Chuong III hệ trục và phương trình mặt cầu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.12 KB, 12 trang )

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN 1. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Tọa độ của vectơ
1)Định nghĩa

r
r
r
r
r
a  a1.i  a2 . j  a3 .k  a  (a1 ; a2 ; a3 )
r
r
2)Tính chất: Cho a  ( a1 ; a2 ; a3 ); b  (b1 ; b2 ; b3 ) .Ta có:

a1  b1
r r

 a  b  a2  b2
a  b
3
 3
r r
 a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )
r
 ka  (ka 1 ; ka2 ; ka3 ) ,
k¡
r
r

r
r
 0  (0; 0; 0), i  (1; 0; 0), j  ( ;1; 0), k  (0; 0;1)
r
r r r
r
r
 a cùng phương b  k  ¡ : a  kb (b  0)
a a a
 1  2  3 (b1, b2 , b3  0)
b1 b2 b3
x
r r
 a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
 a  a12  a22  a32
rr
r r
 a  b  a.b  0  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
rr
a1b1  a2 b2  a3b3
ab
r r
cos (a,b) = r r  2 2 2 2
ab
a1  a2  a3 b1  b22  b32

z
A3

r r
r Oj
k

Ox:trục hoành
Oy:trục tung
Oz:trục cao

A

A2

y

i

A1
A’

II.Tọa độ của điểm:
uuuur
r
r
r
1.Định nghĩa: OM  x.i  y. j  z.k  M  ( x; y; z)
Chú ý:
 M  (Oxy)  z  0; M  (Oyz)  x  0; M  (Oxz)  y  0.
 M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0.
Tọa độ hình chiếu của M lên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) lần lượt là: (x;y;0), (0;y;z), (x;0;z).
 Tọa độ hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: (x;0;0), (0;y;0), (0;0;z).

2.Tính chất:
uuur
 AB  ( x B  xA ; yB  yA ; zB  zA )
AB =  x B  x A  2   y B  y A  2   zB  zA  2
xA  xB yA  yB zA  zB
;
;
)
2
2
2
x x x y y y z z z
G là trọng tâm ABC  G( A B C ; A B C ; A B C )
3
3
3
xA  xB  xC  xD

 xG 
4

y  y  y  yD

G là trọng tâm tứ diện ABCD   yG  A B C
4

zA  zB  zC  zD

 zG 
4


uuur
uuur
uuur
uuur
A,B,C thẳng hàng  AB và AC cùng phương  AB  k.AC (k  ¡)
III.Tích có hướng củarhai vectơ:
r
1)Định nghĩa: Cho a  (a 1 ; a2 ; a3 ); b  (b1 ; b2 ; b3 ) .Ta có:
r r
r r a a a a a a 
 a, b = a  b   2 3 , 3 1 , 1 2    a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3;a1b2  a2 b1 
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
2)Tính chất:
M là trung điểm AB  M (

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

1

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
rr r r r r r r r
  i, j   k;  j,k   i;  k,i   j.
r r
r r
r r

 a,b  a b sin  với    a,b 


3)Ứng dụng:
r r r
r r r
 a, b,c đồng phẳng   a,b . c = 0
Diện tích hình bình hành ABCD:
Diện tích tam giác ABC:
Thể tích khối hộp ABCD.A’D’C’D’:
Thể tích khối tứ diện ABCD :
A
D
C
A
B

C

B'

r r
r
 a, b  a;

r r
r
a,b  b .
 

r r
r r
 a, b    b,a .

r r
r
r
r
 a và b cùng phương   a,b = 0

uuur uuur
SY ABCD   AB,AD  .
1 uuur uuur
 AB,AC .
SABC 

2 
uuur uuur uuuur
VABCD.A’B’C’D’ =  AB,AD  .AA ' .
1 uuur uuur uuur
VABCD.A’B’C’D’ =  AB,AC .AD .
6
A'
D'
C'

B

D

C

A
D

A
C

B

B

Loại 1 : Tọa độ của vectơ, của điểm
và các
phép
toán
vectơ
uuuur
r
r
r

r
r
r
r
r
Định nghĩa: a  a1.i  a2 . j  a3 .k  a  (a 1 ; a2 ; a3 ) ,
r
r

Tính chất: Cho a  ( a1 ; a2 ; a3 ); b  (b1 ; b2 ; b3 ) .Ta có:

r r
r
a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) , ka  (ka 1 ; ka2 ; ka3 ) ,
uuur
AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  zA )

OM  x.i  y. j  z.k  M  ( x; y; z)
a1  b1
r r

a  b  a2  b2
a  b
3
 3

r
r r r
r
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  i  2 j  3k . Tọa độ của vectơ a là:
A. (-1;2;-3) .
B. (2; 1; 3) .
C. ( 3; 2; 1) .
D. (2; 3; 1) .
r
r r
r
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  3 j  5k . Tọa độ của vectơ a là:
A. (0; 5;3) .

B. ( 5;3;0) .

C. (3;0; 5) .
D. (0;3; 5) .
r
r
r
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  4 j . Tọa độ của vectơ a là:
A. (0; 0; 4) .

B. (0; 4; 0) .

C. (4;0; 0) .
D. (1; 4;1) .
r r r r r r r
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  2i  3 j  4k; b  j  3k . Tọa độ của vectơ
r r r
u  a  b là:
A. (3; 4; 1) .
B. (3;6; 4) .
C. (2; 4; 1) .
D. (2;3; 12) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r r r r r uur r
Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  i  2 j  3k; b  2i  k . Tọa độ của vectơ
r
r r
u  2a  3b là:
A. ( 4;3; 4) .
B. (8; 4; 9) .

C. (4; 4;3) .
D. ( 4; 4; 3) .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

2

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (3;2;1), b  (1;3;2), c  (0;1;1) . Tọa độ của
r
r r r
vectơ u  2a  3b  c là:
A. (3; 4; 3) .
B. (3; 4;3) .
C. (4; 3; 3) .
D. ( 4;3;3) .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (2; 1;1), b  (1; 2;2), c  (3; 2;1) . Tọa độ
r r r r
của vectơ u  a  2b  3c là:
A. (9; 9; 4) .
B. ( 9;9; 6) .
C. (9; 4;9) .

D. ( 9;9;9) .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (3; 1; k  1), b  (2m  1;3  2n;1) . Tìm m, n , k
r
r
để b  2a :
1
7
5
5
3
,n  ,k  3 .
B. m  , n  , k  .
4
4
2
2
2
5
5
5
7
1
C. m  , n  , k  .
D. m  , n  , k  3 .
2
2
2
4

4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (2;1;1), b  (3; 1;2) . Tìm tọa độ vectơ c thỏa:
r r
r r
2c  a  3 b  0

A. m 

7
5
1
5
7
5
3
1
; 2; ) .
B. ( ; 2; ) .
C. ( ; 2; ) .
D. ( ; 2; ) .
2
2
2
2
2
2
2

2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r
Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (1;2;3), b  (2; 3; 4), c  (3; 4; 5),
ur
r r r
ur
d  (4;5; 1) . Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a, b, c .
ur 97 r 59 r 17 r
ur
97 r 59 r 17 r
a b c .
A. d 
B. d   a  b  c .
96
48
96
96
48
96
ur
ur
59 r 97 r 17 r
97 r 17 r 59 r
C. d   a  b  c .
D. d   a  b  c .
48
96
96

96
96
48
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuur r r r
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(2; 3; 4), OC  2i  3 j  k . Hãy tìm
tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. ( 1; 2; 2) .
B. ( 1; 2;1) .
C. ( 1; 2;0) .
D. ( 1; 2;3) .

A. (

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuur r r r
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0;1), OB  3i  2 j  3k . Hãy tìm tọa độ điểm C
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

3

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
sao cho tứ giác ACOB là hình bình hành.
A. ( 4; 2; 2) .
B. (4; 2; 2) .
C. (2; 2; 4) .
D. ( 2; 2; 4) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu
không

gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành OADB có
uuur13. Trong uuu
r
OA  ( 1;1; 0), OB  (1;1; 0) . Hãy tìm tọa độ tâm của hình bình hành OADB.
A. (0;1; 0) .
B. (1;0; 0) .
C. (0;1;1) .
D. (1;1;0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0;1), B(2;1;0), C(3;2;1). Hãy tìm tọa độ điểm M
uuuur uuuur uuur
sao cho: 2 AM  BM  5 AC .
A. (10;9; 2) .
B. (9;10; 2) .
C. (10;9;9) .
D. (9; 2;10) .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;1;1), B(2;1;2), C(2;2;-1). Hãy tìm tọa độ điểm
uuuur uuuur uuuur r
M sao cho: AM  5 BM  3CM  0 .
A. (1; 2; 12) .
B. (1; 2;12) .
C. (2; 4;10) .
D. ( 2; 4; 10) .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

r r
 a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3

rr

r r
 a  b  a.b  0  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

AB =

 xB  xA 

2

r
a  a12  a22  a32
rr
a1b1  a2b2  a3b3
ab
r r
cos (a,b) = r r  2 2 2 2
ab
a1  a2  a3 b1  b22  b32



2

  y B  y A    zB  zA 

2

r r r r
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a, b, c  0; k  ¡ . Phát biểu nào sau đây sai?
rr

r r
r r r rr rr
a.b
rr
r r
r rr
rr r
A. a (b  c)  a.b  a.c .
B. cos(a, b)  r r .
C. k .(b.c)  (k .b).c . D. a.(b.c)  ( a.b).c .
a.b
r
r
r
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (1; 2; 0), b  (2; 1;1), c  (1; 1; 0) . Phát biểu
nào sau đây sai?
r
rr
r r
r r
A. a  5 .
B. a.c  1 .
C. a  b .
D. c  b .
r r r
r r
r r
rr
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  i  j  2 k, b  3 j  k . Khi đó a.b bằng:
A. 5 .

B. 4 .
C. 3 .
D. 0 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r r r
r r r
r r
r r
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  i  j  2 k, b  i  (m  1) j  k . Tìm m để a  b .
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  0 .
D. m  1 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;1;1), B(2;4;5). Điểm M nằm trên trục Ox và
tam giác ABM vuông tại A. Tọa độ điểm M là: .

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

4

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
A. (0;1; 6) .
B. (5;0; 0) .
C. (0;3;1) .
D. ( 4;0; 0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r r

r
Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  mi  3 j  2 k . Hãy tìm m, biết a  13 .
A. m  2 .
B. m  1 .
C. m  0 .
D. m  1 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r r
r r
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  mi  3 j  2 k, b  (1;2;1) . Hãy tìm m, biết
r r
a  3b nhỏ nhất.
A. m  3 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  0 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;1;1), B(1;2;-1). Điểm M nằm trên trục Oy và
cách đều 2 điểm A, B. Tọa độ điểm M là: .
5
A. (0;1; 0) .
B. (0;3; 0) .
C. (0; ; 0) .
D. (2;0;3) .
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuur
r r
r
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA  3i  5 j  5 k . Điểm M thuộc trục tung thỏa độ
dài đoạn AM nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M bằng:
A. (3; 0;5) .

B. (0;3; 0) .
C. (0;5; 0) .
D. (0; 5; 0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuur
r r
r
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA  2 i  3 j  5 k . Điểm M thuộc mp(Oxy) thỏa độ
dài đoạn AM nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M bằng:
A. (2;3;5) .
B. (2;3; 0) .
C. (3;5;0) .
D. (0;3;0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuur r r
r
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA  i  j  3 k, B(2;1;1) . Điểm M thuộc trục tung
thỏa MA2  MB2 nhỏ nhất. Tọa độ của điểm M bằng:
A. (0;1; 0) .
B. (0; 2; 0) .
C. (0; 3;0) .
D. (0; 4; 0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A, B, C. Phát biểu nào sau đây sai?
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB.CA
AB. AC
A. cos( AB, AC ) 
.
B. cos (·
.

AB, AC ) 
AB. AC
AB. AC
uuur uuur
uuur 2
AB. AC
·
C. AB  AB 2 .
D. cos ( AB, AC ) 
.
AB. AC
r
r
r r
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (1; 2;1), b  (1;1; 2) .Khi đó cos (a, b) bằng:
1
1
1
3
.
B. .
C. .
D. .
6
3
2
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

5

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
r r 1
r
r
Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (m; 2;1), b  (1; 2; 2) .Tìm m, biết cos (a, b)  :
3
1
1
3
.
C. .
D. .
4
2
4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.0.

B.

Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A( 2; 0;  2), B(0; 2; 2) .Góc O của tam giác

OAB bằng:
A. 300 .
B. 600 .
C. 900 .
D. 1200 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A( 2;0;  2), B(0; 2; 2) .Góc giữa hai đường
thẳng OA và OB bằng:
A. 300 .
B. 600 .
C. 900 .
D. 1200 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 3. Công thức trung điểm và công thức trọng tâm
xA  xB yA  yB zA  zB
;
;
)
2
2
2
x x x y y y z z z
G là trọng tâm ABC  G( A B C ; A B C ; A B C )
3
3
3
xA  xB  xC  xD

 xG 
4


y  y  y  yD

G là trọng tâm tứ diện ABCD   yG  A B C
4

zA  zB  zC  zD

 zG 
4

M là trung điểm AB  M (

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5; 2), B(3; 7; 4) .Tọa độ hình chiếu trung điểm
của đoạn AB lên trục hoành là :
A. (0; 6; 1) .
B. (1;0; 0) .
C. (2; 0;0) .
D. (4; 0; 0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5; 2), B(3;7; 4), C (2; 0; 1) .Tọa độ hình chiếu
trọng tâm của tam giác ABC lên mặt phẳng (Oyz) là :
A. (0; 4; 1) .
B. (2;0;0) .
C. (0; 4;1) .
D. (0; 4; 4) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5; 2), B  (3;7; 4) .Tọa độ điểm M đối xứng
với A qua B là :
A. (2; 6; 1) .
B. (7;9; 10) .
C. (5;9; 3) .

D. (5;9; 10) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;5;0), B (3;7; 4), C (2;0; 1) .Tọa độ điểm E sao
cho A là trọng tâm của tam giác EBC bằng:
5
A. ( 2;8;  ) .
B. ( 2;8;5) .
C. (0;8;5) .
D. ( 2;1;5) .
3
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

6

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(3; 2; 2), C (2;3;1) .Khoảng cách từ
trung điểm của đoán AB đến trọng tâm tam giác ABC bằng :
A. 1 .
B. 2.
C.3.
D.4.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(3; 2; 2), C (2;3;1) , có G là trọng tâm
tam giác ABC, M là điểm chạy trên mp(Oxz). Độ dài đoạn GM ngắn nhất bằng :
A.4.
B. 2.
C.3.
D.1.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3; 2;1), B  (3; 2;5) , có I là trung điểm của AB.

Khoảng cách từ I đến trục Oz bằng:
A. 14 .
B. 15 .
C. 13 .
D.4.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 4. Công thức tích có hướng

r
r
 Cho a  ( a1 ; a2 ; a3 ); b  (b1 ; b2 ; b3 ) .Ta có:
r r
r r a a a a a a 
 a, b = a  b   2 3 , 3 1 , 1 2    a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3;a1b2  a2 b1 
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
rr r r r r r r r
r r
r r r
r
r r
r r
  i, j   k;  j,k   i;  k,i   j.
 a, b  a; a,b  b .
 a,b    b,a .
r r
r r
r r
r r

r
r
r
 a, b  a b sin  với    a,b 
 a và b cùng phương   a,b = 0


r r
r
r
Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (3; 2;1), b  (3; 2;5) . Khi đó : a, b có tọa độ
bằng:
A. (8; 12;5) .
B. (8; 12;0) .
C. (0;8;12) .
D. (0;8; 12) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r r
r
r
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (1; 2;1), b  (2; 4; 2) . Khi đó : a,b có tọa
độ bằng:
A. (0; 0;0) .
B. (1;1;1) .
C. (2;8; 2) .
D. (1; 2;1) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r r r
Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a, b, c . Chọn đáp án sai .
r r
r r r
r r r

r r
r
r r
A.  a, b  .a  0 .
B.  a, b  .c là 1 số.
C.  a, b  là 1 số. D.  a, b   0  a  b .
Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B  (3; 2; 2), C (2;3;1) . Tọa độ của vectơ
uuur uuur
 AB, AC  bằng:


A. (6;0; 6) .
B. (6; 6; 0) .
C. ( 6; 0; 6) .
D. ( 6;6; 0) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r
Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (1; 2;1), b  (m; m  1; 2), c  (1;1;3) .Tìm m để
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

7

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
r r
r
 a, b   c .

 
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  5 .
D. m  10 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  (1; 2;1), b  ( m; m  1; 2) .Tìm m để
r r
 a, b   30
 
m  1
m  2
m  0
m  0
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
m  4
m  3
m  3
m  4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 5. Hai vectơ cùng phương, không cùng phương

r
r r r
r
r
 a cùng phương b  k  ¡ : a  kb (b  0)
a a a
 1  2  3 (b1, b2 , b3  0)
b1 b2 b3

r r
r
 a,b = 0
 
Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Bộ 3 điểm nào sau đây thẳng hàng:
A.M(1;2;3), N(-1;3;2), P(2;1;2).
B. M(2 ;3 ;1), N(1 ;1 ;1), C(3 ;2 ;3).
C. M(0;1;1), N(2;1;2), P(1;1;2).
D.M(1;1;1), N(2;3;-1), P(3;5;-3)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;1), B  (3; 2; 2) , điểm M thuộc mp(Oxy) sao
cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. Tọa độ của điểm M là:
A. ( 1; 6;0) .
B. ( 1; 1;0) .
C. (0; 0; 4) .
D. (0;0;3) .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
 a và b cùng phương 

Loại 6. Ứng dụng của tích có hướng

r r r
r r r
 a, b,c đồng phẳng   a,b . c = 0
Diện tích hình bình hành ABCD:
Diện tích tam giác ABC:

Thể tích khối hộp ABCD.A’D’C’D’:
Thể tích khối tứ diện ABCD :
A
D
C
A
B

C

B

uuur uuur
SY ABCD   AB,AD  .
1 uuur uuur
 AB,AC .
SABC 

2 
uuur uuur uuuur
VABCD.A’B’C’D’ =  AB,AD  .AA ' .
1 uuur uuur uuur
VABCD.A’B’C’D’ =  AB,AC .AD .

6
A'
D

B'

D'

C

A
B

B
Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, ba vectơ nào sau đây đồng phẳng:
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

C'

8

D

A
C

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ

r
r
r
r
r
r
A. a  (1;1; 0), b  (2; 1;1), c  (1;1;1) .
B. a  (0; 1;1), b  (2;1;0), c  (2;1; 2) .
r
r
r
C. a  (0; 0;1), b  (2;1;1), c  (1;0; 2) .

r
r
r
D. a  (1;0; 2), b  (2;3;1), c  (1;1;1) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
r
Câu 48. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, a  (m;1;0), b  (2; m  1;1), c  (1; m  1;1) . Tìm m để 3
r r r
vectơ a, b, c không đồng phẳng
1
3
.
B. m  .
C. m  1 .
D. m  2 .

2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2;1), B(2;1;3), C (3; 2; 2) .
Diện tích tam giác ABC bằng:

A. m 

11
13
14
.
B. 3 .
C.
.
D.
.
2
2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2;1), B(2;1;3), C (3; 2; 2) . Độ
dài chiều cao AH của tam giác bằng:

A.

21
21
14
14
.
B.

.
C.
.
D.
.
6
3
6
3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2;1), B(2;1;3), C (3; 2; 2),
D(1;1;1) . Thể tích của tứ diện bằng:

A.

1
.
D.3.
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2;1), B(2;1;3), C (3; 2; 2),
D(1;1;1) . Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng:

A. 1 .

B. 2 .

C.

3 14
4 14
14

3 14
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
14
14
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1), B(2;1; 2),
E (1; 2; 2), D(3;1; 2) . Thể tích khối hộp bằng:

A.

Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

9

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
A. 1 .

B. 2 .

C.

1
.
6

D.

1
.
3

Câu 54. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với
E (1; 2; 2), D(3;1; 2) . Khoảng cáh từ A đến mp(DCGH) bằng:
A.

3.

B.

3
.
3

C. 2 3 .

D.

A(1;1;1), B(2;1; 2),

1

.
3

PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I)Dạng 1: (x - a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 , tâm I(a;b;c) , bán kính R
Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O, bán kính R là: : x2 + y2 + z2 = R2
II)Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, với điều kiện a 2 + b2 + c2 – d > 0, là phương trình trình
mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R = a2  b2  c2  d

Loại 1 : Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x – 1) 2 + ( y + 2)2 + (z +
1)2 = 4 có tọa độ của tâm là:
A. (-1;2;1) .
B. (1; 2; 1) .
C. (1; 2;1) .
D. (1; 2; 2) .
Câu 56. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x – 1) 2 + ( y + 2)2 + (z +
1)2 = 9 có bán kính bằng:
A. 3 .
B. 2 .
C. 9 .
D. 81 .
Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 – 2x + 6y + 1 =
0. Mặt câu có tâm I, bán kính R là:
 I (1; 3;0)
 I (2; 6; 0)
 I (1;3; 0)
 I (1; 3;0)

A. 

.
B. 
.
C. 
.
D. 
.

 R  40
R  3
R  3
 R  11
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương trình x 2 + y2 + z2 + 2(3 – m)x – 2(m + 1)z –
2m + 2m2 + 7 = 0. Tìm m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu.
1
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  .
D. m  4 .
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Loại 2 : Viết phương trình mặt cầu
Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(3;0;1). Phương trình mặt cầu đường
kính AB là:
A. .(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 3.
B.(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 3.
C. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 3.
D. (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 12.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3). Phương trình mặt cầu tâm A và qua O là:

A. .(x -1 )2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 14.
B.x2 + y2 + z2 = 14.
7
7
C. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = .
D. x2 + y2 + z2 = .
2
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

10

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3). Phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc
với mp(Oxy) là:
A. (x -1 )2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 5.
B. (x -1 )2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9.
C. x2 + y2 + (z - 3)2 = 9.
D. (x -1 )2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 5.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 62. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho B(1;1;-1). Phương trình mặt cầu tâm B và tiếp xúc
với trục hoành là:
A. (x -1 )2 + (y - 1)2 + (z + 1)2 = 1.
B. (x -1 )2 + y2 + z2 = 2.
C. (x -1 )2 + (y - 1)2 + (z + 1)2 = 2.
D. (x -1 )2 + (y - 1)2 + (z + 1)2 = 3.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 63. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;1;2), B(1;1;-1), C(-1;0;1). Phương trình mặt
cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp(Oxz) là

3
5
3
1
5
A. x 2  y 2  z 2  x  z   0 .
B. x 2  y 2  z 2  x  z   0 .
2
2
4
2
2
3
5
3
5
C. x 2  y 2  z 2  x  z   0 .
D. x 2  y 2  z 2  y  z   0 .
2
2
2
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 64. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;1;2), B(1;1;-1), C(-1;0;1). Mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện OABC có bán kính bằng:
3 3
3 3
.
B.
.
C. 3 3 .

D. 3 .
2
4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 65. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu có bán kính bằng 3,có tâm trên tia Oy ’ và tiếp
xúc với mp(Oxz) có tọa độ tâm là:
A. (0;3;0) .
B. (0; 3;0) .
C. (0; 0;0) .
D. (0; 3;0)  (0;3;0) .

A.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 66. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x 2 + y2 + y2 – 2x + 2y –6 z
+ 2 = 0 cắt mp(Oxz) theo một đường tròn có bán kính.
A. 3 2 .
B. 4 2 .
C. 2 2 .
D. 5 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 67. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x -1 ) 2 + (y - 1)2 + (z + 1)2
= 36 cắt trục Oz tại 2 điiểm A, B. Tọa độ trung điểm của đoạn AB là.
A. (0; 0; 1) .
B. (0; 0;1) .
C. (1;1;0) .
D. ( 1; 1; 0) .
Sưu tầm và biên soạn: Đặng Ngọc Hiền

11

ĐT: 0977802424

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 68. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x 2 + y2 + z2 – 4x – 6y + 2z
– 2 = 0 cắt trục Oy tại 2 điiểm A, B. Độ dài đoạn AB bằng:
11
.
B. 11 .
C. 2 11 .
D. 4 11 .
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A.

Câu 1
ĐA A
Câu 18
ĐA A
Câu 35
ĐA B
Câu 52
ĐA D

2
D
19
B
36
A
53