Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.69 MB, 60 trang )
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
LÊ HƯƠNG GIANG
VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG
TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2016
2
BỘ
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
LÊ HƯƠNG GIANG
VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DỤNG
TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu
HÀ NỘI, 2016
3
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo
tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại học Sư phạm Hà nội II. Đặc biệt là
sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Qua đây, tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, các thầy cô
giáo cùng các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện
luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả
Lê Hương Giang
4
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Người cam đoan
Lê Hương Giang
5
Mục Lục
Trang phụ bìa
2
Lời cảm ơn
3
Lời cam đoan
4
Mục lục
5
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
6
Mở đầu
7
Nội dung
9
Chương 1. Toán tử đơn điệu
9
§ 1.1 Không gian Hilbert 9
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 9
1.1.2 Một số tính chất quan trọng 11
§ 1.2 Toán tử đơn điệu 12
1.2.1 Tập lồi và hàm lồi 12
1.2.2 Toán tử đơn điệu 25
Kết luận chương
43
Chương 2. Bất đẳng thức biến phân
44
§ 2.1 Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân 44
§ 2.2 Sự tồn tại ngiệm của bài toán bất đẳng thức 45
biến phân đơn điệu
Kết luận chương
54
Tài liệu tham khảo
55
6
Các ký hiệu và danh mục các từ viết tắt
H - Không gian Hilbert.
- Tập số thực .
a, b
- Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
(a, b) - Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
- Với mọi.
- Tồn tại.
. - Tích vô hướng.
.
- Chuẩn.
domf - Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị f.
gphf - Đồ thị của ánh xạ đa trị f.
rgef - Miền ảnh của ánh xạ đa trị f.
2Y - tập gồm toàn bộ các tập con của Y.
2H - tập gồm toàn bộ các tập con của H.
pC - Phép chiếu.
VIP - Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Sol - Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
7
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các lĩnh vực của giải tích hiện đại, toán tử đơn điệu không những có ý
nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có đóng góp quan trọng trong lĩnh vực kinh tế.
Đặc biệt, toán tử đơn điệu là công cụ được sử dụng nhiều và rất hiệu quả
trong toán học ứng dụng. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu về cấu trúc tập
nghiệm, xây dựng phương pháp giải các bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến
phân và bài toán tối ưu. Bản luận văn này nghiên cứu toán tử đơn điệu và ứng
dụng của nó vào bất đẳng thức biến phân. Đề tài luận văn là “ Về tính đơn
điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu và nắm được các kiến thức về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức
biến phân, đặc biệt là tiếp cận được ứng dụng của toán tử đơn điệu trong bất
đẳng thức biến phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về tính đơn điệu của toán tử trong không gian
Hilbert.
Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ứng dụng về tính đơn điệu của toán tử vào bài toán bất đẳng
thức biến phân.
8
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn đối tượng áp dụng chính là toán tử đơn điệu, bất đẳng thức
biến phân và áp dụng toán tử đơn điệu vào bất đẳng thức biến phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm tòi, thu thập các tài liệu về toán tử đơn điệu, bất đẳng thức
biến phân.
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới toán
tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân và xét một số ứng dụng của
toán tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân.
6. Dự kiến đóng góp mới
Hoàn thành bản luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích theo đề tài “
Về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”, với
mong muốn luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai có nhu
cầu tìm hiểu về đề tài này.
9
NỘI DUNG
Chương 1
Toán tử đơn điệu
Nội dung của chương gồm 2 phần chính: Một số kiến thức cơ sở về không
gian Hilbert, bất đẳng thức Schwarz, đẳng thức hình bình hành… Tiếp theo là
toán tử đơn điệu cùng các khái niệm liên quan đến tập lồi, hàm lồi. Các kiến
thức trong chương này lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9].
1.1 Không gian Hilbert
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Cho không gian tuyến tính H trên . Tích vô hướng xác
định trong H là một ánh xạ:
.,. : H H
thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x, y y , x , x, y H .
ii. x y , z x, z y, z , x, y , z H .
iii. x, y x, y , x, y H , .
iv.
x, x 0, x H ,
x, x 0 x .
10
trong đó x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y.
Định lý 1.1. H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita ,
không gian với tích vô hướng) khi H là không gian tuyến tính định chuẩn, với
chuẩn được xác định bởi công thức:
x
x, x , x H .
Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Ví dụ 1.1.
1. Không gian vectơ thực k chiều k là một không gian Hilbert cùng với
tích vô hướng:
k
x, y
x y
i
i
i 1
và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
k
x
x, x
2
i
x
, x ( xi ) k ,
i 1
trong đó x ( x1 , x2 ,..., xi ), y ( y1 , y2 ,..., yi ) k .
2. C a,b là tập tất cả các hàm thực liên tục trên a, b cùng với tích vô
hướng
x, y
b
a
x(t ) y (t )dt , x(t ), y (t ) C a, b
và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
x
x, x
không là một không gian Hilbert.
b
a
2
x(t ) dt
11
2
3. C[La ,b ] là không gian gồm L2 a, b không gian các hàm bình phương
khả tích là một không gian tiền Hilbert không đủ với tích vô hướng:
x, y
b
a
x(t ) y (t ) dt.
1.1.2 Một số tính chất quan trọng
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho H là một không gian tiền Hilbert. Với x, y H ta có bất đẳng thức:
x, y x y .
Dấu’’=’’ xảy ra khi x, y x y ( ), x y hoặc y x
Định lý 1.3. (Đẳng thức hình bình hành)
H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y H ta có:
2
x y x y
2
2
2 x y
2
.
Đẳng thức này có nghĩa là: tổng bình phương các cạnh của một hình bình
hành bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Định lý 1.4. Trong không gian tiền Hilbert thực, nếu lim x n a và
lim y n b thì:
lim xn , yn a, b .
n
12
1.2 Toán tử đơn điệu
1.2.1 Tập lồi và hàm lồi
1.2.1.1 Tập lồi
Định nghĩa 1.2. Cho H là không gian tuyến tính thực, tập C H được gọi
là tập lồi nếu:
x, y C , : 0 1 x (1 ) y C.
Ví dụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều thì hình vuông, hình tròn, hình
elip hay hình cầu… đều là tập lồi.
Định nghĩa 1.3. Tập C nằm trong H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy x n
hội tụ tới điểm x thì x C. Tức là:
xn C , n 0,1, 2,...,lim xn x 0 x C.
n
Ví dụ 1.3. Trong 2 , C
x, y
2
x 2 y 2 R 2 là tập đóng.
Định nghĩa 1.4. Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của
các điểm của nó, tức là C lồi khi và chỉ khi:
k
j 1
k
j
1 j x j C,
j 1
với mọi x1 , x 2 ,..., x k C ; k ; 1 , 2 ,..., k 0.
Mệnh đề 1.1. (Giao các tập lồi)
Nếu A, B là các tập lồi trong n , C là tập lồi trong m , thì các tập sau là
lồi:
13
A B : x x A, x B ,
A B : x x a B, a A, b B; , ,
A C : x nm x a, c : a A, c C .
Định nghĩa 1.5. Siêu phẳng trong không gian n là một tập hợp các điểm có
dạng:
x n aT x ,
trong đó , a n là các vectơ khác 0 và thường được gọi là vectơ pháp
tuyến của siêu phẳng.
Siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian.
Ví dụ 1.4.
1. Trong không gian 2 , siêu phẳng là đường thẳng một chiều.
2. Trong không gian 3 , siêu phẳng là chính là mặt phẳng hai chiều.
Định nghĩa 1.6. Cho x 0 C . Ta nói aT x là siêu phẳng tựa của C tại x 0
nếu:
aT x 0 , aT x , x C.
Định nghĩa 1.7. Nửa không gian đóng là một tập hợp có dạng
x aT x .
Định nghĩa 1.8. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số
hữu hạn các nửa không gian đóng hay nói cách khác nó chính là tập hợp
nghiệm của một hệ hữa hạn các bất phương trình tuyến tính, có nghĩa là:
14
D x n Ax b ,
trong đó A là ma trận có m hàng là các vectơ a j , j 1,..., m và vectơ
b T = b1 , b 2 ,..., b m .
Định nghĩa 1.9. Một tập C trong H được gọi là nón nếu
0, x C x C.
Định nghĩa 1.10. Một nón C được gọi là nón lồi nếu C đồng thời là một tập
lồi, tức là:
x, y C , , 0 x y C.
Một nón lồi vừa là tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện.
Ví dụ 1.5. Trong n , tập x x1, x2 ,..., xn : xi 0, i 1,..., n góc (orthant)
không âm là một nón lồi có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.11. Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi C thỏa mãn hai điều kiện
sau:
i. C C , 0 .
ii. C C C.
Ví dụ 1.6.
1. C : x x 0 là nón nhưng không phải là một tập lồi.
2. C : x Ax 0 là nón lồi đa diện với A là ma trận thực cấp hữu hạn.
Định nghĩa 1.12. Cho C là một tập lồi trong H và x C. N C ( x) được gọi
là nón pháp tuyến ngoài của C tại x khi và chỉ khi:
15
N C x : w w, y x 0, y C .
Định nghĩa 1.13. Cho C là tập khác rỗng (không nhất thiết lồi) và y là một
vectơ bất kỳ, đặt
dC y : inf x y .
xC
Ta nói dC y là khoảng cách từ y đến C , nếu tồn tại C sao cho
dC y y thì ta nói là hình chiếu ( khoảng cách) của y trên C.
Ký hiệu: pC ( y ) hoặc p y nếu không nhấn mạnh đến tập chiếu C.
Mệnh đề 1.2. Cho C là một tập đóng khác rỗng. Khi đó:
i. Với mọi y H , C hai tính chất sau là tương đương:
a) pC ( y ).
b) y N C .
ii. Với mọi y H , hình chiếu pC ( y ) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
iii. Nếu y C thì
pC y y , x pC y 0 là siêu phẳng tựa của C tại
pC ( y ) và tách hẳn y khỏi C, tức là
pC y y, x pC y 0, x C
và
pC y y , x pC y 0.
iv. Ánh xạ y pC y có các tính chất như sau:
a) pC ( x) pC ( y ) x y x, y.
( tính không giãn)
16
2
b) pC x pC ( y ), x y pC ( x) pC ( y ) .
( tính đồng bức)
Chứng minh:
i. Giả sử có a). Lấy x C và 0;1 . Đặt:
x : x (1 ) .
Do C , x và C lồi nên x C mà lại là hình chiếu của y.
Suy ra
y y x .
Hay
y
2
2
x y .
Khai triển vế phải, ước lượng và chia hai vế cho cho 0, ta có:
2
x 2 x , y 0.
Điều này đúng với mọi x C và 0,1 .
Do đó khi cho 0, ta được:
y, x 0, x C.
Vậy y N C ( ).
Giả sử có b). Với mọi x C , ta có:
0 y
T
T
x y x y y
= y
2
y
T
x y .
Từ đây và b), ta dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, có:
17
y
2
y
T
y x
y . y x .
Suy ra y y x , x C , và do đó p y .
ii. Do dC y inf xC x y
nên theo định nghĩa của cận dưới đúng
(infimum) , tồn tại một dãy x k C sao cho
lim x k y dC y .
k
Vậy dãy x k bị chặn, do đó nó có một dãy con x kj hội tụ yếu đến một
điểm nào đó.
Mà C lồi đóng, nên C.
Vậy
y lim x kj y lim x k y dC ( y ).
k
Chứng tỏ là hình chiếu của y trên C.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm
và 1 đều là hình chiếu của y trên C, thì
y NC 1 .
Tức là
y , 1 0
và
1 y , 1 0.
Cộng hai bất đẳng thức này lại ta suy ra 1 0 và do đó 1.
18
iii. Do y N C nên y , x 0, x C.
Vậy y , x y, là một siêu phẳng tựa của C tại .
Siêu phẳng này tách y khỏi C vì y nên
y , y y
2
0.
iv. Theo phần iii. ánh xạ x p x xác định khắp nơi.
Do
z p z N C p z với mọi z , nên áp dụng với z x, z y, ta có:
x p x , p y p x 0
và
y p y , p x p y 0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được:
p y p x , p y p x x y 0.
Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Suy ra
p x p y x y .
Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) của i, lần lượt với
p x , p y , ta có:
p x x, p x p y 0.
y p y , p x p y 0.
19
Cộng hai bất đẳng thức ta được
p x p y y x, p x p y
2
p x p y , y x p x p y 0.
Chuyển vế ta có:
2
p x p y , x y p x p y
Đây chính là tính đồng bức cần chứng minh.
Định nghĩa 1.14. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a T x
tách C và D nếu
a T x a T y, x C,y D.
Ta nói siêu phẳng a T x tách chặt C và D
a T x a T y, x C,y D.
Ta nói siêu phẳng a T x tách mạnh C và D nếu
sup a T x int a T y.
xC
yD
Định lý 1.5. ( Định lý tách 1)
Cho C và D là hai tập lồi, khác rỗng trong H sao cho C D . Khi đó,
có một siêu phẳng tách C và D.
Định lý 1.6. ( Định lý tách 2)
Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C D . Giả sử có ít
nhất một tập là tập compắc. Khi đó, hai tập này có thể tách mạnh được bởi
một siêu phẳng.
20
1.2.1.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.15. Trong H , cho C là tập lồi và f : C . Tập domf
được gọi là miền hữu dụng của f khi
domf := x C f x .
Tập epif :
x, C f x được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Định nghĩa 1.16. Trong H cho C lồi khác rỗng và f : H .
Hàm f được gọi là:
i. lồi trên C nếu
f x 1 y f x 1 f y , x, y C , 0,1.
ii. lồi chặt trên C nếu
f x 1 y f x 1 f y , x, y C , 0,1 .
iii. lồi mạnh trên C với 0, x, y C , 0,1 nếu
2
f x 1 y f x 1 f y 1 x y .
Định nghĩa 1.17. Hàm f là hàm lõm trên C nếu f lồi trên C.
Định nghĩa 1.18. Một hàm f được gọi là chính thường trên nếu domf
và f x với mọi x.
Định nghĩa 1.19. Hàm f được gọi là đóng, nếu epif là một tập đóng trong
H.
21
Ví dụ 1.7.
1) Hàm mặt cầu
Cho mặt cầu S : x H x 1 và một hàm bất kỳ h : S . Khi đó
hàm
0
khi
f x : h(x) khi
khi
x 1
x 1.
x 1
là lồi.
2) Hàm khoảng cách
Cho C là tập lồi, đóng, hàm khoảng cách đến tập C, dC x : min x y
yC
là hàm lồi.
Mệnh đề 1.3. Nếu f là một hàm lồi trên H thì các tập mức
L f : x f x ,
là lồi với mọi .
Định nghĩa 1.20. Hàm f : H R và mọi dãy x k E , x k x
được gọi là
i. nửa liên tục dưới đối với E tại điểm x khi
lim inf x k f x .
ii. nửa liên tục trên nếu f nửa liên tục dưới đối với E tại x.
22
iii. liên tục nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới đối với E tại x.
Mệnh đề 1.4. Với mọi hàm f : H các điều sau là tương
đương:
i. Trên đồ thị của f là một tập đóng trên H , nói cách khác f f .
ii. Với mọi số thực , tập mức dưới
L f : x f x
là một tập đóng.
iii. f nửa liên tục dưới trên H .
Mệnh đề 1.5. Đối với một hàm lồi chính thường trên H và
x 0 int domf , các khẳng định sau đây là tương đương:
i.
f liên tục tại điểm x 0 .
ii.
f bị chặn trên trong một lân cận của x 0 .
iii.
int(epi f) .
iv.
int(dom f) và f liên tục trên tập int(dom f).
Mệnh đề 1.6. Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên H . Khi đó, f liên
tục tại mọi điểm x int domf .
Mệnh đề 1.7. Cho f là một hàm lồi chính thường trên H và D domf là
một tập lồi đa diện. Khi đó, f nửa liên tục trên đối với tập D tại mọi điểm của
D.
Định nghĩa 1.21. Cho C H khác rỗng và f : H . Một điểm
23
x C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại một lân
cận U của x sao cho
f x f x với x U C.
Nếu f x f x với x C
thì x được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C.
Mệnh đề 1.8. Cho f : H lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa
phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa,. tập hợp các
điểm cực tiểu của f là một tập lồi. Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn
tại sẽ duy nhất.
Định nghĩa 1.22. Cho hàm f xác định trên một lân cận của x H, hàm f
được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại x H
lim
f z f x x* , z x
z x
zx
0.
Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x H.
Nhận xét 1.1. Nếu điểm x tồn tại thì sẽ là duy nhất và được gọi là đạo hàm
của hàm f tại x.
Kí hiệu: f x hoặc f x .
Định nghĩa 1.23. Cho f : H . Ta nói x H là dưới đạo hàm
của f tại x nếu
x , z x f(x) f z , z.
24
Ký hiệu: f x là tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x.
Khi f x thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x.
Ví dụ 1.8. Trong H cho C là một tập lồi, khác rỗng. Khi đó f C là hàm
chỉ được định nghĩa bởi
0, x C.
,
x
C.
C x
Với x 0 C thì
x ,x x
C x 0
0
C x , x .
Với x 0 C thì
x ,x x
C x 0
0
0, x C N C x 0 .
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của C tại một điểm x 0 C là nón pháp tuyến
ngoài của C tại x 0 .
Mệnh đề 1.9. (Moreau- Rockafellar)
Cho f i với i 1, 2,..., m là các hàm lồi chính thường trên H. Khi đó
m
m
f
x
i
fi x , x.
i1
i1
Nếu ri domfi thì
m
m
f
x
f
x
i
i
, x.
i1
i1
25
1.2.2 Toán tử đơn điệu
1.2.2.1 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.24. Cho X, Y H và F : X 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp
gồm toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2Y ). Khi đó, ta nói F là ánh
xạ đa trị đi từ X vào Y. Như vậy, với mồi x X , F x là một tập con của
Y, trong đó F x có thể là tập rỗng.
Nếu F x chỉ có đúng một phần tử với mọi x X thì F là ánh xạ đơn trị từ
X vào Y và ký hiệu là F : X Y.
Định nghĩa 1.25. Đồ thị, miền hữu hiệu, miền ảnh của ánh xạ đa trị
F : X 2Y . Đặt:
gphF x, y X Y : y F x ;
domf x X : F x ;
rgef y Y : x X sao cho y F(x) .
Định nghĩa 1.26. Ánh xạ ngược F1 : Y 2 X của ánh xạ đơn trị
F : X 2Y . được xác định bởi công thức:
F1 y x X : y Y F x .
Định nghĩa 1.27. Ánh xạ đa trị F : H 2H được gọi là
i. nửa liên tục trên tại x domF nếu với mọi tập mở V F x , tồn tại lân
cận mở U của x sao cho
F x V, x U.
