Luận văn ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGÔ VĂN
TIẾN ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ
TRƯỜNG
NỘI 2

ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐANG THỨC

PHỤ THUỘC THAM

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Bli

ÈN


NGÔ VĂN TIẾN

ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐANG THỨC BIẾN PHÂN
PHỤ THUỘC THAM số

Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn

3

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn
Xuân Tấn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn
thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo
trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em
trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp
cao học K18 Toán Giải Tích đợt 1 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập tại lớp.

Hà Nội, tháng 6, năm 2016
Tác giả


4

Lời cam đoan

Ngô Văn Tiến

Tôi xin cam đoan Luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã hiểu được thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6, năm 2016

Tác giả

Ngô Văn Tiến


5

Muc luc
Lời cảm
Lời cam

11

Mục

i

Mở đầu

i

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

i

1.1. Các không gian thường dùng
1.1.

Không gian

1.

Không gian định

1 . 1.

Không gian

2.

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương

6

1.1.

Không gian đối

6

1.
2.

3

Ánh xạ đa trị

6

9

Bài toán tối ưu

Chương 2.

/

1

^

y

/

Anh xạ nghiệm của bât đăng thức biên phân suy
1

rộ
2.

Các khái niệm cơ bản

7

1.

Các kết quả bổ trợ

1

2.

Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy

rộng phụ thuộc tham số

2


I

2.
4.

2

Các trường hợp đặc biệt
Một vài ứng dụng

Chương 3.

3

Tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân

phụ thuộc tham số
3.

Tính chất liên tục Holder của nghiệm của p(0, A)

1.

Các kết quả bổ trợ

3.

Chứng minh Định lý 3.1

Kết luân
Tài liệu tham khảo

35
35
3
8
41
4


7

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các công trình quan trọng của
G.Stampacchia,P.Hartman, J.L.Lions và F.E.Browder.Hiện nay có rất nhiều bài báo ,cuốn sách đề cập đến các bất
đẳng thức biến phân và ứng dụng của chúng.Bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đang được các nhà
toán học quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng dụng quan trong trong nhiều lĩnh vực.

Giả sử H là không gian Hilbert thực ,M và A là hai tập tham số khác rỗng lấy trong hai không gian định chuẩn
nào ãó,f H X M ^ H là ánh xạ đơn trị ,K : A —> 2 H là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi ,đóng,khác rỗng.Xét
bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số:
Tìm X G K ( X ) : ( f ( x , n ) , y - X ) > 0, V y £ K ( X ) ,

(1)

ở đó (¡Ầ, A) € M X A là cặp tham số của bài toán và là ký hiệu tích vô hướng trong H.VỚi cặp tham số (¡1, A) € M
X A cho trước ta có thể xem bài toán (1) như một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân

sau
Tìm X e K( A) : (f(x,n),y - x) > 0,Vy e if(A).

(2)

Giả sử X là một nghiệm của (2) .Chúng ta đi nghiên cứu xem (1) có thể có nghiệm X = x(fi, A) ở gần X khi (fi, A) ở

gần (fi, A) hay không và hàm x(fi, A) có dáng điệu như thế nào hay ta cần nghiên cứu về ánh xạ nghiệm X với sự


8

thay đổi của (fi, A). Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ
tận tình của thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn,tôi đã chọn đề tài "Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức
biến phân phụ thuộc tham số" làm luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một số kết quả về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số trong không
gian Banach phản xạ và một số áp dụng để khảo sát ánh xạ nghiệm của bài toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày kiến thức cơ bản,ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng.
Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc tham số.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm ,tính liên tục của tập nghiệm theo tham số và các thuật toán tìm nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số.
Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết bất đẳng thức biến phân.

6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách tổng quan về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham
số.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử dụng trong suốt luận văn này.

1.1. Các không gian thường dùng
1.1.1.

Không gian Metric

Định nghĩa 1.1. ([4],p.33) Một tập hợp X được gọi là một không gian Metric nếu:

• Với mỗi cặp phần tử X , y của X xác định theo quy tắc nào đó một số thực p ( x , y ) .

•

Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau

1. p { x , y ) > 0 nếu X Ỷ y ;
p ( x , y ) = 0 nếu X = y (tính tự phản xạ);

2. p ( x , y ) = p ( y , x ) với mọi x , y (tính đối xứng);

3. p ( x , y ) < p ( x , z ) + p ( z , y ) với mọi X , y , z ( bất đẳng thức tam giác).
Hàm số p{x,y) gọi là Metric của không gian và cặp (X,p)ả\ỈỢ c gọi là không gian Metric.
Ví dụ 1.1.
• Một tập M bất kỳ của đường thẳng R ,có khoảng cách thông thường p(x, y) = \x — y I (độ dài đoạn nối X và y)


là một không gian Metric.

•

Tổng quát hơn ,trong không gian k chiều R k xác định khoảng cách
giữa hai điểm: X = {x 1 ,x 2 , ...,x k ) và y = {y 1 ,y 2 ,

với

k

là không gian Metric.
Trong không gian Metric ,nhờ có khoảng cách nên ta có thể định
nghĩa

1. Lăn cận :Một hình cầu tâm a ,bán kính r với 0 < r < +00 trong một không gian Metric X là tập
B(a,r ) = {s : p(x,a ) < r }

Hình cầu tâm a bán kính r gọi là một r- lân cận của điểm a và mọi tập con của X bao hàm một r-lân cận nào đó
của điểm a gọi là một lân cận của điểm a.

2. Điểm trong : Điểm X gọi là một điểm trong của tập A nếu có một lân cận của X nằm trong A.

3. Tập mở :Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong.
4. Tập đóng: Một tập là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó là điểm trong của phần bù của nó.
Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau,ba khái niệm còn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trước
và chúng cùng sinh ra trên tập X một cấu trúc,cấu trúc này được gọi là cấu trúc tôpô.
• Dãy {ĩnỊ c X được gọi là dãy Cauchy nếu p(x n ,x m ) —> 0 khi n, m —> 0 .
• Không gian Metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì đươc gọi là không gian Metric đủ.
• Giả sử A là tập con của X ,khi đó giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A và
ký hiệu A.


Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau
Vởiae x,p> o,pe X .
• Tập B(a,p ) = {x G X :p(a, x)

•

• Tập B(a, p) = {x £ X : p(a, x) < p} gọi là hình cầu đóng tâm ữ,bán kính p .
Hình cầu đơn vị đóng trong X được ký hiệu là Bx .

5. Sự hội tụ: Ta nói một dãy điểm X ị , x 2 , ... của một không gian Metric X hội tụ tới điểm X của không gian đó nếu
lim p(x n x ) = 0 .Ta viết
X—¥00

x n —> X hoặc lima:n = X và điểm X gọi là giới hạn của dãy{a:n}.

6. Ánh xạ liên tục :Cho hai không gian Metric X và Y (Metric trên X ký hiệu là /ữ^Mơtric trên Y ký hiệu là PY ).
Ánh xạ / : X —»■ Y gọi là liên tục tại điểm x 0 € X nếu V là tập mở chứa f(x 0) thì
V = {xeX\f(x)eV}
là tập mở của x 0 Ảnh xạ / được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm X G X.
1.1.2.

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2. ([4],p.l80)Một tập X được gọi là một không gian vector nếu :

• Trên X có hai phép toán,phép (+) giữa hai phần tử và phép (.) giữa một số thực (phức) với một phần tử.Các phép
toán đó thỏa mãn các tiên đề sau
1. X + y = y + X]
2. (x + y) + Z = X + (y + z)]
3. Tồn tại một phần tử 0 sao cho :r + 0 = r,Vx£l;
4. ứng với mỗi phần tử X G X ta có một phần tử —X G X sao cho'.x + (—x) = 0;
5. l.x = X]


6. Với a, ß ta c0\a(ßx) = (aß)x ;
7. (a + ß)x = ax + ßx]
8. a(x + y) = ax + ay.
Trong luận văn này ta chỉ xét không gian định chuẩn thực.

1.

IV H

Định nghĩa 1.3. ([4],p.l86)Cho X là một không gian tuyến tính trên
trường R,hàm số .
: X —> R + thỏa mãn.

2.

Aa; = |A| \\x\\

3.

£ + y\\ < \\x\\ + \\y\\ Vx,yeX.

= 0 X = 0;
VAe K]

Khi đó :||.|| được gọi là một chuẩn trên X và (X, ll-ll) được gọi là không gian định chuẩn.

• Nếu ta định nghĩa p(x, y ) = ||a? — y II thì p là một Metric trên X.Vậy không gian định chuẩn là không gian
Metric.
Nếu không gian Metric này đầy đủ thì không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach.
• Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn ,một toán tử A từ X vào Y gọi là liên tục nếu x n —> x 0 => Ax n —>
Ax0.Toán tử tuyến tính A từ X —> Y liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
1.1.3.

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.4. ([4],p.315) Một không gian vector thực X được gọi là không gian tiền Hilbert ,nếu trong đó có một

hàm hai biến (x, y) gọi là tích vô hướng của hai vector (x, y) với các tính chất:
1- {x,y) = {y,x)\

2. (x + y,z) = {x,z) + (y,z );
3. (ax,y) = a(x,y ) Va € -R;
4. (£, z) > 0 nếu X Ỷ 0 ;(®> x ) = 0 nếu a: = 0.

Hơn nữa ta chứng minh được (a;,a;) = ||a;|| 2 ,tức là ||a;|| = y/ĩx~x) xác định một chuẩn trong không gian X .Vậy không
gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn và do đó cũng là một không gian Metric.Nếu không gian Metric này
đầy đủ thì không gian tiền Hilbert gọi là không gian Hilbert.
Trên không gian Hilbert,ta có
• Với mỗi vector a cố định thuộc vào không gian Hilbert X ,hệ thức:/(a;) = (a,£) Xác định một phiếm hàm tuyến
tính liên tục f(x) trên không gian X với:II/II = ||a||.
Ngược lại ,bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên một không gian Hilbert X cũng có thể biểu diễn
một cách duy nhất dưới dạng : f(x ) = (ữ, x) Trong đó a là một vector của X thỏa mãn

• Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert X xác định theo f(x,y ) = (Ax, y) một phiếm hàm
song tuyến tính liên tục f(x,y ) nghiệm đúng ll/ll = ||A|| .
Ngược lại bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f(x,y ) nào trên X cũng có thể biểu diễn duy nhất dưới
dạng f(x, y) = (Ax, y) trong đó A là một toán tử tuyến tính liên tục trên X thỏa mãn
11/11 = 11^111.1.4.
Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff
Định nghĩa 1.5. ([4],p.372) Cho một tập X bất kỳ .Ta nói một họ r những tập con của X là một tôpô (hay xác định một

cấu trúc tôpô ) trên X nếu:
1. Hai tập 0 và X đều thuộc họ T.
2. r kín đối với phép giao hữu hạn tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ r thì cũng thuộc nó.
3. r kín đối với phép hợp bất kỳ tức là hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ r thì cũng thuộc


họ đó.

Một tập X cùng với tôpô r trên X gọi là không gian tôpô (X, r).

• Họ các tập mở trong không gian Metric thỏa mãn các điều kiện trên nên các không gian Metric đều là không
gian tôpô.

• Lân cận của một điểm X trong một không gian tôpô X là bất cứ tập hợp nào bao hàm một tập mở chứa æ.Nôi
cách khác V là lân cận của X nếu có một tập mở G sao cho X G G c V.
• Nếu X là không gian tôpô và X là không gian tuyến tính mà hai phép tính liên tục trong tôpô của x,ta nói rằng
cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương thích với nhau (cùng phù hợp nhau).Khi ấy X được gọi là không gian
tôpô tuyến tính.
• Nếu X có họ cơ sở lân cận gốc gồm các tập lồi thì X được gọi là không gian tôpô lồi địa phương .
• Không gian tôpô (X, r) được gọi là không gian Hausdoff nếu với hai điểm X\ Ỷ x 2, Xi, %2 £ X luôn tồn tại hai
tập mở ư, V € r sao cho : Xỵ € ư, x 2 € V; ư n V = 0
1.1.5.

Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.6. ([4],p.404) Khi X là một không gian vector tôpô thì tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi

là không gian đối ngẫu của X ký hiệu X*.ĐÓ là một không gian vector với các phép toán tự nhiên
• (/i + Ỉ2){x) = fi{x) + /2(x);
• (af i)(x) = af i(x).
Nếu X là không gian định chuẩn thì ta có thể đưa vào trong X* một chuẩn để nó trở thành một không gian định chuẩn
đủ (Banach)
Với X là không gian Banach có không gian đối ngẫu là X* ,gọi X** là không gian đối ngẫu của X*.Trong trường hợp
X* = X** thì X được gọi là không gian Banach phản xạ.


1.2. Ánh xạ đa trị
Ký hiệu :2 Y là họ các tập con của Y.

Định nghĩa 1.7. Cho tập hợp X, Y .Ánh xạ F : X —> Y được gọi là ánh xạ đa trị nếu F chuyển X € X thành một tập

hợp F(x ) c Y, F(x) là ảnh của s.Ta có
1. A c X, F(A) = u F(X ), X € A là ảnh của tập hợp A.
2. y G y, F - 1 (y) = {x ç. X : y G F(y)} là tiền ảnh của y.
3. B c Y, F~ 1(B) = U F~ 1 (y) c X, y G B là tiền ảnh của B.
4. DomF = { Ï G X : F(x) Ỷ 0} là miền định nghĩa của F.
5. Graf F = {(x,y ) G X X y : y G F(æ)} đồ thị của F.
• Cho X, Y là các không gian tôpô F : X —> 2 Y là ánh xạ đa trị đi từ X —> y.Nếu Graf F c X X y là tập đóng thì F
được gọi là ánh xạ đa trị đóng & (x n ,y n) G Graf F, {x n ,y n ) ->• (æ,y) G Graf F tức là y„ G Gra/F(æn) => y G F(x).
• Cho F : X —»■ 2y là ánh xạ đa trị ,ta có
(i) F là nửa liên tục trên tại X G domF nếu B là tập mở trong y F{x) c B thì tồn tại lân cận U x của X : F{x') c B,Vx'
G ư.
(ii) F là nửa liên tục dưới tại X G domF nếu B là tập mở BP\F(x) Ỷ 0 thì tồn tại lân cận ư x của X :B n F(x') Ỷ 0,
Væ' G u x n domF.

• Cho X là không gian định chuẩn.Ta nói rằng / là hàm Lipshitz trên tập D c X nếu tồn tại / > 0 sao cho
I f(x) — f(x')\ < l \x — x'\ , Væ, X G D.

1. Hàm / được gọi là Lipshitz địa phương tại X £ X nếu tồn tại số £ > 0 sao cho / là hàm -Lipshitz trên hình cầu

1 Bài toán điểm căn bằng
Cho D là tập con khác rỗng của không gian X .Ánh xạ / : D X D —> R .Tìm X G D sao cho \f(x,y) > 0, Va; G D.


B(x,e) n D.

2. Hàm / được gọi là Lipshitz địa phương trên tập D nếu nó Lipshitz địa phương tại mọi điểm của D.

1.3. Bài toán tối ưu

([3],p. 10). Cho D là một tập khác rỗng của không gian .X.Bài toán tìm điểm So € ũ thỏa mãn:
F(x 0 ) < F(x),Vx G D.
Ta viết
X&D

F(x o) = min F(x).

Khi đó nếu tìm được điểm x 0 G D sao cho tồn tại lân cận u của x 0 để F(x o) < F(x),Vx G ư n D thì bài toán trên được
gọi là bài toán tối ưu địa phương và x 0 được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán. Trong lý thuyết tối ưu,
bài toán trên có liên quan mật thiết với một số bài toán sau:

1 1

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân
Gọi X* là không gian đối ngẫu của X .Lấy X G X, f G X* ta định nghĩa (a;, /) = f(x) là giá trị của / tại a;.Cho D c
X là tập

lồi,đóng,khác rỗng .
A-.D^X*
Cho ánh xạ
Q:D-> R Tìm u G D sao cho


(A('u), V — u) + 0(r;) — 0("u) > 0,Vv & D.
3. Bài toán điểm bất động
Cho X là không gian Hilbert ,D c X là tập hợp con khác rỗng T : D — > D là ánh xạ đơn trị .Tìm X G D sao
cho:T(æ) = X .
4. Bài toán tựa tối ưu loại I
Cho K là tập khác rỗng của không gian Y nào đó .Ánh xạ s : D X K —> 2 D ; T : D X K —> 2 K là các ánh xạ đa
trị ,F : K X D X D —> R là hàm số.

Tìm điểm (x,ỹ) G D X K sao cho (a) X G S{x,y);
(b) y G T{x,y);
= min (c)
F(y,x,x).
F{y,x,x)
xeS(x.ÿ)

5. Bài toán tựa tối ưu loại II
Cho Sị : D —> 2D ,i = 1,2; T : D —> 2 K là các ánh xạ đa trị ,F • . K X D X D R là hàm số.Tìm điểm (æ, y ) G
D X K sao cho
(a) X G 5*1 (x);
(b) F(y, X , x) > F(y, X , x),\/x G s2, y G T(x, x).


Chương 2
Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng
Chương này được viết dựa trên bài báo [8].Trong chương này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về ánh xạ
nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số trong không gian Banach phản xạ.

2.1. Các khái niệm cơ bản
Ta ký hiệu X là không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu X* .Chuẩn trong X và X* được ký hiệu bởi
||.|| .Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau
• Khoảng cách từ điểm z £ X đến A được cho bởi công thức :d(z, A ) = inf { \\z — rr11 : X £ A} theo quy ước
inf 0 = +oo và A + 0 = 0.
•

Tập hợp A c X được gọi là tập lồi nếu với mọi X ị , X 2 £ A,t £ [0,1] thì tx 1 — (1 — t)x2 £ A.

• Vector X * £ X* được gọi là vector pháp tuyến của tập lồi A tại X

nếu thỏa mãn (x* ,x — x) < 0,Va: £ A.
• Nón pháp tuyến của tập K tại X được xác định bởi công thức
1

(2.1)

• Cho X là không gian lồi địa phương D c X, f : D —> Ru {± 00} và e p i f = { ( x , r ) £ D X R : f ( x ) < r} .Hàm
/ được gọi là hàm lồi nếu e p i f là tập lồi trong không gian tích X X R.
• Cho tp : X —> i? u { ± 00} là một hàm lồi và X £ X sao cho hiệu bởi díp(x) và được xác định bởi công thức:
d (x*,y- x) , Vy G X}.

(2.2)

• Giả sử F : X —> 2 X* là ánh xạ đa trị .Bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định bởi ánh xạ F và tập lồi K là là bài
toán tìm X £ K thỏa mãn bao hàm thức:
(2.

0 e F(x ) + Na{x).

Từ công thức (2.1) suy ra X £ X thỏa mãn (2.3) khi và chỉ khi X £ K và tồn tại X * £ F(x) sao cho\(x*, y — x)
> 0 Vy £ K.

Nếu -F(a;) = {/(a;)} trong đó / : X —> X* là ánh xạ đơn trị thì (2.3) trở thành


Khi đó bài toán tương ứng gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi ánh xạ / và K .
• Giả sử (A, d ) và (M, d ) là các không gian Metric và æ0 G X, A0 G A, fiQ G M.
2

X

X

Giả sử F : X X M —y 2 * ; K : A —> 2 là hai ánh xạ đa trị và K(.) nhận giá trị lồi,đóng,khác rỗng.
Bài toán tìm X = x(fi, A) thỏa mãn bao hàm thức
Oe F{x,n) +N K W {X),

(2.5)

trong đó (fl, A) G M X A là một cặp tham số,được gọi là bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số.

Chú ý:x G X thỏa mãn (2.5) khi và chỉ khi X G -K(A) và tồn tại X* G F(x, ịì) sao cho :(x*, y — x) > 0 Vy G

-K(A).

2.2. Các kết quả bổ trỢ
Cho G : X —> 2 X * là ánh xạ đa trị .Các tập domG := {æ G X : G(x) Ỷ 0}

g r a f G : = {(a;, a;*) G X : X * G

G(a;)} tương ứng được gọi
là miền hữu hiệu và đồ thị của G.
Định nghĩa 2.1. Ánh xạ G được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdoff tại a:0 G X nếu với mỗi £ > 0 tồn tại một
lân cận Ư của a:0 trong X sao cho G(a;o) c G(x) + EBX với mọi X G u ,trong đó B x , := {a;* G X* : ||a;*|| < 1}.
Định nghĩa 2.2. Ánh xạ G được gọi là đê-mi liên tục tại x 0 E X nếu với mỗi tập mở V c X* trong tôpô yếu * của X*
thỏa mãn G(a:0) c V

2

tồn tại một lân cận u của x 0 trong X sao cho G(x ) c V với mọi X G Ư.G được
gọi là hê-mi liên tục tại x 0 G X nếu với mọi V G x,t G [0,1] và với mọi tập mở
yếu *.v c X * thỏa mãn G(tx0 + (1 — t)V ) c V tồn tại ỏ > 0 sao cho G(tx 0 + (1
— t)v) c V với mọi t G [0,1] mà |1 — t\ < ô. Định nghĩa 2.3. ([ll],p.852)Ánh
xạ G : X —> 2 X * được gọi là đơn điệu nếu với mọi (xi , æî), (x 2 xl) G grG ta
có
(x *2 — xỊ, x 2 — xì) > 0
. Ta nói G là đơn điệu cực đại nếu G là đơn điệu và không tồn tại ánh xạ đơn
điệu G' : X —> 2 X * sao cho grG là tập con thực sự của grơ.
Bổ đề 2.1. Giả sử G : X —> 2 X * là một toán tử hê-mi liên tục .Nếu ư
c domG là tập hợp sao cho với mọi X G ư ta có G(x) là tập lồi đóng

khi đó G là hê-mi liên tục tại mỗi điểm Xo G ư .
Bổ đề 2.2. Giả sử G X —y 2 X * là một toán tử đơn điệu đê-mi liên

tục .Nếu với mọi X £ X tập G(x) là lồi đóng thì G là toán tử đơn
điệu cực đại.
Bố đề 2.3. Nếu Gi, G 2 : X —> 2 X là các toán tử đơn điệu cực đại thỏa

mãn điều kiện int(domGi) n domG 2 Ỷ 0 trong đó intD ký hiệu phần
trong tôpô của tập D.Khi đó tổng Gị + G 2 : X —> 2X* xác định bởi
công thức (G 1 + G 2 ) ( X ) = Gi(æ) + G 2 (x) cũng là toán tử đơn điệu
cực đại.
Bố đề 2.4. ([ll],Corollary 35)Nếu G : X —> 2X* là đơn điệu cực đại và

domG là bị chặn thì G là toàn ánh ,nghĩa là U x e X G(x ) = X*.
Định nghĩa 2.4. Ánh xạ G : X —> 2X* được gọi là đơn điệu chặt nếu cho bất kỳ

2
(íEi, £*), (x 2 , x*2) G grG, X ị Ỷ ^2-Ta có'.(x*2 — x * ị , x 2 — X ị ) > 0.


Nhận xét 2.1. ATếit F : X ^ 2 X * là đơn điệu chặt thì bài toán (2.3) có nhiều

nhất một nghiệm. Thật vậy
Giả sử Xị,x 2 G K là hai nghiệm của bài toán (2.3) .Khi đó tồn tại x\ G F(x
1 ), a?2 £ F{x 2 ) thỏa mẫn

{x\,x 2 - Xi) > 0, (x* 2, Xị - x 2 ) > 0
. Do đó {x *2 — x\,x 2 — X\) < 0 .Do tính đơn điệu của F ta có (x *2 — x*ị, x 2

— Xị) > 0. Vì vậy (xi — xỊ, x 2 — Xị) = 0 .Từ tính đơn điệu chặt của F ta
suy ra X 1 = x 2 .
Định nghĩa 2.5. Giả sử cư là một hàm số không giảm trên R + = {t G R:t>0} sao cho

cư(t) > 0 với mọi t > 0 .Ánh xạ G được gọi là cư-đơn điệu nếu với mọi (xi, æî) G grG
ta có
(xl — xỊ, x 2 — Xị) > U J ( \ \ X 2 — Xi\\) \\x 2 — Xị\\ . (2.6)
Nếu cư(t) = a(t), a > 0 thì (2.6) trở thành
(^2 — xl,x 2 — æi) > Cũ||a;2 — £i||2.

(2.7)

Trong trường hợp này G được gọi là đơn điệu mạnh.

2.3.

Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân

suy rộng phụ thuộc tham số
Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng (2.5) ,trong đó F(x,
¡Ầ), K(\), M, Ấ được định nghĩa nhu trong Mục (2.1).Giả sử (æo, ßo, Ao) G
X X M X A là bộ ba thỏa mãn điều kiện
Kết quả đầu tiên về ánh xạ nghiệm của bài toán (2.5) đối với sự thay đổi của cặp


tham số ( f l , A) được phát biểu như sau
Định lý 2.1. Giả sử rằng các điều kiện sau đẫy được thỏa mãn
(i)
(ii)

Với mọi ¡1 G M, F(., ỊÌ) là toán tử đơn điệu cực đại.
Tồn tại ỉăn cận u của XQ sao cho với mọi £ > 0 tồn tại ỏ > 0

để : Nếu (xi,x*ị),(x 2,X 2) G grF(.,fi) n (Ư X X*) với Ị 1 G M nào đó
và \\x 2 — X\ I I > £ thì {x *2 — xỊ, x 2 — X ị ) > ỏ.
(Ui) Tồn tại lãn cận ư' của Xo ,lăn cận w của Ịio và hằng số 7 > 0 sao

cho:F(x, ỊÌ) Ỷ 0 vói mọi (æ, n) G U' X w.
sup{||æ*|| : X * G F(x, /i), X G ư', ¡1 G W} < 7

(2.9)

Với mọi X G ư , F ( x , . ) là nửa liên tục dưới theo nghĩa HausdoỊỊ
tại mọi điểm ¡1 G w.
(iv) Tồn tại hàm số ß : R + —»■ R + thỏa mãn lim/3(t) = 0 lăn cận U"
0

của XQ và lăn cận V của A0 sao cho
K{\') n u" Khi đó tồn tại lăn cận w của Ịio ,lăn cận V của Ao sao cho V(jU,A) G W
X V tồn tại duy nhất nghiệm X = x(n, A) G u của bất đẳng thức biến

phân suy rộng sau
0 G F(x, ỊÌ) + N ^(X).
K

(2.11)

Hơn nữa x(ßo, A) = x 0 và hàm (¡Ầ, A) !-> x(ß, A) là liên tục trên w X V.
Chứng minh. Giả sử rằng các giả thiết (ĩ) —> (iv) được thỏa mãn.Khi


đó ,do (iii) và (iv) tồn tại các hằng số s > 0, ỏ > 0 sao cho

B ( x 0, s ) c U nU ' n ư " , B ( X 0, Ô ) C V ] ß { d { A , A o ) ) < S , V A G B { X 0, Ô )
2

(2.12)

Do cách chọn s > 0 và ỏ > 0 ta có
sup{||æ* Il : X* G F(x, ỊÌ), X G B(XQ, s), ¡1 G W} < 7

K{X')nB{x 0 ,s) c K{X) + ß{d{X',X))B x .

(2.13)

(2.14)

Với mọi \', A G £?(A0,Ổ) .Thay A' = A0 vào (2.14) ta thấy rằng với mỗi A G
B(XQ,Ỗ) tồn tại ZA G iC(A) thỏa mãn

11Z\ - Z o l l < ß{d(X, Ao) < s
. Do đó ta có iC(A) n B ( X Q , S ) Ỷ 0 với mọi A G B ( X Q , Ỗ ) .CỐ định một
cặp (fl, A) G w X S(Ằ0,Ổ) và xét bao hàm thức
0 G F{x, ỊÌ) + N K { x ) n Ẻ { X 0 ! X ] {x).

(2.15)

Vì if(A) n B(x0, s) là tập lồi đóng,toán tử nón pháp tuyến
x

^ N K(X)nB(x 0 ,s){x)-

(2-16)

là đơn điệu cực đại .Do (i),.F(., ¡Ầ) cũng là đơn điệu cức đại.Do cách chọn s ta có
B(x0, s) c int(domF(.,ju)) Vì miền hữu hiệu của toán tử (2.16) là tập bị chặn và khác
rỗng if(A) n B(x 0, s) nên theo Bổ đề 2.3 ,ánh xạ đa trị