ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 MỚI VÀ HOT NHẤT

®Ò thi häc sinh giái to¸n 8
Su tÇm
ĐỀ 1
Bài 1: (2.5 điểm ). a.

Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2 + 2 xy + 6 y − 9

b. Giải phương trình:

x −1 x − 2 x − 3
x − 2012
+
+
+ ... +
= 2012
2013 2012 2011
2

c. Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x − 2 dư 5; f ( x) chia cho x − 3 dư 7; f ( x) chia cho
( x − 2)( x − 3) được thương là x 2 − 1 và đa thức dư bậc nhất đối với x .
Bài 2: (2.0 điểm). Cho: P = 7.2014n + 12.1995n với n ∈ N ; Q =

a.
b.

( x 2 + n)(1 + n) + n2 x 2 + 1
. Chứng minh:
( x 2 − n)(1 − n) + n2 x 2 + 1

P chia hết cho 19.
Q không phụ thuộc vào x và Q > 0 .

Bài 3: (1,5 điểm) a. Chứng minh: a 2 + 5b 2 − (3a + b) ≥ 3ab − 5

b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19
Bài 4: (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (ABBC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a. Chứng minh ∆ ABC đồng dạng ∆ EFC.
b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và
D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.
c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:

AH BH CH
+
+
>6
HE HF HG

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu

Câu
1

Ý

Nội dung

a

x 2 + 2 xy + 6 y − 9 = ( x2 – 9) + 2y(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2y(x + 3)
=(x+ 3)(x + 2y – 3)

b

x −1 x − 2 x − 3
x − 2012
+
+
+ ... +
= 2012 ⇔
2013 2012 2011
2
x −1
x−2
x−3
x − 2012
−1+
−1+
− 1 + ... +
−1 = 0 ⇔
2013
2012
2011
2
x − 2014 x − 2014 x − 2014
x − 2014
1
1
1

+
+
+ ... +
= 0 ⇔ (x – 2014)(
+
+ ... + ) = 0
2013
2012
2011
2
2013 2012
2
⇔ x = 2014

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

1

Điể
m
0.5
0..5

0.5

0,25

N¨m häc: 2016 - 2017

C

A
B
Câu
2

A

Câu
3

B

Gọi dư trong phép chia f(x) cho x2 - 1 là ax + b
Ta có : f(x) = (x – 2)(x – 3)(x2- 1) + ax + b
Theo bài ra : f(2) = 5 nên ta có 2a + b = 5 ; f(3) = 7 nên 3a + b = 7
HS tính được a = 2 ; b = 1
Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = (x – 2)( x – 3)(x2 - 1) + 2x + 1
P = 7.2014n + 12.1995n = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n - 12(2014n -1995n)
Ta có : 19. 2014n M19 ; (2014n -1995n) M19. nên P M19

0.25

( x 2 + n)(1 + n) + n 2 x 2 + 1 x 2 + x 2 n + n 2 + n + n 2 x 2 + 1
=
Q= 2
( x − n)(1 − n) + n 2 x 2 + 1 x 2 − x 2 n + n 2 − n + n 2 x 2 + 1
x 2 (n 2 + n + 1) + n 2 + n + 1 (n 2 + n + 1)( x 2 + 1) (n2 + n + 1)
=

= 2 2
=
x (n − n + 1) + n 2 − n + 1 (n 2 − n + 1)( x 2 + 1) ( n 2 − n + 1)

0,25

Vậy Q không phụ thuộc vào x

0.25

0.25
0.25
0.25
0.5

0.5
0.25

1
3
(n + ) 2 +
2
n + n +1
2
4 >0
=
Q= 2
1
3
n − n + 1 (n − ) 2 +

2
4
a2 + 5b – (3a + b) ≥ 3ab – 5 ⇔ 2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 ≥ 0
⇔ a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 ≥ 0
⇔ (a – 3b)2 +(a – 3)2 + (b – 1)2 ≥ 0 . Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1
2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2 ⇔ 2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (*)
Xét thấy VT chia hết cho 2 nên 3(7 – y2) M2 ⇔ y lẻ (1)
Mặt khác VT ≥ 0 ⇔ 3(7 – y2) ≥ 0 ⇔ y2 ≤ 7 (2).

0.25
0.25
0.25
0,25
0.25

Từ (1) và (2) suy ra y2 = 1 thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18
HS tính được nghiệm nguyên đó là (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1)
Câu
4

0.25
0.25

A

F
K

G
H

I

B

E

M

C

N

D

A

Ta có ∆ AEC ∼ ∆ BFC (g-g) nên suy ra
Xét ∆ ABC và ∆ EFC có

B

0.75

CE CA
=
CF CB

CE CA
=

và góc C chung nên suy ra ∆ ABC ∼ ∆ EFC ( c-g-c)
CF CB

Vì CN //IK nên HM ⊥ CN ⇒ M là trực tâm ∆ HNC

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

2

0.75
0.5

N¨m häc: 2016 - 2017


⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD
Do M là trung điểm BC nên ⇒ NC = ND
⇒ IH = IK ( theo Ta let)
AH S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH
=
=
=
=
Ta có:
HE SCHE S BHE SCHE + S BHE
S BHC
BH S BHC + S BHA
CH S BHC + S AHC
=
=

Tương tự ta có
và
BF
S AHC
CG
S BHA

C

0.25
0.25
0.25
0.5
0.25

AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC
+
+
+
+
=
S BHC
S AHC
S BHA
HE HF HG
S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC
0.25
+
+
+

+
≥ 6 . Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt
=
+
S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA

thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng.
*************************************************************************************
ĐỀ 2
Bài 1 (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ 0 .
b) Cho f ( x) = ax 2 + bx + c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a + b + 2c = 0 .
Chứng tỏ rằng: f ( −2). f (3) ≤ 0 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1
Bài 2 (2.0 điểm): Giải các phương trình sau:
a)

x −1 x − 2 x − 3 x − 4
+
−
=
2013 2012 2011 2010

b) (2 x − 5) 3 − ( x − 2) 3 = ( x − 3) 3

Bài 3 (2.5 điểm): Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc
với AB, MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh DE ⊥ CF.
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4 (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB

và AD. Chứng minh :
a) ∆ABC đồng dạng với ∆ HCG
b) AC 2 = AB.AG + AD.AH
Bài 5 (1.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n (5n + 1) − 6n (3n + 2n ) M 91

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: Có: a2 + b2 ≥ 2ab; a2 + c2 ≥ 2ac; b2 + c2 ≥ 2ac

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

3

0,25

N¨m häc: 2016 - 2017


Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

(1)

a + b + c = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0

0,25

⇔ -a – b – c =2ab + 2ac + 2bc (2)
2

2

2

Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc ≤ 0 ⇔ ab + bc + ca ≤ 0

0,25

f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c

0,25

Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:

0,25

Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 ⇒ f(-2).f(3) = 0

(1)

Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau ⇒ f(-2).f(3) < 0

(2)

Từ (1) và (2) được f ( −2). f (3) ≤ 0

0,25

4M = 4x 2 + 4y 2 − 4xy − 4x + 4y + 4

0,50

= (2x − y − 1) 2 + 3y 2 + 2y + 3
2
1 8
= (2x − y − 1) 2 + 3(y 2 + y + ) +
3
9 3
1
8
= (2x − y − 1) 2 + 3(y + ) 2 +
3
3
Giá trị nhỏ nhất của 4M là
Giá trị nhỏ nhất của M là

0,50

8
1
2
tại y = − ; x = nên
3
3
3

2
1
2
tại y = − ; x = .
3

3
3

Bài 2(2.0 điểm):
⇔

x −1
x−2
x−4
x −3
−1+
−1 =
−1+
−1
2013
2012
2010
2011

⇔

x − 1 2013 x − 2 2012 x − 4 2010 x − 3 2011
−
+
−
=
−
+
−
2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011

0,25

0,25

x − 2014 x − 2014 x − 2014 x − 2014
⇔
+
=
+
2013
2012
2010
2011
1
1
1 
 1
⇔ (x − 2014) 
+
−
−
÷= 0
 2013 2012 2010 2011 
Do

0,25

1
1

1
1
+
−
−
≠ 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014
2013 2012 2010 2011

0,25

Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b ⇒ a - b = x -3. Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3
TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

4

0,50

N¨m häc: 2016 - 2017


(a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)

0,25

(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0 3ab(a-b) = 0
a=0 x=

5
; b = 0 x = 2; a = b x = 3
2

0,25

Bi 5 (1.0 im):
A = 5n (5n + 1) 6n (3n + 2 n ) = 25n + 5n 18n 12 n

0,25

A = (25n 18n ) (12n 5n ) . A chia ht cho 7

0,25

A = (25n 12n ) (18n 5n ) . A chia ht cho 13

0,25

Do (13,7) =1 nờn A chia ht cho 91

0,25

Bi 3 (2.5 im):

Chng t c AE = DF (Cựng bng MF)

0,25

ã
ã
Chng t c CDF = DAE FCD
= EDA

0,25

ã
ã
ã
ã
Cú EDA
ph nhau ECD
ph nhau hay CF DE
va EDC
va EDA

0,25

Tng t cú CE BF

0,25

Chng minh c CM EF:

0,50

ã
ã
Gi G la giao im cua FM va BC; H la giao im cua CM va EF. MCG
(Hai HCN
= EFM
bng nhau)
ã

ã
ã
ã
(i nh) MHF
= 900
CMG
= FMH
= MGC
CM, FB, ED la ba ng cao cua tam giac CEF nờn chỳng ng quy
(AE - ME) 0 nờn (AE + ME)
2

2

( AE + ME )
4AE.ME AE.ME

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,25
2

0,25

4

5

Năm học: 2016 - 2017

SAEMF

0,50

AB2

. Do AB = const nờn SAEMF ln nht khi AE = ME.
4

Lỳc ú M la trung im cua BD.
Bi 4 (2.0 im): Chng t c: CBG ng dng vi CDH.


0,25

CG BC BC
=
=
CH DC BA

0,25

ã
ã
ã
(Cựng bự vi BAD
) ABC ng dng vi HCG
ABC
= HCG

0,50

Gi E, F ln lt la hỡnh chiu cua B, D trờn AC.

0,25

AFD ng dng AHC:

AF AD
=
AF.AC = AD.AH
AH AC

AEB ng dng AGC:

AE AB
=
AE.AC = AG.AB
AG AC

0,25

Cng c: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB

0,25

Chng t c AE = FC. Thay c:

0,25

AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB AC2 = AD.AH+AG.AB

*******************************************************************************
3
Cõu 1: (2,5 im) Cho

1 1 1
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
+ + = 0 vi a, b, c 0 va M =
+
+
a b c
a
b
c

Chng minh rng M= 3abc.
Cõu 2: (2,5 im) a) Chng minh rng (x+2)3 > 1 + x + x2 + x3 vi mi gia tr x.
b) Gii phng trỡnh tỡm nghiờm nguyờn: 1 + x + x2 + x3 = y3
Cõu 3: (2,5 im) Cho biu thc A =

3x + 3
.
x + x2 + x + 1
3

a) Tỡm gia tr cua x A nhn gia tr nguyờn.
b) Tỡm gia tr ln nht cua A.
Cõu 3: (2,5 im) Cho tam giac ABC. T im M thuc cnh AC k cac ng thng song song

vi cac cnh AB va BC ct BC ti E va AB ti F. Hóy xac nh v tri cua M trờn AC sao cho hỡnh
bỡnh hanh BEMF cú diờn tich ln nht.

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

6

Năm học: 2016 - 2017


TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

7

N¨m häc: 2016 - 2017


TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

8

N¨m häc: 2016 - 2017


*************************************************************************************
4
Câu 1 ( 2,0 điểm) Giải phơng trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6
Câu 2 : ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức : A = x8 31x7 + 31x6 31x5 +31x4 31x3 + 31x2 31x + 27 với x = 30
b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 12ab - b3

3
2
Câu 3 : ( 2,0 điểm) Rút gọn phân thức : 2a 3 7 a 2 12a + 45

3a 19a + 33a 9

Câu 4 : ( 3,5 điểm) Một ngời đi một nữa quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại
với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng AB .
2
2
Câu 5:(2,0 điểm) Chứng minh rằng: S a + b với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b

4

Câu 6 :( 6,5 điểm) Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự
= K .
thuộc các cạnh IK , IP sao cho DME
a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi .
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE .
c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều .
hớng dẫn chấm
Câu 1 (4,0 điểm)

Tóm tắt lời giải

Điểm

a) Ta có A = x6 19x5 + 19x4 19x3 +19x2 19x + 25
= x5 ( x 18 ) x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) x2( x-18) + x(x- 18) - ( x 18 ) + 7

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

9

1,00

Năm học: 2016 - 2017


Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 .

1,00

b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy

1,00

= x2 +2xy +y2
= ( x+y )2 = 1

1,00

Câu 2 (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải

Điểm

3
2
(2 x 3 + 5 x 2 ) (12 x 2 + 30 x) + (18 x + 45)

a) ta có 2 x3 7 x 2 12 x + 45 =
=
3
2
2

(3x x ) (18 x 6 x) + (27 x 9)

3 x 19 x + 33x 9

=

1,00

x 2 (2 x + 5) 6 x(2 x + 5) + 9(2 x + 5)
(2 x + 5)( x 2 6 x + 9)
(2 x + 5)( x 3) 2
=
=
x 2 (3x 1) 6 x (3 x 1) + 9(3x 1)
(3 x 1)( x 2 6 x + 9)
(3 x 1)( x 3) 2

0,50

= 2x + 5

0.50

3x 1

0.50

b) Giải phơng trình :
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12

(1)

Đặt t = x2-x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt :
0.75

t ( t+1 ) = 12
t2 + t 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t 12) = 0 t( t - 3) + 4(t 3) = 0
(t - 3) (t+ 4) = 0

t = 3 hoc t = - 4

0.25

- Với t = 3 => x2-x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0
x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoc x = - 1
1
19
- Với t = - 4 => x -x+1 = - 4 x -x + 5 = 0 ( x- ) 2 + = 0 phơng trình này vô
2
4
1 2 19
nghiệm vì ( x- ) +
> 0 với mọi x .
2

4
2

0.25

2

0.25

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

10

Năm học: 2016 - 2017


B

Câu 3 : ( 4,5 điểm )

A

a

Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ).
Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x+10

d

( km/h )

Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x D6

30
x6

Thời gian ô tô đi quãng đờng từ A đến B là :
Ta có phơng trình :

b

c

(h)

0.75

(h)
60
x

0.50

(h)

30
30
60

+
=

x + 10 x 6
x

0.50

=> x2 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x 120 x2 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120
4x = 120 x = 30

( km/h )

Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là :
Câu 4 (3,5 điểm)

Tóm tắt lời giải

Điểm
0.5

= DME
+ CME
, mặt khác DMC
= B + BDM
, mà DME
= BDM
.
= B nên CME
a) Ta có DMC

và CME đồng dạng ( gg ) .

0.50
0.50

BD BM
=>
=> BD . CE = CM . BM = a . a = a2.
=
CM CE

0.50

Vậy tích BD . CE luôn không đổi .
b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra :

0.50

60
= 2 ( giờ )
30

HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng

BDM

1.00
0.75

C

x( x 6)
x( x + 10)
2( x + 10)( x 6)
+
=
x( x + 10)( x 6) x( x + 10)( x 6)
x( x + 10)( x 6)

Do đó

0.50

(km/h )

30
Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đờng là :
x + 10

Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đờng là :

h

DM BD
=
ME CM

=>

DM BD
( vì CM = BM )
=
ME BM

0.50

= BDM
hay DM là tia phân giác của góc BDE .
Do đó DME và DBM đồng dạng => MDE

c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc CED . Kẻ
MH DE , MI AB , MK AC . Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu vi AED bằng AI
MC a
+ AK = 2AK .Ta lại có CK =
, AC = 2a nên AK = 1,5a .
=
2
2

0.50
0.50

Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a .
Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng

0.50
0.50

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

11

Năm học: 2016 - 2017


a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S =

1
ah .
2

0.50

=> 4S = 2ah 2ab a2 + b2 .

0.50
B

2
2
Vậy S a + b .

A

a

4

0.50

d

Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ABC vuông cân

b

2
2
2
2
b) Theo câu a ta có : SABC a + b ; SADC c + d

4

h

0.50

D
c

4

C

0.50

2
2
2

2
2
2
2
2
Mà S = SABC + SADC => S a + b + c + d => S a + b + c + d .

4

4

0.50

4

Dấu bằng xảy ra ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D
ABCD là hình vuông .
*************************************************************************************

5
Bi 1: Chng minh rng vi mi s t nhiờn x thỡ biu thc A = x5 x luụn chia ht cho 30
Bi 2: Phõn tich cac a thc sau thanh nhõn t
1/ a(x2 +1) x(a2 + 1)
2/ 6x3 + 13x2 + 4x 3
3/ ( x2 + x)2 2(x2 + x) 15
Bi 3 : a/ Tỡm gia tr nguyờn cua x biu thc B =

4 x 3 6x 2 + 8x
nhn gia tr nguyờn
2x 1

b/ Tỡm gia tr cua a va b biu thc C = a2 4ab + 5b2 -2b 6 t gia tr nh nht.
Tỡm gia tr nh nht ú.
Bi 4 : Chng minh rng : (x 1)(x 3 )( x 4 )(x 6 ) +10 1
Bi 5 : Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a . Gi M , N theo th t la trung im cua AB va
BC.
a/ Tinh diờn tich t giac AMND
b/ Phõn giac gúc CDM ct BC ti E, Chng minh DM = AM + CE
Bi 6 : Cho tam giac ABC cú ba gúc nhn. BD , CE la hai ng cao cua tam giac ct nhau ti
im H. Chng minh rng :
a/ HD.HB = HE.HC

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

12

Năm học: 2016 - 2017


b/ ∆ HDE ∼ ∆ HCB
c/ BH.BD + CH.CE = BC2
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - 1 ) = x( x2 – 1 )( x2 + 1)
= (x – 1 ) x ( x + 1)( x2 + 1)
Vì (x – 1 ) x ( x + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 => A  6 (1)
+/ Nếu x  5 => A  5
+/ Nếu x : 5 dư 1 thì ( x – 1)  5

=> A  5

+/ Nếu x : 5 dư 4 thì ( x + 1)  5

=> A  5

+/ Nếu x : 5 dư 2 hoặc 3 thì x2 : 5 dư 4 => ( x2 + 1)  5
Vậy A  5 với mọi x

=> A  5

(2)

Ta có UCLN ( 5;6) = 1 nên kết hợp (1) và (2) => A  (5.6) =30
A  30 với mọi x
Bài 2 : (3đ) 1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2 – x = ax2 –a2x +a – x =
= ax(x – a ) – ( x – a ) = ( x – a ) ( ax – 1 )
2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3 = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x – 3x – 3
= 6x2( x + 1) + 7x( x + 1) – 3( x + 1) = ( x + 1)( 6x2 + 7x – 3 )
= ( x + 1)( 6x2 + 9x – 2x – 3 ) = ( x + 1 )( 3x( 2x + 3) – ( 2x + 3)
= (x + 1)( 2x +3)( 3x – 1 )
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) + 1 – 16
= ( x2 + x – 1 )2 – 42 = ( x2 + x – 5 )( x2 + x + 3 )
Bài 3 : (4đ) a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B =
B=

4 x 3 − 6x 2 + 8x
nhận giá trị nguyên
2x − 1

4 x 3 − 6x 2 + 8x 4 x 3 − 2x 2 − 4x 2 + 2 x + 6x − 3 + 3
3

=
= 2x 2 − 2x + 3 +
2x − 1
2x − 1
2x − 1

Để B nhận giá trị nguyên thì 3  (2x – 1) Hay ( 2x – 1 ) ∈ U(3) = { -1;1;-3;3}
Suy ra

x ∈ { 0;1; -1; 2}

b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất
đó.
C = a2 – 4ab + 4b2 + b2 – 2b + 1 – 7 = ( a -2b)2 + ( b – 1)2 – 7 ≥ – 7

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

13

N¨m häc: 2016 - 2017


Vậy : Tại a – 2b = 0 và b – 1 = 0 ⇔ a = 2 và b = 1 thì MinC = -7
Bài 4 : ( 2đ) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 ≥ 1
Ta có (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 = (x – 1)(x – 6 )( x – 4 )(x – 3 ) +10
= x2 -7x + 6 )( x2 – 7 x + 12) + 10 = ( x2 – 7x + 9 – 3 )( x2 – 7x +9 + 3) + 10 =
= ( x2 – 7x + 9)2 – 32 + 10 = ( x2 – 7x + 9)2 + 1
Vì ( x2 – 7x + 9)2 ≥ 0 ,với mọi x
Nên ( x2 – 7x + 9)2 + 1 ≥ 1 , với mọi x
Bài 5 : ( 4đ) a/ SAMND = SABCD – S ∆ BMN - S ∆ NCD

Ta có ∆ BMN vuông tại B có BM = BN =

a
= CN
2

∆ NCD vuông tại C có DC = a

Suy ra

1aa 1 a
a2 a
5a 2
2
− .a. = a −
−
=
SAMND = a −
222 2 2
8
4
8
2

b/ Chứng ming DM = AM + CE
Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AM
Dễ dàng chứng minh được ∆ ADM = ∆ CDK ( c.g.c)
Suy ra AM = CK và DM = DK (1)
Và góc ADM = góc CDK
Ta có : ∠ ADE = ∠ ADM + ∠ MDE =

= ∠ EDC + ∠ CDK = ∠ EDK ( Vì ∠ MDE = ∠ EDC theo GT)
Mặt khác ∠ ADE = ∠ DEK ( so le trong )
= > ∠ EDK = ∠ DEK

Vậy ∆ DKE cân tại K => DK = KE = CK + CE ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = AM + CE
Bài 5 : ( 5đ) a/ HD.HB = HE.HC : Chứng minh 2 ∆ vuông : ∆ BHE và ∆ CHD
đông dạng ( ∠ E = ∠ D = 900; ∠ EBH = ∠ DCH cũng phụ với ∠ A )
=>

HE HB
=
HD HC

=> HD.HB = HE.HC

b/ ∆ HDE ∼ ∆ HCB : Từ

HE HB
HE HD
=
⇒
=
HD HC
HB HC

và ∠ EHD = ∠ CHB (đối đỉnh) =>

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

∆ HDE

∆ HCB

14

N¨m häc: 2016 - 2017


c/ vỡ H la giao im hai ng cao BD va CE nờn H la trc tam cua tam giac. => AH la ng cao th ba.
Gi F la giao im cua AH vi BC Ta cú AF BC
BHF ng dng BCD ( vuụng cựng gúc nhn B) =>

BH BF
=
Hay BH.BD = BF.BC (*)
BC BD

CHF ng dng BCE ( vuụng cú cựng gúc BCE) =>

CH CF
=
Hay CH.CE = CF.BC (**)
CB CE

Cng theo v (*), (**) : BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC2
*************************************************************************************

6

Bi 1: (4 im): a) Gii phng trỡnh: (x2 4x)2 + 2(x 2)2 = 43
x + 2 x +1
=
. Tỡm gia tr m phng trỡnh vụ nghiờm.
x m x 1
1 1 1
1 1 1
Bi 2: (2 im): Chng minh rng: Nu + + = 2 va a + b + c = abc thỡ ta cú 2 + 2 + 2 = 2
a b c
a b c

a) Cho phng trỡnh:

Bi 3: (2 im): Cho S =

1
1
1
1
7
+
+
++
. Chng minh rng S >
101 102
103
200
12

Bi 4: (4 im): Tỡm tt c cac s chinh phng gm 4 ch s bit rng khi ta thờm 1 n v vao

ch s hang nghỡn , thờm 3 n v vao ch s hang trm, thờm 5 n v vao ch s hang ch s
hang chc, thờm 3 n v vao ch s hang n v thỡ ta vn c mt s chinh phng.
Bi 5: (6 im):
Cõu 1: Cho tam giac ABC nhn. Dng ra phia ngoai hai tam giac u ABE; ACF, li dng
hỡnh hanh AEPF. Chng minh rng PBC la tam giac u.
Cõu 2: Cho tam giac ABC cú BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
a. Tinh dai ng cao CH cua tam giac ABC.
b. Gi CD la ng phõn giac cua tam giac ACH. Chng minh BCD cõn.
c. Chng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2
Cõu 6 :( 2ủieồm): Cho a, b la cac s dng tha món a 3 + b3 = a5 + b5. Chng minh rng: a2 + b2
1 + ab
HNG DN CHM V BIU IM
Cõu

Ni dung bi gii

Cõu 1

a/ ( x 2 4 x ) + 2.( x 2 ) 2 = 43 ( x 2 4 x ) + 2( x 2 4 x + 4 ) = 43;

(5 )

t x2-4x = t. k: t -4

2

2

Khi ú ta cú c phng trỡnh: t2 + 2t - 35=0

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

15

im
0,5

0,5

Năm học: 2016 - 2017


⇔ (t + 7)(t – 5) = 0
⇔ t = -7 ( loại) hoặc t = 5

0,5

Với t = 5. Khi đó: x2 - 4x - 5=0 ⇔ (x +1)(x – 5) = 0 ⇔ x=5 hoặc x=-1
Vậy S = { 5; -1}
b/ ĐK của PT

x+2 x+1
=
x-m x-1

0,5

(*)

x–m ≠ 0 ⇒ x ≠ m

0,25

x–1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m)
=> mx = 2 – m (**)

0,5

- Với m = 0 thì PT (**) có dạng : 0x = 2. Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1)
- Với m ≠ 0 thì PT (*) có nghiệm: x =

Nghiệm x =
x≠ 1
Tức là :

2-m
m

0,5

0,5

2-m
là nghiệm của PT (*) khi nó phải thỏa mãn điều kiện: x ≠ m và
m

0,5

2-m

≠ 1 ⇒ 2-m ≠ m ⇒ m ≠ 1
m

0,25

2-m
≠ m ⇒ m 2 + m - 2 ≠ 0 ⇔ ( m - 1) ( m + 2 ) ≠ 0
m

0,25

⇔ m ≠ 1 , m ≠ -2
Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m ∈ {-2 ; 0 ; 1}
Theo gt:
Câu 2

0,25

1 1 1
+ + = 2 nên a ≠ 0 , b ≠ 0, c ≠ 0
a b c

0,25

2

Ta có:

(2đ)
⇒

1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
+ + = 2 ⇒  + + ÷ = 4 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2  + + ÷ = 4
a b c
a b c
a b c
 ab bc ca 

1 1 1
 a+b+c 
+ 2 + 2 + 2
÷= 4
2
a b c
 abc 

Vì a + b + c = abc (gt) nên

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

0,5
0,5

a+b+c
=1
abc

0,25

16

N¨m häc: 2016 - 2017


⇒

1 1 1
1 1 1
+ 2 + 2 + 2 = 4 ⇒ 2 + 2 + 2 = 2 ( đpcm)
2
a b c
a b c
 1

1

1   1

1

0,5
1

1

1 

+
+
+L +
+
+
+
+L +
Ta có: A = 
150 ÷
200 ÷
 101 102 103
  151 152 153


0,25

Thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy ta được:

Bài 3:
(2đ)

1
1
1 
1
1
 1
 101 + 102 + 103 + L + 150 ÷ > 150 ×50 = 3




0,5

1
1
1 
1
1
 1
 151 + 152 + 153 + L + 200 ÷ > 200 ×50 = 4



0,5

1
1
1   1
1
1
1  1 1 7
 1
⇒A= 
+
+
+L +
+
+
+

+L +
> + =
÷
150   151 152 153
200 ÷
 101 102 103
 3 4 12

0,5

⇒ A=

1
1
1
1
7
+
+
+L +
>
101 102 103
200 12

0,25

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

0,25

abcd = k 2
với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100
Ta có: 
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2
abcd = k 2
⇔
abcd + 1353 = m 2

Bài 4:
( 3đ)

0,5

Do đó: m2 – k2 = 1353
⇒ (m + k)(m – k) = 123.11= 41. 33
m + k = 123
⇒
m − k = 11

( k + m < 200 )

m + k = 41
m − k = 33

hoặc 

m = 67
(thỏa mãn)
⇔


k = 57

0,5

0,5

0,5

m = 37
(loại)
k = 4

hoặc 

Vậy số cần tìm là: abcd = 3136

0,5
0,25

Câu 1:

Ta có: AEPF là hình bình hành nên AEˆ P = AFˆP

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

17

N¨m häc: 2016 - 2017

Xét ∆ EPB và ∆ FPC, ta có:
EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và PEˆ B = PFˆC ( vì 600 - AEˆ P =600 - AFˆP )
⇒ ∆ EPB = ∆ FPC ( c.g. c )

1

A
E
2

Suy ra: PB = PC (1)

1

1

3

2

F

P

Ta có: EAˆ F + AEˆ P = 180 0 ⇒ Aˆ 3 + Eˆ1 = 60 0
1

mà Ê1 + Ê2 = 600
B

Do đó Â3 = Ê2

C

Xét ∆ EPB và ∆ ABC, ta có:
EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2
⇒

0,5

∆ EPB = ∆ ABC ( cgc )

Suy ra: PB = BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ PB = PC = BC

0,5

Vậy ∆ PBC đều
Câu 2:
a. Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được:
1
2

Ta có: SABC = AC.BC =

∆ ABC

vuông tại C

0,25

1
AC.BC 20.15
=
AB.CH ⇒ CH =
= 12 cm
2
AB
25

0,5

b. Dể dàng tính được;

CD là tia phân giác của

0,25

C

HA = 16 cm ; BH = 9 cm

∆ ACH nên suy ra

0,5

AD = 10 cm ; HD = 6 cm.
Do đó BC = BD ( = 15 cm )
Vậy
Bài 4:

(6 đ)

B

∆

D

A

0,5

∆ BDC cân tại B.

c. Xét các

H

vuông : CBH, CAH

Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)

0,5

CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

18

0,5

N¨m häc: 2016 - 2017


Từ đó suy ra BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2

Với 2 số a, b dương:

0,25

Xét: a + b ≤ 1 + ab ⇔ a2 + b2 – ab ≤ 1
2

2

⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) ( vì a + b > 0)

0,5

⇔ a3 + b3 ≤ a + b
⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )

Bài 5 :
( 2đ )

0,5

⇔ a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6

0,25

⇔ 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0

(

⇔ ab a 2 − b 2

)

2

≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

0,5

Vậy: a 2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
ĐỀ 7
Câu 1. (2,0 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 4 + 2013 x 2 + 2012 x + 2013 .
 x2 − 2 x
 1 2 
2 x2
A
=
−
1 − − 2 ÷.
2. Rút gọn biểu thức sau:
 2

2
3 ÷
2
x
+
8
8
−
4
x
+
2
x
−
x
x x 




Câu 2. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sau:
(2 x + x − 2013) + 4( x − 5 x − 2012) = 4(2 x + x − 2013)( x − 5 x − 2012)
*******************************************************************************
2

2

2

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

2

2

19

2

N¨m häc: 2016 - 2017


2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 3 + 2x 2 + 3x + 2 = y 3 .
Câu 3. (2,0 điểm) 1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x + 2 dư 10, f(x) chia cho x − 2 dư 24, f(x)
chia cho x 2 − 4 được thương là −5x và còn dư.
2. Chứng minh rằng: a (b − c)(b + c − a ) 2 + c (a − b)(a + b − c)2 = b(a − c)(a + c − b) 2
Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho
AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng:

1
1
1
=
+
.
2
2

AD
AM
AN 2

Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc = 1 . Chứng minh rằng :
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥ .
a (b + c) b (c + a ) c (a + b) 2
3

HƯỚNG DẪN CHẤM

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

20

N¨m häc: 2016 - 2017


Câu

Hướng dẫn giải

Điểm

Câu 1

(2.0 điểm)
0,25

Ta có x 4 + 2013 x 2 + 2012 x + 2013
= ( x 4 − x ) + 2013x 2 + 2013x + 2013

1
(1.0 điểm)

= x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2013 ( x 2 + x + 1)

0.25

= ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 2013)

0.25

2
2
Kết luận x 4 + 2013 x 2 + 2012 x + 2013 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013)

x ≠ 0
x ≠ 2

0.25
0.25

ĐK: 

 x2 − 2 x
 1 2 
2x2
A
=
−
1− − 2 ÷
Ta có
 2
2
3 ÷
 2x + 8 8 − 4x + 2x − x   x x 
 x2 − 2 x
 x 2 − x − 2 
2x2
=
−
÷
÷
2
2
x2
 2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x) 


2

0.25

(1.0 điểm)
 x2 − 2 x
  ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) 2 + 4 x 2   ( x + 1)( x − 2) 
2x2
=
− 2
÷
÷
÷= 
÷
2
2
x2
x2
  2( x − 2)( x + 4)  

 2( x + 4) ( x + 4)(2 − x)  

x 3 − 4 x 2 + 4 x + 4 x 2 x + 1 x( x 2 + 4)( x + 1) x + 1
=
. 2 =
=
2( x 2 + 4)
x
2 x 2 ( x 2 + 4)
2x

Vậy A =

0.25

x ≠ 0
x +1
với 
.
2x
x ≠ 2

Câu 2

(2.0 điểm)
2
 a = 2 x + x − 2013
2
b = x − 5 x − 2012

0.25

Đặt: 

Phương trình đã cho trở thành:

0.25

a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = 0 ⇔ a − 2b = 0 ⇔ a = 2b
2

1

0.25

2

2

(1.0 điểm) Khi2 đó, ta có:

2 x + x − 2013 = 2( x 2 − 5 x − 2012) ⇔ 2 x 2 + x − 2013 = 2 x 2 − 10 x − 4024
⇔ 11x = −2011 ⇔ x =

−2011
.
11

0.25

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

0.25

21

−2011
.
11

N¨m häc: 2016 - 2017

***********************************************************************************
ĐỀ 8
Câu 1.

a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5

b. Chứng minh ∀n ∈ N * thì n3 + n + 2 là hợp số.
c. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng
là một số chính phương lẻ.
Câu 2.a. Giải phương trình:

x −1 x − 2 x − 3
x − 2012
+
+
+ ... +
= 2012
2012 2011 2010
1

b. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính S = a2 + b 2012 + c 2013.
Câu 3. a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18
b. Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

ab
bc
ac
+
+
≥ a +b+c

a + b − c −a + b + c a − b + c

Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC;
CD; DA. M là giao điểm của CE và DF.
a. Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông.
b. Chứng minh DF ⊥ CE và ∆ MAD cân.
c .Tính diện tích ∆ MDC theo a.
ĐÁP ÁN
Câu

Ý

Nội dung

Điểm

a. 1 = (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9
điểm

0.5

b. 1 Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)
điểm

0.25

= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)

Câu 1
3

điểm

0,5

=(n+1)( n2 - n + 2)

0,25

Do ∀n ∈ N * nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số

0.5

c. 1 Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2
điểm

0.25

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1

0.25

= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn ⇒
a2 + a + 1 là số lẻ
Câu 2

a.
1.5

0.25

0.25

Phương trình đã cho tương đương với:

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

0.5
22

N¨m häc: 2016 - 2017


điểm

2
điểm

x −1
x−2
x−3
x − 2012
−1+
−1+
− 1 + ... +
− 1 + 2012 = 2012 ⇔
2012
2011
2010
1

0. 5

x − 2013 x − 2013 x − 2013
x − 2013
+
+
+ ... +
=0 ⇔
2012
2011
2010
1
1
1
1
1
( x − 2013)(
+
+
+ ... + ) = 0 ⇔ x = 2013
2012 2011 2010
1

0. 5

b.
a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 ⇒ a; b; c ∈ [ −1;1]
0.5
điểm ⇒ a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) ≤ 0

0.25

⇒ a3 + b3 + c3 ≤ 1 ⇒ a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1

0.25

⇒ b2012 = b2; c2013 = c2; ⇒ S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1
a. 1 Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18
điểm

0.25

A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1

0.25

A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 ≥ 1

0.25

Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3

0.25

b.
vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;
0.5
điểm a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0

ta có: x + y + z = a + b + c; a =
Câu 3
1.5
điểm

y+z
x+z
x+ y
;b =
;c =
2
2
2

0.25

ab
bc
ac
( y + z )( x + z ) ( x + z )( x + y ) ( x + y )( y + z )
+
+
=
+
+
a + b − c −a + b + c a − b + c
4z
4x
4y

1 xy yz xz
1
1 xy
yz
xz 
( + + + 3 x + 3 y + 3 z ) = 3( x + y + z ) + (2 + 2 + 2 ) 
4 z
x
y
4
2
z
x
y 
1
y x z
x y z
z x y 
3( x + y + z ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) 

4
2 z x 2 z y 2 y x 
1
≥ [ 3( x + y + z ) + x + y + z ] = x + y + z
4
=

0.25

Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh

TuyÓn tËp ®Ò thi HSG To¸n 8

23

N¨m häc: 2016 - 2017


Cõu 4
3.5
im

Hỡn
h v
0. 5


E

A

B

H

0.5

F

M

N

D

C

G

a.
Chng minh: EFGH la hỡnh thoi
1.25
im Chng minh cú 1 gúc vuụng.

0. 5
0. 5

Kt lun T giac EFGH la Hỡnh vuụng
b. 1
im

0.25

ã
ã
VCDF
ma
vuụng
VBEC =VCFD (c.g .c) ECB
= FDC
ã

ã
ã
ã
CDF
+ DFC
= 900 DFC
+ ECB
= 900 VCMF vuụng ti M

ti

C 0.25
0.25

Hay CE DF.
Gi N la giao im cua AG va DF. Chng minh tng t: AG DF 0.25
GN//CM ma G la trung im DC nờn N la trung im DM. Trong
0.25
MAD cú AN va la ng cao va la trung tuyn MAD cõn ti A.
c.

VCMD : VFCD ( g.g )

0.75
im

CD CM
=
FD FC

0.25

2

Do ú :

2

SVCMD CD
CD
=
ữ SVCMD =
ữ .SVFCD
SVFCD FD
FD

Ma : SVFCD

1
1
= CF .CD = CD 2 .
2
4

Vy : SVCMD =

0.25

CD 2 1
. CD 2 .

FD 2 4

Trong VDCF theo Pitago ta cú :
1
5
1

DF 2 = CD 2 + CF 2 = CD 2 + BC 2 ữ = CD 2 + CD 2 = .CD 2 .
4
4
2


Do ú :

SVMCD =

0.25

CD 2 1
1
1
. CD 2 = CD 2 = a 2
5
5
5
CD 2 4
4

*************************************************************************************

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

24

Năm học: 2016 - 2017


9
Cõu 1 (4 im) Phõn tich cac a thc sau thanh nhõn t:
1) x 2 + 2014 x + 2013
2) x( x + 2)( x 2 + 2 x + 2) + 1
Cõu 2 (4 im) 1) Tỡm a, b bit

1 + 2a
3b
7 3a
=
=
15
23 + 7 a
20

2) Tỡm gia tr nh nht cua biu thc A = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x 4 y + 2013
Cõu 3 (4 im) 1) Cho a1 , a2 ,...a2013 la cac s t nhiờn cú tng bng 20132014 .
3
3
3
Chng minh rng: B = a1 + a2 + ... + a2013 chia ht cho 3.

2) Cho a va b la cac s t nhiờn tho món 2a 2 + a = 3b 2 + b .
Chng minh rng: a b va 3a + 3b + 1 la cac s chinh phng.
Cõu 4 (6 im) Cho tam giac ABC. Gi I la mt im di chuyn trờn cnh BC. Qua I, k ng thng
song song vi cnh AC ct cnh AB ti M. Qua I, k ng thng song song vi cnh AB ct cnh AC ti
N.
1) Gi O la trung im cua AI. Chng minh rng ba im M, O, N thng hang.
2) K MH, NK, AD vuụng gúc vi BC ln lt ti H, K, D. Chng minh rng MH + NK = AD.
3) Tỡm v tri cua im I MN song song vi BC.
Cõu 5 (2 im) Cho a < b < c < d va x = (a + b)(c + d ), y = (a + c )(b + d ), z = (a + d )(b + c ) . Sp xp theo th
t gim dn cua x, y, z .
UBND HUYN YấN DNG

P N - THANG IM

PHềNG GIO DC V O TO

THI CHN HC SINH GII CP HUYN

P N CHNH THC

MễN: TON LP 8

(ap an - thang im gm 2 trang)
Chỳ ý: Di õy l hng dn c bn, bi lm ca hc sinh phi trỡnh by chi tit. HS gii bng
nhiu cỏch khỏc nhau ỳng vn cho im tng phn tng ng.
Cõu

í

1

Ni Dung
x 2 + 2014 x + 2013 = x 2 + 2013 x + x + 2013

1

2

im
0.5

= x( x + 2013) + ( x + 2013)

1

= ( x + 1)( x + 2013)

0.5

x( x + 2)( x 2 + 2 x + 2) + 1 = ( x 2 + 2 x )( x 2 + 2 x + 2) + 1

0.5
0.5

= ( x 2 + 2 x ) 2 + 2( x 2 + 2 x) + 1

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

25

Năm học: 2016 - 2017