ninh Thuận

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
----------------

ĐỀ TÀI :

Độc Lập – Tự do – Hạnh phúc
----------------------------

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HỌ VÀ TÊN :NGUYỄN TRỌNG BÌNH

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các bài toán ở trường phổ thông, các bài toán về tìm điều kiện của tham số để
hàm số có cực trị mà so sánh với một số hay các bài toán giải phương trình thỏa một điều
kiện nào đó thường gặp trong các kỳ thi mà chương trình cải cách không còn học định lý đảo
về tam thức bậc hai và so sánh 1 số thực với các nghiệm của phương trình bậc 2 nên học sinh
thường lúng túng khi gặp các bài toán dạng này, đồng thời việc sử dung ẩn phụ và xét dấu
thường diễn ra phức tạp. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tài liệu cùng với học hỏi
các đồng nghiệp tôi xin mạnh dạn đưa ra phương pháp “ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT
TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH “
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :
Để cho tiết học đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị bài tốt trước khi
đến lớp đồng thời phải biết tích cực , tự giác học tập , phải biết suy nghĩ tìm tòi và sáng tạo.
Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết phân tích đề bài , từ đó đi tìm tòi lời giải đúng

và sáng tạo, ngắn gọn . Muốn làm tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án theo hướng tích
cực hoá hoạt động học tập , cụ thể tiến hành theo các bước :

I. BƯỚC CHUẨN BỊ :
1.) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt: Vạch ra mục tiêu của bài dạy ,
chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị trước , lâp phương án kiểm tra nội dung kiến thức
dùng cho tiết học .
2.) Chọn bài tập mẫu : Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với các
đối tượng học sinh nhằm củng cố kiến thức , rèn luyện kỹ năng , kỹ xảo , rèn luyện tư duy
thuật toán hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh .
3.) Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò : Cần phải phân bố thời
gian phù hợp với mỗi bài tập. Dự kiến thời gian cho mỗi học sinh giải bài tập trên bảng.
4.) Xây dựng phương pháp giải :
- Nhắc lại định lý Viet thuận : phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có
2

b

S
=
x
+
x
=
−
1
2



a
1 2
hai nghiệm x ,x khi đó 
 p = x .x = c
1 2

a

- Xây dựng bài toán : So sánh môt số

i)

α với các nghiệm của phương trình bậc 2

x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
⇔ P - αS + α 2


α
ii)

(x − α )( x − α ) > 0
1
2
x −α > 0
 1

⇔ ∆ > 0
1 2

 x2 − α > 0
 x + x > 2α
 1
2
 P - α S +α 2 > 0

⇔ ∆ > 0
 S > 2α


x < x <α
1 2
iii)

(x − α )( x − α ) > 0
1
2
x −α < 0
 1

⇔
⇔ ∆ > 0
 x2 − α < 0
 x + x < 2α
 1
2
 P - α S +α 2 > 0

⇔ ∆ > 0
 S < 2α



5.) Chọn mẫu bài tập tại lớp :
3

2

Bài 1 : Tìm m để hàm số y = 2x -3(2m+1)x +6m(m+1)x +1 có cực đại , cực tiểu tại
hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 < 1 < x2
3

2

2

3

2

Bài 2 : Tìm m để hàm số y = -x +3mx +3(1-m )x +m -m có cực đại , cực tiểu tại hai
điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho 2 < x1 < x2
(m + 1) x 2 − 2mx − (m3 − m2 − 2)
(m ≠ -1) có cực đại , cực
Bài 3 : Tìm m để hàm số y =
x−m
tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho x1, x2 ∈ (0;2)
2x

x

Bài 4 : Tìm m để phương trình (m+1) 2 +2(3m-2)2 -3m+1=0 có hai nghiệm trái
dấu.
6.) Chọn bài tập về nhà :


3

2

2

Bài 1 : Tìm m để hàm số y = x +2(m+1)x +(m -4m+1)x +2m +1 có cực đại , cực
tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 < x2 < 1
2x

x

Bài 2 : Tìm m để phương trình (m+4) 2 -(2m+1)2 +m=0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa
x1< 1 Dụng ý : - Sử dụng so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai
- những bài toán tham số có dạng bậc hai không dùng được đạo hàm

II. BƯỚC SOẠN GIẢNG:
Ngày soạn: …………………….
Ngày dạy: ………………………
Tên bài :ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIET VỀ SO SÁNH MỘT SỐ VỚI NGHIỆM CỦA
TAM THỨC BẬC HAI


Tiêt PPCT : 28( Tự chọn12 )

A) Mục tiêu bài dạy :
1. Kiến thức : - Nắm vững định lý Viet .
- Nắm vững phương pháp so sánh một số với các nghiệm của tam thức
bậc hai.
- Vận dụng vào từng bài toán cụ thể.
2. Kỹ năng : -Xét dấu giao và hợp nghiệm.
3. Tư duy : -Rèn luyện tư duy so sánh , tư duy thuật toán , tương tự hoá và tư duy
logic.
- Sáng tạo trong mọi tình huống.
B) Đồ dùng dạy học :
1.GV : -Chuẩn bị phương pháp .
-Bài tập mẫu và bài tập ở nhà.
2. HS :Nắm vững phương pháp giải bất phương trình và hê bất phương trình bậc hai.
C) Hoạt động dạy và học :
1.Kiểm tra bài cũ ( 5 phút) : Viết biểu thức của định lý Viet và xét dấu nghiệm của
tam thức bậc hai.
2

ÁP DỤNG: Tìm m để phương trình 3mx -2x+m-9=0 có hai nghiệm cùng âm
Giáo viên dẫn dắt và tóm tắt lí thuyết :
Trong nhiều bài toán khi làm nhiều lúc người ta không cho hai nghiệm so sánh với số 0 mà so
sánh với một số thực khác không nào đó thì ta xét như sau :


Bài toán : So sánh môt số

α với các nghiệm của phương trình bậc 2

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1)

x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
⇔ P - αS + α 2

2)

(x − α )( x − α ) > 0
1
2
x −α > 0
 1

⇔ ∆ > 0
1 2
 x2 − α > 0
 x + x > 2α
 1
2
 P - α S +α 2 > 0

⇔ ∆ > 0
 S > 2α


3)

(x − α )( x − α ) > 0

1
2
x −α < 0
 1

⇔
⇔ ∆ > 0
x
−
α
<
0
 2
 x + x < 2α
 1
2
 P - α S +α 2 > 0

⇔ ∆ > 0
 S < 2α


α

x < x <α
1 2

2. Hoạt động trên lớp :
Hoạt động của giáo giáo viên và học

Nội dung ghi bảng

sinh
Hoạt động 1 (8 phút)

Bài tập 1 : Tìm m để hàm số

Kiến thức cơ bản
x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0

y = 2x -3(2m+1)x +6m(m+1)x +1 có cực đại ,

⇔ P - αS + α 2

3

2

cực tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho


GV: Điều kiện để hàm số có cực trị?

x1 < 1 < x2

HS : Hàm số có cực trị khi y’ =0 có hai
nghiệm phân biệt.

2

GV : Khi đó để so sánh 2 nghiệm x1 , x2
sao cho x1 < 1 < x2 ta làm như thế nao?
HS : Biến đổi x -1>0 và x -1<0 rồi ta
1

đươc

Bài giải

2

⇔ P −αS + α 2 < 0

ta có x1 < 1 < x2 ⇔ P − α S
⇔ m2 – m < 0 ⇔ 0 < m <1

+α2 < 0

Bài tập 2 : Tìm m để hàm số

GV : Gọi học sinh lên bảng giải và giáo
viên gợi ý

3

2

2

3

2

y = -x +3mx +3(1-m )x +m -m có cực đại , cực
tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho 2 <

Hs : Dự kiến trả lời
Để hàm số có có cực đại , cực tiểu tại hai
điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho 2 < x1 <
x thì y’=0 có 2 nghiệm phân biệt x , x
P −α S + α 2 > 0

2 < x1 < x2 ⇔  ∆ ' > 0
 S > 2α


⇔ ∆' > 0
biệt ⇔ (2m + 1)2 − 4m(m + 1) > 0

Khi đó gọi x1 ,x2 là nghiệm của y’=0 , theo đề bài

Hoạt động 2 (10phút)

sao cho

Để hàm số có cực trị thì y’=0 có 2 nghiệm phân

Đúng với mọi m

GV : Gọi học sinh lên bảng giải

2

Ta có y’=6x - 6(2m+1)x+6m(m+1)

1

2

x1 < x2
Bài giải
2

2

Ta có y’=-3x +6mx+3(1-m )
Để hàm số có có cực đại , cực tiểu tại hai điểm
có hoành độ x1 , x2 sao cho 2 < x1 < x2 thì y’=0
có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho
P −α S + α 2 > 0

2 < x1 < x2 ⇔  ∆ ' > 0
 S > 2α

 m 2 − 4m + 3 > 0

⇔ 1 > 0
 2m > 4

m < 1 v m > 3

⇔ 
m > 2

⇔ m>3

Bài tập 3 : Tìm m để hàm số
y=

(m + 1) x 2 − 2mx − (m3 − m2 − 2)
(m ≠ -1) có
x−m


cực đại , cực tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2
sao cho x1, x2 ∈ (0;2)

Hoạt động 3 (10phút)

Bài giải:
Ta có
2
3
2
y ' = (m + 1) x − 2mx − (2m − m − 2)

( x − m)

Để hàm số có cực đại , cực tiểu tại hai điểm có

GV : Tính y’

HS

y ' = (m + 1) x − 2mx − (2m − m − 2)
2

3

2

( x − m)

hoành độ x1 , x2 sao cho x1, x2 ∈ (0;2) thì y’=0
có hai nghiệm x1 , x2 khác m sao cho

GV : Từ yêu cầu bài toán ta có điều gì ?

x1, x2 ∈ (0;2) hay 0 < x1 < x2 <2

HS: Để hàm số có cực đại , cực tiểu tại

P − α S + α 2 > o

2
P − β S + β > 0
⇔ ∆ ' > 0
 S − 2α > 0

 S − 2 β > 0

hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho

x1, x2 ∈ (0;2) thì y’=0 có hai nghiệm x1 ,
x2 khác m sao cho x1, x2 ∈ (0;2) hay 0 <

⇔m>4

x1 < x2 <2

Bài tập 4 : Tìm m để phương trình

HS: lên bảng giải

(m+1) 2 +2(3m-2)2 -3m+1=0 (1)có hai

GV : Sửa và uốn nắn

nghiệm trái dấu

2x

x

Bài giải:
x

Đặt t =2 , điều kiện t > 0 khi đó phương trình
2

trở thành : (m+1) t +2(3m-2)t -3m+1=0 (2)
Hoạt động 4 (7phút)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu thì

GV : Phương pháp Giải phương trình mũ

phương trình (2) có 2 nghiệm t1 ,t2 sao cho
0 < t1 < t2
1
2 ⇔ 
0t1 < 1 < t2

x

Hs : đặt t=2 điều kiện t > 0

S > 0

⇔ 
GV : Để phương trình có hai nghiệm trái
dấu thì điều kiện ?

 P − S + 1 < 0


 −2(3m − 2)
>0

m
+
1

⇔
 −3m + 1 + 2(3m − 2) < 0
 m + 1
m +1

HS : phương trình có hai nghiệm trái dấu
nghĩa là có 2 nghiệm x1 ,x2 sao cho
x

0

x

x1 < 0 mà t >0 nên 0 < t1 < 1 < t2

⇔ −1 < m <

1
3

GV : Từ đó ta biến đổi như thế nào?
HS : lên bảng giải
3. Củng cố và dặn dò: (5 phút) :
* Từ một ứng dụng của định lý Viet bài học hôm nay các em đã nắm được một phương
pháp tìm tham số thỏa một bài toán nào đó mà việc sử dụng hàm găp khó khăn.
* Các em phải cố gắng làm bài cẩn thận và không để sai sót
* Bài tập về nhà :
3

2

2

Bài 1 : Tìm m để hàm số y = x +2(m+1)x +(m -4m+1)x +2m +1 có cực đại , cực
tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 < x2 < 1
2x

x

Bài 2 : Tìm m để phương trình (m+4) 2 -(2m+1)2 +m=0 có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa
x1< 1 < x2 <2
C. ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ :

Với việc dạy học sinh tiếp cận dạng toán “ so sánh một số với các nghiệm của tam
thức bậc hai “ thông qua một số bài toán cực trị và phương trình là cần thiết bởi vì đây là
những hàm số mà việc rút m để dùng đạo hàm là khó khăn. Từ đó các em sẽ tự tin hơn trong
các kỳ thi tốt nghiệp và đại học sắp tới
Sau khi dạy vấn đề này tôi đã kiểm tra và đánh giá hiệu quả tôi thấy đa số các em hiểu
và giải bài tương đối hiệu quả .
Đề kiểm tra 15 phút :


Đề: Tìm m để hàm số
3

2

y = x -3(m-1)x +3m(m-2)x +1 có cực đại , cực tiểu tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho
x1 < x2 < 1

Kết quả:
Điểm

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

12A4 (Ss 49 h/s)

21

14

7

0

12B4 (Ss 41 h/s)

15

20

6

0

D. KẾT LUẬN :
Để giải các bài tập dạng này ở các kỳ thi , ngoài sự cố gắng học tập của học sinh người
thầy phải biết tìm tòi học hỏi từ đó hướng dẫn cho học sinh những phương pháp cơ bản để
giải quyết vấn đề, đồng thời phải tổ chức những tiết ôn tập hiệu quả để làm hành trang cho
học sinh trong các kỳ thi
Trên đây là kinh nghiệm của bản thân được tích luỹ qua thực tế giảng dạy. Tuy nhiên
cũng là kinh nghiệm cá nhân, rất mong sự đóng góp của quí đồng nghiệp. Xin chân thành
cảm ơn.

Phan Rang, tháng 5 năm 2011
Nguời viết

Nguyễn Trọng Bình


Đánh giá xếp loại của tổ CM:

Nhận xét của HĐKH trường THPT Chu Văn An
Chủ tịch HĐKH