Phép biến đổi tích phân kiểu tích phân kiểu tích chập kontorovich lebedev fourier cosine và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN HỮU HẢI

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN HỮU HẢI

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRỊNH TUÂN

HÀ NỘI, 2016

i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp
tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn
học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình
học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè
đồng nghiệp trường PTDT Nội Trú THCS-THPT Bắc Hà, Lào Cai đã quan
tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và
hoàn thành luận văn này !

Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016
Tác giả

Trần Hữu Hải


ii

Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Trịnh Tuân.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 22 tháng 6 năm 2016
Tác giả

Trần Hữu Hải


iii

Danh mục kí hiệu

F

Phép biến đổi Fourier;

Fs

Phép biến đổi Fourier sine;

Fs✁1

Phép biến đổi Fourier sine ngược;

Fc

Phép biến đổi Fourier cosine;

Fc✁1

Phép biến đổi Fourier cosine ngược;

K

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev;

K ✁1

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược;

C0 ♣R  q

♣✁f ✝ gq✠
γ
f ✝g
✁
✠
f ✝g
✁ Fγ ✠
f ✝g
F

L♣R  , x1 q

Là không gian các hàm số liên tục trên R  ;
Tích chập của hai hàm f và g;

Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ;
Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi F ;
Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ đối với phép
biến đổi F ;

là tập các hàm f và g xác định trên ♣0,  ✽q

sao cho
1
L♣R  , sinh
xq

 ✽
➩
0

1
x

⑤f ♣xq⑤dx ➔  ✽;

là tập các hàm f và g xác định trên ♣0,  ✽q
 ✽
➩
1
sao cho
⑤g♣xq⑤dx ➔  ✽.
0 sinh x

iv

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Danh mục kí hiệu

iii

Lời mở đầu

1

1

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân

4

1.1

Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Một số không gian hàm dùng trong luận văn . . . .

4

1.1.2

Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine . . .

6

1.1.3

Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev . . .

6

Một số kiến thức về tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Định nghĩa tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

1.3

2

Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

10

Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa

. . . . . . . .

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine,
Kontorovich-Lebedev ngược
2.1

11

Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích
phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược . . . . . .

12


v

3

2.2

Các bất đẳng thức chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Định lý kiểu Watson

22

Ứng dụng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi tích chập ♣h ✝ f q của hai hàm h và f , nếu ta cố định một trong

hai hàm, chẳng hạn cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trên không gian
hàm xác định. Ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
dạng D : f

ÞÑ g ✏ D♣h ✝ f q trong đó: g ♣xq ✏ D ♣h ✝ f q ♣xq và D là một

toán tử nào đó. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được xây dựng
theo kiểu này nổi tiếng nhất là phép biến đổi liên quan đến tích chập của phép
biến đổi tích phân Mellin ([4]).
g ♣xq ✏

 ✽
➺

k ♣xy q f ♣y q dy, x → 0

0

Tiếp nối ý tưởng này, những năm (1999-2003) GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn (Đại
học West Georgia, Mỹ) và các đồng nghiệp đã xây dựng được
lớp phép
✂ một ✡
biến đổi tích phân dạng trên đối với tích chập Fourier cosine f
✂

f

chập suy rộng Fourier cosine và Fourier sine

✝

Fc ,Fs

✡

h

✝h

Fc

và tích

([5]). Ở đó toán tử

D được xác định như sau
D

✏

✂

1✁

d2
dx2

✡

.

Năm 2003, S. B. Yakubovich cũng đã nghiên cứu kết quả tương tự nói trên
đối với tích chập Kontorovich-Lebedev (K) ([11]).
Năm 2013 tác giả N.T.Hồng, Trịnh Tuân, N.X.Thảo ([6]) đã xây dựng phép
biến đổi tích phân cho tích chập suy rộng với hàm trọng γ đối với các phép
biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngược (Fc , K ✁1 ) từ
đó chỉ ra được tính Unita của phép biến đổi này và nghiên cứu ứng dụng của
phép biến đổi trong trường hợp bậc của toán tử D là hữu hạn. Với mong muốn


2

được tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân kiểu
tích chập, được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài
“Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich- Lebedev Fourier

cosine và ứng dụng” để nghiên cứu.
Đề tài luận văn Thạc sỹ được trình bày trong 35 trang A4, ngoài phần lời
nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn được chia làm 3 chương.
Chương 1. Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các
chương sau.
Chương 2. Trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép
biến đổi tích phân Fc , K ✁1 (2.1). Nghiên cứu sự tồn tại của chúng trên các
không gian hàm, nhận được đẳng thức nhân tử hóa và các bất đẳng thức dạng
chuẩn của chúng. Từ đó đi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng (2.1). Nội dung chính của chương này là các định lý: Định lý 2.1,
Định lý 2.4 và Định lý 2.6.
Chương 3. Sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đối
với hai phép biến đổi Fc , K ✁1 (2.1) ở chương II. Trong trường hợp phép biến
đổi này có bậc của toán tử D là hữu hạn để giải đóng một lớp bài toán dạng
Cauchy mà phương trình của nó là phương trình vi-tích phân. Kết quả chính
của chương này là Định lý 3.1.
Để tiện theo dõi trong quá trình viết luận văn. Chúng tôi đã đưa vào danh
mục các kí hiệu toán học ở trang đầu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier Cosine, Kontorovich – Lebedev ngược ([6])
☎

f ♣xq ÞÑ g

✏

✝
D✆

➺

☞
✠
1 ✁ ✁u cosh♣x vq
✍
✁
u cosh♣x✁v q
e
 
e
h ♣uq f ♣v q dudv ✌
u

R2 

trong đó D

✏

2

d
π 2 dx2

✽ ✁
➧
k ✏1

1✁

2

4d
k 2 dx2

✠

(1)
từ đó nghiên cứu một số tính chất của


3

toán tử D và ứng dụng để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương
trình của nó là phương trình vi-tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày 3 vấn đề chính
Vấn đề 1. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích

phân ♣Fc , K ✁1 q

Vấn đề 2. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng ♣Fc , K ✁1 q với

hàm trọng.
Vấn đề 3. Ứng dụng giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fc , K ✁1 với

hàm trọng trên không gian L2 ♣R  q và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu

Dùng kỹ thuật giải tích hàm;
Kỹ thuật hàm đặc biệt;
Dùng kỹ thuật tích chập;

Kỹ thuật phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng.


4

Chương 1
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân
Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản về
một số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập dùng để nghiên
cứu cho hai chương chính của luận văn là chương 2 và chương 3.
Tài liệu chính để viết chương này là ([1, 2, 3, 6]).

1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản
Một số không gian hàm dùng trong luận văn

• L1 ♣Rq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ♣✁✽,  ✽q sao cho
➺  ✽

✁✽

⑤f ♣xq⑤dx ➔  ✽

và L1 ♣Rq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

⑥ f ⑥ L ♣ Rq ✏
1

➺  ✽

✁✽

⑤f ♣xq⑤dx.

• L1 ♣R  q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ♣0,  ✽q sao cho

 ✽
➺
0

⑤f ♣xq⑤dx ➔  ✽,


5

và L1 ♣R  q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định

 ✽
➺

⑥f ⑥L ♣Rq ✏
1

⑤f ♣xq⑤dx.

0

• Lp ♣Rq là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ♣✁✽,  ✽q sao cho

 ✽
➺
✁✽

⑤f ♣xq⑤pdx ➔  ✽,

và Lp ♣Rq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
☎

 ✽
➺

☞1

p

⑥f ⑥L ♣Rq ✏ ✆ ⑤f ♣xq⑤pdx✌ .
p

✁✽

• Lp ♣R  q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ♣0,  ✽q sao cho

 ✽
➺

⑤f ♣xq⑤pdx ➔  ✽,

0

và Lp ♣R  q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
☎

 ✽
➺

☞1

p

⑥f ⑥L ♣R q ✏ ✆ ⑤f ♣xq⑤pdx✌ .
p

0

• Lα,β
r ♣R  q là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ♣0;  ✽q sao cho

 ✽
➺

⑤f ♣xq⑤r .xα.e✁βxdx ➔  ✽, r ➙ 1, β ➙ 0, α → ✁1,

0

và Lα,β
r ♣R  q là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định
☎

⑥f ⑥L

α,β
r

♣ R  q ✏

✆

 ✽
➺
0

☞1
r

⑤f ♣xq⑤r xαe✁βxdx✌ .


6

1.1.2

Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine

Định nghĩa 1.1. ([4]) Cho hàm f ♣xq

€

L1 ♣Rq. Khi đó phép biến đổi tích

phân Fourier (F ) đối với hàm f được định nghĩa như sau
fr♣xq ✏ ♣F f q♣y q ✏

➺

 ✽
1
❄
e✁ixy f ♣y qdy;
2π ✁✽

x € R.

(1.1)

Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier. Và F có
phép biến đổi Fourier ngược (F ✁1 ) được định nghĩa như sau
Phép biến đổi Fourier ngược của hàm f được xác định bởi công thức
➺  ✽

♣F ✁1frq♣yq ✏ ❄1
Nhận xét 1.1. 1) Vì ⑤e✟ixy ⑤

2π ✁✽

eixy fr♣y qdy;

x € R.

(1.2)

✏ 1 và f ♣xq € L1♣Rq nên các tích phân (1.1);

(1.2) là hội tụ với mỗi x € R.

2) F, F ✁1 là các toán tử tuyến tính.

Định nghĩa 1.2. ([4]) Phép biến đổi Fourier cosine ♣Fc q của một hàm
f

€ L1♣R q là một hàm được xác định bởi công thức
♣Fcf q♣xq ✏

❝

2
π

➺✽

cos xyf ♣y qdy,

x → 0.

(1.3)

0

Phép biến đổi Fourier cosine ngược ♣Fc✁1 q của hàm f được xác định như
sau

♣Fc✁1frq♣xq ✏
Nhận xét 1.2. Vì ⑤ cos xy ⑤

❝

2
π

➺✽

cos xy fr♣y qdy,

x → 0.

(1.4)

0

↕ 1, ⑤ sin xy⑤ ↕ 1 và f ♣xq € L1♣R q nên các tích
phân (1.3), (1.4) đều hội tụ với mỗi x € R.
1.1.3

Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev

Định nghĩa 1.3. ([6]) Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev được
nghiên cứu đầu tiên bởi M. J. Kontorovich và N. N. Lebedev trong khoảng


7

(1938-1939) và có dạng
K rf s♣y q ✏

➺✽

Kix ♣y qf ♣xqdx,

(1.5)

0

nó bao hàm các hạt nhân và hàm Macdonald Kv ♣xq của chỉ số ảo thuần túy
ν

✏ iy. Hàm Kν ♣zq thỏa mãn phương trình Bessel.
du
d2 u
z 2 2   z ✁ ♣z 2   ν 2 qu ✏ 0.
dz
dz

(1.6)

Hàm Macdonald có dáng tiệm cận

Tại ✽ là

Kν ♣z q ✏ ♣

π 1 ✁z
q 2 e r1   O♣1④zqs , z
2z

Ñ ✽,

(1.7)

tại lân cận điểm 0
z ν Kν ♣z q ✏ 2ν ✁1 Γ♣ν q   o♣1q,

Ñ 0, ν ✘ 0
K0 ♣z q ✏ ✁ log z   O♣1q, z Ñ 0.
z

(1.8)
(1.9)

Ngoài ra hàm Macdonald còn có dạng biểu diễn sau đây
Kiy ♣xq ✏

➺✽

e✁x cosh u cos yudu,

x → 0.

(1.10)

0

Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev (1.5) ngược là dạng
f ♣xq ✏ K ✁1 rg s♣xq ✏

2
sinh♣πxq
π

ở đây Kix ♣y q là hàm Macdonald.

1.2
1.2.1

➺✽

1
Kix ♣y qg ♣y qdy,
y

(1.11)

0

Một số kiến thức về tích chập
Định nghĩa tích chập

Về lịch sử của tích chập suy rộng có thể xem [4,10]. Chúng tôi xin phép
không trình bày ở đây. Tuy nhiên phần sau đây có nhắc lại một số khái niệm
về tích chập và tích chập suy rộng dùng cho luận văn.


8

Định nghĩa 1.4. ([4,10]) Cho U1 ♣X1 q, U2 ♣X2 q là các không gian tuyến tính,
V ♣Y q là một đại số. Khi đó,

♣✝q : U1♣X1q ✂ U2♣X2q Ñ V ♣Y q
♣f, gq ÞÑ ♣f ✝ gq♣yq
được gọi là phép toán tích chập. Ký hiệu ♣✝q.
Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U ♣X q vào đại

số V ♣Y q :

K : U ♣X q Ñ V ♣Y q.

€ U1♣X1q; g € U2♣X2q đối với phép biến đổi tích
phân K là một hàm, ký hiệu ♣f ✝ g q sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây
Tích chập của hai hàm f

được thỏa mãn

K ♣f ✝ g q♣y q ✏ ♣Kf q♣y q.♣Kg q♣y q.

(1.12)

Khi đó không gian U ♣X q cùng với phép toán chập ♣. ✝ .q trên xác định một

đạị số.
Trong phần này chúng ta trình bày một số các kết quả về tích chập đối với
các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev
để minh họa cho Định nghĩa 1.4, ngoài ra các tích chập này còn dùng để
nghiên cứu các chương sau của luận văn.
1.2.2

Ví dụ

Ví dụ 1. ([4])

€ L1♣Rq, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) đối
với hai hàm f, g, ký hiệu ♣f ✝ g q♣xq được xác định bởi công thức
F
Cho f, g

♣f F✝ gq♣xq ✏
Tích chập ♣f

➺

 ✽
1
❄
f ♣x ✁ y qg ♣y qdy;
2π ✁✽

x € R.

(1.13)

✝ gq♣xq € L1♣Rq và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F

F ♣f

✝ gq♣yq ✏ ♣F f q♣yq.♣F gq♣yq;

F

y

€ R.

(1.14)


9

Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối
với phép biến đổi tích phân K với hàm trọng γ ♣y q, ký hiệu ♣f ✝ g q♣xq và thỏa
γ

mãn đẳng thức nhân tử hóa
K ♣f ✝ g q♣y q ✏ γ ♣y q♣Kf q♣y q♣Kg q♣y q.

(1.15)

Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và

nghiên cứu.
Ví dụ 2. ([4])

€ L1♣R q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine
của hai hàm f và g ký hiệu: ♣f ✝ g q♣xq được xác định bởi công thức
F
Cho f, g

c

♣f F✝ gq♣xq ✏
c

❄1
2π

➺  ✽
0

f ♣y qrg ♣⑤x ✁ y ⑤q   g ♣x   y qsdy;

x → 0. (1.16)

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fc ♣f

✝ gq♣yq ✏ ♣Fcf q♣yq♣Fcgq♣yq, ❅y → 0.

(1.17)

Fc

Ví dụ 3. ([11])

€ L1♣R q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân KontorovichLebedev ♣K q của hai hàm f, g ký hiệu: ♣f ✝ g q♣xq được xác định bởi công
K
Cho f, g
thức

♣f K✝ gq♣xq ✏

1
2π

➺  ✽ ➺ ✽
0

0

✒

1 ✁ xu
exp ✁
2 v

 

xv
u

 

✚

uv ✠
f ♣uqg ♣v q dudv, x → 0.
x
(1.18)

Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K ♣f

✝ gq♣yq ✏ ♣Kf q♣yq.♣Kgq♣yq, ❅y → 0.

K

(1.19)


10

1.3

Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
tích phân

1.3.1

Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa

Trong phần này chúng tôi trình bày tóm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy
rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân như sau. Xét các phép
biến đổi tích phân
Kj : Uj ♣Xj q Ñ V ♣Y q,

✏ 1, 2, 3
Fj ✏ f˜j ♣y q ✏ ♣Kj fj q♣y q ✏ kj ♣y, xj qfj ♣xj qdxj € V ♣Y q,
➺

j

Xj

trong đó Uj ♣Xj q là các không gian tuyến tính và V ♣Y q là đại số.
Định nghĩa 1.5. ([8]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
✁

K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ1 của hai hàm f và g là một biểu thức

f ✝g
γ1

✠

sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
✁

K1 f

✠

✝ g ♣yq ✏ γ1♣yq♣K2f q♣yq♣K3gq♣yq, ❅y € Y.

γ1

(1.20)

Ví dụ 4. ([10])
Cho f, g

€ L1♣R q. Tích chập với hàm trọng γ ♣yq ✏ sin y của hai hàm số

f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.4) được xác định như sau
✂

f

✡

✝ g ♣xq ✏
γ

Fs

❄1
2 2π

➺  ✽
0

✒

f ♣xq sign♣x   y ✁ 1qg ⑤x   y ✁ 1⑤

  sign♣x ✁ y   1qg⑤x ✁ y   1⑤ ✁ g♣x   y   1q
✚
✁ sign♣x ✁ y ✁ 1qg♣⑤x ✁ y ✁ 1⑤q dy
✂

Tích chập
tử hóa

f

✝g
γ

Fs

✂

Fs f

✡

thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân

✡

✝ g ♣yq ✏ sin y♣Fsf q♣yq.♣Fsgq♣yq,

γ

Fs

(1.21)

y

→ 0.

(1.22)


11

Chương 2
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng Fourier cosine,
Kontorovich-Lebedev ngược
Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng đối với phép
biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược (2.1). Nghiên
cứu sự tồn tại của toán tử tích chập này cũng như đẳng thức nhân tử hóa, đẳng
thức Parseval và các bất đẳng thức chuẩn trên lớp các không gian hàm khác
nhau. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy
rộng này bằng kỹ thuật cố định hàm h và cho hàm f biến thiên trong không
✁

✠

γ

gian hàm xác định và xây dựng toán tử D✽ tác động vào h ✝ f , cụ thể là

D✽ : L2 ♣R  q Ñ L2 ♣R  q

✁

fÑ
Þ g ✏ D✽ h ✝γ f
trong đó, D✽ ✏

d2
dx2

✽ ✁
➧
k ✏1

1✁

4d2
k 2 dx2

✠

✠

Từ đó nhận được tính Unita của phép biến đổi này, cũng như công thức
biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng. Các kết quả chính của chương này
là Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.5.
Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là ([5,6])

12

2.1

Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi
tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược

Định nghĩa 2.1. ([8]) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ ♣y q

✏ y sinh1♣πyq

của hàm h và f với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phép biến đổi
tích phân Kontorovich-Lebedev ngược được định nghĩa như sau

♣h ✝ f q♣xq ✏
γ

1
π2

➺  ✽ ➺  ✽
0

0

1 ✁u cosh♣x vq ✁u cosh♣x✁vq
re
 e

sh♣uqf ♣vqdudv, x → 0.
u
(2.1)

Định lý 2.1. ([8]) Giả sử h € L♣R  , x1 q và f

€ L♣R , sinh1 x q. Khi đó tích chập

suy rộng ♣h ✝ f q♣xq thuộc L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
γ

Fc ♣h ✝ f q♣y q ✏ γ ♣y q♣K ✁1 hq♣y q♣Fc f q♣y q, ❅y
γ

→ 0,

(2.2)

trong đó K ✁1 là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược được xác định ở
(1.12). Fc là phép biến đổi Fourier cosine được xác định ở (1.4)
Nhận xét: Như vậy ta thấy trong đẳng thức nhân tử hóa (2.2) của tích chập
 

✟

suy rộng (2.1) có hai phép biến đổi khác nhau tham gia là Fc , K ✁1 .
Chứng minh. Vì sinh♣x   v qe✁u cosh♣x vq
✞➺  ✽ ➺  ✽
✞
1 ✁u cosh♣x vq

✞
e
✞
u
0
0
➺  ✽ ➺  ✽

r

↕

Ñ 0 khi u, v Ñ  ✽, ta có
✞

✞
  e✁u cosh♣x✁vqsh♣uqf ♣vqdudv✞
✞

1 ✁u cosh♣x vq
⑤
e
 
e✁u cosh♣x✁vq ⑤⑤h♣uq⑤⑤f ♣v q⑤dudv
u
➺0 ✽ ➺0 ✽
⑤f ♣vq⑤ dudv
1
↕
⑤

sinh♣x   v q⑤⑤e✁u cosh♣x vq ⑤⑤h♣uq⑤
u
⑤ sinh♣x   vq⑤
0
➺  ✽0 ➺  ✽
⑤f ♣vq⑤ dudv
1
 
⑤
sinh♣x ✁ v q⑤⑤e✁u cosh♣x✁vq ⑤⑤h♣uq⑤
u
⑤ sinh♣x ✁ vq⑤
0
➺  ✽ 0➺  ✽
1
1
↕ M1
⑤h♣uq⑤⑤f ♣vq⑤dudv
u ⑤ sinh♣x   v q⑤
0
0
➺  ✽ ➺  ✽
⑤h♣uq⑤ ⑤f ♣vq⑤ dudv ➔  ✽.
  M2
u ⑤ sinh♣x ✁ v q⑤
0
0


13

Lưu ý rằng
➺  ✽
0

sinh♣x   αqe✁u cosh♣x αq dx ✏

1 ✁u cosh α
e
u

(2.3)

và
➺  ✽
0

⑤ sinh♣x ✁ vq⑤e✁u cosh♣x✁vqdx ✏

➺  ✽
v➺

✁
✏2

v
0

e✁u
u

sinh♣x ✁ v qe✁u cosh♣x✁vq dx
sinh♣x ✁ v qe✁u cosh♣x✁vq dx

✁

e✁u cosh v
,
u

(2.4)

theo (2.3) ta suy ra
➺  ✽ ➺  ✽ ➺  ✽
0

e✁u cosh♣x vq ⑤h♣uq⑤⑤f ♣v q⑤dudvdx

➺  ✽0 ➺  ✽0 ➺  ✽

h♣uq⑤⑤f ♣v q⑤
dudvdx
⑤ sinh♣x   vq⑤e✁u cosh♣x vq ⑤sinh
♣
x
 
v
q
➺0 ✽ ➺0 ✽ ➺0 ✽
uq⑤⑤f ♣v q⑤

⑤ sinh♣x   vq⑤e✁u cosh♣x vq ⑤h♣sinh
dudvdx
↕
♣
vq
0
0
0
➺  ✽ ➺  ✽ ✁u cosh v
e
⑤f ♣vq⑤ dudv
✏
⑤
h♣uq⑤
u
⑤ sinh v⑤
➺0 ✽ ➺0 ✽
⑤h♣uq⑤ ⑤f ♣vq⑤ dudv.
↕
(2.5)
u ⑤ sinh v ⑤
0
0

✏

Tương tự, theo (2.4) ta có
➺  ✽ ➺  ✽ ➺  ✽
0

e✁u cosh♣x✁vq ⑤h♣uq⑤⑤f ♣v q⑤dudvdx

➺  ✽0 ➺  ✽0 ➺  ✽

h♣uq⑤⑤f ♣v q⑤
dudvdx
⑤ sinh♣x ✁ vq⑤e✁u cosh♣x✁vq ⑤sinh
♣
x ✁ vq
0
0
0
➺  ✽ ➺  ✽ ➺  ✽
✏
⑤ sinh♣x ✁ vq⑤e✁u cosh♣x✁vq⑤h♣uq⑤ sinh⑤f♣♣xv✁q⑤ vq dudvdx
✡
➺0 ✽ ➺0 ✽ ✂0
2 ✁u 1 ✁u cosh v
⑤f ♣vq⑤ dudv
↕
e   e
⑤
h♣uq⑤
u
u
sinh♣x ✁ v q
0
0
➺  ✽ ➺  ✽
⑤h♣uq⑤ ⑤f ♣vq⑤ dudv ➔  ✽.

✏3
(2.6)
u ⑤ sinh♣x ✁ v q⑤
0
0

✏


14

Từ (2.1), (2.5) và (2.6) ta suy ra
➺  ✽
0

↕

⑤♣h ✝γ f q♣xq⑤dx

1
π2

➺  ✽ ➺  ✽ ➺  ✽
0

0

➔  ✽.

0

1 ✁u cosh♣x vq
r
e
✁
e✁u cosh♣x✁vq s⑤h♣uq⑤⑤f ♣v q⑤dudvdx
u

Cho nên, ♣h ✝ f q♣xq thuộc L♣R  q. Bây giờ chúng ta chứng minh tích chập suy
γ

rộng (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2). Ta có
γ ♣y q♣K ✁1 hq♣y q♣Fc f q♣y q

✏

1
y sinh♣πy q

✏ π22

❝

2
π

❝

2
π

➺  ✽ ➺  ✽
0

➺  ✽ ➺  ✽
0

0

0

1
u

✂

✡

2
y cos♣yv q sinh♣πy qKiy ♣uqh♣uqf ♣v qdudv
π2

1
cos♣yv qKiy ♣uqh♣uqf ♣v qdudv.
u

Từ đó ta thu được
γ ♣y q♣K ✁1 hq♣y q♣Fc f q♣y q

✏

✏

2
π2
1
π2

❝

❝

2
π
2
π

➺  ✽ ➺  ✽
0

0

➺  ✽ ➺  ✽
0

0

1
cos♣yv qh♣uqf ♣v q
u
✧ ➺  ✽

1
h♣uqf ♣v q
u

  cos y♣α ✁ vqse✁u cosh αdα

✯

0

✒ ➺  ✽
0

✚

cos♣yαqe✁u cosh α dα dudv
(2.7)

rcos y♣α   vq

dudv.

Ngoài ra
➺  ✽
0

➺  ✽
0

cos y ♣α   v qe✁u cosh α dα ✏
cos y ♣α ✁ v qe✁u cosh α dα ✏

➺  ✽
v

➺  ✽

✁v

cos♣ytqe✁u cosh♣t✁vq dt,

(2.8)

cos♣ytqe✁u cosh♣t vq dt.

(2.9)

Tương tự, sử dụng (2.8) và (2.9), ta có
➺  ✽
0

rcos y♣α   vq   cos y♣α ✁ vqse✁u cosh αdα


15

✏

➺  ✽

v

 

✏

0

 

✏

cos♣ytqe✁u cosh♣t✁vq dt  

➺  ✽

➺  ✽

0

0

0

cos♣ytqe✁u cosh♣t vq dt

✁v

cos♣ytqe✁u cosh♣t vq dt

➺  ✽

cos♣ytqe✁u cosh♣t vq dt  

➺v

➺  ✽

➺0

v

cos♣ytqe✁u cosh♣t✁vq dt

cos♣ytqe✁u cosh♣t✁vq dt

cos♣ytqre✁u cosh♣t vq   e✁u cosh♣t✁vq sdt.

(2.10)

Ngoài ra, kết hợp tất cả (2.7)-(2.10) ta có
γ ♣y q♣K ✁1 hq♣y q♣Fc f q♣y q

✏
✏

1
π2
❝

❝

2
π

➺  ✽ ➺  ✽
0

✧ ➺  ✽

1
h♣uqf ♣v q
u
✯

0

  e✁u cosh♣t✁vqsdt
2
π

➺  ✽
0

✧

cos♣ytq

1
π2

0

cos♣ytqre✁u cosh♣t vq

dudv
➺  ✽ ➺  ✽
0

  e✁u cosh♣t✁vqsdudv

✯

0

1
h♣uqf ♣v qre✁u cosh♣t vq
u

dt

✏ Fc♣h ✝γ f q♣yq.
Do đó, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) được chứng minh.

✆

Nhận xét 2.1. Toán tử tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến
đổi tích phân Fc , K ✁1 (2.1) không có phần tử đơn vị.
Thật vậy dùng phản chứng. Giả sử tồn tại e

€ L♣R , x1 q là phần tử đơn vị

trái của toán tử tích chập suy rộng (2.1) tức là

♣e ✝γ f q♣xq ✏ f ♣xq, ❅f € L♣R , sinh1 x q.
Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine cho cả hai vế của (2.11) ta được
✁

Fc

✠

γ
e ✝ f ♣xq ✏ ♣Fc f q ♣xq

(2.11)


16

Theo Định lý (2.1), ta có
Fc ♣e ✝ f q♣xq ✏ γ ♣y q♣K ✁1 eq♣xq♣Fc f q♣xq,

❅x → 0,

γ

Suy ra:
γ ♣y q♣K ✁1 eq♣xq♣Fc f q♣xq ✏ ♣Fc f q♣xq
và do đó

♣Fcf q♣xqr1 ✁ γ ♣yq♣K ✁1eq♣xqs ✏ 0.

Ta cũng có

Do vậy

γ ♣y q♣K ✁1 eq♣xq ✏ 1.
e♣xq ✏ K ♣

1
q ✏ K ♣y sinh♣πyqq,
γ ♣y q

❅x → 0,

(2.12)

Do K ♣y sinh ♣πy qq không tồn tại theo công thức 9.7.4 ([7]). Suy ra không
tồn tại e ♣xq phần tử đơn vị trái. Suy ra không tồn tại phần tử đơn vị cho tích
chập (2.1).

2.2

Các bất đẳng thức chuẩn

Trong phần này chúng tôi trình bày một số các bất đẳng thức dạng chuẩn
đối với tích chập suy rộng (2.1) trên một số các không gian hàm khác nhau.

Chẳng hạn L1 ♣R  q, Lα,β

r ♣R  q. Đặc biệt trong phần này chúng tôi nhận được
định lý dạng Young’s đối với tích chập suy rộng (2.1).
Định lý sau đây cho ta đánh giá bất đẳng thức chuẩn của tích chập suy

rộng (2.1) trên không gian L1 ♣R  q và còn nhận được đẳng thức Parseval.

€ L✁p 1,β ♣R q và g € L1♣R q, 0 ➔ β ↕ 1. Khi đó
tích chập suy rộng (2.1) tồn tại với hầu hết x → 0, thuộc L1 ♣R  q và đánh giá
Định lý 2.2. ([6]) Cho h
sau là đúng
✎ γ ✎
✎
✎
✎ h g ✎

♣ ✝ q L ♣R q ↕ π22 ⑥h⑥L✁
1

 

1,β

1

♣R  q ⑥f ⑥L1 ♣R  q .

(2.13)


17

➔ β ➔ 1 thì
tích chập (2.1) thuộc C0 ♣R  q và đẳng thức Parseval xảy ra với mọi x → 0

Hơn thế, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) là đúng. Hơn nữa, nếu 0
✁

h✝f
γ

✠

❝

♣xq ✏

➺✽

2
π

1
K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q cos♣xy qdy.
y sinh πy

(2.14)

0

Chứng minh

Sử dụng công thức (1.11) ta được
1
2

➺✽ ✁

✠

e✁u cosh♣x vq   e✁u cosh♣x✁vq dv ✏ K0 ♣uq.

(2.15)

0

Khi đó
✎ γ ✎
✎
✎
✎h f ✎

✝

L1 ♣R 

↕
q

2
π2

➺✽ ➺✽

⑤h♣uq⑤ K ♣uq⑤f ♣vq⑤dudv ✏ 2 ⑥h⑥ ✁
0
u
π2 L
1

1,β

♣R  , x1 q .⑥f ⑥L1 ♣R  q .

0 0

Bây giờ ta chứng minh đẳng thức Parseval. Sử dụng định lý Fubini và công
thức

➺✽

cos♣by qKiy ♣uqdy

✏ π2 e✁u cosh b,

0

ta có:

♣h ✝ f q♣xq ✏
γ

1
π2

➺✽ ➺✽

✙
1 ✑ ✁u cosh♣x vq
✁
u cosh♣x✁v q
e
 e
h♣uqf ♣v qdudv
u

0 0

✏

1
π3

➺✽ ➺✽ ➺✽

21
h♣uqf ♣v qKiy ♣uq ♣cos♣x   v qy   cos♣x ✁ v qy q dudvdy
πu

0 0 0

✏ π43

✏

❝

➺✽ ➺✽ ➺✽

1
h♣uqf ♣v qKiy ♣uq cos♣xy q cos♣vy qduvy
u

0 0 0

2
π

➺✽

1
✆ 2 y sinh πy
y sinh πy π 2

0
☎
❝

✂✆

☎

2

π

➺✽
0

☞

f ♣v q cos♣vy qdy ✌

➺✽
0

☞

1
Kiy ♣uqh♣uqdu✌
u


18

✏

❝

2
π

➺✽

1
K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q cos♣xy qdy.
y sinh πy

0

Từ đó ta nhận được đẳng thức Parseval (2.14), và định lý đã được chứng minh.

Trên không gian Lα,γ
p ♣R  q chúng ta cũng có đánh giá bất đẳng thức chuẩn

cho tích chập suy rộng (2.1).
Định lý 2.3. ([6]) Cho 1 ➔ p ➔ ✽ là một số thực và q là số mũ liên hợp của
nó, nghĩa là
✁

1
p
γ

 ✠ 1q ✏ 1. Khi đó với h € L✁p p,β ♣R q và f € Lq ♣R q, tích chập

suy rộng h ✝ f (2.1) cũng được xác định như một hàm liên tục bị chặn trên
✁

✠

R  . Hơn nữa, h ✝ f thuộc Lα,γ
p ♣R  q, với 1 ↕ r
γ

➔ ✽, 0 ➔ γ ↕ 1 cho trước

thì
✎ γ ✎
✎
✎
✎ h f ✎

♣ ✝ qL

ở đây Cα,γ

✏ ♣ π2  γ ✁  qΓ
r α 1

2r α 1

α,γ
r

♣ R 

  α  1 ✟
2

↕ Cα,γ ⑥h⑥L✁
q
1
r

p

p,β

♣R  q ⑥f ⑥Lq ♣R  q

(2.16)

.

Chứng minh

Sử dụng biểu diễn tích phân (2.15) cho hàm K0 ♣uq, bất đẳng thức Holder,

và hiển nhiên eu cosh♣x vq   eu cosh♣x✁vq
✞ γ
✞
✞
✞
✞ h f x ✞

♣ ✝ q♣ q ↕

1
π2

➺✽ ➺✽ ✞
✞h u
✞

✞ u

↕ 2e✁u với tất cả u, x, v dương, ta có

✞

♣ q ✞✞ ⑤f ♣vq⑤ ✑eu cosh♣x vq   eu cosh♣x✁vq✙ dudv
✞

0 0

☎

↕

1✆
π2

➺✽ ➺✽

☞1

⑤ h♣uuq ⑤p eu cosh♣x vq   eu cosh♣x✁vq dudv✌
✑

✙

p

0 0

☎

✂✆
☎

↕

2✆
π2

➺✽ ➺✽
0 0

➺✽
0

⑤f ♣vq⑤q

✙

✑

☞1
q

eu cosh♣x vq   eu cosh♣x✁vq dudv ✌
☞1

⑤ h♣uuq ⑤pK0♣uqdu✌ ⑥f ⑥Lq ♣Rq.

p

(2.17)